高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课学案新人教A版选修2-1
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1 / 13 第二章圆锥曲线与方程
学习目标1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、
抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程
及其求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.5.掌
握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.
知识点一三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质
椭圆双曲线抛物线
定义平面内与两个定点
F
1，F
2的距离的和
等于常数(大于
|F
1F
2|)的点的轨迹平面内与两个定点
F
1，F
2的距离的差的
绝对值等于常数(小
于|F
1F
2|)的点的轨迹平面内与一个定点F
和
一条定直线l(l不经过
点F
)距离相等的点的轨
迹
标准方程x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0) x2
a2－y2
b2＝1(a
>0，
b>0) y2
＝2px
(p
>0)
关系式a2
－b2
＝c2
a2
＋b2
＝c2
图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线
对称性对称中心为原点无对称中心
两条对称轴一条对称轴
顶点四个两个一个
离心率0
<1e
>1
准线方程x
＝－p
2
2 / 13 决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小
知识点二待定系数法求圆锥曲线标准方程
1.椭圆、双曲线的标准方程
求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再
确定参数.当焦点位置不确定时，要分情况讨论.也可将椭圆方程设为Ax2
＋By2
＝1(A>0，
B
>0，A
≠B
)，其中当1
A>1
B时，焦点在x
轴上，当1
A<1
B时，焦点在y
轴上；双曲线方程可设为
Ax2
＋By2
＝1(AB
<0)，当1
A<0时，焦点在y
轴上，当1
B<0时，焦点在x
轴上.
另外，与已知双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a
>0，b
>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2
a2－y2
b2＝
λ
(λ
≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2
－y2
＝λ
(λ
≠0).
2.抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p
的大小.当焦点位
置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2
＝2px
(p
≠0)或x2
＝2py
(p
≠0)，然后建立
方程求出参数p的值.
知识点三直线与圆锥曲线有关的问题
1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解
的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考
虑该一元二次方程的判别式Δ
，则有：Δ
>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ
＝0?直线
与圆锥曲线相切于一点；Δ
<0?直线与圆锥曲线无交点.
2.直线l截圆锥曲线所得的弦长|AB|＝错误!或错误!，其中k是直线l的斜率，(x
1，y
1)，
(x
2，y
2)是直线与圆锥曲线的两个交点A
，B
的坐标，且(x
1－x
2)2
＝(x
1＋x
2)2
－4x
1x
2，x
1＋
x
2，x
1x
2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出.
类型一圆锥曲线定义的应用
例1 已知点M
(2，1)，点C
是椭圆x2
16＋y2
7＝1的右焦点，点A
是椭圆上的动点，则|AM
|＋
|AC
|的最小值是________.
答案8－26
解析如图，设点B
为椭圆的左焦点，点M
(2，1)在椭圆内，
3 / 13 那么|BM
|＋|AM
|＋|AC
|≥｜AB
|＋|AC
|＝2a
，
所以|AM
|＋|AC
|≥２a
－|BM
|，
而a＝4，
，错误!＝错误!＝|BM
|
.26－8＝
最小值|)AC|＋|AM(|所以
反思与感悟应用定义解决问题时，需紧扣其内涵，注意限制条件是否成立，然后得到相
应的结论.
到直线P
内一动点，若C
1C
1BB
是侧面P
中，
1D
1C
1B
1A
-ABCD
如图所示，在正方体1跟踪训练
)(的轨迹所在的曲线是P
的距离相等，则动点
1D
1C
与到直线BC
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
答案D
是正方体，
1D
1C
1B
1A
-ABCD
∵解析
.
1PC
⊥
1C
1D
.∴
1B
1BCC
侧面⊥
1C
1D
∴
.的距离
1C
1D
到直线P
为
1PC
∴
的距离相等，
1D
1C与到直线BC到直线P∵
的距离，BC
到直线P
等于
1PC
∴
的距离，BC
到直线P
的距离等于
1C
到点P
点∴
由圆锥曲线的定义知，动点P的轨迹所在的曲线是抛物线.
类型二圆锥曲线性质的应用
＝x
到直线P
的距离与点1)，1－(A
到点P
上的一个动点，则点x
4＝2
y
是抛物线P
设2例
－1的距离之和的最小值为________.
5答案
解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，
4 / 13 由抛物线的定义知：点P
到直线x
＝－1的距离等于点P
到F
的距离.
于是，问题转化为在抛物线上求一点P
，使点P
到点A
(－1，1)的距离与点P
到F
(1，0)的
距离之和最小，
显然，连接AF
与抛物线相交得的点即为满足题意的点，
.错误!＝错误!此时最小值为
反思与感悟圆锥曲线的性质综合性强，需弄清每个性质的真正内涵，然后正确地应用到
解题中去.
)(的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是1＝y2
b2－x2
a2双曲线2跟踪训练
3
2D.2C.3A.2 B.
答案C
，1＝－－b
a·b
a，依题意xb
a±＝y
的两条渐近线方程为1＝y2
b2－x2
a2双曲线解析
，1＝c2－a2
a2，所以1＝b2
a2故
.2＝e，所以双曲线的离心率2＝2
e即
类型三直线与圆锥曲线的位置关系问题
两点，B，A的动直线与椭圆相交于C，过点5＝2
y3＋2
x及椭圆0)，1－(C已知定点3例
的坐标；若不存在，请说明M为常数？若存在，求出点MB→
·MA→
，使M轴上是否存在点x在
理由.
.为常数MB→
·MA→
，使0)，m(M轴上存在点x假设在解
).
2y
，
2x
(B
，)
1y
，
1x
(A
设
①当直线AB
与x
轴不垂直时，直线AB
的斜率存在，设直线AB
的方程为y
＝k
(x
＋1)，将y
0.＝5－2
k3＋x2
k6＋2
x1)＋2
k(3整理，得y，消去5＝2
y3＋2
x代入椭圆方程1)＋x(k＝
错误!则
2y
1y
＋)m
－
2x
)(m
－
1x
(＝MB→
·MA→
所以
1)＋
2x1)(＋
1x(2
k＋)m－
2x)(m－
1x(＝
.2
m
＋2
k
＋)
2x
＋
1x
)(m
－2
k
(＋
2x
1x
1)＋2
k
(＝
2
m
＋错误!＝MB→
·MA→
将上式整理，得
