高等数学第九章(三重积分

高等数学中的三重积分与曲面积分在高等数学中，三重积分和曲面积分是两个重要的概念和计算方法。

它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍三重积分和曲面积分的基本概念、计算方法以及它们的应用。

一、三重积分三重积分是对三维空间中某一区域内的函数进行求和的方法。

它可以看作是二重积分的推广。

三重积分的计算需要确定积分区域的边界和积分函数的形式。

一般来说，三重积分可以分为直角坐标系下的三重积分和柱坐标系下的三重积分。

在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过分割积分区域为小立方体，并对每个小立方体进行求和来实现。

具体地，我们可以将积分区域分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV，然后对每个小立方体内的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。

这种方法称为立体分割法。

在柱坐标系下，三重积分的计算可以通过极坐标变换来实现。

具体地，我们可以将积分区域由直角坐标系转化为柱坐标系，然后对柱坐标系下的函数进行积分。

柱坐标系下的三重积分的计算方法相对简单，适用于具有旋转对称性的问题。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行求和的方法。

它可以看作是线积分的推广。

曲面积分的计算需要确定曲面的参数方程和积分函数的形式。

一般来说，曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行求和的方法。

具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。

第一类曲面积分的计算方法相对简单，适用于曲面上的标量场问题。

第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行求和的方法。

具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的向量函数进行求和，并在极限情况下求得积分的值。

第二类曲面积分的计算方法相对复杂，适用于曲面上的向量场问题。

三、应用三重积分和曲面积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

三重积分圆柱法公式三重积分圆柱法公式，这可是高等数学中的一个重要知识点。

对于很多同学来说，一听到“三重积分”这几个字，可能就会觉得头大。

但别担心，咱们今天就来好好聊聊这个圆柱法公式，把它变得简单易懂。

先来说说啥是三重积分。

想象一下，咱们有一个三维的空间区域，就像是一个立体的大盒子，里面充满了各种各样的东西。

我们想要知道这个区域里这些东西的总量，这时候就用到三重积分啦。

而圆柱法公式呢，就像是我们在这个立体盒子里找东西的一个特别工具。

给大家讲个我自己教学时候的事儿。

有一次上课，我在黑板上写下三重积分圆柱法公式，然后问同学们：“这看起来是不是有点复杂？”结果有个同学大声说：“老师，这不是有点复杂，这是非常复杂！”全班哄堂大笑。

其实啊，这个公式看起来复杂，但是咱们把它拆解一下，就会发现也没那么可怕。

咱们先来看圆柱坐标系是啥。

它就是把咱们熟悉的直角坐标系换了个“马甲”。

在圆柱坐标系中，一个点的位置用(r, θ, z) 来表示。

r 表示点到 z 轴的距离，θ 表示绕 z 轴旋转的角度，z 就是高度。

那三重积分圆柱法公式到底长啥样呢？它是：∫∫∫ f(r, θ, z) r dr dθ dz 。

这里面的 r 可别忽略啦，它是个关键。

因为有了它，在计算积分的时候，就像是给我们的计算过程加了个“助推器”。

比如说，我们要计算一个圆柱体内部的某个物理量的总和。

如果用直角坐标系，那计算量可大了去了。

但要是用圆柱坐标系，结合圆柱法公式，就会简单很多。

咱们来具体做个例子感受一下。

假设我们要计算一个半径为 R，高度为 H 的圆柱体，里面的函数是f(r, θ, z) = r^2 + z 。

首先，确定积分的上下限。

r 的范围是从 0 到 R，θ 的范围是从 0 到2π，z 的范围是从 0 到 H。

然后，把函数代入圆柱法公式进行计算。

这一步就需要我们细心认真，一步一步来，可不能着急。

经过一番计算，就能得出最终的结果啦。

在学习这个公式的过程中，大家一定要多做练习题。

三重积分的坐标系和坐标变换三重积分是高等数学中重要的内容之一，它在实际应用中经常被用到。

三重积分的计算与坐标系和坐标变换不可分割，这篇文章将探讨三重积分的坐标系和坐标变换的重要性及其计算方法。

一、坐标系坐标系是数学中一种很重要的概念，是用来描述物体在空间中位置的一种方法。

三维空间中常用直角坐标系，极坐标系和柱面坐标系。

其中直角坐标系是最常用的。

1. 直角坐标系三维空间中的直角坐标系就是我们常见的“立体直角坐标系”。

分别以 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴为三个坐标轴，它们的正半轴的轴向成 $120^{\circ}$ 的夹角。

直角坐标系中的坐标点表示为$(x,\,y,\,z)$，它表示在 $x$ 轴正半轴上走 $x$ ，在 $y$ 轴正半轴上走 $y$ ，在 $z$ 轴正半轴上走 $z$ 后所到达的点。

2. 极坐标系极坐标系常用于描述二维空间中的点，但它同样适用于描述三维空间中的点。

极坐标系的坐标是 $(r,\,\theta,\,\varphi)$，其中$r$ 表示该点到原点的距离，$\theta$ 表示该点到 $x$ 轴正半轴的极角，$\varphi$ 表示该点到 $z$ 轴正半轴的方位角。

在极坐标系中，点的坐标用球面坐标来表示。

3. 柱面坐标系柱面坐标系常用于描述宽度不大的物体，这种坐标系中的点被表示为 $(r,\,\theta,\,z)$。

其中 $r$ 表示该点到 $z$ 轴的距离，$\theta$ 表示该点到 $x$ 轴正半轴的极角，$z$ 表示该点到 $xy$ 平面的距离。

二、坐标变换坐标变换是指从一个坐标系转变为另一个坐标系。

坐标变换的目的是为了简化问题、匹配实际应用，使得坐标系变得更加适用。

1. 直角坐标系转极坐标系若要将坐标 $(x,\,y,\,z)$ 转换成极坐标系坐标$(r,\,\theta,\,\varphi)$，我们应该通过以下公式获得：$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\,\theta=\arctan\frac{y}{x},\,\varphi=\arcc os\frac{z}{r}$$2. 直角坐标系转柱面坐标系若要将坐标$(x,\,y,\,z)$ 转换成柱面坐标系坐标$(r,\,\theta,\,z)$，我们应该通过以下公式获得：$$r=\sqrt{x^2+y^2},\,\theta=\arctan\frac{y}{x},\,z=z$$3. 极坐标系转直角坐标系若要将坐标 $(r,\,\theta,\,\varphi)$ 转换成直角坐标系坐标$(x,\,y,\,z)$，我们应该通过以下公式获得：$$x=r\sin\varphi\cos\theta,\,y=r\sin\varphi\sin\theta,\,z=r\cos\varphi $$4. 柱面坐标系转直角坐标系若要将坐标$(r,\,\theta,\,z)$ 转换成直角坐标系坐标$(x,\,y,\,z)$，我们应该通过以下公式获得：$$x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta,\,z=z$$三、三重积分计算方法三重积分是在三维空间中计算物体的体积、重心、惯量等物理量的一种数学方法。

重积分知识点重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。

它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。

下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。

一、定义重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。

二、性质1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有：$$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$其中$a,b$为常数。

2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域$\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$三、计算方法1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。

2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。

3.极坐标法：适用于旋转对称的区域，可以通过极坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。

4.柱面坐标法：适用于柱面对称的区域，可以通过柱面坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。

三重积分的体积计算问题三重积分是高等数学中的一个重要概念，它是对三维空间内的某一物理量进行计算的方法之一。

而在实际应用中，三重积分的体积计算问题也经常被人们所关注。

在本文中，我将探讨三重积分的体积计算问题，并结合一些具体例子，阐述三重积分在实际计算中的应用。

一、三重积分的定义在了解三重积分的体积计算问题之前，先让我们回顾一下三重积分的基本定义。

三重积分是对三维空间内某一物理量进行计算的一种方法。

它的定义可以表示为：$$\iiint\limits_D f(x,y,z) \mathrm{d}V$$其中，$D$ 表示积分区域，$f(x,y,z)$ 表示要计算的物理量，$\mathrm{d}V$ 表示体积微元。

在三重积分中，积分区域 $D$ 可以是任何形状的三维空间区域，如长方体、球体、圆柱体、锥形等等。

二、三重积分的体积计算方法在三重积分中，如果要计算一个区域 $D$ 所包含的体积，可以使用以下公式：$$V=\iiint\limits_D \mathrm{d}V$$这个公式的意思就是对积分区域 $D$ 中的所有体积微元$\mathrm{d}V$ 进行累加，从而得到整个区域 $D$ 的体积。

当积分区域 $D$ 为长方体时，我们可以使用以下公式来计算体积：$$V=\int_a^b \int_c^d \int_p^q\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$$其中 $a、b、c、d、p、q$ 分别为长方体的六个面的坐标值。

当积分区域 $D$ 为球体时，我们可以使用以下公式来计算体积：$$V=\iiint\limits_D \mathrm{d}V=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \int_0^rr^2 \sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\mathrm{d}r$$其中，$\theta$ 和$\phi$ 分别为球面坐标系中的极角和方位角，$r$ 为球体的半径。

高数大一知识点三重积分高等数学是大学数学专业的一门重要课程，对于数学专业的学生来说，掌握高数知识点是非常重要的。

在大一的高等数学课程中，三重积分是一个非常重要的知识点。

下面将从基本概念、计算方法和应用等几个方面来介绍三重积分。

一、基本概念三重积分是对三维空间中的函数进行积分运算。

如果一个三维空间中的函数在某个区域上是连续的，那么可以对这个函数进行三重积分。

三重积分可以看作是对空间中的体积进行求和的过程。

在三重积分中，我们需要确定积分函数、积分区域、积分方向和积分顺序等要素。

二、计算方法三重积分的计算方法有直接计算法和间接计算法两种。

直接计算法是将积分区域划分成小的立体元，然后对每个立体元进行积分计算，最后将所有立体元的积分结果相加得到最终的积分结果。

间接计算法是利用高斯公式和格林公式来进行计算。

高斯公式是将三重积分转化为对闭合曲面上的二重积分，然后再将二重积分转化为对曲线上的一重积分。

格林公式则是将曲线积分转化为坐标轴上的一重积分。

利用这两个公式，可以将三重积分的计算转化为一重积分的计算，简化了计算的步骤。

三、应用三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

在物理学中，三重积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。

例如，在力学中，我们可以通过对物体密度分布函数进行三重积分来计算物体的质量。

在工程学中，三重积分可以用来计算物体的体积、质量、质心等。

例如，在建筑工程中，我们可以通过对建筑结构进行三重积分来计算结构的体积和质量。

在计算机图形学中，三维模型的表面可以通过三重积分来进行渲染和着色。

例如，通过对三维物体的颜色分布进行三重积分，可以得到物体在不同方向上的颜色分布，从而实现逼真的渲染效果。

四、总结三重积分是大一高等数学中的一个重要知识点，掌握三重积分的基本概念、计算方法和应用是非常重要的。

通过对三重积分的学习和应用，可以提高数学建模和问题求解的能力，并在物理学、工程学和计算机图形学等领域中发挥重要作用。

三重积分求导三重积分是高等数学中的一个重要概念，用于求解三维空间中的体积、质量、质心等问题。

在本文中，我们将探讨三重积分的概念、性质以及如何对其进行求导。

我们来了解一下三重积分的概念。

三重积分是对三维空间中的一个区域进行积分，它可以表示为∭f(x, y, z)dV，其中f(x, y, z)是被积函数，dV是体积元素。

三重积分的结果是一个数值，表示函数f在给定区域上的总体积或总质量。

对于三重积分的求导，我们需要先了解一些预备知识。

在多元函数的求导中，我们知道偏导数可以用来描述函数在某个方向上的变化率。

类似地，三重积分的求导可以理解为对函数在三维空间中各个方向上的变化率进行求解。

在求解三重积分的导数时，我们需要注意一些性质。

首先，三重积分的导数与求导顺序无关，即导数与积分顺序可交换。

其次，如果被积函数f(x, y, z)连续且可导，则对于任意一个变量，可以先对其求导再进行积分。

接下来，我们以一个具体的例子来说明如何对三重积分进行求导。

假设我们要求解函数f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2在区域D上的导数，其中区域D是一个球体，半径为r。

我们可以对函数f(x, y, z)进行求导，得到导函数为∂f/∂x = 2x，∂f/∂y= 2y，∂f/∂z = 2z。

然后，我们可以将这些导函数分别与体积元素dV 进行乘积，得到导数在每个方向上的积分。

具体而言，对于x方向上的导数，我们可以将导函数∂f/∂x与体积元素dV相乘，得到2xdV。

然后，对整个区域D进行积分，即∫∫∫2xdV。

同样地，对y方向和z方向上的导数也可以进行类似的操作。

将三个方向上的导数进行相加，即∫∫∫(2x + 2y + 2z)dV，即可得到函数f(x, y, z)在区域D上的导数。

需要注意的是，实际上，对于三重积分的导数求解并不常见，因为三重积分通常用于求解体积、质量等问题，而不是对函数进行导数运算。

但是，对于某些特殊的问题，如质心的求解等，可能会涉及到对三重积分进行导数运算。

学法教法研究任水平,对公司、对社会也将是一件善事。

一是建立明晰的伦理道德责任。

从目前来看,各种类似“天津港的爆炸案”的案例已经不在少数,每天可能都在上演着,尽管造成这种事故的原因各式各样,有的是自然因素,有的是人为因素,但只要我们细细分析,大多与我们工程师的道德观念崩塌有着或多或少的关系,更有甚者,工程师没有履行职责,尤其是伦理责任没有到位而造成了巨大的损失。

二是建立责任评价和追究机制。

目前,我国的工程师主要是在公司、企业、政府担任一定的职责,在承担责任时往往都是单位,尤其是在追究道德层面的责任,由于责任不清晰,无法认定。

或者根本就没有单独制定这样的评价机制。

对工程师的约束就很少以至于没有,所以,建立公开、公正、公平的工程责任评价和追究机制是非常必要的,从制度机制层面明确工程活动主体的责任,对于社会、对企业或者工程师个人都是大有裨益的。

三是加强伦理教育,提升工程师伦理责任意识。

我们无论大学还是社会,对于工程师的伦理道德教育都不能放松,没有一定的伦理道德教育作为基础,想要工程师们的伦理责任有大幅的提高也是不可能的。

目前,我们的高校在人才培养上,可能注重工程专业技术的培训多,而对于工程师伦理责任的培养却是非常的少,重视程度还不是很够。

所以我们大学应该采取多种措施,加大对工程师伦理道德的培养。

当然,在现实社会中,工程伦理又是实践性和应用性很强的学科,必须结合工程的实际问题,培养出具有生态伦理价值观、思维观和执行力的工程技术人才。

通过以上结合天津港爆炸事件分析,对工程师的伦理责任有了更深层次的认识。

社会的进步和发展离不开工程建设活动,生态文明建设更离不开有效的工程活动,我们的工程师要切实树立增强伦理责任的理念,在工程的设计、施工中既要体现对企业、对公司的经济效益负责,又要体现出对社会、对环境的责任。

参考文献:[1]李世新.谈谈工程伦理学[J].哲学研究,2013(02).[2]张铁山.论阻碍工程师伦理责任发挥的因素及其对策[J].漯河职业技术学院学报,2012(01).[3]何放勋.论工程师的伦理责任[J].湖南工程学院学报,2012(04).[4]胡岩.对工程师伦理责任的探讨[J].中北大学学报(社会科学版),2012(04).三重积分的计算方法张辉李应岐陈春梅(火箭军工程大学理学院陕西西安710025)【摘要】介绍了计算直角坐标下三重积分的六种方法,给出相应的求解思路,并辅以典型例题,旨在使学生对三重积分的计算有更深的理解和掌握。

习题9.11.二元函数()y x f ,在有界闭区域D 可积的充分与必要条件是什么？它的几何意义和物理意义是什么？【答】几何意义表曲顶柱体的体积的代数和；物理意义表平面薄片的质量. 2.设()(){}11|,22≤+-=y x y x D ，则二重积分⎰⎰=Ddxdy π.【解】根据二重积分的性质，⎰⎰Ddxdy 等于积分区域D 的面积.而此处积分区域D 是半径为1的圆域，因此其面积为π. 3.求⎰⎰Ddxdy 4，其中(){}1|,≤+=y x y x D .【解】⎰⎰Ddxdy 4()()824442=⨯===⎰⎰D S dxdy D.4.如果闭区域D 被分成区域1D 、2D 且()5,1⎰⎰=D dxdy y x f ，()1,2⎰⎰=D dxdy y x f ，求()⎰⎰Ddxdy y x f ,.【解】根据二重积分的性质()⎰⎰Ddxdy y x f ,()⎰⎰+=1,D dxdy y x f ()615,2=+=⎰⎰D dxdy y x f .5.设()⎰⎰+=13221D d y x I σ， (){}22,11|,1≤≤-≤≤-=y x y x D ；()⎰⎰+=23222D d y x I σ，其中(){}20,10|,2≤≤≤≤=y x y x D .试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之 间的关系.【解】因为积分区域2D 关于x 轴及y 轴均对称，且被积函数()()322,y x y x f +=为偶函数，故根据二重积分的对称性知214I I =. 6.估计下列积分的值. （1）⎰⎰+=Dy xd e I σ22，其中(){}41|,22≤+≤=y x y x D ；【解】积分区域D 的面积πσ3=.显然被积函数()32,y x e y x f +=在积分区域D 内有最小值e e m ==1及最大值4e M =，因此由估值定理知 433e I e ππ≤≤.（2）⎰⎰=Dyd x I σ22sin sin ，其中(){}ππ≤≤≤≤=y x y x D 0,0|,.【解】积分区域D 的面积2πσ=.显然被积函数()x x y x f 22sin sin ,=在积分区域D 内有最小值()00,0==f m 及最大值12,2=⎪⎭⎫⎝⎛=ππf M ，因此由估值定理知20π≤≤I .7.设函数()y x f ,在点()b a ,的某个邻域内连续，D 表示以点()b a ,为圆心且完全含在上述邻域内的圆域（半径为R ）.求极限 ()⎰⎰→DR d y x f R σπ,1lim20.【解】积分区域D 的面积2R πσ=.由积分中值定理知 ()⎰⎰Dd y x f σ,()()ηξπσηξ,.,2f R f ==.显然当0→R 时，()()b a ,,→ηξ，所以 ()⎰⎰→DR d y x f R σπ,1lim20()()b a f f R ,,lim 0==→ηξ.8.设区域(){}1|,22≤+=y x y x D ，()y x f ,为区域D 上的连续函数，且 ()()dxdy y x f y x y x f D⎰⎰---=,11,22π. ① 求()y x f ,.【解】记 ()dxdy y x f a D⎰⎰=,. ②则①成为()πay x y x f ---=221,. ③由③得()⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=DDDdxdy adxdy y x dxdy y x f π221,. ④其中，根据几何意义及性质可知32134211322ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=--⎰⎰dxdy y x D.π=⎰⎰Ddxdy .所以由④式得到 3.32ππππ=⇒-=a a a . 将3π=a 代入③即得到()311,22---=y x y x f .习题9.21.在化二重积分时，选择坐标系的原则是什么？【解】选择坐标系的原则主要是根据积分区域的形状，具体地讲，积分区域的边界曲线是用直角坐标方程表示方便还是用极坐标方程表示简洁.当然，被积函数的特征也要考虑，如形如()22y xf+的积分就首选极坐标系来计算.2.先画出积分区域，再计算二重积分.（1）()⎰⎰+Dd y x σ22，其中D 是矩形区域：1,1≤≤y x ；【解】记(){}10,10|,1≤≤≤≤=y x y x D .由对称性知()⎰⎰+Dd y xσ22()⎰⎰+=1224D d y x σ()dy y x dx ⎰⎰+=101224⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=101032|314dx y y x 3831314314101032|=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰x x dx x .（2）()⎰⎰++Dd y y x x σ3233，其中D 是矩形区域：10,10≤≤≤≤y x ；【解】()⎰⎰+Dd y xσ22()dy y y x x dx ⎰⎰++=10103233⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10104223|4123dx y y x y x1412141412310103423|=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰x x x dx x x .（3）()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的区域；【解】()⎰⎰+Dd y x σ23()dy y x dx x⎰⎰-+=202023()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-20202|3dx y xy x()()[]()3204324222232020232022|=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=-+-=⎰⎰x x x dx x x dx x x x .（4）()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π，()ππ,的三角形区域；【解】()⎰⎰+Dd y x x σcos ()dy y x x dx x ⎰⎰+=π00cos ()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π00|sin dx y x x x()⎰⎰⎰-=-=πππ0sin 2sin sin 2sin xdx x xdx x dx x x x()()⎰⎰+-=ππ00cos 2cos 21x xd x xd 【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰ππππ0000cos cos 22cos 212cos 21||xdx x x x xd x xπππππππ2321sin 2sin 2121||00-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x x .（5）⎰⎰Dxy dxdy ye ，其中D 是由曲线2,2,1===y x xy 所围成的区域； 【解】⎰⎰Dxydxdy ye dy ye dx x xy⎰⎰=22121()x d e yd x x xy ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221211x d dy e ye x x xy x xy ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2212121|1x d e x x e e x x xy x⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221212|1121 x d e x e x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22122212x d e x x⎰=221212x d e xx ⎰-221221其中=⎰x d e x x 221221⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰x d e x 12212【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰2212221211|x x e d x e x ++-=e e 2214x d e xx ⎰221212.所以⎰⎰Dxydxdy ye -=⎰x d e x x 221212e e dx e x e e x22112221422214-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎰. （6）()⎰⎰+Ddxdy y x sin ，其中D 是矩形区域：ππ20,0≤≤≤≤y x .【解】以直线π=+y x 及π2=+y x 将区域D 分成三个子区域：321D D D D ⋃⋃=.其中，⎩⎨⎧≤≤-≤≤,0,0:1ππx x y D ， ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-,0,2:2πππx x y x D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤-,0,22:3πππx y x D ()dy y x dx I x⎰⎰-+=ππ0sin ()dy y x dx x x ⎰⎰--+-+πππ02sin ()dy y x dx x⎰⎰-++πππ022sin其中()dy y x dx x⎰⎰-+ππ0sin ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-ππ00|cos ()()πππ=+=+=⎰|0sin cos 1x x dx x ；()dy y x dx xx⎰⎰--+-πππ02sin ()dx y x xx ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--πππ02|cosππ220==⎰dx ；()dy y x dx x ⎰⎰-+πππ022sin ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-πππ022|cos ()()πππ=-=-=⎰|0sin cos 1x x dx x .所以 .42ππππ=++=I3.化二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,为二次积分，且二次积分的两个变量的积分次序不同，其中积分区域D 为：（1）由直线x y =及抛物线x y 42=所围成的区域；【解】联立⎩⎨⎧==,4,2x y x y 解得⎩⎨⎧==,0,0y x 或⎩⎨⎧==.4,4y x 所以直线x y =及抛物线x y 42=的交点为()0,0及()4,4.（i ）若视区域D 为-X 型区域，则⎩⎨⎧≤≤≤≤.40,2:x x y x D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰=402,xxdy y x f dx .（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.40,41:2y y x y D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰=40412,y y dx y x f dy .（2）半圆形区域222r y x ≤+，0≥y .（i ）若视区域D 为-X 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤.,0:22r x r x r y D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰--=rrx r dy y x f dx 320,.（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--.0,:3222r y y r x y r D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰---=ry r y r dx y x f dy 03222,.4．交换下列积分次序 （1）()⎰⎰--21222,x x xdy y x f dx ；【解】D 是由圆周曲线()1122=+-y x ，2=+y x 【两曲线交于点()1,1】所围成的区域.故()⎰⎰--21222,x x xdy y x f dx ().,11122⎰⎰-+-=y ydy y x f dy（2）()⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0,；【解】积分区域D 由曲线x y ln =，及x 轴和直线e x =所围成. 若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则⎩⎨⎧≤≤≤≤,10:1y ex e D y ，所以()⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0,().,10⎰⎰=eey dx y x f dy（3）()⎰⎰102,x xdy y x f dx ；【解】积分区域D 由抛物线x y 42=及两直线x y =和直线1=x 所围成.若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则需要将D 分块： 21D D D ⋃=.其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,1041:21y yx y D ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21141:22y x y D .所以 ()⎰⎰102,xxdy y x f dx()⎰⎰=10412,y y dx y x f dy ()⎰⎰+211412,y dx y x f dy .（4）()⎰⎰--0121,ydx y x f dy ()⎰⎰++1021,ydx y x f dy .【解】积分区域21D D D ⋃=.其中⎩⎨⎧≤≤-≤≤-,0121:1y x y D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤+,1021:2y x y D 因此积分区域D 是由三直线1,1=-=+y x y x 及2=x 所围成的三角形区域.若改变积分次序，即将区域D 视为-X 型区域，则⎩⎨⎧≤≤-≤≤-21,11:x x y x D所以 ()⎰⎰--0121,y dx y x f dy ()⎰⎰++1021,ydx y x f dy ()⎰⎰--=2111,x x dy y x f dx .5.计算⎰⎰-10122xy dy e dx x .【解】积分区域D 是由直线x y =、1=y 及y 轴所围成的三角形区域. 改变积分次序得⎰⎰-10122x y dy e dx x ⎰⎰-=10022y y dx x dy e ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1003|312dy x e y y⎰-=103231dy e y y ()⎰--=102261y ed y 【分部】 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--10210222|61y d e e y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--|101261y e e 6131+-=e .6.求由平面0,0==y x 及1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622截得的立体的体积.【解】根据二重积分的几何意义知()⎰⎰--=Ddxdy y x V 226.其中积分区域D 是xoy 面内由直线1=+y x 及x 轴、y 轴所围成的平面区域.V ()dy y x dx x⎰⎰---=1010226⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-101032|316dx y y x y x()()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=101023323175234131116dx x x x dx x x x x .617317253231|10234=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=x x x x . 7.利用极坐标计算下列各题. （1）⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是圆形区域：422≤+y x ； 【解】⎰⎰+Dy xd e σ22⎰⎰+=1224D y xd e σ【极坐标】()121244202020|22-=⎪⎭⎫⎝⎛==⎰⎰e e rdr e d r r ππθπ.（2）()⎰⎰++Dd y x σ221ln ，其中D 是圆周122=+y x 及坐标轴在第一象限内所围成的区域；【解】()⎰⎰++Dd y x σ221ln 【极坐标】()=+=⎰⎰rdr r d 20121ln πθ【令t r =2】()dt t ⎰+=11ln 4π【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰dt t t t t 101011ln 4|π()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=⎰dt t t 101112ln 4π []()12ln 241ln 42ln 4|10-=+--=πππt t .（3）σd x yD⎰⎰arctan ，其中D 是由圆周122=+y x ，422=+y x 及直线xy y ==,0在第一象限内所围成的区域；【解】rdr r r d dxdy x y I D.cos sin arctan arctan 4021⎰⎰⎰⎰==πθθθ==⎰⎰rdr d .421πθθ .64321.21.22124024021||πθθθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d（4）⎰⎰Dxdxdy ，(){}x y x y x D 22|,22≤+≤=；【解】⎰⎰Dxdxdy ⎰⎰=12D xdxdy 【极坐标】⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰⎰24cos 204020.cos .cos 2ππθπθθθθrdr r d rdr r d⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰24cos 20340202|31cos .cos 2ππθπθθθθd r dr r d ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰24420340cos 3831sin 2||πππθθθd r θθππd ⎰+=244cos 3163424132331634ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=.【其中θθππd ⎰244cos θθππd 22422cos 1⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()θθθππd ⎰++=2422cos 2cos 2141⎰=2441ππθd ()⎰+2422cos 41ππθθd ＋⎰+2424cos 141ππθθd 413234sin 3214812sin 41441||2424-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⨯=πθπθπππππ】. 【注意：此题书中答案有误】.（5）⎰⎰-Ddxdy y x ，(){}0,0,1|,22≥≥≤+=y x y x y x D ；【解】以直线x y =将积分区域D 分块：21D D D ⋃=其中1D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及x 轴和直线x y =所围成； 其中2D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及y 轴和直线x y =所围成.⎰⎰-Ddxdy y x ()+-=⎰⎰1D dxdy y x ()⎰⎰-2D dxdy x y 【极坐标】()rdr r r d ⎰⎰-=14sin cos θθθπ()rdr r r d ⎰⎰-+124cos sin θθθππ()dr r d ⎰⎰-=1240sin cos πθθθ()dr r d ⎰⎰-+1224cos sin ππθθθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=||1034031.cos sin r πθθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+||1032431.sin cos r ππθθ ()()12311231-+-=()1232-=. （6）()⎰⎰+Ddxdy y x y 23，(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D .【解】()⎰⎰+Ddxdy y x y 23⎰⎰=Dydxdy ⎰⎰+Ddxdy y x 230+=⎰⎰Dydxdy【极坐标】rdr r d ⎰⎰=20.sin θθπdr r d ⎰⎰=220sin πθθ31631cos ||2030=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r πθ. 8.把()⎰⎰+=Ddxdy y xfI 22化为单重积分，其中(){}1|,22≤+=y x y x D .【解】()⎰⎰+=Ddxdy y xfI 22【极坐标】()⎰⎰=1204rdr r f d πθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰1020.4rdr r f d πθ()⎰=102rdr r f π.9.把下列积分化为极坐标形式，并计算其积分值. （1）()⎰⎰-+ay a dx y xdy 002222；【解】()⎰⎰-+ay a dx y xdy 02222【极坐标】404228412|a r rdr r d aaππθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰. （2）()⎰⎰-+ax ax dy y xdx 2020222；【解】()⎰⎰-+ax ax dy y xdx 2020222【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 20cos 202πθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛20cos 204|41πθθd r a . 44244432.!!4!!34cos 4a a d a ππθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰.（3）⎰⎰+axdy y x dx 022；【解】⎰⎰+axdy y x dx 022【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 40sec 0.πθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛40sec 03|31πθθd r a ⎰=4033sec 31πθθd a []|403tan sec ln tan .sec 61πθθθθ++=a()[]21ln 2613++=a【其中，()⎰⎰==θθθθtan sec sec 3d d I 【分部】()⎰-=θθθθsec tan tan .sec d⎰-=θθθθθd 2tan sec tan .sec ()⎰--=θθθθθd 1sec sec tan .sec 2 I d d -++=+-=⎰⎰θθθθθθθθθθtan sec ln tan .sec sec sec tan .sec 3所以，[]C I +++=θθθθtan sec ln tan .sec 21.】 （4）⎰⎰+1222xxdx y x dx .【解】⎰⎰+10222xxdx y x dx 【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 40sec tan 0.πθθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛40tan sec 03|31πθθθd r a ⎰=40333tan sec 31πθθθd a ()()⎰-=40223sec 1sec sec 31πθθθd a()12452sec 31sec 5131|40353+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθa .10.设()x f 为连续函数，且()()⎰⎰+=Ddxdy y x f t F 22，其中(){}222|,t y x y x D ≤+=，求极限()tt F t '→0lim.【解】()()⎰⎰+=Ddxdy y x f t F 22【极坐标】()rdr r f d t⎰⎰=πθ202()r dr r f t⎰=022π.故 ()()22t tf t F π='. ① 所以()t t F t '→0lim【代入 ①】()()022lim 0f t t tf t ππ==→. 【注意：怀疑此题本身有问题，故对题目本身作了合理修正】11*.设()x f 在[]1,0上连续，并设()A dx x f =⎰10，求()()⎰⎰101xdy y f x f dx .【解】 记⎩⎨⎧≤≤≤≤,10,1:1x y x D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,10,0:2x x y D ，21D D D ⋃=.则 ()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x⎰⎰⎰⎰==1111. ①()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x⎰⎰⎰⎰==2102. ②又交换积分次序后()()==⎰⎰111x dy y f x f dx I ()()⎰⎰10y dx y f x f dy ()()⎰⎰=10xdy y f x f dx ，即21I I =.所以有 ()()()dxdy y f x f I I I D⎰⎰=+=2121211 ()()210102121A dy y f dx x f ==⎰⎰. 12*.设()x ϕ为[]1,0上的正值连续函数，证明：()()()()()b a dxdy x y x b y a D+=++⎰⎰21ϕϕϕϕ，其中b a ,为常数，(){}10,10|,≤≤≤≤=y x y x D . 【证明】因为积分区域D 关于直线x y =对称，则 ()()()=+=⎰⎰Ddxdy y x x I ϕϕϕ()()()⎰⎰+Ddxdy y x y ϕϕϕ. ① 故有()()()()212121==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y x y x I ϕϕϕϕ. ② 所以有()()()()=++⎰⎰D dxdy x y x b y a ϕϕϕϕ()()()b dxdy y x y a D++⎰⎰ϕϕϕ()()()⎰⎰+Ddxdy y x x ϕϕϕ ).(21b a bI aI +=+= 13*.设闭区间[]b a ,上()x f 连续且恒大于零，试利用二重积分证明不等式()()()21a b dx x f dx x f baba-≥⎰⎰. 【证法一】考虑到定积分与变量的记号无关.故有： ()()⎰⎰=b a bay f dy x f dx. ① 以及()().dy y f dx x f baba⎰⎰= ②所以有()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy y f x f x f dx dx x f ③其中，⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 同时()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy x f y f x f dx dx x f ④ ③+④，得()()()()()()()()()().2.2⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D Db a b a dxdy y f x f x f y f dxdy y f x f x f y f x f dx dx x f ()222.Ddxdy b a ==-⎰⎰即： ()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【证法二】：因为()0≥x f ，所以有20b a dx ⎡⎤⎢≥⎢⎣⎰，即 ()()()220.bbaadxf x dx b a f x λλ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰① ①式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式()()()20b b a a dx b a f x dx f x ⎡⎤⎡⎤∆=--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰. ② 故由②得到()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰14*.设()x f 在闭区间[]b a ,上连续.试利用二重积分证明不等式()()()dx x fa b dx x f ba ba ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡22.【证明】由于()2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dx x f b a ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰dx x f dx x f b a b a ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰dy y f dx x f ba b a . ① 令 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 则 由①得到()()()dxdy y f x f dx x f Dba ⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2. ②又 ()()()()222y fx fy f x f +≤.③故()()()dxdy y fx f dx x f Db a ][21222+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰⎰b a b a b a b a dy y f dx dx x f dy 2221 ()()dx x f a b b a ⎰-=221()()dy y f a b b a ⎰-+221【定积分与变量记号无关()()dx x fa b ba⎰-=2.15*.设区域(){}0,1|,22≥≤+=x y x y x D ，求二重积分⎰⎰+++Ddxdy y x xy2211.【解】⎰⎰+++Ddxdy y x xy 2211⎰⎰++=D dxdy y x 2211⎰⎰+++D dxdy yx xy221 0112122+++=⎰⎰D dxdy y x 【极坐标】rdr r d ⎰⎰+=2102112πθ ()().2ln 21ln 21112|1022102πππ=+=++=⎰rr d r习题9.３1.利用定积分、二重积分和三重积分计算空间立体体积时，被积函数和积分区域各有什么不同？ 【解】略.2.将三重积分()dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω=,,化为三次积分，其中空间区域分别为：（1）由曲面22y x z +=，0=x ，0=y ，1=z 所围成且在第一卦限内的区域；【解】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤+Ω.10,10,1:222x x y z y x Ω向xoy 面上投影区域为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤.10,10:2x x y D xy ，所以()dz z y x f dy dx I y x x ⎰⎰⎰+-=1101222,,.（2）由双曲抛物面xy z =及平面01=-+y x ，1=z 所围成的区域；【解】⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤Ω.10,10,0:x x y xy z Ω向xoy 面上投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.10,10:x x y D xy ，所以()dz z y x f dy dx I xyx⎰⎰⎰-=01010,,.（3）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的区域. 【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,2,2222x z y x z 消去z ，得 Ω向xoy 面上的投影区域为 1:22≤+y x D xy . 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--≤≤---≤≤+Ω.11,11,22:22222x x y x x z y x所以()dz z y x f dy dx I x y x x x ⎰⎰⎰-+----=22222221111,,.3.利用直角坐标系计算下列三重积分.（1）dV z xy ⎰⎰⎰Ω32，其中Ω是由平面x y =，1=x ，0=z 及曲面xy z =所围区域.【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,0:⎩⎨⎧≤≤≤≤x x y D 故dz z dy y xdx dV z xy xyx⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω03021032⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xxy dy z y xdx 004210|41⎰⎰=x dy y dx x 0610541⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10075|7141dx y x x 3641131281281|10131012=⨯==⎰x dx x . （2）()⎰⎰⎰Ω+++31z y x dV，其中Ω是由平面0=x ，0=y ，0=z 及1=++z y x 所围成的四面体；【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,10:⎩⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故()dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω+++311=()dz z y x dy dx x y x ⎰⎰⎰---+++101010311()()z y x d z y x dy dx xyx ++++++=⎰⎰⎰---1111010103()⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=1010102|11.21xy x dy z y x dx ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=10102411121xdy y x dx ⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=1010|411121dx y y x x⎰⎪⎭⎫⎝⎛+++-=101144321dx x x ().1652ln 21811ln 4321|102-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=x x x （3）()dxdydz z x y ⎰⎰⎰Ω+cos ，其中Ω是由抛物柱面x y =以及平面0=y ，0=z ，2π=+z x 所围成区域.【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.20,0:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤πx x y D 故()dxdydz z x y ⎰⎰⎰Ω+cos =()dz z x ydy dx xx⎰⎰⎰-+2020cos ππ()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-200|2sin ππxxdy z x y dx ()⎰⎰-=200sin 1πx ydy x dx ()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2002|21sin 1πdx y x x ()⎰-=20sin 121πdx x x⎰=2021πxdx 21161sin 21220-=-⎰ππxdx x .【其中2202201614121|πππ==⎰x xdx ；()⎰⎰=-2020cos 21sin 21ππx xd xdx x 【分部】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰2020cos cos 21|ππxdx x x 21sin 21|20-=-=πx .】4.利用柱面坐标计算三重积分.（1）()d V y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的区域；【解】本题宜采用“切片法”计算()()dxdy y x dz dz dxdy y xzD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω22222.3163242.||20320202422020πππθπ====⎰⎰⎰⎰z dz r rdr r d dz z z如采用柱面坐标系：()dz dxdy y x⎰⎰⎰Ω+22.3166.2142222.2|206420223222202πππθπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰r r dr r r dz r rdr d r （2）()d V y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的区域；【解】（柱面坐标法）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.4:22≤+y x D()V d y x⎰⎰⎰Ω+22dr z r dz r rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==20205253525220|.2πθπ dr r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰255223πππ82452|2054=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r .（3）dV xyz ⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由球面1222=++z y x 及三个坐标面所围且在第一卦限内的区域.【解】（球面坐标法）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为V xyzd ⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰=2015320cos sin cos sin ππρρϕϕϕθθθd d d48161.sin 41.sin 21|||106204202=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ρϕθππ.5.利用球面坐标计算三重积分.（1）()d V z y x ⎰⎰⎰Ω++222，其中()(){}222223,|,,y x z z z y x z y x +≥≤++=Ω；【解】（球面坐标法）()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222⎰⎰⎰=60cos 02220.sin πϕπρρρϕϕθd d dϕρϕππϕd ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6cos 05|51sin 2ϕϕϕππd ⎰=605sin cos 52()ϕϕππcos cos 52605d ⎰-=πϕππ96037cos 6152|606=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=.（2）dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由抛物面22y x z +=之上，球面2222=++z y x 之内的部分围成；【解】（柱面坐标法）联立⎩⎨⎧+==++22222,2y x z z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上投影区域.1:22≤+y x D 所以dz dxdy z⎰⎰⎰Ω2⎰⎰⎰-=1222022r rdz z rdr d πθ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-123|22312r r z r π()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10632232dr r r r π()⎰-=1032232dr r r π()πππππ121228151121232107--=-=-⎰dr r ()1323260-=π.【其中()⎰-1032232dr r r π【令t r sin 2=】⎰=404cos .sin 328ππtdt t ()()πππππ228151cos 51328cos cos 328|405404-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰t t td ； .121813232|108107πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰r dr r 】（3）dxdydz x ⎰⎰⎰Ω，其中()(){}0,0,0|,,2222≥≥>≤++=Ωy x a a z y x z y x .【解】（球面坐标法）⎰⎰⎰Ωxdxdydz ⎰⎰⎰=ππρρθϕρϕϕθ00220.cos sin sin ad d d ⎰⎰⎰=ππρρρϕϕθθ0222.sin cos ad d d404020841.2sin 4121.sin |||a a πρϕϕθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=.6.采用三种坐标计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中()2222|,,{R z y x z y x ≤++=Ω()}2,0222Rz z y x R ≤++>.【解法一】（柱面坐标法）联立⎩⎨⎧=++=++,2,222222Rz z y x R z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 .43:222R y x D ≤+dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2 dr z r dz z rdr d R R r R r R R r R r R R ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==------232303220|222222223.2πθπ()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=R dr rR R r R r 23032232232π（令t R r sin =）()[]⎰--=30333cos .cos cos sin 32ππtdt R t R R t R t R[]⎰-+-=30235cos sin cos 3cos 31cos 232ππtdt t t t t R⎰=3045sin cos 34ππtdt t R ⎰-305sin cos 32ππtdt t R⎰+3025sin cos 2ππtdt t R⎰-3035sin cos 2ππtdt t R|30555cos 34ππt R -=|30252cos 32ππt R +|30353cos 2ππt R -|30454cos 2ππt R + ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32311545R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4335R π⎪⎭⎫ ⎝⎛--87325R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+161525R π .480595R π=【解法二】（球面坐标法）球面坐标计算：这时首先要把积分区域Ω分成两个子区域： .21Ω⋃Ω=Ω 其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,0,30,20:1R ρπϕπθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,cos 20,232,20:2ϕρπϕππθR则dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+22ρρϕρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=2030222.cos sinρρϕρϕϕθπππϕd d d R ⎰⎰⎰+2023cos 20222.cos sin⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰R d d 04302cos .sin 2ρρϕϕϕππ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ϕππρρϕϕϕπcos 204232cos .sin 2R d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=||0530351cos 312R ρϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰2375cos .sin 32512ππϕϕϕπd R 551.247.2R π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+|2385cos 81564ππϕπR 5607R π=⎪⎭⎫ ⎝⎛+81.25615645R π5607R π=5160R π+.480595R π= 【解法三】（直角坐标系之“切片法”）将Ω分块为21Ω⋃Ω=Ω.其中()()⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤Ω11,,20z D y x R z ：，()22212:z Rz y x D z -≤+； ()()⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤Ω22,,2z D y x R z R：，()22222:z R y x D z -≤+. ()()()()[]dz z Rz z dz D S z dxdy dz z dz dxdy zR z D R R z220212022022211-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπ5205440151412|R z z R Rππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=；()()()()[]dz z R z dz D S z dxdy dz z dz dxdy z RR z D RR R R z222222222222-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπ 52532480475131|R z z R R R ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=. 所以dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+225554805948047401R R R πππ=+=. 7.若柱面122=+y x 与平面0=z ，1=z 所围成的柱体内任一点()z y x ,,处的密度22y x z --=μ，试计算该柱体的质量.【解】()()⎪⎩⎪⎨⎧Ω∈-+Ω∈--=--=.,,,,,22212222y x z y x y x y x z y x z μ 其中()⎩⎨⎧∈≤≤+ΩD y x z y x ,,1221：；()⎩⎨⎧∈+≤≤ΩD y x y x z ,,0222：；1:22≤+y x D . 所以 =M ()dz dxdy y xz ⎰⎰⎰Ω--122()πππ316161222=+=-++⎰⎰⎰Ωdz dxdy z y x .【其中()dz dxdy y xz ⎰⎰⎰Ω--122【柱面坐标】()dr z r z r dz r z rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=10101221220|222.2πθπ()πππ6161222|10642153=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=⎰r r r dr r r r ；()dz dxdy z y x⎰⎰⎰Ω-+222【柱面坐标】()dr z z r r dz z r rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=110022220|2221.2πθππππ6161|10615=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰r dr r .】8.分别用定积分、二重积分和三重积分求由22y x z +=和22y x z +=所围成的立体Ω的体积.【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,,2222y x z y x z 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 .1:22≤+y x D（一）定积分过z 轴上任意一点z 作Ω的截面，则该截面的面积为 ()()()[]1,0,222∈-=-=z z z z z z A πππ所以Ω的体积为()()πππ613121|103210210=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰z z dz z z dz z A V .（二）二重积分 ()[]d xdy y x y xV D⎰⎰+-+=2222【极坐标】()ππθπ61432|10432012=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰r r rdr r r d . （三）三重积分⎰⎰⎰Ω=dV V 【球面坐标】ρρϕϕθπϕϕππd d d ⎰⎰⎰=20sin cos 02242sin()ϕϕπϕϕϕπϕρϕπππππππϕϕcot cot 32sin cos 3231sin 2243245324sin cos 03|2d d d ⎰⎰⎰-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πϕπππ61cot 4132|244=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=. 9.设()x f 在0=x 处可导，且()00=f ，求极限()d xdydz z y x f t t ⎰⎰⎰Ω→++22241lim，其中(){}2222|,,t z y x z y x ≤++=Ω.【解】()d xdydz z y x f tt ⎰⎰⎰Ω→++222401lim ()⎰⎰⎰=ππρρρϕϕθ00220.sin ad f d d()ρρρϕππd f a 200.cos 2|⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=()ρρρπd f a 20.4⎰=. ①所以()d xdydz z y x ft t ⎰⎰⎰Ω→++22241lim【由①】()4204lim t f tt ⎰→=ρρπ【洛必达法则】()32044lim t t t f t π→=()t t f t 0lim →=π()()00lim 0--=→t f t f t π()0f '=π. 习题9.４1.求由曲线()xy y x C =+222:所围平面图形D 的面积.【解】化曲线C 为极坐标表示：θθsin cos 2=r ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πππθ23,2,0.由对称性知()⎰⎰=12D d D S σ【极坐标】θθπθθπθθd r dr r d ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==20cos sin 0220cos sin 0|2122()21sin 21sin sin cos sin |2022020====⎰⎰πππθθθθθθθd d d .2.求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体Ω的体积. 【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+=,26,22222y x z y x z 消去z ，得 Ω向xoy 面上的投影区域为 2:22≤+y x D xy .所以Ω的体积为 ()()[]d xdy y x y xV xyD ⎰⎰+---=2222226()d xdy y xxyD ⎰⎰--=22336()ππθπ6433236|2422022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰r rrdr r d . 3.求由曲面()xyz a z y x S 332223:=++所围立体的体积.【解】做球坐标变换：⎪⎩⎪⎨⎧===,cos ,sin sin ,cos sin ϕρθϕρθϕρz y x 则S 在球坐标下的方程为θθϕϕρsin cos cos sin 3233a =ρρϕϕθθθϕϕππd d d dV V a ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==3231cos sin cos sin 3022020sin 44⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2020cos sin cos sin 303|32331sin 4ππθθϕϕϕρϕθd d a ⎰⎰=22033cos sin cos sin 4ππϕϕϕθθθd d a.21sin 41sin 21432042023||a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππϕθ4.证明：曲面2214:y x z S ++= ① 任一点处的切平面与曲面22:2y x z S +=所围立体图形Ω的体积为定值.【证明】任取曲面1S 上一点()0000,,z y x M .令 ()z y x z y x F -++=224,,.则1S 在点()0000,,z y x M 处的切平面的法向量为 ()()(){}{}1,2,2,,00000-='''=y x M F M F M F z y x .1S 在点()0000,,z y x M 处的切平面π的法平面为()()()02200000=---+-z z y y y x x x .即 ()0222:02020000=-+---+z y x z z y y x x π. ②又由于()10000,,S z y x M ∈，故402020-=-+z y x . ③ 将③式代入②式得0822:000=+--+z z y y x x π. ④ 联立⎩⎨⎧+==+--+,,082222000y x z z z y y x x 消去z ，得 ()()8020202020+-+=-+-z y x y y x x 【由③】4=，故Ω向xoy 面上的投影区域为()()4:2020≤-+-y y x x D xy . ⑤所以，Ω的体积为 ()()[]d xdy y x z y yx x V xyD ⎰⎰+-+-+=2200822()()()[]d xdy y y x x z y xxyD ⎰⎰----+-+=202002028【由③】()()[]d xdy y y x x xyD ⎰⎰----=2024令⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos 00θθr y y r x x 则()()r r r y r y xrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,所以()dr d r r V r D θθ⎰⎰-=24()ππθπ841224|20422022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰r r rdr r d .从而:2S 与π所围立体图形Ω的体积为定值π8.5.形状如22y x z +=，100≤≤z （单位：米）的“碗”，计划在其上刻上刻度使其成为一个容器.求对应于容积为１立方米的液体在该容器内的高度是多少？ 【解】设对应于容积为１立方米的液体在该容器内的高度是h （米）. 由题意知()()σπd y xh h D⎰⎰+-⨯=222.1. ①其中222:h y x D ≤+.()⎰⎰⎰⎰=+πθσ200222.h Drdr r d d y x20421412|h r h ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=. ②将②式代入①式得2221.1h h ππ-=，即 2211h π=，解之得π2=h （米）.6.求均匀密度的半椭圆平面薄片()01:2222≥≤+y by a x D 的质心.【解】设D 的质心坐标为()y x ,.由质心坐标公式得⎰⎰⎰⎰=DDxd d x σσ1； ①⎰⎰⎰⎰=DDyd d y σσ1②【其中令⎩⎨⎧==,sin ,cos θθbr y ar x 则()()abrbr b ar a y ry xrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,由对称性知0=⎰⎰σd x D；()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==πθθθθσθ0102.sin sin rdr r d ab drd J br d y r D D⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πθθ01032|31sin d r ab2020232cos 31sin 31|ab ab d ab =-==⎰ππθθθ；又 ()ab D S d Dπσ2121==⎰⎰. 故⎰⎰⎰⎰==DDxd d x 01σσ；ππσσ34213212bab ab yd d y DD===⎰⎰⎰⎰. 所以，平面薄片()01:2222≥≤+y b y a x D 的质心为⎪⎭⎫⎝⎛π34,0b .7.社平面薄片所占的区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=ρ，求此薄片的质心.【解】设D 的质心坐标为()y x ,.由质心坐标公式得()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x x d y x x σρσρ,,1σσ⎰⎰⎰⎰=DDyd x yd x 321； ① ()()⎰⎰⎰⎰=D D d y x y d y x y σρσρ,,1⎰⎰⎰⎰=DDd y x yd xσσ2221②ydy x dx yd x xx D⎰⎰⎰⎰=10222σ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=1022|221dx y x x x ()⎰-=106421dx x x 351715121|1075=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ； ③ydy x dx yd x x x D⎰⎰⎰⎰=10332σ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=1023|221dx y x x x ()⎰-=107521dx x x 481816121|1086=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ； ④ dy y x dx d y x xx D2102222⎰⎰⎰⎰=σ⎰⎪⎭⎫⎝⎛=1032|231dx y x x x ()⎰-=108531dx x x 541916131|1096=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x . ⑤故 4835351481==x ；5435351541==y .所以此薄片的质心为⎪⎭⎫⎝⎛5435,4835.8.平面薄片D 由ax y x ≥+22，222a y x ≤+确定，其上任一点处的面密度与离原点的距离成正比，求此薄片的质心.【解】由题意知，面密度()22,y x k y x +=ρ)0(>k .。