高三数学第一轮复习阶段性测试题3

平面向量专练3—三角形四心问题1．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．垂心C ．内心D ．重心2．在ABC ∆中，3AB =，BC =，2AC =，若点O 为ABC ∆的内心，则AO AC 的值为()A ．2B ．73C ．3D ．53．O 是ABC ∆所在平面内一点，动点P 满足()((0,))||sin ||sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的() A ．内心B ．重心C ．外心D ．垂心4．O 是平面上一定点，A ，B ，C 平面上不共线的三个点，动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB ABC AC BCAλ=++∠∠，R λ∈，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的() A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 点的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC λ=++，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足22||||BA OA BC AB OB AC +=+，则点(O ) A ．在AB 边的高所在的直线上 B ．在C ∠平分线所在的直线上C ．在AB 边的中线所在的直线上D ．是ABC ∆的外心8．已知O 是锐角三角形ABC ∆的外接圆的圆心，且A θ∠=，若cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+=，则(m = ) A ．sin θB ．cos θC ．tan θD ．不能确定9．在ABC ∆中，5BC =，G ，O 分别为ABC ∆的重心和外心，且5OG BC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能10．ABC ∆外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m 的值( )A ．12B ．2C ．1D ．3411．O 为ABC ∆所在平面内一点，A ，B ，C 为ABC ∆的角，若sin sin sin A OA B OB C OC O ++=，则点O 为ABC ∆的 心．12．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA t AB AC =++，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 心． 平面向量专练3—三角形四心问题 答案1．解：令D 为BC 的中点，则()2OP OA AB AC OA AD λλ=++=+，于是有2AP AD λ=，∴点A 、D 、P 共线，即点P 的轨迹通过三角形ABC 的重心． 故选：D ．2．解：3AB =，7BC =，2AC =由O 为ABC ∆的内心可知，AO 平分A设圆O 交AC 与D ，由余弦定理可得4971cos 2322CAB +-∠==⨯⨯60CAB ∴∠=︒3sin CAB ∴∠=1333232ABC S ∆∴=⨯⨯⨯=内切圆的半径为r ，则根据内切圆的半径公式332336322232710271027s r a b c ==⨯=⨯=++++++ ∴在三角形AOD 中，63221027AO r ==⨯+∴63322571027AO AC =⨯⨯⨯=-+ 故选：D ．3．解：作出如图的图形AD BC ⊥，由于||sin ||sin AB B AC C AD ==，∴()()||||sin ||sin AB AC OP OA OA AB AC AD AB B AC Cλλ=++=++由加法法则知，P 在三角形的中线上 故动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心故选：B ．4解：如图所示，过点A 作AD BC ⊥，垂足为D 点．则||||cos()||||cos ||cos AB BC AB B BCBC AB ABC AB ABCπ-==-∠∠，同理||||cos ACBCBC AC ACD=∠，动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB ABC AC BCAλ=++∠∠，R λ∈．∴()||cos ||cos AB ACAP AB ABC AC ACDλ=+∠∠，R λ∈．∴()(||||)0||cos ||cos BC AB BC ACAP BC BC BC AB ABC AC ACDλλ=+=-+=∠∠，∴AP BC ⊥，因此P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心． 故选：D ．5．解：BC OC OB =-，CA OA OC =-、AB OB OA =-，∴由222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，得222222()()()OA OC OB OB OA OC OC OB OA +-=+-=+-，∴OB OC OA OC OA OB ==，即()()()OC OB OA OA OC OB OB OC OA -=-=-，∴OC AB OA BC OB AC ==，则OC AB ⊥，OA BC ⊥，OB AC ⊥． O ∴是ABC ∆的垂心．故选：D ．6解：||AB AB 、||ACAC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB AC OP OA AB AC λ=++，∴()||||AB ACOP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致 ∴一定通过ABC ∆的内心故选：B ．7．解：取AB 的中点D ，则22||||BA OA BC AB OB AC +=+∴22()||||BA OA OB BC AC +=-+∴2(2)BA OD AB CD =-∴20BA OC =∴BA OC ⊥∴点O 在AB 边的高所在的直线上故选：A ．8．解：设外接圆半径为R ，则：cos cos 2sin sin B CAB AC mAO C B+= 可化为： cos cos ()()2sin sin B COB OA OC OA m AO C B-+-= (*)． 易知OA 与OB 的夹角为2C ∠，OC 与OA 的夹角为2B ∠，OA 与OA 的夹角为0，||||||OA OB OC R ===．则对(*)式左右分别与OA 作数量积，可得：222cos cos cos cos 2sin sin sin sin B B C COA OB OA OC OA OA mOA C C B B-+-=-． 即cos sin B C 2R 22cos (cos21)(cos21)2sin C C R B mR B-+-=-． 2sin cos (2sin cos )2C B B C m ∴-+-=-，sin cos sin cos C B B C m ∴+=，即sin()B C m +=．因为sin sin[()]sin()A B C B C π=-+=+且A θ∠=， 所以，sin sin m A θ==， 故选：A ．9．解：在ABC ∆中，G ，O 分别为ABC ∆的重心和外心， 取BC 的中点为D ，连接AD 、OD 、GD ，如图： 则OD BC ⊥，13GD AD =，OG OD DG =+，1()2AD AB AC =+，由5OG BC =，则()OD DG BC DG BC += 1()56AB AC BC =-+=，即1()()56AB AC AC AB -+-=，则2230AC AB -=-， 又5BC =，则有222226||||||||||5AB AC BC AC BC =+>+，由余弦定理可得cos 0C <， 即有C 为钝角．则三角形ABC 为钝角三角形． 故选：B ．10．解：如图所示：OH AH AO =-，()OH m OA OB OC =++，∴()AH AO m OA OB OC -=++，∴(1)()AH m OA m OB OC =-++，取BC 边的中点D ，连接OD ，则OD BC ⊥，∴2OB OC OD +=，0OD BC =．又AH BC ⊥，∴0AH BC =．∴(1)2AH BC m OA BC mOD BC =-+，0(1)m OA BC ∴=-，又OA BC 不恒为0，∴必有10m -=，解得1m =．故选：C ．11．解：由正弦定理得2sin 2sin 2sin 0R AOA R BOB R COC ++=，即0aOA bOB cOC ++=，由上式可得()()cOC aOA bOB a OC CA b OC CB =--=-+-+，所以()()||||CA CBa b c OC aCA bCB ab CA CB ++=--=-+， 所以OC 与C ∠的平分线共线，即O 在C ∠的平分线上，同理可证，O 也在A ∠，B ∠的平分线上，故O 是ABC ∆的内心． 故答案为内心．12．解：||AB AB 、||ACAC 分别表示与AB 、AC 方向相同的单位向量， ∴||||AB ACAB AC +的方向与BAC ∠的角平分线方向一致； 又()||||AB ACOP OA t AB AC =++， ∴()||||AB ACAP t AB AC =+； ∴AP 的方向与BAC ∠的角平分线方向一致， ∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心．。

2007－2008学年度南昌市高三第一轮复习训练题数学（三）（函数（二））一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是A ． 03≥-≤m m 或B ．03≤≤-mC ．3-≥mD ．3-≤m2．函数212log (231)y x x =-+的递减区间为A.（1，+∞）B.（－∞，43］ C.（21，+∞） D.（－∞，21］ 3．如果()f x 是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上是减函数，那么下述式子中正确的是 A ．)1()43(2+-≤-a a f fB ．)1()43(2+-≥-a a f fC ．)1()43(2+-=-a a f fD ．以上关系均不确定4．函数()f x 、(2)f x +均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，()f x 是减函数，设),21(log 8f a =(7.5)b f =，(5)c f =-,则a 、b 、c 的大小是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>5．若log 9log 90m n <<,那么,m n 满足的条件是（ ）A ．1m n >>B ．01n m <<<C ．1n m >>D ．01m n <<< 6．下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是A .2x x e e y -+= B .1lg 1x y x -=+ C . 3y x = D .y x =7．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是A .()()f x f x -是奇函数B .()()f x f x -是奇函数C .()()f x f x --是偶函数D .()()f x f x +-是偶函数8．设()f x 是奇函数，对任意的实数x 、y ，有,0)(,0),()()(<>+=+x f x y f x f y x f 时且当则()f x 在区间[a ,b ]上A ．有最小值()f aB ．有最大值()f aC ．)2(b a f +有最大值 D ．)2(ba f +有最小值 9．函数()cos 1,(5,5)f x x x x =+∈-的最大值为M ，最小值为m ，则M m +等于A ．0B ．1C ．2D ．410．函数()log (1)[0,1]x a f x a x =++在上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为A ．21B ．41 C ．2 D ．411．已知()y f x =是奇函数，且满足)1()1(-=+x f x f ，当(0,1)x ∈时，xx f -=11log )(2，则()y f x =在(1,2)内是 A ．单调减函数，且()0f x < B ．单调减函数，且()0f x > C ．单调增函数，且()0f x >D ．单调增函数，且()0f x <12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并满足1(2)()f x f x +=，当2≤x ≤3，()f x x =，则 f (5.5)等于A ． －5.5B ．－2.5C ． 2.5D ． 5.5二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。

《等比数列及其前n 项和》专题题型一 等比数列基本量的运算 1、在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为2、已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝3、在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2，若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N ＋)，则m ＝4、在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝5、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝7、设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝8、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为9、设{a n }是公比为正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为10、已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝11、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝12、已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝13、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于________．14、在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15、已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于 16、等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________． 17、若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·5n ＋1，则实数m ＝________．18、已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.19、已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3a 7＝16，则该数列的公比为20、已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于21、已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于22、数列{a n }中，已知对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n等于23、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 018，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 019＝________.24、已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1＝12，且a 2a 8＝2a 5＋3，则a 9＝________. 25、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________.26、等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .题型二 等比数列的性质类型一 等比数列项的性质1、已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝2、在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于3、等比数列{a n }各项均为正数，a 3a 8＋a 4a 7＝18，则1＋2＋…＋10＝ _____4、已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为5、等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________.7、在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为 8、已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9、递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，前n 项和S n ＝42，则n 等于 类型二 等比数列前n 项和的性质1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ 2、设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于3、设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________． 4、已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于5、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝－1，S 4＝－5，则S 6等于6、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N). 题型三 等比数列的判定与证明1、已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8.(1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n 3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；3、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N ＋. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式.题型四 等差、等比数列的综合问题1、在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .2、设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．3、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n a n(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n 4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2．。

第五十三讲 数系的扩充与复数的引入班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.(2010·山东)已知2a ii +=b+i(a,b∈R),其中i 为虚数单位,则a+b=( )A.-1B.1C.2D.3解析:由2a ii +=b+i 得a+2i=bi-1,所以a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.答案:B2.(2010·江西)已知(x+i)(1-i) =y,则实数x,y 分别为( )A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2解析:由(x+i)(1-i)=y 得(x+1)+(1-x)i=y,又因x,y 为实数,所以有1,10y x x =+⎧⎨-=⎩解得1.2x y =⎧⎨=⎩答案:D3.(2010·新课标全国)已知复数z 是z 的共轭复数,则z·z =( )11..42.1.2A B C D解析:∵z======∴z =∴z•z =|z|2=14,故选A.答案:A4.(2010·广东)若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z 1·z 2=( )A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i解析:z 1•z 2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i 2=4+2i.答案:A5.(2010·浙江)对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) A.|z-z |=2y B.z 2=x 2+y 2C.|z-z |≥2xD.|z|≤|x|+|y|解析:|z|==|x|+|y|,D 正确,易知A ､B ､C 错误.答案:D6.(2010·福建)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”,则当2211a b c b =⎧⎪=⎨⎪=⎩时,b+c+d 等于( )A.1B.-1C.0D.i解析:根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c 2=-1得c=±i,因对任意x,y∈S,必有xy∈S,所以当c=i 时,d=-i;当c=-i 时,d=i,所以b+c+d=-1.答案:B二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(2010·北京)在复平面内,复数21i i-对应的点的坐标为________. 解析:22(1)1(1)(1)i i i i i i +=--+ =-1+i,故其对应的点的坐标是(-1,1). 答案:(-1,1)8.(2010·重庆)已知复数z=1+i,则2z-z=________.解析:222(1)(1)1(1)(1)iz iz i i i--=-+=-++-(1+i)=(1-i)-(1+i)=-2i.答案:-2i9.(2010·江苏)设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为________. 解析:∵z(2-3i)=6+4i,∴z=6423ii+-,∴|z|=2|32|2.|23|ii+=-答案:210.已知复数z=x+yi且则yx的最大值是________;最小值是________.解析:∵|z∴(x-2)2+y2=3,则yx可看作是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的斜率,设yx=k,则直线y=kx与圆相切时,k可以取到最大或最小值.=解得k=k=最小值为答案三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.当实数m为何值时,z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(1)为纯虚数;(2)为实数;(3)对应的点在复平面内的第二象限内.解:(1)若z为纯虚数,则有22(22)0320lg m mm m⎧--=⎪⎨++≠⎪⎩即2221(1)(2)0m m m m ≠⎧--=⎨++⎩⇒(3)(1)0(1)(2)0m m m m ≠-+=⎧⎨++⎩∴m=3;(2)若z 为实数,则有22220320m m m m ⎧-->⎪⎨++=⎪⎩ ⇒m=-1或m=-2;(3)若z 对应的点在复平面内的第二象限,则有2222220(22)0221320(1)(2)0m m lg m m m m m m m m ⎧-->⎧--<⎪⎪--<⎨⎨++>⎪⎩⎪++>⎩⇒111321m m m m m ⎧<>+⎪-<<⎨⎪<->-⎩或⇒或12.复数z 1=3+4i,z 2=0,z 3=c+(2c-6)i 在复平面内对应的点分别为A ､B ､C,若∠BAC 是钝角,求实数c 的取值范围.解:在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC 是钝角得AB AC <0,且B ､A ､C 不共线,由(-3,-4)·(c -3,2c-10)<0解得c>49,11其中当c=9时,(6,8)2AC AB ==- ,三点共线,故c≠9.∴c 的取值范围是c>4911且c≠9. 13.已知复数z=1+i,求实数a,b,使得az+2b z =(a+2z)2.分析:充分利用共轭复数的性质､复数相等的充要条件即可解出,在求解过程中,整体代入可获得简捷明快､别具一格的解法.解:因为z=1+i,因为a,b都是实数,所以可得224,24(2).a b a a a b a⎧+=+⎨-=+⎩解得112 1a b =-⎧⎨=-⎩或2 24, 2.a b =-⎧⎨=⎩即a=-2,b=-1或a=-4,b=2.。