三垂线定理（二）一、素质教育目标（一）知识教学点三垂线定理及其逆定理的应用．（二）能力训练点1．初步掌握三垂线定理及其逆定理应用的规律．2．善于在复杂图形中分离出适用的直线用于解题．3．进一步培养学生的识图能力、思维能力和解决问题的能力．（三）德育渗透点通过强化训练渗透化繁为简的思想和转化的思想．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：三垂线定理及其逆定理的应用规律．2．教学难点：对复杂图形如何分离出符合定理的条件用以解题以及解决问题的能力的培养是教学的难点．三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第二课时．四、学生活动设计常规教学，教师课前设计好幻灯片，上课时讲练结合，学生思考并记录关键步骤，个别学生回答问题．五、教学步骤（一）温故知新，引入课题师：上节课我们学习了三垂线定理及其逆定理，请一个同学来叙述一下定理的内容．生：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．生：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．（学生回答时，教师画出图形，板书如下：）并指出：a必须在平面α内，但不一定经过点O．师：从定理的结论看，三垂线定理及其逆定理是判断直线和直线垂直的重要命题，在论证直线和直线垂直的问题中，我们常常用到它们．这节课，我们就来学习它们的应用．（二）解题训练，提高能力例1 Rt△ABC在平面α内，∠C＝90°，AC＝16，P为α外一点，PA＝PB＝PC，如果P 到BC的距离为17，求点P到平面α的距离．分析：求点到平面的距离，点到直线的距离，需要先作出这个距离，然后在适当的三角形中解这个三角形，本题关键的问题是确定点P在平面a内射影O的具体位置和直角三角形的外心性质．解：作PO⊥平面α，∵ PA＝PB＝PC，∴ OA＝OB＝OC．∴ O为Rt△ABC的外心．取BC中点D，连结PD、OD．则OD是△ABC中位线．由三垂线定理知PD⊥BC，即PD＝17，在Rt△ABC中，OP＝说明：这个例题通过三垂线定理证明直线与直线垂直，从而得到点到直线的距离，利用勾股定理解直角三角形是这类问题的常用方法．教师引导学生看书，并讲解课本例题：（课本例2）道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？例2 如图1-96，在正方体AC1中，求证：（1）AC1⊥A1D．（2）AC1⊥平面A1BD．分析：本例关键在于引导学生观察图形变化时，如何正确运用三垂线定理．事实上，要证明AC1⊥A1D，满足的射影所在平面是竖直位置的平面DA1，垂线是C1D1，斜线是AC1，射影是AD1．应当克服思维定势给证题带来的消极影响．教学时，教师先写出第（1）小题的题目，让学生思考，并画出图形，写出证法要点，教师作个别指点．然后，让一个学生板演，教师讲评．接着教师再写出第（2）小题的题目，让全体同学观察、思考．证明：（1）连结AD1，由正方形可得．∵AD1⊥A1D，C1D1⊥平面AD1，∴AC1⊥A1D．（2）由（1）AC1⊥A1D，同理可证：AC1⊥A1B．A1D∩A1B＝A1，∴AC1⊥平面A1BD．例3 点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC．证明：过P作PO⊥平面ABC于O，连结OA、OB、OC．例4 长方体ABCD-A1B1C1D1中，P、O、R分别是AA1、BB1、BC上的点，PQ∥AB，C1Q⊥PR．求证：D1Q⊥QR．分析：PQ∥AB提供的结论是PQ⊥平面BB1C1C，又因为C1Q⊥PR，在平面BB1C1C上，利用三垂线逆定理，就可以得到RQ⊥QC1；又因为D1Q在平面BB1C1C上的射影是QC1，再在这个平面上利用三垂线定理，就可以得到结论．证明：∵PQ∥AB，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，得PQ⊥平面BB1C1C，PR是平面BB1C1C的斜线，RQ是斜线PR在平面BB1C1C上∴RQ⊥QC1．又∵D1C1⊥平面BB1C1C，D1Q是平面BB1C1C的斜线，QC1是∴D1Q⊥QR．说明：本题运用了三垂线定理及其逆定理，探讨了直线与直线垂直关系的转换，图形中直线位置关系较为复杂，而且射影面也非常规位置，学生可能无法轻易看出，教师应当适当引导．（五）归纳小结，强化思想师：这节课，我们学习了三垂线定理及其逆定理的一些应用．六、布置作业（复习参考题一）8、9．补充：1．正三角形ABC的边长为a，AD⊥BC于D，沿AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，求折起后点B到AC的距离．解答：作BE⊥AC于E，连结DE．∵BD⊥DC，BD⊥AD．∴BD⊥平面ADC．又∵BE⊥AC，∴DE⊥AC．2．Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，PM⊥平面ABC，PM＝AC＝a，求点P到BC边的距离．解答：作PN⊥BC于N，则PN就是点P到BC的距离．∵PM⊥平面ABC，∴MN⊥BC．又∵AC⊥BC，M是AB的中点，3．设P是△ABC所在平面M外一点，当P分别满足下列条件时，判断点P在M内的射影的位置．（1）P到三角形各边的距离相等．（2）P到三角形各顶点的距离相等．（3）PA、PB、PC两两垂直．答案：设P在平面M内的射影是O．（1）O是△ABC的内心；（2）O是△ABC的外心；（3）O是△ABC的垂心．。
用向量法证明三垂线定理
三垂线定理：在一个三角形ABC中，如果垂足分别为D，E，F，则这三条垂线AD，BE，CF相交于同一点H。
证明：
1. 首先，我们先定义三角形ABC的三个顶点的坐标：
A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)。
2. 接下来，我们求出三条垂线的方程：
a) AD的方程：通过A点，斜率为-1/斜率BC，即
(y - y1) = (-1/斜率BC)(x - x1)。
b) BE的方程：通过B点，斜率为-1/斜率AC，即
(y - y2) = (-1/斜率AC)(x - x2)。
c) CF的方程：通过C点，斜率为-1/斜率AB，即
(y - y3) = (-1/斜率AB)(x - x3)。
3. 我们可以解这三个方程得到相交点H的坐标(xh, yh)。
假设
H(xh, yh)，则将方程(a)、(b)、(c)联立求解，得到：
xh = (斜率BC * 斜率AC * (y1 - y2) + 斜率BC * (x2 + x1) -
斜率AC * (x1 + x3)) / (斜率BC - 斜率AC)，
yh = y1 - (xh - x1) / 斜率BC。
4. 我们还需要证明H点确实在三条垂线上。
首先证明H在
AD上：
垂线AD的斜率为0，即方程(a)的斜率为0，代入H的坐标(xh, yh)得到：
(yh - y1) = 0 * (xh - x1)，
可以证明等式成立。
5. 同样地，我们可以证明H点也在BE和CF上。
综上所述，我们通过向量法的证明，证明了三垂线定理成立，即三条垂线AD，BE，CF相交于同一点H。
