高等数学-第九章 三重积分及应用

第九章 重积分 复习要点

§1 二重积分

一、二重积分的概念及性质

1. 了解二重积分的定义

01(,)lim(,)niiiiDfxydf

2. 知道二重积分的几何意义

当(,)0fxy时, (,)Dfxyd表示：以区域D为底,以曲面),(yxf为顶的曲顶柱体的体积

3. 二重积分的主要性质

(1) 线性性 DDDdyxgdyxfdyxgyxf),(),()],(),([

(2)可加性 若21DDD，则21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf

(3) Dd (为区域D的面积.)

二、掌握二重积分的计算

基本思想：化为两次单积分来计算

1. 二重积分在直角坐标系下的计算

在直角坐标系下 dxdyyxfdyxfDD),(),(

(1) 当积分区域D为x型区域，即D为：bxa，)()(21xyyxy时，二重积分可化为先y后x的两次积分积分 21()()(,)(,)byxayxDfxyddxfxydy

(2) 当积分区域D为y型区域，即D为：dyc，)()(21yxxyx时，二重积分可化为先x后y的两次积分积分 21()()(,)(,)dxycxyDfxyddyfxydx

2. 二重积分在极坐标系下的计算

在极坐标系下 ddfdyxfDD)sin,cos(),(

其中cosx，siny 几种常见的类型为：

（1）若积分区域D为圆域：222ayx时

aDdfddyxf

0 2

0 )sin,cos( ),(

（2）若积分区域D为圆域：ayyx22)0(a时

sin

0

1 o x y

D1 第9章 重积分典型例题

一、二重积分的概念、性质

1、二重积分的概念：d01(,)lim(,)niiiiDfxyf

其中：D：平面有界闭区域，

：D中最大的小区域的直径（直径：小区域上任意两点间距离的最大值者），

i：D中第i个小区域的面积

2、几何意义：当(,)0fxy时，d(,)Dfxy表示以曲面(,)zfxy为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积。所以d1D表示区域D的面积。

3、性质（与定积分类似）：:线性性、对积分区域的可加性、比较性质、估值性质、二重积分中值定理

二、二重积分的计算

1、在直角坐标系下计算二重积分

（1） 若D为X型积分区域：12,()()axbyxyyx，则

21()()(,)(,)byxayxDfxydxdydxfxydy

（2）若D为Y型积分区域：12,()()cydxyxxy，则

21()()(,)(,)dxycxyDfxydxdydyfxydx

（3）D必须经过分割才能化为若干块X－型或者Y－型区域之和，如图，则

123(,)(,)(,)(,)DDDDfxydxdyfxydxdyfxydxdyfxydxdy

（4）被积函数含有绝对值符号时，应将积分区域分割成几个子域，使被积函数在每个子域保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号。

（5）对称性的应用

xyO3D2D1D 2 o x y

D1

1(,)2(,),(,)0(,)DDfxydxdyfxydxdyfxyyDxfxyy关于为偶函数区域关于轴对称，　　　　　　　　　　　　　关于为奇函数

1(,)2(,),(,)0(,)DDfxydxdyfxydxdyfxyxDyfxyx关于为偶函数区域关于轴对称，　　　　　　　　　　　　　关于为奇函数

（6）积分顺序的合理选择：不仅涉及到计算繁简问题，而且又是能否进行计算的问题。凡遇到如下积分：2222sin1,sin,cos,,,,lnyxxxxdxxdxxdxedxedxedxdxxx一定要放在后面积分。

解 ,0:2

2

+≤≤Ωy x z

x

y

z

1D :⎨

⎧≤≤02

x z

221

D 2

D

z 例4 计算三重积分 ∫∫∫ zdxdydz ，其中 Ω 为三个坐标面及平面 x + y + z = 1 所

Ω 围成的闭区域. 解（一） ∫∫∫ zdxdydz Ω = ∫ zdz ∫∫ dxdy, 0 Dz 1 Dz = {( x, y | x + y ≤ 1

− z} ∫∫ dxdy = 2 (1 − z (1 − z Dz 1 原式 = ∫ z ⋅ 2 (1 − z dz = 24 . 2 0 1 1 1 z 1 o 1 x y 1

解（二） ∫∫∫ zdxdydz = ∫ zdz ∫ Ω 1 1− z 0 0 dy ∫ 1− y − z 0 dx = ∫ zdz ∫ 0 1 1− z 0 1 1 1 (1

− y − z dy = ∫ z ⋅ (1 − z 2 dz = . 0 2 24 例 5 计算三重积分 2 ∫∫∫ z dxdydz ，其中 Ω 是由椭球面 Ω x2 y2 z 2 + + = 1 所成的 a 2 b2 c 2 6

空间闭区域. 解 z Dz o y x Ω: 原式 = {( x, y, z | −c ≤ z ≤ c, x2 y2 z2 + ≤ 1− 2 } a 2

b2 c ∫ c −c z 2 dz ∫∫ dxdy, Dz ∵ Dz = {( x, y | x2 y2 z2 + 2 ≤ 1− 2 } a2 b c ∴ ∫∫ dxdy = π

a 2 (1 − Dz z2 z2 z2 ⋅ b 2 (1 − 2 = πab(1 − 2 , c c2 c 原式 = 例 6 ∫ c −c πab(1 − z2 2 4 z dz = πabc 3 . 2 c 15 计算三重积分 ∫∫∫ y Ω 1 − x 2 dxdydz ，其中 Ω 由曲面 y = − 1 − x

三重积分的椭球体积重心计算问题

三重积分是高等数学中的一种重要的计算方法，通常用于计算三维立体图形的体积、重心等物理量。其中椭球体积重心计算问题是三重积分的经典应用之一，本文将从椭球体积的计算和重心的求解两个方面，深入探讨三重积分在这一问题中的应用。

一、椭球体积的计算

椭球是三维空间中的一种常见几何体，由三个轴长不同的椭圆围成。其体积计算公式为：

V = 4/3πabc

其中a、b、c分别为椭球三个轴的长度。对于任意一个椭球而言，其体积的计算都可以通过三重积分来实现。

假设椭球的方程为：

(x^2/a^2) + (y^2/b^2) + (z^2/c^2) = 1

则可得到该椭球的体积公式为：

V = ∭(0<=z<=c) ∭(0<=y<=b*√(1-z^2/c^2)) ∭(0<=x<=a*√(1-y^2/b^2-z^2/c^2)) dxdydz

其中符号“∭”表示三重积分符号，dxdydz为积分变量。

这里需要注意的是，由于椭球的方程为二次曲面方程，故积分区域不是简单的矩形或圆柱体，而是在三维空间中的一个不规则区域。因此在计算时需要对积分区域进行适当的变量替换和坐标系转换，以求得正确的结果。

二、椭球体积重心的求解

求解椭球体积的重心位置也是三重积分在椭球问题中的关键应用之一。重心是一个几何体的重量分布均匀的点，对于椭球而言，其重心位置为：

xg = 0

yg = 0 zg = 0

其中xg、yg、zg分别表示重心在坐标系中的x、y、z坐标值。其计算公式为：

xg = ∭(0<=z<=c) ∭(0<=y<=b*√(1-z^2/c^2)) ∭(0<=x<=a*√(1-y^2/b^2-z^2/c^2)) xdxdydz / V

yg = ∭(0<=z<=c) ∭(0<=y<=b*√(1-z^2/c^2)) ∭(0<=x<=a*√(1-y^2/b^2-z^2/c^2)) ydxdydz / V

zg = ∭(0<=z<=c) ∭(0<=y<=b*√(1-z^2/c^2)) ∭(0<=x<=a*√(1-y^2/b^2-z^2/c^2)) zdxdydz / V