高等数学下册习题课件：TK13三重积分

3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数

y

2
d
4
R
sin d r 4 d r
1R5(2
2)
31
例1. 计算三重积分 (x2y2z2)dxdydz,其中为

锥面 z x2 y2与球面 x2y2z2R2所围立体.
解: 在球面坐标系下
0rR

:


0 4
02
z rR

4 z x2 y2
(x2y2z2)dxdydz
o
x
z
zz2(x,y)
面上的投影为闭区D域,
z2 S2
S1: zz1(x,y), S2 : zz2(x,y),

z1 S1
zz1(x,y)
过(点 x,y)D作直 , 线 ao 从z1穿入z， 2穿从 出 xb ．
D
(x, y) yy1(x)
y
yy2(x)
5
化三重积分为三次积分
f(x, y,z)dxdydz ( z2(x,y) f(x,y,z)dz)dxdy
所围成的立体如图，
24
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2y2 16,
0 2
0 r 4
1 :

r
2

z

, 8
2
D2 : x2y24, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2

r2

z

. 2
2
25
I I1I2
(x2 y2)dxdydz(x2 y2)dxdy,dz
0
0
2
2d
0
4r2rd

0 2
在球面坐标下 x2 y2 z2 2, 因此
1. 若被积函数形如 f (x2 y2 z2);
2. 积分区域是由球面、锥面或平面所围成. 常用球面坐标计算
球面坐标下的三坐标面分别为
z
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
=常数:
M
S
ρ
0
x y
动点M(ρ, ,)
ρ=常数: 球面S
f
( x,
y, z)dxdy.
例4 计算三重积分 zdxdydz, 其中为三个坐
标面及平面x y z 1所围成的闭区域.
解 截面法(先二后一法)
zdxdydz
1
0
zdz
dxdy
Dz
Dz {(x, y) | x y 1 z}
z
1 x yz1
1O
x
Dz
1y
1
dxdy 2(1 z)(1 z)
z
• M (x, y, z)
z
O
Ax x
y
•P
y
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的
夹角为 , 称 ( , , ) 为点M 的球面坐标. 规定: 0 , 0 , 0 2 .
直角坐标与球面坐标的关系为
x sin cos
y
sin
sin
z cos
0 0
z
C
=常数: 锥面C
=常数: 半平面P
M
S
P
0
x
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面ρ+dρ
半平面 及+d ； ρsind
半径为ρ及ρ+dρ的球

解 立体的图形为 设1为 在第一卦限内
的部分, 利用对称性得
z 1
M 4M1 4 ( x, y, z)dv
1
o
y
4( x y )dv 柱坐标变换 x
1
1
1
4 2 d rdr r(cos sin )dz
0
0
r2
4
2 (cos sin )d
1
r
2
(1
r
2
)dr
0
0
16。 15
13
设有一平面薄片占有 y
平面闭区域D, 在点(x,y)
处具有连续面密度
=(x,y)，下面利用元素
y
•d
D
法求该平面薄片对两坐
标轴的转动惯量。
O
x
x
先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一
个部分d，它的质量元素为
dm ( x, y)d
这个部分d对于x轴以及对于y轴的转动惯
量元素为
dIx y2( x, y)d dI y x2( x, y)d
F
x, y, a 一致。
F0
x r
,
y,a rr
o x
x
y
• P(x,y,0) y
cos,cos ,cos , (r x2 y2 a2 )
dF {dFx , dFy , dFz }
{| d F | cos,| d F | cos ,| d F | cos },
( x, y)xd ( x, y) yd a( x, y)d
14
y
以这些元素为被积表达 式，在闭区域D上积分， 可得
y
•d
D
Ix y2( x, y)d ,OD源自I y x2( x, y)d