2019届人教B版(文科数学) 数系的扩充和复数的概念 单元测试

数系的扩充与复数的引入单元测试(A卷基础篇）（人教A版）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2019•西湖区校级模拟）复数i﹣3的虚部是（）A．3 B．﹣3 C．1 D．i【解析】解：复数i﹣3的虚部是1．故选：C．【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．2．（2019春•泉州期末）若z＝（m﹣2）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解析】解：∵z＝（m﹣2）+（m+1）i为纯虚数，∴，解得m＝2，故选：D．【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．3．（2019秋•金凤区校级月考）设复数z＝﹣1+2i，（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】解：∵z＝﹣1+2i，∴，则复数z的共轭复数在复平面上对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．（2019春•临夏市校级月考）已知复数z＝a+（2﹣b）i的实部和虚部分别是2和3，则a，b的值是（）A．2，5 B．1，3 C．2，﹣1 D．2，1【解析】解：∵复数z＝a+（2﹣b）i的实部和虚部分别是2和3，∴，解得a＝2，b＝﹣1．∴a，b的值是2，﹣1．故选：C．【点睛】本题考查实数值的求法，复数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2019秋•中山区校级期中）复数（2i﹣1）•i的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解析】解：∵（2i﹣1）•i＝2i2﹣i＝﹣2﹣i，∴复数（2i﹣1）•i的共轭复数是﹣2+i．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．（2019•玉山县校级模拟）已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（）A．a＜6 B．C．D．a＞6【解析】解：在复平面内对应的点位于第二象限，∴，解得a．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7．（2019秋•浙江期中）复数z＝（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则|z|＝（）A．2 B．1 C．D．【解析】解：∵z＝（1+i）（2﹣i）＝2﹣i+2i﹣i2＝3+i，∴|z|．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．8．（2020•天河区一模）若复数为纯虚数，则|3﹣ai|＝（）A．B．13 C．10 D．【解析】解：由．因为复数为纯虚数，所以，解得a＝2．所以|3﹣ai|＝|3﹣2i|．故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数是纯虚数的充要条件，考查了复数模的求法，是基础题．9．（2019秋•沙坪坝区校级月考）已知复数z满足z＝1+i（其中i为虚数单位），则（）A．B．C．D．【解析】解：∵z＝1+i，∴，故选：A．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．10．（2019•安徽模拟）已知i是虚数单位，是z的共轭复数，若复数，则（）A．0 B．1 C．D．2【解析】解：复数i2019＝i2016•i3＝﹣i，所以1＝i﹣1＝﹣1+i，所以．故选：C．【点睛】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题．二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11．（2019秋•句容市校级月考）i是虚数单位，复数3﹣2i．【解析】解：．故答案为：3﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．12．（2019春•宜宾期末）复数的共轭复数是．【解析】解：因为复数，它的共轭复数为：．故答案为：．【点睛】他考查复数的基本概念的应用，复数的化简，考查计算能力．13．（2019秋•莲都区校级月考）若z（3+4i）＝5（i为虚数单位）则|z|＝1，z的实部为．【解析】解：由z（3+4i）＝5，得z，∴|z|．z的实部为．故答案为：1；．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．14．（2019春•扬州期末）设a∈R，若复数（2﹣i）（a+2i）在复平面内对应的点位于直线y＝﹣x上，则a＝﹣6．【解析】解：∵复数（2﹣i）（a+2i）＝（2a+2）+（4﹣a）i在复平面内对应的点位于直线y＝﹣x上，∴4﹣a＝﹣（2a+2），解得：a＝﹣6．故答案为：﹣6．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．三．解答题（共3小题，每小题10分，共30分）15．（2019春•哈尔滨期中）实数m取怎样的值时，复数z＝m2﹣m﹣6+（m2﹣2m﹣15）i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【解析】解：（1）根据题意，z＝m2﹣m﹣6+（m2﹣2m﹣15）i是实数，则m2﹣2m﹣15＝0，解可得m＝5或﹣3；（2）若z＝m2﹣m﹣6+（m2﹣2m﹣15）i是虚数，则m2﹣2m﹣15≠0，解可得m≠5且m≠﹣3；（3）若z＝m2﹣m﹣6+（m2﹣2m﹣15）i是纯虚数，则，解可得m＝3或﹣2．【点睛】本题考查复数的分类以及定义，关键是掌握复数的定义，属于基础题．16．（2019春•嘉兴期中）已知复数，其中i为虚数单位，a∈R．（Ⅰ）若z∈R，求实数a的值；（Ⅱ）若z在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a的取值范围．【解析】解：（Ⅰ），若z∈R，则，∴．（Ⅱ）若z在复平面内对应的点位于第一象限，则对应点的坐标为（，），则且，解得，即a的取值范围为．【点睛】本题主要考查复数的计算以及复数几何意义的应用，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．17．（2019春•闵行区校级期中）已知复数z＝（i）2是一元二次方程mx2+nx+1＝0（m，n∈R）的一个根．（1）求m和n的值；（2）若z1＝（a﹣2i）z，a∈R，z1为纯虚数，求|a+2i|的值．【解析】解：（1）∵z＝（i）2是一元二次方程mx2+nx+1＝0的一个根，∴是一元二次方程mx2+nx+1＝0的另一个根，∴，则m＝1．，得n＝1；（2）z1＝（a﹣2i）z＝（a﹣2i）（）＝（）+（1）i是纯虚数，则，即a．∴|a+2i|＝||．【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与模的求法，是基础题.。

数系的扩充和复数的概念单元测试姓名 座号 班级一、 选择题1. 下列说法正确的个数是（ ）①实数是复数； ②虚数是复数； ③实数集和虚数集的交集不是空集； ④实数集和虚数集的并集等于复数集； ⑤虚轴上的点表示的数都是虚数； ⑥实轴上的点表示的数都是实数；A 、3B 、4C 、5D 、62. 复数ｚ满足方程1=+-z z z ，则ｚ对应的点的轨迹是 （ ）A 、直线B 、圆C 、两点D 、以上都不对3. 对于复数bi a +，下列结论正确的是（ ）A 、⇔=0a bi a +为纯虚数；B 、⇔=0b bi a +为实数；C 、i b a )1(-+=3+2i ⇔3=a ，3-=bD 、-1的平方等于i4. 下列说法正确的是（ ）A 、如果两个复数的实部的差和虚部的差都于0，那么这两个复数相等；B 、在复平面内复数bi a +对应的点为),(a bC 、如果复数yi x +是实数，则0=x ，0=y ；D 、复数i +3大于i +25. 2i i +在复平面内表示的点在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6. 设全集I={复数}，R={实数}，M={纯虚数}，则（ ）A 、I R M =B 、I R MC I = C 、R R M C I =D 、Φ=R C M I7. 以23-i 的虚部为实部，以i i 232+的实部为虚部的复数是（ ）A 、i 33-B 、i +3C 、i 22+-D 、i 22+8. 若(m 2-3m-4)＋(m 2-5m-6)i 是纯虚数，则实数m 的值为 ( )A 、-1B 、4C 、-1或4D 、不存在9. 在复平面内，与复数z=-1-i 的共轭复数对应的点位于 ( )A 、第一象限B 、第二角限C 、第三象限D 、第四象限10. i 21i 2)i 1()i 31(63++-+++-的值是（ ） i D i C B A 201、 、、 、 11. 若i 23+是关于x 的方程)R q ,p (0q px x 22∈=++的一个根，则q 的值为（ ）A 、26B 、13C 、 6 Ｄ、５12. 221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈23 2.z i =-则1m =是12z z =的（ ）条件A 、充分不必要B 、 必要不充分C 、 充要D 、既不充分又不必要二、填空题13. 若x 是实数，y 是纯虚数且满足y i x =+-212，则=x ，=y 。

(2)由已知mm22＋－38mm－＋2185＝＜00
① ②
由②得m＝－7或m＝4.
∵m＝－7不适合①，m＝4适合①，∴m＝4.
即当m＝4时，复数对应的点在x轴的负半轴上．
复数的模
已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R.当x 在(－∞，＋∞)内变化时，试求|z|的最小值g(a)．
[分析] 设法表示出|z|来，然后转化求解，针对a的情况讨 论．
[解析] |z|2＝(2x＋a)2＋(2－x＋a)2＝2－2x＋22x＋2a(2x＋2－x) ＋2a2.
令t＝2x＋2－x，则t≥2，且22x＋2－2x＝t2－2. 从而|z|2＝t2＋2at＋2a2－2＝(t＋a)2＋a2－2， 当－a≥2，即a≤－2时，g(a)＝ a2－2； 当－a<2，即a>－2时， g(a)＝ a＋22＋a2－2＝ 2|a＋1|.
复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在 性”，为进一步研究复数奠定了基础.
1．知识与技能 理解复数的几何意义，并能用复数的几何意义解决相关 问题． 2．过程与方法 在学习数系的扩充内容时，可采取让学生“阅读、质 疑、探究”的学习进程，在“发现问题、解决问题”中增长 技能，充分认识人类理性思维的能动性． 3．情感态度与价值观 在掌握知识的同时，增强战胜困难的信心和勇气.
本节重点：复数的几何意义． 本节难点：复数几何意义的应用.
1．如下图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋ bi可用点Z(a，b)表示，这样建立了直角坐标系来表示复数的 平 面 叫 做 ___复__平__面___ ， x 轴 叫 做 ___实__轴___ ， y 轴 叫 做 __虚__轴____．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚 轴上的点都表示纯虚数．

D.1+i:A .11+i =1-i (1+i )(1-i )=1-i 2=12‒12i,故选:A下列命题中,正确的是( )复数的模总是正实数复数集与复平面内所有向量组成的集合一一对应如果与复数z 对应的点在第一象限,则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限相等的向量对应着相等的复数:复数的模大于或等于0,故选项A 不正确;复数集与复平面内所有从原点出发的向量组成的集合一若复数z满足z-1=3(1+z)i,则z+z2的值是( )B.0C.-1D.‒12+32i:由题意,z =1+3i1-3i=(1+3i)24=‒12+32i,所以z2+z+1=0,即z2+z=-1.:C已知(3·z=-+3i)23i,那么复数z的虚部为( )B.32i3D.‒3iB.椭圆双曲线 D.抛物线:设z=x+y i(x ,y ∈R ),则|2x+2y i +1|=|x+y i -i |,即(2x +1)2+4y 2=x 2+(y -1)2,所以3x 2+3y 2+4x+2y=0.故z 对应点的轨迹是圆.:A复数z ∈R ,i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )=m -2i1+2i (m:由x+y i=3+5cos θ+i(-4+5sin θ),得x=3+5cos θ,y=-4+5sin θ,∴x2+y2=(3+5cos θ)2+(-4+5sin θ)2=50-40sin θ+30cos θ=50-50sin(θ+φ)(φ为常数).∵sin(θ+φ)∈[-1,1],∴x2+y2的最大值为100.:D二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)若(1+i)(2+i)=a+b i,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a+b= .故复数m+p i 所对应的点位于复平面内的第二象限.:二已知x 2+i x+6=2i +5x ,若x ∈R ,则x= ;若x ∈C ,则x= .:当x ∈R 时,由复数相等的充要条件x=2;得{x 2-5x +6=0,x =2,解得当x ∈C 时,令x=a+b i(a ,b ∈R ),则有{a 2-b 2-b +6=5a ,2ab +a =2+5b .解得{a =2,b =0或{a =3,b =-1.所以x=2或x=3-i .∴az+2bz=(a+2b)+(a‒2b)i, (a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.∵a,b∈R,∴由复数相等,得{a+2b=a2+4a, a-2b=4(a+2).∴两式相加整理,得{a=-2,b=-1或{a=-4,b=2.∴所求实数为{a=-2,b=-1或{a=-4,b=2.分)设O为坐标原点,已知向求z;若z,z2,z-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求cos∠ABC.(1)设z=x+y i(x,y∈R).∵|z|=2,∴x2+y2=2.又z2=(x+y i)2=x2-y2+2xy i,∴2xy=2,∴xy=1.由①②可解得{x=1,y=1或{x=-1,y=-1.∴z=1+i或z=-1-i.=(1,‒1),BC。