直线与平面垂直的性质--平面与平面垂直的性质

1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行(线面垂直→线线平 行 )．
2．面面垂直性质定理①：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与
另一个平面垂直．用符号语言表示为：若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l， 则a⊥β(面面垂直→线面垂直)． 3．面面垂直性质定理②：如果两个平面互相垂直， 那么经过第一个平面内的 一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．
∴∠APD＝45°，△PAD 是等腰直角三角形．
∵E 为 PD 的中点，∴AE⊥PD. 又∵DC⊥AE， ∴AE⊥平面 PDC.又 MN∥AE， ∴MN⊥平面 PDC. ∴平面 MND⊥平面 PDC.
例 4：证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么 它们的交线垂直于第三个平面．
证法一：如图5，在γ内取一点 P，作PA 垂直α与γ的交线于 A，再作 PB 垂直β与γ的交线于 B， 则 PA ⊥α，PB⊥β. ∵l＝α∩β，∴l⊥PA ，l⊥PB. ∵α与β相交，∴PA 与 PB 相交． 图 5
又 PA ⊂γ，PB⊂γ，∴l⊥γ.
证法二：如图 6，在α内作直线 m 垂直于α与γ的交线，在β 内作直线 n 垂直于β与γ的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，
∴m⊥γ，n⊥γ.
∴m∥n.又 n⊂β， ∴m∥β，∴m∥l，∴l⊥γ. 图 6
证法三：如图7，在 l 上取一点 P，过点 P 作γ的垂线 l′，
图2
面面垂直→线面垂直．
2－1.如图 3，四棱锥 V－ABCD 的底面为矩形，侧面 VAB ⊥底面 ABCD，且 VB⊥平面 VAD. 求证：平面 VBC⊥平面 VAC. 证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴BC⊥AB. 又∵面 VBA⊥面 ABCD，面 VBA∩面 ABCD＝AB， ∴BC⊥面 VAB.∴BC⊥VA. ∵VB⊥面 VAD，∴VB⊥VA. ∵VB∩BC＝B，∴VA⊥面 VBC. 又∵VA⊂面 VAC，∴面 VBC⊥面 VAC. 图3

(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB； (2) 已 知 G ， H 分 别 是 EC 和 FB 的 中 点 . 求 证 ：
GH∥平面ABC.
证明 (1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，
图① 如图①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点， 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D， 所以AC⊥平面BDEF. 因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.
－AB－C的正切值.
S
解:过C作CH⊥AB于点H,连结SH
∵SC⊥平面ABC, AB⊂平面ABC A
∴ AB ⊥ SC
又∵SC∩CH=H
∴ AB ⊥平面 SCH
H
又∵SH⊂平面SCH ∴ AB ⊥ SH
∴ ∠SHC是二面角S－AB－C的平面角
…………
棱的垂面法
C B
4.PB 平面 ABC, PB BC CA 4, 且 BCA 90, 求二面角 B PA C 的大小
2．(2014·浙江高考)设 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的
平面( C )
A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
(山东卷) 在如图所示的几何体中，D是AC的 中点，EF∥DB.
(2)因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD， BC⊂平面 BCD，BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD. 因为 AD⊂平面 ABD， 所以 BC⊥AD. 又 AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面 ABC，BC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥平面 ABC. 又因为 AC⊂平面 ABC， 所以 AD⊥AC.

直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____平__行_____
符号语言
a⊥α b⊥α ⇒___a_∥__b______
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，则_一__个__平___面__内__垂直于__交__线___的直 线与另一个平面___垂__直____
所以四边形 AMNO 为平行四边形． 所以 ON＝AM． 因为 ON＝12AB， 所以 AM＝12DC＝12AB． 所以 M 是 AB 的中点．
证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平 行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂 直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平 行．
(2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN， 则 MN∥EC，且 MN＝12EC． 因为 EC∥BD，BD＝12EC， 所以 MN∥═BD， 所以 N 点在平面 BDM 内． 因为 EC⊥平面 ABC， 所以 EC⊥BN．
又 CA⊥BN，所以 BN⊥平面 ECA． 因为 BN 在平面 MNBD 内， 所以平面 MNBD⊥平面 ECA， 即平面 BDM⊥平面 ECA． (3)由第二问易知 DM∥BN，BN⊥平面 CAE， 所以 DM⊥平面 ECA． 又 DM⊂平面 DEA， 所以平面 DEA⊥平面 ECA．
如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC ＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在直线____________上．

l⊥α
两个平面垂直,如果一个平面
性质 内有一条直线垂直于这两个
定理 平面的 交线
,那么这条直
线与另一个平面垂直
α ⊥ β,
α⋂β = a,
b⫋β,
b⊥a
b ⊥α
⇒______
3.直线与平面所成的角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫作这条直线和
这个平面所成的角.
(2)线面角θ的范围:θ∈[0°,90°].
O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平
面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所
在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成的角
为(
)
A.20° B.40°
C.50° D.90°
答案B
解析由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.
4.二面角的有关概念
(1)二面角:从一条直线出发的 两个半平面
所组成的图形叫作二面角.
(2)二面角的平面角:过二面角棱上的任一点,在两个半平面内分别作与棱
垂直 的射线,则两射线所成的角叫作二面角的平面角.
常用结论
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
【考点自诊】
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
由m∥β,β⊥α,可得m∥α或m与α相交或m⫋α,故B错误;