苏教版高中数学必修二第15课时——圆与圆的位置关系(配套练习)

2．2．3 圆与圆的位置关系【课时目标】 1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．2．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断．3．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题．圆与圆位置关系的判定有两种方法：1．几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒ Δ＝0⇒ Δ<0⇒一、填空题1．两圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝4和(x －3)2＋(y ＋6)2＝64的位置关系是________． 2．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有________条． 3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是__________．4．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为__________．5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是________________________________________________________________________．6．集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N ＝N，则r的取值范围是__________．7．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．8．两圆交于A(1,3)及B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋n＝0上，则m＋n的值为________．9．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为____________．二、解答题10．求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．11．点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求MN的最大值．能力提升12．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．13．已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9．(1)画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆，再求出它的方程；(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A，B．直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？(3)求直线AB的方程．1．判定两圆位置关系时，结合图形易于判断分析，而从两圆方程出发往往比较繁琐且不准确，可充分利用两圆圆心距与两圆半径的和差的比较进行判断．2．两圆的位置关系决定了两圆公切线的条数．3．两圆相交求其公共弦所在直线方程，可利用两圆方程作差，但应注意当两圆不相交时，作差得出的直线方程并非两圆公共弦所在直线方程．2．2．3 圆与圆的位置关系答案知识梳理1．2．相交内切或外切外离或内含作业设计1．外切解析圆心距d＝10＝R＋r，∴外切．2．3解析∵两圆标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心距d＝＋2＋－1－2＝5，r1＝2，r2＝3，∴d＝r1＋r2，∴两圆外切，∴公切线有3条．3．3x－y－9＝0解析两圆圆心所在直线即为所求．4．2或－5解析外切时满足r1＋r2＝d，即m＋2＋－2－m2＝5，解得m＝2或－5．5．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9解析设动圆圆心为P，已知圆的圆心为A(5，－7)，则外切时PA＝5，内切时PA＝3，所以P 的轨迹为以A 为圆心，3或5为半径的圆．6．(0,2－2]解析 由已知M ∩N ＝N 知N ⊆M ，∴圆x 2＋y 2＝4与圆(x －1)2＋(y －1)2＝r 2内切或内含，∴2－r ≥2，∴0<r ≤2－2． 7．±25或0解析 ∵圆心分别为(0,0)和(－4，a )，半径分别为1和5，两圆外切时有－4－2＋a －2＝1＋5，∴a ＝±25，两圆内切时有－4－2＋a －2＝5－1，∴a ＝0．综上，a ＝±25或a ＝0． 8．3解析 A 、B 两点关于直线x －y ＋n ＝0对称， 即AB 中点(m ＋12，1)在直线x －y ＋n ＝0上，则有m ＋12－1＋n ＝0， ①且AB 斜率41－m＝－1 ②由①②解得：m ＝5，n ＝－2，m ＋n ＝3． 9． 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0 ①x 2＋y 2＝5 ②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋－2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝2．10．解 设所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎨⎧a＝b ①b ＝3 ②a 2＋b 2＝r ③由①②③得⎩⎨⎧a ＝b ＝3r ＝32．∴(x －3)2＋(y －3)2＝18．11．解 把圆的方程都化成标准形式，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝9，(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4．如图，C 1的坐标是(－3,1)，半径长是3；C 2的坐标是(－1，－2)，半径长是2．所以，C 1C 2＝－3＋2＋＋2＝13．因此，MN 的最大值是13＋5． 12．4解析 如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25， ∴OO 1＝5， ∴AC ＝5×255＝2， ∴AB ＝4． 13．解(1)∵已知圆的方程为 (x －4)2＋(y －2)2＝32， ∴Q (4,2)．PQ 中点为Q ′⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，半径为r ＝PQ 2＝612，故以Q ′为圆心的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝614．(2)∵PQ 是圆Q ′的直径，∴PA ⊥AQ (如图所示) ∴PA 是⊙Q 的切线，同理PB 也是⊙Q 的切线． (3)将⊙Q 与⊙Q ′方程相减，得6x ＋5y －25＝0． 此即为直线AB 的方程．。

第二节圆与方程第15课时圆与圆的位置关系1 •掌握圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法；2 •了解用代数法研究圆的关系的优点；3 •了解算法思想.自学评价1 .圆与圆之间有外离，外切，相 _ 内切，内含五种位置关系.2. 设两圆的半径分别为r i,r2，圆心距为d , 当d r r2时，两圆外离，当d r r2时，两圆外切，当K - 卜：d ::: r i D时，两圆相交，当d —&时，两圆内切，当d <h —r2时，两圆内含.3. 思考：用代数方法，通过联立方程组，用判别式法可以判断两个圆的位置关系吗？为什么？【精典范例】例1:判断下列两圆的位置关系：(1) (x 2)2(y 一2)2=1 与(x-2)2(y -5)2=16(2) x2 y2 6x-7=0与x2 y2 6y-27=0【解】(1)根据题意得，两圆的半径分别为r1 =1和D=4，两圆的圆心距d - [2 -(-2)]2(5 -2)2=5.因为r1r2，所以两圆外切.(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x 3)2 y2 =16,x2y 3) = 36故两圆的半径分别为* = 4和口r2 6 ,两圆的圆心距d = (0 匚3厂(3二0)2因为I * - r21：：： d ::: r1r2，所以两圆相交.点评：判断两圆的位置关系，不仅仅要判断d与* •D的大小，有时还需要判断d与例2:求过点A(0,6)且与圆2 2C :x2 y2 10x 10y =0切于原点的圆的方程.分析：如图，所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.【解】将圆C化为标准方程，得2 2(x 5) (y 5) =50,则圆心为C(-5,-5),半径为5 2 .所以经过此圆心和原点的直线方程为x - y = 0.设所求圆的方程为(x _a)2• (y _b)2二r2. 由题意知，0(0,0), A(0,6)在此圆上，且圆心M(a,b)在直线x-y=0上，则有(0-a)2+(0-b)2=r2, a = 3,£(0-a)2 +(6-b)2 =r2戶<b = 3, a_b=0 r=3/S.于是所求圆的方程是(x-3)2，(y-3)2=18 .点评：此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题，由题意，圆心必在直线y=3上，又圆心在直线x-y = 0 ,从而圆心坐标为(3,3) , r =3 2，所以所求圆的方程为2 2(x-3) (y-3) =18 .追踪训练一1. 判断下列两个圆的位置关系：(1) (x-3)2 (y 2)2 =1与(x-7)2 (y-1)2 =36 ;(2) 2x2 2y2 -3x 2y =0与32 3y2-x-y =0 . 答案：(1)内切，(2)相交.第二章平面解析几何初步听课随笔「1 —D的关系.【学习导航】2. 若圆x2• y2= m 与圆x2■ y2，6x-8yT1=0相交，求实数m的取值范围. 答案：1 ：：：m <121 .例 3: 已 知 圆 2 2G : x y 2x _6y 1=0 , 圆2 2C 2: x y -4x • 2y -1仁0 ,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方 程，联立方程组，消去 x 2项、y 2项，即得 两圆的两个交点所在的直线方程， 利用勾股 定理可求出两圆公共弦长.【解】设两圆交点为Ad ,,%)、B(x 2,y 2), 则A B两点坐标满足方程组-2 2 x y 2x -6y 1 =0, (1)2 2， x y -4x 2y -11 =0, (2)(1)一(2)得 3x —4y 6 =0 .因为，A B 两点坐标都满足此方程，所以，3x - 4y • 6 =0即为两圆公共弦所在所以，所求圆方程为(x —1)2・(y ・7)2 =89 , 2 2 2 2 2 即 x y —x 7y 一32 = 0 (法二)设所求圆的方程为 2 2 2 2 x y 6 x4 . - ( x y 6 y2即8 ) 2 2 6 6■ 4 28■ x y x y 0 . 1 + & 1 + 扎 1 + k 故此圆的圆心为(一丄，二竺),它在直线 1+扎1+扎 x-y-4=0 上，所以 一 3—-4 = 0, 1 +人1 +九 所以，--7 . 所以所求圆方程为 x 2 • y 2 _x • 7y-32 = 0 点评：“解法二”中设出的经过两已知圆交点的 圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程.的直线方程.易知圆G 的圆心(-1,3)，半径r =3 . 又G 到直线的距离为99 .所以,524点评：本题较为复杂，要讨论的情况比较多, 解题过程中要注重分析.思维点拔： 解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质. 追踪训练二 1 .一个圆经过圆 G :x 2 • y 2-8x-9 = 0和圆 C 2 ：x 2 • y 2 -8y • 15 = 0的两个交点，且圆心 在直线2x-y-1=0上，求该圆的方程. 2 2 10 14 答案：x y x y-12 = 0. 3 3 2 .已知一个圆经过直线2x y ^0与圆 x 2 y 2 2x -4y • 1 = 0的两个交点，并且有 最小面积，求此圆的方程.例5 :求过两圆x 2 • y 2 • 6x - 4 = 0和 x 2 y 2 6y -28 =0的交点，且圆心在直 线x - y -4 =0上的圆的方程.分析：所求圆圆心是两已知圆连心线和已知 直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之 间的关系求圆半径【解】(法一)可求得两圆连心线所在直线 的方程为x y 3 0.1x —y —4=0, 1 7由 得圆心(丄，-上).x y 3 = 0, 2 2 利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得 公共弦长d 二・.50 , 所以，圆半径 听课随笔 | -1 3 -4 3 6| .32 (4)2 两圆的公共弦长为答案：(x 1■一)2 . (y _6)5 5。

（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)当a＝__________时，两圆外切；(2)当a＝__________时，两圆相内切．2．(1)圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线方程为__________．(2)已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是__________．3．已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则PQ 的最小值是__________．4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝__________.5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．6．圆x2＋y2＝1和圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的公共弦所在直线被圆4x2＋4y2＝25所截，则截得的弦长为__________．7．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．8．已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20(a－1)＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值．9.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圆C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，圆C2始终平分圆C1的周长，求圆C2的面积最小时圆的方程．参考答案1．(1)－5或2 (2)－2或－1 ∵圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心C 1(a ，－2)，r 1＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －a )2＝4，圆心C 2(－1，a )，半径r 2＝2.当221212125C C a a r r =(--)+(+)=＋＝时，两圆外切，此时可解得a ＝－5或2；当221212121C C a a r r =(+)+(+)=－＝时，两圆内切，此时可解得a ＝－1或－2.2．(1)x ＋y －1＝0 (2)x ＋3y ＝0 (1)由题意知，两圆的连心线即为AB 的垂直平分线．由已知得两圆圆心分别为(1,0)，(－1,2)，∴由两点式方程得012011y x --=---，即x ＋y －1＝0. (2)两圆方程联立消去二次项得到的x 、y 的二元一次方程即为直线AB 的方程．设点P (x ，y )为交点弦上任意一点，则2222101320x y x y ⎧+=⎨(-)+(-)=⎩相减得2x －1＋6y －9＝10－20，即x ＋3y ＝0.3．355- 由x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0得(x －4)2＋(y －2)2＝9.∴圆心C 1为(4,2)，半径r 1＝3；由x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0得(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4， ∴圆心C 2为(－2，－1)，半径r 2＝2. ∴22min 12124221323532355PQ C C r r (+)+(+)＝－－＝－－＝－－＝－4．1依题意，画出两圆的位置如图，公共弦为AB ，交y 轴于点C ，连结OA ，则OA ＝2. 两圆方程相减，得2ay ＝2，解得1y a =，∴1OC a=. 又公共弦长为23， ∴3AC =.于是，由Rt △AOC 可得OC 2＝AO 2－AC 2，即22212(3)a=－， 整理得a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1.5．2x －y ＝0 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝1，可知圆心为(1,2)，半径为1. 设直线方程为y ＝kx ，则圆心到直线的距离为2|2|1k d k -=+，故有：2|2|01k k -=+，解得k ＝2.故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 6.23 由两圆方程可得其公共弦方程为x ＋y －1＝0，原点O 到该直线的距离22d =，而半径52r =，故弦长22251222342r d -=-=＝. 7．解法一：联立两圆方程22221221301216250.x y x y x y x y ⎧+---=⎨+++-=⎩ 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由224320122130x y x y x y +-=⎧⎨+---=⎩ 联立得两交点坐标A (－1,2)、B (5，－6)．∵所求圆以AB 为直径，∴圆心是AB 的中心点M (2，－2)，圆的半径为152r AB =＝.于是圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)，得圆心C 1212162,.2121λλλλ⎛⎫---- ⎪(+)(+)⎝⎭. ∵圆心C 应在公共弦AB 所在直线上， ∴121216243202121λλλλ-(-)(--)⨯+⨯-=(+)(+). 解得12λ= ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.8．(1)证明：将圆的方程整理，得(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0， 此方程表示过圆x 2＋y 2＝20与直线－4x ＋2y ＋20＝0的交点的圆系．解方程组222042200x y x y ⎧+=⎨--=⎩得42.x y =⎧⎨=-⎩所以该圆恒过定点(4，－2)．(2)解：圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5a 2－20a ＋20＝5(a －2)2. 若两圆外切，则r 1＋r 2＝O 1O 2， 即222525a a (-)=＋，整理，得252560a a (-)=－＞， 所以65a ＞，解得515a ＝＋. 若两圆内切，则|r 1－r 2|＝O 1O 2， 即225225a a (-)-=，整理，得252650a a (-)=－＞，所以65a ＜. 解得515a ＝－或515a ＝＋ (舍去)． 综上所述，515a ±＝. 9.解：将两圆方程相减，得到两圆相交弦所在直线方程为2(1＋a )x ＋2(1＋b )y －a 2－1＝0. 由于圆C 2始终平分圆C 1的周长，因此C 1(－1，－1)必在相交弦所在直线上，∴2(1＋a )×(－1)＋2(1＋b )×(－1)－a 2－1＝0， 即2252a ab ++=-. 由圆C 2方程，得21r b +＝，∴S ＝πr 2＝π(1＋b 2)2222254[(1)4]4a a a ππππ(++)⨯=+＝＋＋＋. ∴当a ＝－1时，S 取最小值5π，此时b ＝－2，∴圆C 2的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0.。

2．2.3圆与圆的位置关系基础巩固知识点一圆与圆的位置关系1．两圆x2＋y2＋6x＋4y＋9＝0和x2＋y2－6x－12y－19＝0的位置关系是________．解析：圆心分别为O1(－3，－2)，O2(3,6)，半径满足r21＝4，r22＝64，∴r1＝2，r2＝8.又O1O2＝3＋32＋6＋22＝10＝r1＋r2，∴两圆相外切．答案：外切2．已知0＜r＜22，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是________．解析：∵两圆的圆心距为O1O2＝2，又R＝2，0＜r＜22，∴|R－r|＜O1O2＜|R＋r|，故两圆相交．答案：相交3．若圆C1：x2＋y2＋m＝0与圆C2：x2＋y2－6x＋8y＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析：因为圆C1以原点为圆心，而圆C2过原点，所以两圆无公共点必有圆C2内含于圆C1，从而－m>100，即m<－100.答案：(－∞，－100)4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．解析：两圆相交其交点所在的直线方程为：(x－1)2＋(y－3)2－20－x2－y2＋10＝0，即：x＋3y＝0.答案：x＋3y＝0知识点二 利用圆与圆的关系确定圆的方程5．圆x 2＋y 2－2x －1＝0关于直线x －y ＋3＝0对称的圆的方程是________．解析：已知圆方程为(x －1)2＋y 2＝2，则该圆圆心关于直线x －y ＋3＝0的对称点为(－3,4)，半径也是 2.答案：(x ＋3)2＋ (y －4)2＝26．半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程是________．解析：半径为1的圆内切于半径为6的圆．答案：(x±4)2＋(y －6)2＝367．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．解析：求出两圆的交点后用待定系数法；或利用圆系方程：设所求圆方程为(x 2＋y 2－x－y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，又过点(3,1)代入求出λ＝－25. 答案：x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0 知识点三 两圆的公切线与公共弦8．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有________条．解析：易判知两圆相外切，故有3条公切线．答案：39．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0相交于A 、B 两点，求公共弦AB 的长．解析：由方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0，x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0，消去二次项得6x －6y ＋6＝0，即x －y ＋1＝0为所求的公共弦AB 所在的直线的方程．圆C 1即：(x ＋2)2＋(y －2)2＝9，∴C 1(－2,2)到直线AB 的距离d ＝|－2－2＋1|2＝32， 又圆C 1半径r ＝3，故弦长AB ＝232－322＝3 2.能力升级综合点一 与圆有关的最值问题10．若直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的周长，则mn 的最大值是________．解析：由直线mx ＋2ny －4＝0始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的周长，知直线过圆的圆心(2,1)，∴2m ＋2n －4＝0，m ＋n ＝2.∴mn ＝m(2－m)＝－(m －1)2＋1≤1.答案：111．一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射，到达圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上一点的最短路程是________．解析：圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1关于x 轴的对称圆C′：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1.∴A(－1,1)到C′的圆心C′(2，－3)的距离AC′＝5.∴从A 发出的光线经x 轴反射到圆C 上一点的最短距离等于A 到圆C′的圆心C′的距离减去半径长1.即d min ＝5－1＝4.答案：412．过直线x ＝2上一点M 向以C 为圆心的圆(x ＋5)2＋(y －1)2＝1作切线，切点分别为A ，B ，则四边形MACB 的面积的最小值为________．解析：易知S MACB ＝2S △MAC ＝MA·AC ＝MC 2－1显然MC 的最小值为7，故四边形MACB 的面积的最小值为49－1＝4 3.答案：4 3综合点二 圆的位置关系及其应用13．求圆C 1：x 2＋y 2＋2kx ＋k 2－1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2(k ＋1)y ＋k 2＋2k ＝0的圆心距的最小值及相应的k 值，并指出此时两圆的位置关系．[]解析：两圆的圆心C 1(－k,0)，C 2(0，－k －1)，∴圆心距C 1C 2＝k 2＋k ＋12＝2k 2＋2k ＋1，当k ＝－12时，C 1C 2有最小值22. 此时，两圆的方程为C 1：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝1， C 2：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝1，由|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，可知两圆相交．14．已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2＝4}，集合B ＝{(x ，y)|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2，r ＞0}．若A∩B 中有且仅有一个元素，求r 的值．解析：∵A∩B 中有且仅有一个元素，∴圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2∶(x －3)2＋(y －4)2＝r 2外切或内切．又∵圆心距C 1C 2＝5.∴r ＝3或7.综合点三 轨迹与证明问题15．已知两定圆O 1：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆O 2：(x ＋5)2＋(y ＋3)2＝4，动圆P 恒将两定圆的周长平分．试求动圆圆心P 的轨迹方程．解析：设动圆P 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，即：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0. 将此方程分别与圆O 1，圆O 2的方程相减得公共弦所在的直线方程为：(2－2a)x ＋(2－2b)y ＋a 2＋b 2－r 2－1＝0.(10＋2a)x ＋(6＋2b)y ＋30－a 2－b 2＋r 2＝0.由于圆P 平分两定圆的周长，所以公共弦分别过两圆圆心，从而有：⎩⎪⎨⎪⎧－2a －2b ＋3＋a 2＋b 2＝r 2，10a ＋6b ＋a 2＋b 2＋38＝r 2. 消去r 2得：12a ＋8b ＋35＝0.用(x ，y)替换(a ，b)得：点P 的轨迹方程为：12x ＋8y ＋35＝0.。