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重根和重因式的关系重根和重因式是数学中常见的概念，它们之间存在着密切的关系。
在代数学和数论中，重根和重因式都是重要的研究对象，它们在解方程和因式分解中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍重根和重因式的概念及其关系，并探讨其在数学领域的应用。
我们来了解一下重根的概念。
在代数学中，对于一个多项式方程，如果方程的根重复出现，即某个根出现了多次，那么我们称这个根为重根。
例如，对于方程x^2 - 4x + 4 = 0，它的根x = 2是一个重根，因为它出现了两次。
重根的出现意味着方程在该根处的图像与x轴相切或相交，具有重要的几何意义。
接下来，我们来介绍一下重因式的概念。
在因式分解中，如果一个多项式可以被分解成一个因式的多次乘积，那么我们称这个因式为重因式。
例如，多项式x^3 - 6x^2 + 12x - 8可以被分解成(x - 2)^3，其中(x - 2)就是一个重因式。
重因式的出现意味着多项式的某个因子在分解中出现了多次，具有重要的代数意义。
重根和重因式之间存在着紧密的联系。
事实上，重根和重因式是由同一个多项式引起的。
当一个多项式有重根时，我们可以将其因式分解，得到一个或多个重因式。
而当一个多项式有重因式时，我们可以通过合并相同的因式，得到一个或多个重根。
因此，重根和重因式是两种不同的表达方式，但它们实际上描述的是同一个数学对象。
重根和重因式在数学中有着广泛的应用。
首先，在解方程中，重根可以帮助我们找到方程的所有解。
当我们求解一个方程时，如果方程有重根，我们可以通过求导或其他方法得到重根的重复次数，并根据根的个数和重复次数确定方程的解的个数。
其次，在因式分解中，重因式可以帮助我们将一个多项式分解成更简单的形式。
通过找到重因式，我们可以将多项式因式分解，进一步研究多项式的性质和特征。
总结起来，重根和重因式是数学中重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
重根是方程的根重复出现的情况，而重因式是多项式因式分解中因子重复出现的情况。
第2"卷第1期2021年1月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.2"，No.1Jan. , 2021d o i：10.3969/j.i s s n.1008-1399. 2021. 01.019关于高等代数多项式理论的教学探讨安军(重庆工商大学数学与统计学院，重庆"00067)摘要本文探讨高等代数多项式理论的教学策略以帮助师生减缓教与学的压力.关键词多项式；整除；最大公因式；因式分解；重因式中图分类号 O151.2 G6"2 文献标识码 A文章编号 1008 - 1399(2021)01 - 0063 - 05 On Teaching of Polynomial Theory in Higher AlgebraicAN Jun(School of Mathematics and S t a t i s t i c s，Chongqing Technology and Business University, Chongqing "00067, China)A bstract This paper explores the strategies for teaching the polynomial theory in Higher Algebra in order to make teaching and learning easier for teachers and students.K eyw ords polynomial，divisibility，greatest c o m m o n factor，factorization，multiple factor多项式理论是近代数学的基础，是高等代数的 重要内容之一.基于多项式理论发展起来的群、环、域论构成了近世代数的一个研究分支.同时，该理 论在数值计算理论及应用中也占有重要的地位.比如，根据数学分析的泰勒定理，求某个可微函数在一 点处的近似值可以转化为求多项式的函数值，求某 个非线性方程的近似解可以转化为求多项式的根，等等.所以，多项式理论在科学计算、工程技术、经 济管理等诸多领域都有广泛的应用.在高等代数课程中，多项式理论其突出的特点是它包含了较多的严密的逻辑推理与证明.学生感 觉吃力、老师感觉难教是一种普遍现象.教师怎样合理设计相关教学安排及把握重点、难点是一件棘手的事情，本文试图探讨高等代数多项式理论的教学策略以帮助师生走出困境.收稿日期！ 2019 - 12 - 25 修改日期2020- 03 -05作者筒介：安军（96" —），男，四川省安岳县人，副教授，从事概率统计的研究.Email:sc〇Uan@.1教学顺序的设置多项式理论在高等代数的知识体系中是相对独 立的一部分.传统的高等代数教材，如北大四版[3]，把“多项式”放在第一章，如此设计思路体现了代数学起源于研究一元高次方程根的理论背景.根据作 者多年的教学经验，我们认为，这种教学顺序适用于 少数基础较好、逻辑推理能力较强的学生.对大多 数应用型本科院校的学生来说，初人大学校门接触太多的严格的理论证明极不适应，甚至困难重重，这 样做无疑打击了他们的学习积极性.行列式和矩阵 是解线性方程组的工具，研究线性方程组的解的理论比多项式理论容易得多.所以，把“多项式”放在 讲完“行列式”、“矩阵”、“线性方程组的解”之后，更 加符合“由易到难，循序渐近”的认知规律.最近几年出版的高等代数教材中，多数采用了这种教学顺序，如[1]等等.实践证明，后一种教学顺序设计受到了师生的普遍欢迎.64高等数学研究2021年1月2教学内容的设置高等代数的多项式理论主要知识点概括成如下结构框图"图1多项式理论知识点结构图教学内容的设置与教学时数有关.对于研究型大学的高等代数课程总学时达到1M0学时，“多项 式”这章的教学时数能分配到20〜24学时左右，讲 完框图中的全部内容不会有问题.一般的应用型本科院校的高等代数总学时在128〜160之间，“多项 式”这章的教学时数为12〜16学时左右.建议教学中省去“多元多项式”部分，留待近世代数课程中学 习.如果教学时数太少，甚至可以跳过如下几个定理的“证明”带余除法、最大公因式的表示定理（辗 转相除法％因式分解的存在唯一性定理、高斯引理、艾森斯坦因判别法等，留给学生课外自学.课堂教学中，教师着重讲清概念及定理的实质，并通过足够 的例题介绍定理和方法的运用.3重点与难点剖析高等代数一元多项式理论的主要内容包括整除 理论、因式分解理论和根的理论(见上一节框图）.以下仅就一元多项式理论的教学重点与难点进行分析.重点概念:整除、最大公因式、互素、不可约多项 、重 和重 6重点定理:带余除法、最大公因式的存在及表示 定理(辗转相除法％互素的充分必要条件、因式分解 的存在唯一性定理（标准分解式％重因式的判别定 理、复数(实数)域上多项式的标准分解式、有理根的 求法、艾森斯坦因判别法.重点方法:综合除法（求多项式函数值、判别零 点或根、试探性因式分解％辗转相除法（找最大公因 式、找重因式和重根％因式分解.教学难点：由于没有统一的因式分解方法，所以 如何进行因式分解是教学的一个难点.再由于有理数域上存在任意次数的不可约多项式，因此，有理数 域上多项式（归结为本原多项式）的可约性的判定是 教学的另一个难点.重要的思想方法：分解法.“整除”是指多项式 可以分解成两个多项式的乘积.“不可约”是指在某 个数域上不能分解成两个次数大于零的多项式的乘 积.“因式分解”是将多项式分解成若干个不可约因 式的方幂的乘积.甚至重因式、根、重根等等这些重 要概念都离不开“分解”二字.如果能将所考察的多项式分别表示成因式分解式（或标准分解式％其整 除性、最大公因式、最小公倍式、互素、重因式、根、重 根等等冋题都是显而易见的事情.所以，分解法（实 际上是一^种分析法）是解决多项式冋题最常用的方法，也是多项式理论中最重要的思想方法.4教学中应注意的几个问题4.1多项式理论与整数理论的联系与区别多项式的整除理论与整数的整除理论有诸多相 似之处，但也有区别.比如，在整数的整除理论中，第2"卷第1期安军：关于高等代数多项式理论的教学探讨65整除、最大公因数、互素的定义如下：定义1设是两个整数，如果存在一个整数使得& =称a 整除&，记作a |&.定义2设a !是两个整数，整数d 是a !的 公因数，即d |a ，⑷6,并且a !的任一公因数都是d 的因数，即对任一且c |a ，| 6,都有c |d ，则称d 是a 与6的最大公因数.定义3设a ，是两个整数，如果a 与6的最大公因数为1，则称a ,6互素.将以上定义1/3中的“整数”换成“多项式”就 分别得到多项式的整除、多项式的最大公因式、多项互 的定 '， 多项 的、 大公、互素的性质与整数的整除、最大公因数、互素的性质 是类似的.比如"(1)若a |6,6|C ，则a |C(整除的传递性％(2 )若 a | 6,，c ) Z ，i =1，2，…，s，则 a |(6ic# Z ---Z6s c s );(3)设d 是整数a ，6的最大公因数，则存在整数 u ,v ,^\^ u a Z ~v6 = d *(4)两个整数a ，6互素的充分必要条件是存在 整数u ,v ,使得ua + v6=1.但是，以下整数的性质与多项式的性质有区别：(5)(带余除法)设a ，6是整数，且a *0,则存在 唯一的一对整数g 与r ，使得6 = ag + r ，0"r< | a | . 在多项式的带余除法中，余式的次数的上界没有“绝 对值”符号.(6)设 a |6,6|a ,贝 l j 6 = a ,或 6=—a (相差一个符 号％在多项式的相应性质中，设P 是一个数域，/，且/|/，则/与g 相差一个常数倍数，即 /=c g ，c )R(7)整数a ，6的两个最大公因数至多相差一个 符号；多项式的两个最大公因式至多相差一个常数 倍数.另外，在整数理论中“素数”的定义如下：定义4设f 是大于1的整数，如果除了 _1和士f 外没有别的因数，则称^是素数(又叫质数）.可以看到，素数的定义与不可约多项式的定义 是类似的.相应地，如下算术基本定理与多项式的 因式分解定理(标准分解式）也是类似的.定理1(算术基本定理$每一个大于1的自然数c，都能分解成素因数的乘积，如果不考虑因数的 排列顺序，分解方法是唯一的.称c =f 〇 …f 〇为c 的标准分解式（或典型分解式），其中f 1，f 2, …，f s 是互不相同的素数，0>〇是正整数.4.2数域在多项式理论中的作用数域的概念在多项式的因式分解理论、根的理论 中扮演了重要的角色.数域P 上的不可约多项式是 指在数域P 上的次数大于零的、不能分解成两个次 数更低的多项式的乘积的首1多项式.如果将数域 扩大，原来的不可约性可能发生改变.比如，:rz+1是 实数域上的不可约多项式，但在复数域上，它是可约 的，:rz+1=(:r + i)(:r — i ).如果改变了所考虑的数 域，根的情况也可能发生改变.比如，多项式一 2 在有理数域上是不可约的，因而没有有理根（由此推 知，槡！是无理数），在实数域上有2个实数根士槡2,在复数域上却有4个复数根：士槡2、士槡！i .但是，多项式的整除性与数域无关.设P ，歹是两个数域，P P T ，/，g)P [r]，则在数域戶上g|/的充分必要条件是在数域户上《|/(见[1]第169页）.由 于“最大公因式”是用整除的概念来定义的，所以最大公因式与数域无关，即在数域戶上，（/，g O =d 的充分必要条件是在数域P 上(/，g )=d.同时，互素的 概念是用最大公因式定义的，所以“互素”也与数域 无关.在数域戶上，（/，g O =1的充分必要条件是在数域P 上（/，gO = 1(见[1]第169页）.例1 设f (：r )是数域P 上的不可约多项式，/(•T)],如果f (：C)与/(•!)在复数域C 上有公共根，证明f (：T) |/(：T).证由于f (：T)与/(：T)在复数域C 上有公共根，因此f 〇T)与/(：T)在复数域上不互素.又因为 互素的概念与数域无关，故f (：C)与/(■!)在数域P 上也不互素.然而f (：T)是数域P 上的不可约多项 式，它与/(：T)只有两种关系，要么它们互素，要么 f (：C)|/(•!)，故只有 f (：C)|/(：C)成立.证毕.4.3因式分解与标准分解式的应用前面已经讲到，因式分解定理是重要的定理之 一，多项式的诸多问题都可以运用因式分解定理(标66高等数学研究f(x)=g i(#) +h2(#).2021年1月准分解式)得到圆满的解决，分解法是多项式理论中最重要的思想方法.例2设f)P[#]是次数大于零的首1多项 式，证明f是一个不可约多项式的方幂的充分必要 条件是，对任意g)P[#]，或者(f，g)=1，或者存在 某个正整数™•，使得fig™.证必要性.设是不可约多项式，f=Z.则对任意g)P[#]，或者（f，g)=1，或者 f lg•若(f，g)=1，则（f，g)=1•若 f lg，则 f Ig*.充分性.设f=22…於，其中A，九，…，九是 互不相同的不可约多项式，*>0是正整数，下面证 明5=1•事实上，如果s(2,取g =fi•显然，g i f,因而f，g)=1不成立•同时，对任意正整数™，flfr 不成立，即fig™也不成立，故5=1•证毕.例3 设f，g)P[#]，且（f，g)=1•证明：对 任意的正整数™，都有f™，g")=1.本题分别假设f g的标准分解式将很容易得到f™与g"互素的结论（见[1]第154例"11)•另 外，本题也可以用数学归纳法先得到（f，g") =1，然 后固8"，得到f™，g")=1•其他证法由读者探索.例4设f(#)是实数域上次数大于零的多项式，且对任意实数c都有f()>0•证明f#)一定 可以表示成两个实系数多项式的平方和.证由题意知，f(#)无实数根，且f(#)的次数 9f(#)为偶数，其虚根共轭成对出现，不妨假设它的全部虚根是 反1,反1，•…,反™,反™,贝f(x)=a(x一&1)(#一&1)•••(#一a™))#一a™)，其中&是f(#)的首项系数，&1，&2贝…，&™中可能有 些相同•注意到f(0) =&&丄 a:…a™a™ =a |a: I2…|a™ I2>0，因而a>0•令(# 一a O-.K# 一a™ )=f1(#)+if2(#)，(1)其中f1(#)，f2(#)都是实数域上的多项式•对每一 个实数#，等式（1)的两边同时取共轭运算，得(# —a:)…—a™)=f1(#)—if2(#). (2)故将#看成文字的多项式等式（2)也成立（理由是 有无穷多个数使得左右两个多项式的值相等）•令 g(#)=槡a f1(#) ,h(x)=槡a f2(x)，则g(#)，h(#)都是实系数多项式，且证毕.4.4重因式与重根判别及应用定理2不可约多项式f(x)是f(x)的*重因式（（1)，则f(x)是/(#)的*一1重因式.定理3 f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f，(x)) =1.这是两个熟知的重因式判别定理，教学中应注意如下几个问题：(1) 定理2的逆命题不成立•即是说，如果f(x)是/(x)的*一1重因式，则f(x)未必是f(x)的*重因式•例如，f(x)=x3+1，则,（x)=3x2.x 是/(x)的二重因式，但不是f(x)的三重因式；(2) f(x)的单因式（即* =1的情形）不是/(x)的因式；(3) 不可约多项式f(x)是f(x)的*重因式((2)L f(x)是（f(x),/(x))=d(x)的 *一1 重因式.由此可知，f(x)的重因式则应该在d(x)的不可约因式中去寻找•比如，已知(f(x)，f/(x)) =(x —2)2(x +3)，贝l j x-2是f(x)的三重因式，x +3是f(x)的二重因式•所以用辗转相除法求最大公因式是寻找重因式的最重要的方法.多项式理论起源于研究一元高次方程的根，因而多项式的根特别是重根一直是我们关注的重点.显然，c是f(x)的々重根（（Z j L x-c是f(x)的*重因式•所以，重根应该在重因式里去寻找.例5在有理数域上分解因式：f i x)=x6一2x5Z4x4—4x3+4x z一2x +1.解显然_1都不是f(x)的根，f(x)没有有理根，即f(x)在有理数域上无一次因式•下面研究它有无重因式，如果有重因式，则通过重因式降次后进行分解•先求得f’（x)=2(3x5—5x4+8x3—6x2Z4x 一1)，相法(f(x)，f’（x))=x2—x +1.故f(x)有二重因式x2—x +1•由综合除法得f(x)=(x2—x +1)2(x2+1)，第2"卷第1期安军：关于高等代数多项式理论的教学探讨67即为所求的/(：r)在有理数域上的标准分解式.对一些特殊的整系数一元高次方程求根也可以 这样做.先判断是否有有理根和重因式，通过降次 后再进行分解.例6在复数域上求一元高次方程的根：/(#) =#一#6+3#5一#"+#3+3#2一2# Z 2 =0.解此方程的有理根只可能是_1，±2.由综 合除法知一 1是单根，/(#) =(# +1)_?(#)，其中 g(x)=#6一2#5+5#4一6#3+7#2一4# +2,由辗转相除法得（E W e'G W y#2—# +#.再由 综合除法得 g(#) =(#2—# +1)2(#2+2)•故/(#) =(# +1)(#2—# +1)2(#2+2).从而得到原方程在复数域上的三个单根：一1，一V2i，槡@，及2个_■重根：槡3i，-^―槡4.5有理数域上可约性的判定有理数域上的多项式的可约性问题都归结为整 系数多项式的可约性问题，所以只需考虑整系数多项式•常见的整系数多项式可约性的判别有三种方 法:艾森斯坦因判别法，或适当代换后再用艾森斯坦 因判别法、反证法、对三次多项判定有理根的方法. 第一种方法在一般的教科书（如中都能找到，下 面举例介绍后面两种方法.例7设/(#))Z[#]，且存在无穷多个整数™使得/(m)是素数•证明：/(#)是有理数域上的不多项证反证法•假设/(#) =g(#H(#)，其中 g(#)，/l(#))Z[#].对整数 TO，/(TO)=g(TO)/l(TO)是素数，因此整数因子g(m)，(m)中至少有一个取 1或一1，即是说，整数m是某个多项式g(#)±1，办(#)±1的根•而这样的整数m有无穷多个，故 g(#)±1，/l(#)±1中至少有一个多项式有无穷多个整数根，但这是不可能的，所以/(#)在有理数域 上例8证明：多项式/(#)=#3+3#—1在有理数域上证如果一元三次多项式在有理数域上可约，则它一定在有理数域上能分解出一次因式，因而它 必定有有理根•注意到/(#)的有理根只能是1或一1，代人验证可知±1都不是它的有理根，故/(#) 没有有理根，从而/(#)在有理数域上不可约•证毕.5总结高等代数的多项式理论中包含了较多的严格的 逻辑推理与证明•常见的推理方法如类比法、演绎 法、归 法等!的 方法 合法、分 法、换元法、构造法、数学归纳法、反证法等等都在这章密集出现，教学中教师注意运用这些方法训练学生的逻辑推理能力和数学语言表达能力是颇有益的最后，“复数及运算”在高中数学中已经被弱化，但在多项式理论中需要用到复数的一些基本概念及 运算，如共轭复数、复数的三角式与指数式、复数的 乘方与开方等，教学中花1/2个学时补充讲解这些 知识是必要的.参考文献&]安军，蒋娅.高等代数[M].北京：北京大学出版社，2016.&]安军.在数学教学的3个阶段培养学生逻辑思维能力——以高等代数为例&].高师理科学刊，2017,37(9)：77-81.&]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，王萼 芳，石明生，修订.高等代数[M]."版.北京：高等教育出版社,2007.&]张禾瑞，郝銦新.高等代数[M].5版.北京：高等教 育出版社，2013.[]徐仲，陆全等.高等代数考研教案[M]. 2版.西安：西 北工业大学出版社，2009.[6]刘云英，张益敏等.高等代数习作课讲义[M].北京：北 师 大学 ，1987[]孔凡哲，曾峥.数学学习心理学[M].北京：北京大学2009[]姜效先.代数学发展史概述[].河南财经学院学报，1987(2):71 - 7".[]张小萍.关于代数教材中的多项式理论[].中国大学 教学，1985,("):1"-15.[0]徐明曜，张小萍.关于代数教学和教材改革的几点意见[].中国大学教学，1985,(1): 2- 3.[11]张翎.一类高次方程的求根问题[].科教导刊，201",(1)193 —19".[2]秦雪生.有重因式的多项式的因式分解[].常熟师专学报，1993,2(3): 5- 8.。
高等代数课本笔记及其例题详解第一章 多项式1.1 数域定义1.1（数域）：设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1. 如果P 中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域.即：设{}C x x P ∈=，P b a ∈∀,，其中0≠a 且P ∈0,1都有P abab b a b a ∈-+,,,，称P为一个数域. （注：Z 表示全体整数；R 表示全体实数；C 表示全体复数；Q 表示全体有理数；N 表示全体自然数；）例题1. 设(){}Q b a b a Q ∈+=,22证明：()2Q 是一个数域. 证明：1）()22000,2011Q ∈+=+=（其中：Q ∈1,0）2）Q d c b a ∈∀,,,有()()()2222Q d b c a d c b a ∈+++=+++（其中： Q d b c a ∈++,）；()()()2222Q d b c a d c b a ∈-+-=+-+（其中：Q d b c a ∈--,）； ()()()()()22222Q bc ad bd ac d c b a ∈+++=++（其中：Q bc ad bd ac ∈++,2）； 若02≠+b a ，有()22222222222Q b a bcad b a bd ac b a d c ∈--+--=++（其中：Q b a bc ad b a bd ac ∈----22222,22，且0222≠-b a ）. 2Q ∴是一个数域.例题2. 证明：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧==∈∈++++++=+m j n i Z b a N n m b b b a a a P j i mm n n ,,0;,,0,,,1010 πππππ是一个数域.证明：1) ()πππππP m n ∈++++++=0010011 , ()πππππP mn∈++++++=0000000 2) 显然该集合的和、差、积封闭；若商不封闭，得()πππππππππP d d d c c c b b b a a a tt ss m m n n ∈++++++≠+++++ 101101010,0,得 ()πππππππππππππππππP a a a b b b d d d c c c b b b a a a d d d c c c n n mm t t s s m n n t t s s ∉++++++⋅++++++=++++++++++++ 1010101010101010,这与该集合的积封闭的结论矛盾，故()πP是一个数域.注：最小的数域为有理数域，任何数域都包含有理数域.1.2 一元多项式定义 1.2.1（一元多项式） 设n 是一非负整数. 形式表达式011a x a x a n n n n +++-- ,其中∈n a a a ,,,10 数域P ,称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式. （注：i i x a 称为i 次项; i a 称为i 次项的系数. ）定义1.2.2 （多项式相等）如果在多项式()x f 与()x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么()x f 与()x g 就称为相等，记为()()x g x f =. 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0. （注：若0≠n a ，则n n x a 称为多项式的首项；n a 称为首项系数; n 称为多项式的次数，记为()()x f ∂; 零多项式是唯一不定义次数的多项式. ） 性质1.2.1 ()()()()()()()()x g x f x g x f ∂∂≤±∂,max .性质1.2.2 ()()()()()()()x g x f x g x f ∂+∂=⋅∂（其中()0≠x f 且()0≠x g ）. 运算规律：1. 加法交换律：()()()()x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律：()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f ++=++.3. 乘法交换律：()()()()x f x g x g x f =.4. 乘法结合律：()()()()()()()()x h x g x f x h x g x f =.5. 乘法对加法的分配律：()()()()()()()()x h x f x g x f x h x g x f +=+.6. 乘法消去律：如果()()()()x h x f x g x f =且()0≠x f ，那么()()x h x g =.定义1.2.3 （一元多项式环）所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为[]x P ，P 称为[]x P 的系数域.1.3 整除的概念性质1.3.1 （带余除法）对于[]x P 中任意两个多项式()x f 与()x g ，其中()0≠x g ，一定有[]x P 中的多项式()()x r x q ,存在，使()()()()x r x g x q x f +=成立，其中()()()()x g x r ∂<∂或者()0=x r ，并且这样的()()x r x q ,是唯一决定的. （注：()x q 通常称为()x g 除()x f 的商；()x r 称为()x g 除()x f 的余式）定义1.3.1（整除）数域P 上的多项式()x g 称为整除()x f ，如果有数域P 上的多项式()x h 使等式()()()x h x g x f =成立. 我们用“()()x f x g ”表示()x g 整除()x f ，用“()x g ()x f ”表示()x g 不能整除()x f .（注：当()()x f x g 时，()x g 就称为()x f 的因式；()x f 称为()x g 的倍式.）定理1.3.1 对于数域P 上的任意两个多项式()()x g x f ,，其中()0≠x g ，()()x f x g 的充分必要条件是()x g 除()x f 的余式为零. 整除性的常用的性质：1. 如果()()x g x f ，()()x f x g ，那么()()x cg x f =，其中0≠c .2. 如果()()x g x f ，()()x h x g ，那么()()x h x f （整除的传递性）.3. 如果()()x g x f i ，r i ,,2,1 =，那么()()()()()()()x g x u x g x u x g x u x f r r +++ 2211其中()x u i 是数域P 上的任意的多项式.（注：()()()()()()x g x u x g x u x g x u r r +++ 2211称为多项式()()()x g x g x g r ,,,21 的一个组合.） 注：两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变.1.4 最大公因式定义 1.4.1（最大公因式）设()()x g x f ,是[]x P 中两个多项式. []x P 中多项式()x d 称为()()x g x f ,的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：1）()x d 是()()x g x f ,的公因式；2）()()x g x f ,的公因式全是()x d 的因式.（注：两个零多项式的最大公因式就是0） 引理1.4.1 如果有等式()()()()x r x g x q x f +=成立，那么()()x g x f ,和()()x r x g ,有相同的公因式.定理 1.4.1 对于[]x P 中任意两个多项式()()x g x f ,，在[]x P 中存在一个最大公因式()x d ，且()x d 可以表成()()x g x f ,的一个组合，即有[]x P 中多项式()()x v x u ,使()()()()()x g x v x f x u x d +=.（注：两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的；()()()x g x f ,表示首项系数为1的公因式.） 辗转相除法：例题3. 设()343234---+=x x x x x f ，()3210323-++=x x x x g 求()()()x g x f ,，并求()()x v x u ,使()()()()()()()x g x v x f x u x g x f +=,. 解：即：()()()()()()131092595913112x r x q x g x x x x g x f +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=310925952---x x即：()()()()()()22793109259595272212x r x q x r x x x x x g +=++⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=. ()()()327981108153109259521 +⎪⎭⎫⎝⎛--=---=x x x x x r()()()3,+=∴x x g x f .将（1）代入（2）式可得：()()35251532+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫⎝⎛-x x g x x x f x ()()525,1532x x x v x x u +-=-=∴就有()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.定义1.4.2（互素）[]x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素（也称互质）的，如果()()()1,=x g x f .定理 1.4.2 []x P 中两个多项式()()x g x f ,称为互素的充要条件是有[]x P 中的多项式()()x v x u ,使()()()()1=+x g x v x f x u .定理1.4.3 如果()()()1,=x g x f ，且()()()x h x g x f ，那么()()x h x f .推论1.4.3.1 如果()()x g x f 1，()()x g x f 2，且()()()1,21=x f x f ，那么()()()x g x f x f 21.推广：定义1.4.3 ()x d 称为()()()()2,,,21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果()x d 具有下面的性质：2) ()()s i x f x d i ,,2,1, =；3) 如果()()s i x f x i ,,2,1, =ϕ，那么()()x d x ϕ.（注：符号()()()()x f x f x f s ,,,21 表示首项系数为1的最大公因式.）性质1.4.1()()()()()()()()()()x f x f x f x f x f x f x f s s s ,,,,,,,21121 =-性质1.4.2 ()()()()()()()()()()x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s ,,,212211 =+++，其中 ()()()[]x P x u x u x u s ∈,,,21 .性质1.4.3 ()()()()()()()[],,,,1,,,2121x P x u x u x u x f x f x f s s ∈∃⇔=()()()()()()1:2211=+++x f x u x f x u x f x u st s s .1.5 因式分解定理定义1.5.1（不可约多项式） 数域P 上次数的多项式()x p 称为域上的不可约多项式，如果它不能表示成数域P 上的两个次数比()x p 的次数低的多项式的乘积（注：一个多项式是否是不可约是依赖于系数域的）.性质1.5.1 ()x p 在数域[]x P 是不可约多项式，()[]x P x f ∈∀，()()x p x f 当且仅当()0≠=c x f 或()()x cp x f =.即：对于()[]x P x f ∈∀，有()()x f x p 或者()()()1,=x f x p . 定理1.5.1 如果()x p 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式()()x g x f ,，由()()()x g x f x p 一定推出()()x f x p 或者()()x g x p .定理1.5.2（定理1.5.1的推广） 如果()x p 是不可约多项式，若()()()(),21x f x f x f x p s 则()()()(){}x f x f x f x f s i ,,,21 ∈∃使得()()x f x p i .定理1.5.3（因式分解及唯一性定理）数域P 上每一个次数1≥的多项式()x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式()()()()()()()x q x q x q x p x p x p x f s s 2121==，那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有()()s i x q c x p i i i ,,2,1, ==，其中()s i c i ,,2,1 =是一些非零常数.（注：()()()()x p x p x cp x f s r s r r 2121=的分解称为标准分解式；已知两个多项式()()x g x f ,的标准分解式，那么()x f 与()x g 的最大公因式()x d 就是那些同时在与的标准式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在()x f 与()x g 中所带的方幂中的较小的一个.）1.6 重因式定义1.6.1（k 重因式）不可约多项式()x p 称为多项式()x f 的k 重因式，如果()()x f x p k ，而()x p k 1+ ()x f .（注：0=k 时，()x p 不是()x f 的因式；1=k 时，()x p 是()x f 的单因式；1≥k 时，()x p 是()x f 的重因式.）定义1.6.2（微商）设有多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- .我们规定它的微商（也称导数）是()()1211'1a x n a nx a x f n n n n ++-+=--- . 性质1.6.1 ：1）()()()()()x g x f x g x f '''+=+2）()()()x cf x cf ''=，3）()()()()()()()x g x f x g x f x g x f '''+=，4）()()()()()x f x f m x f m m '1'-=.定义1.6.3（高阶微商）微商()x f '称为()x f 的一阶微商；()x f '的微商()x f ''称为的二阶()x f 微商；等等.()x f 的k 阶微商记为()()x f k .（注：()()n x f =∂ο，则()()c x f n =，()()01=+x f n .）定理1.6.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ，那么它是微商()x f '的1-k 重因式.推论1.6.1.1 如果不可约多项式()x p 是()x f 的k 重因式()1≥k ，那么()x p 是()()()()x f x f x f k 1''',,,- 的因式，但不是()()x f k 的因式.推论1.6.1.2 不可约多项式()x p 是()x f 的重因式的充分必要条件为()x p 是()x f 与()x f ' 的公因式.推论 1.6.1.3 多项式()x f 没有重因式的充分必要条件是()x f 与()x f '互素.（注：辗转相除法可用于求解重因式；()()()()x f x f x f ',是一个没有重因式的多项式与()x f 有完全相同的不可约因式.）1.7 多项式函数定义1.7.1（多项式函数）设()()10111 a x a x a x a x f n n n n ++++=--是[]x P 中的多项式，α是P 中的数，在()1中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα 称为()x f 当α=x 时的值，记为()αf .这样一来，多项式就定义了一个数域上的函数.定理1.7.1（余数定理）用一次多项式α-x 去除多项式()x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值()αf .（注：其中()0=αf 时，α=x 是()x f 的一个根或者零点.） 推论1.7.1.1 α是()x f 的根的充分必要条件是()()x f x α-.定义1.7.2（重根）α称为()x f 的重根，如果()α-x 是()x f 的k 重因式.当1=k 时，α称为单根；当1>k 时，α称为重根.定理1.7.2 []x P 中n 次多项式()0≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算. 定理1.7.3 如果多项式()()x g x f ,的次数都不超过n ，而它们对1+n 个不同的数121,,,+n ααα 有相同的值，即()()1,,2,1,+==n i g f i i αα，那么()()x g x f =.1.8 复系数与实系数多项式的因式分解定理1.8.1（代数基本定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根（即：复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的.）.定理1.8.2（复系数多项式的分解定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.（复系数多项式的标准分解式：()()()()s ls lln x x x a x f ααα---= 2121，其中C s ∈≠≠≠ααα 21，+∈Z l l l s ,,,21 ）定理1.8.3 如果α是实系数多项式()x f 的复根，那么α的共轭数α也是()x f 的根. 定理1.8.4（实系数多项式因式分解定理）每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积（即是说：实数域上只含有一次不可约多项式和含二次共轭复根不可约多项式）.1.9 有理系数多项式定理 1.9.1 每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积.定义1.9.1（本原多项式）如果一个非零的整系数多项式()011b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式.（任意一个非零的有理系数多项式()x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式()x g 的乘积：()()x rg x f =）定理1.9.2（高斯（Gauss ）引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理1.9.3 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论1.9.3.1 设()()x g x f ,是整系数多项式，且()x g 是本原的. 如果()()()x h x g x f =，其中()x h 是有理系数多项式，那么()x h 一定是整系数的.定理1.9.4 设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式，而sr 是它的一个有理根，其中s r ,互素，那么必有n a s ，0a r .特别地，如果()x f 的首项系数1=n a ，那么()x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子. 例题4. 求方程032234=-+-x x x 的有理根. 解：令()32234-+-=x x x x f 得：24=a 的因子为：2,1±±30=a 的因子为：1±，3± ()x f ∴的有理根可能为：21±，23±，1±，2±.判别根的方法一：0321≠-=⎪⎭⎫⎝⎛-f （不为()x f 的根，舍弃）；0221≠-=⎪⎭⎫⎝⎛f （不为()x f 的根，舍弃）； ()021≠-=-f （不为()x f 的根，舍弃）； ()01=f （为()x f 的根）； 021523≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f （不为()x f 的根，舍弃）； 042723≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （不为()x f 的根，舍弃）；()0332≠=-f （不为()x f 的根，舍弃）； ()0252≠=f （不为()x f 的根，舍弃）； 1∴为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法二：即2-=x 不是方程032234=-+-x x x 的根.…………经带余除法计算可得：1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.方法三：21 22002-即21=x 不是方程032234=-+-x x x 的根. …………经综合除法计算可得：1=x 为032234=-+-x x x 方程的有理根.定理1.9.5（艾森斯坦（Eisenstein ）判别法）设()011a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式.如果有一个素数p ，使得1. p n a ；2. 021,,,a a a p n n --；3. 2p 0a .那么()x f 在有理数域上不可约的.例题5.证明()153+-=x x x f 在有理数域上不可约. 证明：依题意可得()x f 的有理根可能为：1±.又()31-=f ,()51-=-f 都不为零1±=∴x 都不是()x f 的有理根，即()x f 在有理数域上不可约的.1.10 多元多项式定义1.10.1（n 元多项式）设P 是一个数域，n x x x ,,,21 是n 个文字. 形式为n k nk k x x ax 2121的式子，其中P a ∈，n k k k ,,,21 是非负整数，称为一个单项式. 由以上一些单项式的和∑nnn k k k k nk k k k k x x x a,,,21212121 就称为n 元多项式，或者简称多项式.（注：若两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项.）定义1.10.2（元多项式环）所有系数在数域P 中的n 元多项式的全体，称为数域P 上的n元多项式环，记为[]n x x x P ,,21.（注：n k k k +++ 21称为单项式n k nk k x x ax 2121的次数；系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数.多元多项式的排列顺序方法：字典排列法；）定理1.10.1 当()0,,,21≠n x x x f ，()0,,,21≠n x x x g 时，乘积()()n n x x x g x x x f ,,,,,,2121 的首项等于()n x x x f ,,,21 的首项与()n x x x g ,,,21 的首项的乘积.推论1.10.1.1 如果,,,2,1,0m i f i =≠那么m f f f 21的首项等于每个i f 的首项的乘积. 推论1.10.1.2 如果()()0,,,,0,,,2121≠≠n n x x x g x x x f ，那么()()0,,,,,,2121≠n n x x x g x x x f .（两个齐次多项式的乘积是齐次多项式，乘积的次数等于因子的次数的和.）1.11 对称多项式定理1.11.1（一元多项式根与系数的关系）设()n n n a x a x x f +++=- 11是[]x P 中的一个多项式.如果()x f 在数域P 中有个根n ααα,,,21 ，那么就可以分解成()()()()n x x x x f ααα---= 21.将其展开即得根与系数的关系如下：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+++=+++=-∑-n n n k k k k i in n n a i a a a j i αααααααααααααααα 211312122111121，的乘积之和个不同的所有可能的. 定义1.11.1（对称多项式）n 元多项式()n x x x f ,,,21 ，如果对于任意的n j i j i ≤≤≤1,,，都有()()n i j n j i x x x x f x x x x f ,,,,,,,,,,,,11 =，那么这个多项式称为对称多项式. 定理1.11.2 对于任意一个n 元对称多项式都有一个n 元多项式()n y y y ,,,21 ϕ，使得()()n n x x x f σσσϕ,,,,,,2121 =.（其中⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=----n n nn n n n n n n x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x 21322211211131212211σσσσ称为n 元初等对称多项式.）例题6. 把三元对称多项式333231x x x ++表为321,,σσσ的多项式. 解：令()333231321,,x x x x x x f ++=得首项为：31x 对应的有序数对()0,0,3，()()332133323131333231321,,x x x x x x x x x x x x f ++-++=-++=∴σ()132123223132222132122163g x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-=得首项：2213x x 对应的有序数对()0,1,2.()()32123223132222132122132123223132222132122121133633x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x g +++++++-+++++-=+σσ23213g x x x =-=对应数对()1,1,1又0332=+σg ()3213132133,,σσσσ+-=∴x x x f .课后习题1. 用()x g 除()x f ，求商()x q 与余式()x r ：1）()1323---=x x x x f ，()1232+-=x x x g ； 解：()9113-=∴x x q ，()99+-=x r . 2）()524+-=x x x f ，()22+-=x x x g解：()12-+=∴x x x q ，()75+-=x x r . 3）()1434--=x x x f ，()132--=x x x g 解：()1032++=∴x x x q ，()929+=x x r . 4）()13235-+-=x x x x f ，()233+-=x x x g . 解：()x g233+-x x22+x()22+=∴x x q ，()562-+=x x x r . 5）()x x x x f 85235--=，()3+=x x g 解：带余除法：()109391362234+-+-=∴x x x x x q ，()()3327-=-=f x r . 6）()x x x x f --=23，()i x x g 21+-=. 解：综合除法：i 21-1 i 2- i 25-- i 89+-()i x r 89+-=∴，()i ix x x q 2522---=. 2. m ，p ，q 适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+321 解：方法一：带余除法：12-+mx xm x -即：()()m q x p m x r ++++=12，又q px x mx x ++-+321()0=∴x r 可得⎩⎨⎧-==++q m p m 012. 2）q px x mx x ++++2421. 解：方法二：待定系数法：设商为：()c bx x x q ++=2，又由q px x mx x ++++2421可得：()()q px x x q mx x ++=++2421即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+q c b m c p m b c b m 010.()⎩⎨⎧=-=+-∴0112q m p m q . 3. 把()x f 表成0x x -的方幂和，即表成()() +-+-+22010x x c x x c c 的形式：1）()5x x f =，10=x ；解：辗转相除法：即：()()()111234+++++-=x x x x x x f .即：()()()()[]()()()1154321154321123223+-++++-=+++++--=x x x x x x x x x x x f()()()()[]()()()()()11511063111510631122322+-+-+++-=+-++++--=∴x x x x x x x x x x x f()()()()[])()()()()115110110411151101041123423+-+-+-++-=+-+-+++--=x x x x x x x x x x x f ()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=x x x x x ()()()()()()1151101101512345+-+-+-+-+-=∴x x x x x x f .2）()3224+-=x x x f ，20-=x 解：综合除法：2-2-2- 2-14a = 38a =-()()()()()11124122181234+---+---=∴x x x x x f . 3）()()i xx i ix x x f ++-+-+=7312234，i x -=0. 解：综合除法：i - i - i - i -即：()()()()()()i i x i x i i x i i x x f 57512234+++-++-+-+=. 4. 求()x f 与()x g 的最大公因式：1）()143234---+=x x x x x f ，()123--+=x x x x g 解：带余除法：即：1322即：()()()1434121322+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+----=x x x x x g又：()()1121322++-=---x x x x()()()1,+=∴x x g xf .2）()1434+-=x x x f ，()1323+-=x x x g . 解：带余除法：即：()()()2312+--=x x x g x f .即：()()13213232-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=xx x x g .即：41942729132232-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x .()()()1,=∴x g x f .3）()11024+-=x x x f ，()124624234+++-=x x x x x g . 解：即：()()x x f x g 242423-=即：()()12232124241624223++-⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-=x x x x x x x f .即：()93292889323241223241624223++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=++-x x x x x x x .即：12192426328827932928812232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-x x x x . ()()()1,=∴x g x f .5. 求()x u ，()x v 使()()()()()()():,x g x f x g x v x f x u =+1）()242234---+=x x x x x f ，()22234---+=x x x x x g . 解：()13即：()()()221223 -++-=x x x x x g()()32223 x x x x -=- ()()()2,2-=∴x x g x f将（1）代入（2）得：()()()()2212-=+++-x x g x x f x即：取()1--=x x u ，()2+=x x v 可得：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+.2）()951624234++--=x x x x x f ,()45223+--=x x x x g 解：即：()()622--=x x x g x f 即：()()()213139362 +-⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=x x x x x g()()()39619362 ++-=+--x x x x()()()1,-=∴x x g x f ，将（1）式代（2）式得：()()()()1322311312-=--+--x x g x x x f x .即：取()()131--=x x u ，()()322312--=x x x v 就有：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 3）()144234++--=x x x x x f ，()12--=x x x g 解：即：1232 -+-=x x x g x f()()()()2312 ++-=x x x g()()()1,=∴x g x f将（1）式代入（2）式得：()()13233123=--+++-x g x x x x f x 即取()()131+-=x x u ，()()233123--+=x x x x v 就有：()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+. 6. 设()()u x x t x x f 22123++++=，()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式，t ，u 的值. 解：又()()u x x t x x f 22123++++=，()u tx x x g ++=3的最大公因式是一个二次多项式()()u tx x u x t x t +++-++∴3221.即()()()()[]()c x u x t x t u tx x t ++-++=+++21123即：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-+=++-u t cu t t t c u t c t 112012解得：⎩⎨⎧=-=04u t ，或⎪⎩⎪⎨⎧=+=02321u i t ，或⎪⎩⎪⎨⎧=-=0231u i t ，或⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=i u i t 11721121，或⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=i u i t 1172111. 7. 证明：如果()()x f x d ，()()x g x d ，且()x d 为()x f 与()x g 的一个组合，那么()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式.证明：()x d 为()x f 与()x g 的一个组合即：()()()()()x d x g x v x f x u =+.又()()x f x d ，()()x g x d ，即()x d 是()x f 与()x g 的一个公因式.()()x f x h ∀，且()()x g x h 则()()x d x h ()x d ∴是()x f 与()x g 的一个最大公因式.8. 证明：()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=，（()x h 的首项系数为1）. 证明：()()()()x f x g x f , ，()()()()x g x g x f ,()()()()()()x h x f x h x g x f ,∴，()()()()()()x h x g x h x g x f ,. 即：()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个公因式. 又()()()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st x v x u ,:,=+∃. 则()()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x v x h x f x u ,=+()()()x h x f x c ∀，()()()x h x g x c 有()()()()()x h x g x f x c ,. 即()()()()x h x g x f ,是()()x h x f 与()()x h x g 的一个最大公因式. 又()x h 的首项系数为1.()()()()()()()()()x h x g x f x h x g x h x f ,,=∴.9. 如果()x f ，()x g 不全为零，证明：()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x g x f x g x g x f x f .证明：()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ，()x g 不全为零.()()()0,≠∴x g x f ，又()x u ∃，()x v ()()()()()()()x g x f x g x v x f x u st ,:=+()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u .即：()()()()()()()()1,,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x g x f x g x g x f x f 成立. 10.证明：如果()x f ，()x g 不全为零，且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+，那么()()()1,=x v x u .证明：()()()()x f x g x f , ,()()()()x g x g x f ,且()x f ，()x g 不全为零.且()()()()()()()x g x f x g x v x f x u ,=+()()()0,≠∴x g x f ()()()()()()()()()()1,,=+∴x g x f x g x v x g x f x f x u ()()()1,=x v x u .11.证明：如果()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f ，那么()()()()1,=x h x g x f . 证明：()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f .()x u 1∃∴，()x v 1，()x u 2，()x v 2使得：()()()()()1111 =+x g x v x f x u ()()()()()2122 =+x h x v x f x u . 由（1）式与（2）式相乘可得：()()()()()()()()()()()()()()()121212121=+++x h x g x v x v x f x g x u x v x h x v x u x f x u x u即()()()()1,=x h x g x f .12. 设()x f 1， ，()x f m ，()x g 1， ，()x g n 都是多项式，而且()()()1,=x g x f ji()n j m i ,,1;,,1 ==.求证：()()()()()1,11=x g x g x f x f nm.证明：由11题可得：()()()1,=x g x f ，()()()1,=x h x f ()()()()1,=⇒x h x g x f 又()()()1,=x g x f j i （其中m i ,,1 =；n j ,,1 =）可得，对于i 取m ,,2,1 中的任何一个固定值有：()()()()1,1=x g x g x f n i . 再将()()x g x g n 1看作一个整体可得：()()()()()1,11=x g x g x f x f n m . 13. 证明：如果()()()1,=x g x f ，那么()()()()()1,=+x g x f x g x f . 证明：()()()1,=x g x f 故有：()()()()1=+x g x v x f x u .即：()()()()()()()()()()()()()()()()1=++-=+-+x g x f x v x f x v x u x g x v x f x v x f x v x f x u()()()()1,=+∴x f x g x f ；同理可得：()()()()1,=+x g x f x g()()()()()1,=+∴x g x f x g x f .14. 求下列多项式的公共根：()12223+++=x x x x f ，()12234++++=x x x x x g . 解：()()()212+-=∴x x x f x g 即：()()()112+++=x x x x f()()()1,2++=∴x x x g x f 令：012=++x x 解得：2311i x +-=；2312ix --=. 即：()x f 与()x g 的公共根为：2311i x +-=和2312ix --=.（提示：公共根出现在多项式的公因式中.）15. 判别下列多项式有无重因式： 1）()842752345-+-+-=x x x x x x f解：()()()x x x x x x x x f 1524421205'2234+-=+-+-=又()()()1284275232345++-=-+-+-=x x x x x x x x x f即：()()()()22',-=x x f x f ()x f ∴有三重因式：2-x2）()34424--+=x x x x f解：()124484'33-+=x x x f即：()()()1',=x f x f ()x f ∴没有重因式. 16.求t 值使()1323-+-=tx x x x f 有重根.解：依题意可得：待定系数法：当有()x f 重根时，可得重根为有理根时，此时只能取重根为：1±=α.当重根为：1=α 1可得：3=t .当3=t 时，()()3231133-=-+-=x x x x x f 此时1=x 是()x f 的三重根；当重根为：1-=α1-解得：5-=t ，当5-=t 时，()()()141153223--+=---=x x x x x x x f 与1-=x 为重根矛盾，舍去.设重根为二重时得()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=323163'22t x x t x x x f()()()()()()()()()12,''131,'',+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x f x f x x f x f x f x f 即得：021'=⎪⎭⎫⎝⎛-f .解得：415-=t . 17.求多项式q px x ++3有重根的条件.解：()()()()()()()()132,'3','3,',23≠⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=q px x f x f x f x f p x q px x x f x f 得： ()x f q px'32+即得：027423=+q p . 18.如果()11242++-Bx Ax x ，求A ，B .解：依题意可由综合除法可得：1 1A A 2B A +3 B A 24+由()11242++-Bx Ax x 可得：⎩⎨⎧=+=++02401B A B A 解得：⎩⎨⎧-==21B A .19.证明：!!212n x x x n++++ 不能有重根.证明：令()!!212n x x x x f n ++++= 得：()()!1!21'12-++++=-n x x x x f n反证法：设()x f 的重根为α得：()()⎩⎨⎧==0'0ααf f 即：()()0'=-ααf f 0!=∴n nα得：0=α 又()010≠=f 矛盾.∴!!212n x x x n++++ 不能有重根.20.如果a 是()x f '''的一个k 重根，证明a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根.证明：依题意可得：()()()[]()()0''2=+-+-=a f a f a f a f aa a g ()()()[]()()0'''22'''=--++=a f a f aa a f a f a g()()()()()a f a f aa a f a f a g '''''22''2''''--++=又()0'''=a f ()0''=∴a g()()()()02'''21'''4=-+-=a f a a a f a g又a 是()x f '''的一个k 重根a ∴是()x g '''的一个k 重根. 又()()()()0''''''====a g a g a g a g∴a 是()()()[]()()a f x f a f x f ax x g +-+-=''2的一个3+k 重根. 21.证明：0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ，而()()00≠x f k证明： 0x 是()x f 的k 重根()()x f x x k0-∴即()x g ∃，使得：()()()x g x x x f k0-=，其中0x x -不整除()x g()()()()()x g x x x g x x k x f kk ''010-+-=∴-可得：()()x f x x k '10--()0'0=∴x f同理由此类推可得到：()()()()0'0100====-x f x f x f k 若()()00=x f k 得：()()()x f x x k 0-()()x f x x s k s10+--⇒其中k s ≤，即()()x f x x k 10+-这与0x 是()x f 的k 重根矛盾.()()00≠∴x f k反之显然成立.∴0x 是()x f 的k 重根的充分必要条件是()()()()0'0100====-x f x f x f k ，而()()00≠x f k .22.举例说明断语“如果a 是()x f '的m 重根，那么a 是()x f 的1+m 重根”是不对的. 解：例如：()()111111+-=+m a x x f 则()()()ma x m x f -+=1'a 是()x f '的m 重根，但a 不是()x f 的1+m 重根.23. 证明：如果()()n x f x 1-，那么()()n n x f x 1-. 证明：令：n x y =得：()()y f x 1-即()()011==f f n ∴()()y f y 1-即()()n n x f x 1-.24. 证明：如果()()()323121x xf x f x x +++，那么()()x f x 11-，()()x f x 21-证明：.令：012=++x x 解得：2311i x +-=，2312ix --= 又()()()323121x xf x f x x +++即：()()()32311x f x f x x +-，()()()32312x f x f x x +-()()()()⎩⎨⎧=+=+∴0032223213121311x f x x f x f x x f 即：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-+0123110123112121f i f f i f 又0323112311≠-=--+-i i i即该方程程组只有唯一零解：()()⎩⎨⎧==010121f f∴()()x f x 11-，()()x f x 21-.25. 求多项式1-n x 在复数域范围内和在实数范围内的因式分解. 解：在复数域上分解：()()()111----=-n n x x x x εε 其中ni n ππε2sin 2cos +=. 在实数范围内因式分解：当n 为奇数：()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--=-+---111112222222212x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 其中：n i i n i πεε2cos2=+-为一个实数，21,,2,1-=n i . 当n 为偶数时：()()()[]()[]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++--+=-+---1111112222222212x x x x x x x x x n n n n nεεεεεε 26. 求下列多项式的有理根： 1）1415623-+-x x x解：令()1415623-+-=x x x x f 则()x f 的有理根可能为：1±，2±，7±，14±.由综合除法计算得：1即：()41-=f同理：()361-=-f ，()762-=-f ，()02=f ，()7567-=-f ，()1407=f ，()414414-=-f()176414=f∴1415623-+-x x x 多项式的有理根为：2.2）157424---x x x解：令()157424---=x x x x f 则的有理根可能为：41±，21±，1± 将根挨个代入原式得：641114154174144124-=--⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f同理：6417141-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，021=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，521-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，()11=-f ，()91-=f∴157424---x x x 多项式的有理根为：21-.3）3111462345----+x x x x x解：令()3111462345----+=x x x x x x f 则()x f 的有理根可能为：1±，3±由带余除法计算得：即：()01=-f 同理：()321-=f ，()963-=-f ，()03=f .∴3111462345----+x x x x x 多项式的有理根为：1-，3. 27. 下列多项式在有理数域上是否可约？ 1）12+x解：不可约；理由如下：依题意可得令()12+=x x f 则()x f 的有理根可能为：1± 又()()0211≠=-=f f 即1±不为()x f 的有理根∴多项式12+x 在有理数域上是不可约的.（二次有理多项式在有理数域上可约的话必有有理根）2）2128234++-x x x解：不可约；理由如下： 取素数2=p 得： （1）p 41a =.（2）38a p =-，212a p =，10a p =，02a p = （3）42=p 02a =由艾森斯坦判别法可得：多项式2128234++-x x x 是不可约的. 3）136++x x解：不可约；理由如下：令()136++=x x x f ，1+=y x 得：原多项式39182115623456++++++=y y y y y y 这时只要取3=p 可由艾森斯坦判别法得出：39182115623456++++++y y y y y y 不可约；∴136++x x 不可约.4）1++px x p ，p 为奇素数；解：令1+=y x 作转化，再由艾森斯坦判别法判别不可约； 5）144++kx x ，k 为整数. 解：同4），不可约：。
1.6重因式和重根1.判别下列多项式有无重因式?若有,求其重数.(1)32234()f x x x x =+-+;(2) 321()f x x x x =--+;(3) 4323431()f x x x x x =++++(4) 543257248()f x x x x x x =-+-+-解: (1) 2343()f x x x '=+-,于是1((),())f x f x '=,所以32234()f x x x x =+-+没有重因式;(2) 2321311()()()f x x x x x '=--=+-显然1x -是()f x 的因式,因此是()f x 的二重因式.(3)324983()f x x x x '=+++,由于1(,)f f x '=+,所以1x +是()f x 的二重因式;(4)4325202144()f x x x x x '=-+-+由于22((),())()f x f x x '=-,所以543257248()f x x x x x x =-+-+-有3重因式2x -;此时 3221()()()f x x x x =-++2.确定a 的值,使3231()f x x x ax =-+-有重因式236()f x x x a '=-+,由于1213()()()()()f x f x x x a '=-++-所以当3a =时,()f x 有3重因式1x -;3.确定a 、b 的值,使1x -至少是111()()n n f x axbx n +=++>的二重因式.11()()n n f x n ax nbx -'=++,于是有1010(),()f f '==所以 1010()n a n b a b ++=⎧⎨++=⎩1,a n b n ⇒=-=- 4.求43242037309()f x x x x x =++++在Q 上的标准分解式.32321660743028303715()()f x x x x x x x '=+++=+++而2253(,)f f x x '=++所以2222253123()()()()f x x x x x =++=++5.设不可约多项式()|()p x f x ,且是()f x '的1k -重因式,证明()p x 是()f x 的k 重因式.因为()|()p x f x 所以()p x 是()f x 的因式,设()p x 是()f x 的s 重因式,由定理1.6.2,则()p x 一定是()f x 的1s -重因式,于是11s k -=-,所以k s =,即()p x 是()f x 的k 重因式.6.证明:1x -是21112()()n n n f x x nx nx n +-=-+-≥的三重因式.212211()()()n n n f x nx n n x n n x --'=-++-212211[()()]n n nx x n x n -+=-++- 2122111[()()()]n n nx x n x -+=--+- 由于111|n x x +--所以1x -是()f x '的因式;考虑 12211()()n g x x n x n +=-++-则 1212121111()()()()()()n n g x n x n x n x x n -'=+-+=+--≥ 所以1x -是()g x '的因式;故它至少是()f x '的二重因式;再令11()n h x x -=-,则21()()n h x n x -'=-,于是1x -不再是()h x '的因式, 所以1x -只是()h x 的单因式,亦即只是()g x '的单因式,也亦即是()g x 的二重因式.所以1x -是()f x '的二重因式,从而1x -是21112()()n n n f x x nx nx n +-=-+-≥的三重因式.7.a 、b 满足什么条件,下列有理系数多项式才能有重因式.(1)33x ax b ++; (2)44x ax b ++3223333(),()()f x x ax b f x x a x a '=++=+=+ 若0a b ==则()f x 有3重因式x ;当0a ≠时,()f x '只有单因式;如果()f x '在Q 上不可约,则()f x 不可能有重因式;如果()f x '在Q 上可约,则因式只能是x ±的形式,此时如果()f x 有重因式,则0(f ±=所以此时有2340b a +=,即33x ax b ++有重因式的充要条件是2340b a +=(2) 4334444(),()()f x x ax b f x x a x a '=++=+=+ 当0a b ==时,则()f x 有4重因式x ;当0a ≠时,()f x '只有单因式;如果()f x '在Q 上不可约,则()f x 不可能有重因式; 如果()f x '在Q 上可约,则因式只能是x +2x -+的形式,此时如果()f x有重因式x +则0(f =所以此时有3480b a -=;如果()f x有重因式2x -+,则4224()(f x x ax b x =++=-+而这个等式不可能成立,所以44x ax b ++有重因式的充要条件是3480b a -=8.如果24211|x A x B x -++,求A 、B因为24211|x A x B x -++ ,所以10A B ++=; 其次设42422211111()()()A x B x A x A x A x A ++=-++=--- 所以欲使24211|x A x B x -++⇔10A -=12,A B ⇒==-9.设1|()n x f x -,证明1|()n n x f x -显然令n x y =,于是有1110|()|()()n n x f x y f y f -⇔-⇔= 但1|()n x f x -所以10101()()|()n n nf f x f x =⇒=⇒-10.设233121|()()x x f x xf x +++,证明1211|(),|()x f x x f x --设332121()()()()f x xf x x x g x +=++,令21()h x x x =++于是()h x 的根必为3312()()f x xf x +的根,而21()h x x x =++的根满足3211,ωωω==--所以 33121262612212011011100()()()()()()()()()f f f f f f f f f ωωωωωωωω⎧+=+=⎧⎪⇒⎨⎨--=+=⎪⎩⎩ 122110()()f f ⇒-=11112102110()(())()()f f f ωω⇒+=⇒+= 但121010()f ω+≠⇒=进一步有210()f =,即1211|(),|()x f x x f x --11.设()|()n f x f x ,证明()f x 的根只能是零或者n 次单位根.这里1n >由于()()()n f x f x g x =,若0()f c =则0()n f c =,进一步有 20()n f c = … 所以23,,,n n n c c c c 都是()f x 的根,由于()f x 不是零多项式,所以()f x 的次数有限, 于是23,,,n n n c c c c 不能互不相同.于是必有某个k 使110()k k n n c c c c -=⇒-= 所以 ()f x 的根只能是零或者n 次单位根。
