湖南省长沙市一中双语实验学校2019-2020学年八年级第一学期入学考试数学试卷

2019-2020学年度第一学期期中八年级数学试卷及答案数学试题参考答案（人教版）1-6 A A B B C D 7-12 C D B A C B 13-14 A B15.（2；4） 16.30. 17.SSS 18.140°；719.解：∵∠2是△ADB 的一个外角；∴∠2=∠1+∠B ；∵∠1=∠B ；∴∠2=2∠1；∵∠2=∠C ；∴∠C=2∠1；∴∠BAC=180°-3∠1∵∠BAC=63°；∴∠1=39°；∴∠CAD=24°．20.解：（1）点A 1（-2；1.5）变换为（5；1.5）；A 1（-2；1.5）不是不动点；A 2（1.5；0）变换为（1.5；0）；A 2（1.5；0）是不动点；（2）A 1（a ；-3）变换为（3-a ；-3）；由不动点；得a =3-a ．解得a =1.5．21.解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：在△BEC 中；∵BE =CE ∴∠EBC =∠ECB 又∵∠ABE =∠ACE∴∠ABC =∠ACB ∴AB =AC ．在△AEB 和△AEC 中；AE =AE ；BE =CE ；AB =AC ；∴△AEB ≌△AEC （SSS ）∴∠BAE =∠CAE ．22.解：设这个外角的度数是x °；则（5-2）×180-（180-x ）+x =600；解得x =120．故这个外角的度数是120°．23.解：如图1所示：从A 到B 的路径AMNB 最短；【思考】如图2所示：从A 到B 的路径AMENFB 最短；【进一步的思考】如图3所示：从A 到B 的路径AMNGHFEB 最短；【拓展】如图3所示：从A 到B 的路径AMNEFB 最短．图2中有结论：DA-DB=2DE；图3中有结论：DB-DA=2DE．25. 解：（1）设点M、N运动x秒后；M、N两点重合；x×1+12=2x；解得：x=12；（2）设点M、N运动t秒后；可得到等边三角形△AMN；如图①；AM=t×1=t；AN=AB-BN=12-2t；∵三角形△AMN是等边三角形；∴t=12-2t；解得t=4；∴点M、N运动4秒后；可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、N在BC边上运动时；可以得到以MN为底边的等腰三角形；由（1）知12秒时M、N两点重合；恰好在C处；如图②；假设△AMN是等腰三角形；∴AN=AM；∴∠AMN=∠ANM；∴∠AMC=∠ANB；∵AB=BC=AC；∴△ACB是等边三角形；∴∠C=∠B；∴△ACM≌△ABN；∴CM=BN；设当点M、N在BC边上运动时；M、N运动的时间y秒时；△AMN是等腰三角形；∵CM=y-12；NB=36-2y；∴y-12=36-2y；解得：y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时；能得到以MN为底边的等腰三角形AMN；此时M、N运动的时间为16秒．。

长沙市雅境中学2019年下学期第一次月考考试试卷初二年级 数学科目一．选择题（共12小题）1．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》，明确到2020年，长沙电网建设改造投资规模达到150********元，确保安全供用电需求．数据150********用科学记数法表示为（ ）A ．91510⨯B ．91.510⨯C ．101.510⨯D ．110.1510⨯ 3．2019-的相反数是（ ）A ．2019B ．2019-C ．12019D ．12019- 4．六边形的内角和是（ ）A ．540︒B ．720︒C ．900︒D ．360︒5．不等式组10,521x x ->⎧⎨-⎩…的解集在数轴上表示正确的是（ ）6．在ABC ∆中，其两个内角如下，则能判定ABC ∆为等腰三角形的是（ ）A ．40A ∠=︒，50B ∠=︒B ．40A ∠=︒，60B ∠=︒C ．20A ∠=︒，80B ∠=︒D ．40A ∠=︒，80B ∠=︒7．如图，在ABC ∆中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，60B ∠=︒，25C ∠=︒，则BAD ∠为（ ）A ．50︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒8．等腰三角形一边长等于5，一边长等于9，则它的周长是（ ）A ．14B ．23C ．19D ．19或239．将点(1,3)A 向左平移2个单位，再关于x 轴对称得到点B ，点B 的坐标是（ ）A ．(1,3)--B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)10．为了解雅境中学八年级学生月考数学成绩，从中随机抽取了200名学生的数学成续进行分析，下列说法正确的是（ ）A ．雅境中学八年级学生是总体B ．样本容量是200C ．200名八年级学生是总体的一个样本D ．每一名八年级学生是个体11．如下图，在45⨯的点阵图中，若每两个横向和纵向相邻阵点的距离为1，该阵点图中已有两个阵点分别标记为A B 、，若再在网格的格点中取一点C ，使ABC ∆成为等腰三角形，则符合条件的点C 的个数是（ ）第7题 第11题 第12题A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个12．已知40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当PAB ∆的周长取最小值时，APB ∠的度数是（ ）A ．90︒B ．100︒C ．140︒D ．160︒二．填空题（共5小题）13．若将点(1,3)A 关于x 轴对称得到点B ，则点B 的坐标是 ．14．已知实数x ，y 满足2|4|(8)0x y -+-=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．15．如图，已知正方形的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为 2cm ．16．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 中点，DE AC ⊥，垂足为E ，70BAC ∠=︒，则EDC ∠的度数为．17．如图，ABC ∆中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则BCE ∆的周长为 ．18．如图，在等边三角形ABC 中，BC 边上的高6AD =，E 是高AD 上的一个动点，F 是边AB 的中点，在点E 运动的过程中，存在EB EF +的最小值，则这个最小值是 ．三．解答题（共8小题）19．计算：()324212443⎛⎫-+--⨯- ⎪⎝⎭÷20．解不等式组29513(1)x x x x --⎧⎨->+⎩…，并把它的解集在数轴上表示出来．第15题 第16题 第17题 第18题21．为积极响应市委政府“加快建设天蓝g水碧g地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种．为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完整的统计图：请根据所给信息解答以下问题：（1）这次参与调查的居民人数为：；（2）请将条形统计图补充完整；（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；（4）已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？22．如图，一艘轮船以15海里/时的速度由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15︒方向上，两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30︒方向上．在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船不改变方向仍继续向前航行，问：有无触礁的危险？并说明你的理由．23．随着科技的发展，智能产品越来越受到人们的喜爱，为了奖励员工，某公司打算采购一批智能音箱．现有A，B两款智能音箱可供选择，已知A款音箱的单价比B款音箱的单价高50元，购买5个A款音箱和4个B款音箱共需1600元．（1）分别求出A款音箱和B款音箱的单价；（2）公司打算采购A，B两款音箱共20个，且采购A，B两款音箱的总费用不超过3500元，那么A款音箱最多采购多少个？24．在ABC=．∠=︒，AD BC⊥，且AD AB∆中，AB AC=，120BAC（1）如图1，DE AB+=⊥，DF AC⊥，垂足分别为点E，F，求证：AE AF AD（2）如图2，如果60∠两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段EDF∠=︒，且EDFAE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．25．我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105︒，40︒，35︒的三角形是“和谐三角形” 概念理解：如图1，60MON ∠=︒，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB OM ⊥交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （点C 不与O ，B 重合）（1）ABO ∠的度数为 ，AOB ∆ （填“是”或“不是”）“和谐三角形”；（2）若80ACB ∠=︒，求证：AOC ∆是“和谐三角形”．（3）如图2，点D 在ABC ∆的边AB 上，连接DC ，作ADC ∠的平分线交AC 于点E ，在DC 上取点F ，使180EFC BDC ∠+∠=︒，DEF B ∠=∠．若BCD ∆是“和谐三角形”，求B ∠的度数．26．（1）问题发现：如图1，ACB∆均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，∆和DCE连接BE．①AEB∠的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，ACB∠=∠=︒，点A，ACB DCE∆和DCE∆均为等腰直角三角形，90 D，E在同一直线上，CM为DCE∠的度数∆中DE边上的高，连接BE，请求出AEB 及线段CM，AE，BE之间的数量关系．。

x 1．若分式 x 3 有意义，则 x 的取值范围是
A．x>3
B．x<3
C．x≠3
D．x=3
2．下列四个实数最小的是
A．-1 3．3 的平方根是
B．- 2
C．0
D．1
A．± 3
4．下列说法不正确的是 A．0 的平方根是 0 C．-1 的立方根是±1
5． (2a2b3c1)2 的结果是
B．9
19．（本小题满分 6 分）（1）计算： 14 16 ( 1 )2 | 3|3 ； 2
（2）已知 2（x1）250，求 x 的值．
20．（本小题满分 6 分）先化简，再求值： ( 2x 3 1) x2 2x 1 ，然后从 0，1，2 三个数中选择一个
x2
x2
C．5 cm，13 cm，12 cm
7．解分式方程
x
1
1

2

3 1
x
，去分母得
A．1 2(x 1) 3
D．2 cm，7 cm，4 cm
B．1 2(x 1) 3
C．1 2x 2 3
D．1 2x 2 3
8．下列命题是假命题的是
A．实数与数轴上的点一一对应 B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数必定也相等
（1）当∠BAD=60°，求∠CDE 的度数；
（2）当点 D 在 BC（点 B、C 除外）边上运动时，求证：∠BAD=2∠CDE．
24．（本小题满分 9 分）如图，在方格纸中，△PQR 的三个顶点及 A，B，C，D，E 五个点都在小方格的 顶点上．现以 A，B，C，D，E 中的三个点为顶点画三角形． （1）在图 1 中画出一个三角形与△PQR 全等； （2）在图 2 中画出一个三角形与△PQR 面积相等但不全等．

2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校八年级（下）开学数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）若平面直角坐标系中的两点A（a，3），B（1，b）关于x轴对称，则a+b的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣42．（3分）某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米＝10﹣9米，则这种冠状病毒的直径是（）厘米．A．120×10﹣9B．1.2×10﹣7C．1.2×10﹣6D．1.2×10﹣53．（3分）a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b﹣a|﹣的结果是（）A．2b﹣1B．a C．﹣a D．﹣2b+a4．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（）A．众数是3B．中位数是0C．平均数3D．方差是2.8 5．（3分）如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C 的距离为（）A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来6．（3分）下列运算中正确的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2C．（a+b）2＝a2+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b27．（3分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）A．1+x＝225B．1+x2＝225C．（1+x）2＝225D．1+（1+x2）＝2258．（3分）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对应的边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（）A．AB＝，BC＝4，AC＝5B．a：b：c＝1：：2C．∠A：∠B：∠C＝5：4：3D．9．（3分）下列判断正确的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．两组邻边相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形10．（3分）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6B．4C．6或4D．﹣611．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（）A．2＜OA＜10B．1＜OA＜5C．4＜OA＜6D．2＜OA＜8 12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC 的最小值为（）A．B．C．D．2二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）若关于x的方程﹣7＝0是一元二次方程，则a＝．14．（3分）要使式子有意义，则a的取值范围是．15．（3分）直角三角形斜边上的中线为6，则这它的斜边是．16．（3分）已知关于x 的方程的解是正数，则m的取值范围为．17．（3分）直角三角形的两边为3和4，则该三角形的面积为．18．（3分）如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，则OD+OE+OF＝．三、解答题（共9小题，满分66分）19．（6分）（1）分解因式：a3﹣4a2b+4ab2（2）解分式方程：20．（6分）（1）计算：﹣|2﹣|﹣（π﹣3.14）0+（﹣1）2020（2）先化简，再求值：÷（a﹣2﹣）+，其中a2﹣2a﹣6＝0 21．（6分）小明本学期的数学测验成绩如表所示：测验类别平时测验期中测验期末测验第1次第2此第3次第4次成绩808684909095（1）求六次测验成绩的众数和中位数；（2）求小明本学期的数学平时测验的平均成绩；（3）如果本学期的总评成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照3：3：4的比例计算所得，计算小明本学期学科的总评成绩．22．（6分）在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE垂直∠BAC的平分线于D点，点M 为BC边的中点，连接DM．（1）求证：DM＝CE；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．23．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．24．（10分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠CAB＝60°，BC的长为，求四边形OCED的周长25．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由．26．（8分）阅读材料：材料1若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则，．材料2已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝l，mn＝﹣1，所以．根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足17s2+97s+1＝0，t2+97t+17＝0，且st≠1．求的值．27．（10分）如图，已知矩形ABCD，AD＝8，CD＝20，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．2019-2020学年湖南省长沙市岳麓区麓山国际实验学校八年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）若平面直角坐标系中的两点A（a，3），B（1，b）关于x轴对称，则a+b的值是（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解答】解：∵两点A（a，3），B（1，b）关于x轴对称，∴a＝1，b＝﹣3，∴a+b＝1﹣3＝﹣2，故选：B．2．（3分）某种冠状病毒的直径是120纳米，1纳米＝10﹣9米，则这种冠状病毒的直径是（）厘米．A．120×10﹣9B．1.2×10﹣7C．1.2×10﹣6D．1.2×10﹣5【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：120纳米＝120×10﹣9米＝1.2×10﹣7米＝1.2×10﹣5厘米，故选：D．3．（3分）a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b﹣a|﹣的结果是（）A．2b﹣1B．a C．﹣a D．﹣2b+a【分析】首先化简二次根式，再根据绝对值的性质去绝对值，然后再合并同类项即可．【解答】解：原式＝|b﹣a|﹣|b|，＝a﹣b+b，＝a，故选：B．4．（3分）某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（）A．众数是3B．中位数是0C．平均数3D．方差是2.8【分析】根据方差、众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．【解答】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5，则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为＝3，方差为×[（0﹣3）2+2×（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2.8，故选：B．5．（3分）如图，上午8时，一艘船从A处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达B处，从A、B两点望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则B处到灯塔C 的距离为（）A．15海里B．20海里C．30海里D．求不出来【分析】由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，10时到达海岛B处，可求得AB的长，又由∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，可得∠C＝∠NAC，即可证得BC＝AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离．【解答】解：根据题意得：AB＝2×15＝30（海里），∵∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°，∴∠C＝∠NAC，∴BC＝AB＝30海里．即从海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选：C．6．（3分）下列运算中正确的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣2B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2C．（a+b）2＝a2+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣ab+b2【分析】根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式的法则逐一计算即可得．【解答】解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，错误；B、（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2，正确；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，错误；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误；故选：B．7．（3分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（）A．1+x＝225B．1+x2＝225C．（1+x）2＝225D．1+（1+x2）＝225【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程即可．【解答】解：设1人平均感染x人，依题意可列方程：（1+x）2＝225．故选：C．8．（3分）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对应的边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（）A．AB＝，BC＝4，AC＝5B．a：b：c＝1：：2C．∠A：∠B：∠C＝5：4：3D．【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．【解答】解：A、∵52+42＝25+16＝41＝（）2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；B、设a＝x，b＝x，c＝2x，∵（x）2+（x）2＝x2+3x2＝4x2＝（2x）2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；C、∵∠A：∠B：∠C＝5：4：3，∴∠A＝×180°＝75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形，符合题意；D、∵a＝c，b＝c，∴a2+b2＝＝c2，∴△ABC是直角三角形，不符合题意；故选：C．9．（3分）下列判断正确的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．两组邻边相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形是矩形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形【分析】利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定定理逐一判定后即可得到正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；B、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，错误；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误；故选：A．10．（3分）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6B．4C．6或4D．﹣6【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1＝±5，解得：m＝4或m＝﹣6，故选：A．11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（）A．2＜OA＜10B．1＜OA＜5C．4＜OA＜6D．2＜OA＜8【分析】由AB＝4，BC＝6，利用三角形的三边关系，即可求得2＜AC＜10，然后由四边形ABCD是平行四边形，求得OA的取值范围．【解答】解：∵AB＝4，BC＝6，∴2＜AC＜10，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝AC，∴1＜OA＜5，故选：B．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则P A+PC 的最小值为（）A．B．C．D．2【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时P A+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．【解答】解：法一：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时P A+PC的值最小，∵DP＝P A，∴P A+PC＝PD+PC＝CD，∵B（3，），∴AB＝，OA＝3，∠B＝60°，由勾股定理得：OB＝2，由三角形面积公式得：×OA×AB＝×OB×AM，∴AM＝，∴AD＝2×＝3，∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝AD＝，由勾股定理得：DN＝，∵C（，0），∴CN＝3﹣﹣＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝＝，即P A+PC的最小值是，法二：如图，作点C关于OB的对称点D，连接AD，过点D作DM⊥OA于M．∵AB＝，OA＝3∴∠AOB＝30°，∴∠DOC＝2∠AOB＝60°∵OC＝OD∴△OCD是等边三角形∴DM＝CD•sin60°＝，OM＝CM＝CD•cos60°＝∴AM＝OA﹣OM＝3﹣＝∴AD＝＝即P A+PC的最小值为故选：B．二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．（3分）若关于x的方程﹣7＝0是一元二次方程，则a＝﹣1．【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值．【解答】解：∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，解得，a＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（3分）要使式子有意义，则a的取值范围是a≥﹣1且a≠1．【分析】根据分子的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案．【解答】解：由题意，得a+1≥0，a﹣1≠0，解得a≥﹣1且a≠1，故答案为：a≥﹣1且a≠1．15．（3分）直角三角形斜边上的中线为6，则这它的斜边是12．【分析】直接根据直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC斜边上的中线为6，∴这个三角形斜边长为12．故答案为：12．16．（3分）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为m＞1且m≠2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数得到x大于0且x不等于1，即可确定出m的范围．【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m＝x﹣1，解得：x＝m﹣1，由分式方程的解为正数，得到m﹣1＞0，且m﹣1≠1，解得：m＞1且m≠2，故答案为：m＞1且m≠2．17．（3分）直角三角形的两边为3和4，则该三角形的面积为6或．【分析】题目中没有明确指出边长为4的边是直角边还是斜边，所以要分类讨论（1）边长为4的边是直角边；（2）边长为4的边是斜边．【解答】解：若边长为3的边和边长为4的边有一条为斜边，∵4＞3，∴边长为4的边是斜边，（1），若边长为4的边是直角边，则该三角形面积为×3×4＝6，（2），若边长为4的边是斜边，则该三角形另一条直角边为＝，该三角形的面积为×3×＝，故答案为6或．18．（3分）如图，点O是边长为2的等边三角形ABC内任意一点，且OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，则OD+OE+OF＝．【分析】连接OA、OB、OC，过A作AQ⊥BC于Q，根据等边三角形的性质求出BQ，根据勾股定理求出AQ，再根据S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO求出即可．【解答】解：连接OA、OB、OC，过A作AQ⊥BC于Q，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，BQ＝CQ＝＝1，由勾股定理得：AQ＝＝＝，∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，∴＝++，∴＝，∴＝×2×（OE+OF+OD），解得：OD+OE+OF＝，故答案为：．三、解答题（共9小题，满分66分）19．（6分）（1）分解因式：a3﹣4a2b+4ab2（2）解分式方程：【分析】（1）根据分解因式的方法解答即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）分解因式：a3﹣4a2b+4ab2＝a（a﹣2b）2；（2）去分母得：x（x+1）﹣2（x﹣1）＝（x+1）（x﹣1），解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．20．（6分）（1）计算：﹣|2﹣|﹣（π﹣3.14）0+（﹣1）2020（2）先化简，再求值：÷（a﹣2﹣）+，其中a2﹣2a﹣6＝0【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简，再利用已知变形代入化简即可．【解答】解：（1）原式＝3﹣（2﹣）﹣1+1＝3﹣2+﹣1+1＝1+；（2）原式＝÷+＝•+＝+＝，∵a2﹣2a﹣6＝0，∴a2＝2a+6，∴原式＝＝2．21．（6分）小明本学期的数学测验成绩如表所示：测验类别平时测验期中测验期末测验第1次第2此第3次第4次成绩808684909095（1）求六次测验成绩的众数和中位数；（2）求小明本学期的数学平时测验的平均成绩；（3）如果本学期的总评成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照3：3：4的比例计算所得，计算小明本学期学科的总评成绩．【分析】（1）根据中位数及众数的定义，即可得出答案；（2）根据平均数的计算方法进行计算即可；（3）用本学期的数学平时测验的平均成绩×0.3+期中测验成绩×0.3+期末测验成绩×0.4，计算即可．【解答】解：（1）∵在六次成绩中，90出现了2次，出现的次数最多，∴这组数据的众数为90；∵将六次成绩按从小到大的顺序排列，处于中间的两个数分别为86，90，有＝88，∴这组数据的中位数为88；（2）根据表中数据，小明四次平时成绩的平均值＝＝85；（3）根据题意，小明的总评成绩为85×0.3+90×0.3+95×0.4＝90.5．22．（6分）在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE垂直∠BAC的平分线于D点，点M 为BC边的中点，连接DM．（1）求证：DM＝CE；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．【分析】（1）证明△ADB≌△ADE，根据全等三角形的性质得到AE＝AB，BD＝DE，根据三角形中位线定理证明；（2）根据勾股定理求出AB，根据三角形中位线定理求出CE，结合图形计算即可．【解答】（1）证明：在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（ASA）∴AE＝AB，BD＝DE，∵BD＝DE，BM＝MC，∴DM＝CE；（2）解：在Rt△ADB中，AB＝＝10，∴AE＝10，由（1）得，CE＝2DM＝4，∴AC＝CE+AE＝14．23．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；（2）根据判别式的意义得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．24．（10分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）若∠CAB＝60°，BC的长为，求四边形OCED的周长【分析】（1）首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC＝OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论；（2）利用勾股定理求得OC的长，从而得出该菱形的边长，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°．∴AC＝BD．∴OA＝OB＝OC又∵∠CAB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝AB设AB＝x，∴AC＝2x，∴∴x1＝4，x2＝﹣4（舍）∴OC＝4，由（1）可知四边形OCED是菱形，故它的周长为16cm；25．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由．【分析】（1）设每件衬衫降价x元，则商场平均每天可销售（20+x）件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（2）设每件衬衫降价y元，则商场平均每天可销售（20+y）件，每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣700＜0，即可得出商场平均每天盈利不可能为1600元．【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，则商场平均每天可销售（20+x）件，依题意，得：（40﹣x）（20+x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，∵尽量减少库存，∴x＝20．答：每件衬衫应降价20元．（2）设每件衬衫降价y元，则商场平均每天可销售（20+y）件，依题意，得：（40﹣y）（20+y）＝1600，整理，得：y2﹣30y+400＝0．∵△＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，∴该方程无解，∴商场平均每天盈利不可能为1600元．26．（8分）阅读材料：材料1若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则，．材料2已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝l，mn＝﹣1，所以．根据上述材料解决以下问题：（1）材料理解：一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣．（2）类比探究：已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：（3）思维拓展：已知实数s、t分别满足17s2+97s+1＝0，t2+97t+17＝0，且st≠1．求的值．【分析】（1）直接根据根与系数的关系可得答案；（2）由题意得出m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，据此知m+n＝1，，将其代入计算可得；（3）把t2+99t+19＝0变形为，据此可得实数s和可看作方程17x2+97x+1＝0的两根，继而知，，进一步代入计算可得．【解答】解：（1），；故答案为﹣2；；（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，∴m+n＝1，，∴；（3）把t2+99t+19＝0变形为，实数s和可看作方程17x2+97x+1＝0的两根，∴，，∴．27．（10分）如图，已知矩形ABCD，AD＝8，CD＝20，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．【分析】（1）四边形PMEN的形状一定是平行四边形，根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明．（2）当DP＝CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值．（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行．【解答】（1）证明：∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴ME是PCD的中位线，NE是PCD的中位线，∴ME∥PC，EN∥PD，∴四边形PMEN是平行四边形；（2）解：当AP＝10时，四边形PMEN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝20，AD＝BC，∵AP＝10，AB＝20，∴BP＝10＝AP，△P AD≌△PBC（SAS），∴PD＝PC，∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，∴，，∴PM＝ME＝EN＝PN，∴四边形PMEN是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形；理由如下：若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°设P A＝x，PB＝20﹣x，由勾股定理得：DP2+CP2＝DC2，即64+x2+64+（20﹣x）2＝202，解得：x＝4或x＝16．∴当AP＝4或AP＝16时，四边形PMEN是矩形．。