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三重积分定理三重积分定理是微积分中的重要概念之一，它是对三重积分在不同坐标系下的计算方法进行了总结和推广。
通过三重积分定理，我们可以将三重积分的计算问题转化为曲线积分或曲面积分的计算问题，从而简化了计算的复杂性。
三重积分定理的原理可以用以下方式描述：设有一个连续函数$f(x, y, z)$在一个封闭区域$V$内有定义，$V$的边界为曲面$S$。
如果对于$V$内的任意一个闭曲面$S'$，都有$\int_{S'} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dS = \int_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$成立，其中$\mathbf{F}$是一个向量场，$\nabla \cdot \mathbf{F}$是$\mathbf{F}$的散度，那么我们可以得到$\int_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \int_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$，其中$\mathbf{n}$是曲面$S$的单位法向量。
通过三重积分定理，我们可以将三重积分的计算问题转化为曲线积分或曲面积分的计算问题，进而简化计算的复杂性。
这是因为在实际计算中，曲线积分和曲面积分往往更容易计算，而且有更多的计算工具和技巧可供选择。
在具体应用中，三重积分定理可以用于求解物理学、工程学和计算机科学等领域的问题。
例如，在物理学中，可以利用三重积分定理计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。
在工程学中，可以利用三重积分定理计算流体的质量、能量、动量等参数。
在计算机科学中，可以利用三重积分定理计算三维物体的体积、表面积、几何特征等。
需要注意的是，三重积分定理的应用需要满足一些前提条件。
首先，被积函数必须在积分区域内连续，否则积分结果可能会发散或者不收敛。
其次，积分区域必须是封闭的，即区域的边界是连续的闭曲面。
最后，被积函数必须满足一定的可微条件，以保证定理的有效性。
高等数学中的三重积分与曲面积分在高等数学中，三重积分和曲面积分是两个重要的概念和计算方法。
它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍三重积分和曲面积分的基本概念、计算方法以及它们的应用。
一、三重积分三重积分是对三维空间中某一区域内的函数进行求和的方法。
它可以看作是二重积分的推广。
三重积分的计算需要确定积分区域的边界和积分函数的形式。
一般来说，三重积分可以分为直角坐标系下的三重积分和柱坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下，三重积分的计算可以通过分割积分区域为小立方体，并对每个小立方体进行求和来实现。
具体地，我们可以将积分区域分割成若干个小立方体，每个小立方体的体积为ΔV，然后对每个小立方体内的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
这种方法称为立体分割法。
在柱坐标系下，三重积分的计算可以通过极坐标变换来实现。
具体地，我们可以将积分区域由直角坐标系转化为柱坐标系，然后对柱坐标系下的函数进行积分。
柱坐标系下的三重积分的计算方法相对简单，适用于具有旋转对称性的问题。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行求和的方法。
它可以看作是线积分的推广。
曲面积分的计算需要确定曲面的参数方程和积分函数的形式。
一般来说，曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行求和的方法。
具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的函数值进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
第一类曲面积分的计算方法相对简单，适用于曲面上的标量场问题。
第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行求和的方法。
具体地，我们可以将曲面分割为若干个小面元，每个小面元的面积为ΔS，然后对每个小面元上的向量函数进行求和，并在极限情况下求得积分的值。
第二类曲面积分的计算方法相对复杂，适用于曲面上的向量场问题。
三、应用三重积分和曲面积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
重积分与曲线曲面积分的计算重积分与曲线曲面积分是高等数学中重要的概念和计算方法。
本文将介绍重积分和曲线曲面积分的定义和计算方法，并通过实例演示其应用。
一、重积分的定义与计算方法重积分，又称多重积分或二重积分，是对二维或多维空间内的函数在给定区域上的积分运算。
其定义如下：设函数 f(x, y) 在闭区域 D 上有界，则重积分的定义为：∬D f(x, y) dA = limn→∞ ΣΣ f(xi*, yj*) ΔS其中，ΣΣ表示对所有小矩形的求和，xi*和yj*分别代表每个小矩形中任意一点的横纵坐标，ΔS为小矩形的面积。
计算重积分需要先确定积分区域 D，再利用累次积分的方法进行计算。
具体步骤如下：1. 确定积分区域 D 的范围和方程。
2. 将重积分转化为累次积分，先对 x 进行积分，再对 y 进行积分。
计算时可利用定积分的性质，如线性性、区间可加性等。
3. 按照积分区域 D 的特点选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系、柱坐标系等。
4. 进行累次积分计算，注意求导和换元等运算的使用。
通过以上计算步骤，可以求得重积分的值，从而对函数在给定区域上的积分进行计算。
二、曲线曲面积分的定义与计算方法曲线曲面积分是对曲线或曲面上的向量场进行积分的运算。
其定义如下：1. 曲线积分：设曲线 C 是一个可求长度的光滑曲线，其参数方程为x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t)，向量场 F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j +R(x, y, z) k。
则曲线积分的定义为：∮C F⋅dr = ∫ab F(φ(t), ψ(t), χ(t))⋅(φ'(t) i + ψ'(t) j + χ'(t) k) dt其中，a 和 b 分别代表曲线参数的起点和终点。
2. 曲面积分：设曲面 S 是一个可求面积的光滑曲面，其参数方程为x = φ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v)，向量场 F(x, y, z) = P(x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k。
重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。
对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。
若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。
性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。
5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。
三重积分和曲线曲面积分的关系【主题】三重积分和曲线曲面积分的关系在数学领域中，三重积分和曲线曲面积分是两个重要的概念，它们在微积分和数学物理等领域都有着广泛的应用。
今天，我将带领大家深入探讨三重积分和曲线曲面积分之间的关系，通过对其深度和广度的全面评估，让我们更加深入地理解这一主题。
1. 三重积分的概念及应用三重积分是对三维空间内某一区域上的函数进行积分运算，用于计算立体图形的体积、质量等物理量。
它的数学表达式为∭f(x, y, z) dV，其中 f(x, y, z) 为被积函数，dV 为微元体积。
在实际应用中，三重积分广泛应用于物理学、工程学和地质学等领域，如计算物体的质心、密度分布等。
2. 曲线曲面积分的概念及应用曲线曲面积分是对向量场沿曲线或曲面进行积分的运算，用于计算流量、功率等物理量。
曲线曲面积分包括第一类曲线曲面积分和第二类曲线曲面积分，分别用于不同类型的计算。
在物理学、电磁学和流体力学等领域，曲线曲面积分被广泛应用于计算场量的环量、通量等。
3. 三重积分和曲线曲面积分的关系通过对三重积分和曲线曲面积分的概念进行深入理解，我们可以发现它们之间的内在联系。
在数学上，三重积分可以视为曲面积分的一种特殊情况，通过将三维空间内的体积划分为无穷小的微元，可以将三重积分转化为曲面积分的形式进行计算。
这种关系在物理学和工程学中具有重要意义，可用于求解复杂体系的物理量。
4. 个人观点和理解在我看来，三重积分和曲线曲面积分之间的关系是微积分学习中一个非常有趣且深刻的命题。
通过掌握它们之间的联系，我们可以更加灵活地运用数学工具来解决实际问题，提高问题求解的效率和准确度。
深入理解三重积分和曲线曲面积分的关系也有助于提升数学思维和抽象思维能力，对于培养学生的数学素养具有重要作用。
总结回顾通过本文的全面讨论，我们对三重积分和曲线曲面积分的关系有了更加深入的理解。
我们从简到繁地介绍了它们的概念和应用，并探讨了它们之间的内在联系。
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。
解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。
解 :45Lxydx =⎰。
（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。
曲面积分的面积和体积曲面积分是多元积分中的一种特殊形式，它是应用到曲面上的面积或体积积分。
在物理学上，曲面积分可以用来计算流体的质量或质心，在工程学中，它可以被用来计算结构的强度或展示形状。
在本文中，我们将讨论曲面积分的面积和体积，并讨论如何进行计算。
1.面积首先，我们来看曲面积分的面积。
在数学上，曲面积分可以被看作是一个积分，它将曲面上的每个点的面积相加。
通常情况下，我们使用二重积分进行计算，但是当曲面形状比较复杂时，我们需要使用曲面积分来求解。
假设我们有一个曲面F(x, y, z) = 0，我们需要求解它的面积。
首先，我们需要找到曲面上的一个向量场F，使得F点积n给出了每个点处的面积元素。
其中，n是曲面上法向量，即在每个点上垂直于曲面的向量。
然后，我们需要对曲面上的每个点进行积分。
这个积分需要在整个曲面上进行，因此我们需要使用曲面积分来求解。
曲面积分的公式如下：$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d S$其中，S是曲面的面积，$\mathbf{F}$是曲面上的向量场，$\mathbf{n}$是曲面上的法向量，$dS$是曲面上的微元面积。
积分的结果就是曲面的面积。
2.体积接下来，我们来看曲面积分的另一个应用——体积。
在数学上，曲面积分可以被看作是一个积分，它将曲面上每个点处小的体积元素相加。
通常情况下，我们使用三重积分进行计算，但是当曲面形状比较复杂时，我们也需要使用曲面积分来求解。
假设我们有一个由曲面S(x, y, z)和平面z = 0围成的封闭立体，我们需要求解它的体积。
首先，我们需要找到一个曲面S(x, y, z)的向量场F，使得F点积n给出了每个点处的体积元素。
其中，n是曲面上法向量，即在每个点上垂直于曲面的向量。
然后，我们需要对曲面上的每个点进行积分。
这个积分需要在整个曲面上进行，因此我们需要使用曲面积分来求解。
曲面积分的公式如下：$\iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} d V$其中，V是立体的体积，$\mathbf{F}$是曲面上的向量场，$\nabla$是梯度算子。
高等数学II 试题一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 zx ∂=∂ ;2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大;3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L dsy x 22= ;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为 或 ;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 ;二、解答下列各题每小题7分,共35分1．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)x I dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;2．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;4．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;5．求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;高等数学II 试题解答一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 z x∂=∂xz xzxe y zey --++-; 2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =4,0,-12 的方向导数最大; 3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 22=8π;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)3927--;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32;二、解答下列各题每小题7分,共35分6．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)xI dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;解：1201122010(,)(,)(,)x y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx--==+⎰⎰⎰⎰⎰7．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;解：2sin 220169Dd r dr πθθ==⎰⎰8．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;解：9．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;解：[()]x P f x e y =-,()Q f x =-;由[()]()x L f x e ydx f x dy --⎰与路径无关,得x y Q P ''=,即()()0xf x f x e '+-=;解微分方程xy y e '+=,得其通解12x xy ce e -=+;又(0)1f =,得21=c ;故xx e e x f 2121)(+=-10． 求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;解：20y y y '''-+=的通解为12()xy c c x e =+; 设原方程的一个特解*xy ce -=,代入原方程,得14c =;其通解为三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧; 四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;解：五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+令420z x '=-=,得12x =;40z ''=>,12x =为极小值点;故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32;六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积; 解：221 (0)z x y z =-->的面积为平面0z =部分的面积为π;故立体的表面积为π+;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;解：收敛区间为[3,3)-;设11()3n n n x s x n -∞==∑,1111(())()333n n n nn n x x xs x n x -∞∞==''===-∑∑;故⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0310)3ln(13ln )(x x x x x x s ;。
§2 多重积分、曲线积分与曲面积分一、一、多多重积分1. 二重积分连续函数f (x ,y )在有限可求积的平面区域Ω内的二重积分òååòD D =W®D ®D i jji j i y x y x y x f y x y x f j i ),(lim d d ),(0||max 0||max 式中i i i x x x -=D +1,j j j y y y -=D +1,j i åå是对Ω中的所有),(i i y x 的下标i ，j 求和. [特定区域内二重积分的计算公式] 积分区域ΩòòWy x y x f d d ),(计算公式（积分限应从小到大）òòbax x yy x f x)()(21d ),(d j j òòbaj j )()(21d ),(d y y xy x f y 设j r j r sin ,cos ==y x ，则j r r d d d d =y x òò2121d )sin ,cos (d )()(j j j r jr rr j r j r j f òòpjr rr j r j r j20)(0d )sin ,cos (d f [二重积分的变量替换(雅可比式)] 若连续可微分的函数þýüîíì==),(),(u u u y y u x x 把平面Oxy 上的有界闭区域Ω单值映射到平面u u O ¢上的闭区域Ω'，其雅可比式为J =0),(),(¹¶¶¶¶¶¶=¶¶uuu y x u y u x u y x 则u u u dd ||)],(),,([d d ),('u J u y u x f yx y x f òòòòWW=例 若îíì==jr j r sin cos y x则J =r j r j r j j j r =-=¶¶cos sin sin cos ),(),(y x所以jr r j r j r d d )sin ,cos (d d ),('òòòòW W=fy x y x f 2. 三重积分[直角坐标下的三重积分] 假设有界区域V 由下列不等式 a ≤x ≤b , )(1x y ≤y ≤)(2x y , ),(1y x z ≤z ≤),(2y x z确定，其中)(1x y ,)(2x y ,),(1y x z ,),(2y x z 都是连续函数，且函数f (x ,y ,z )在V 上是连续的，则函数f (x ,y ,z )在有界区域V 上的三重积分òòòòòò=ba x y x y y x z y x z Vz z y x f yxz y x z y x f )()(),(),(2121d ),,(d d d d d ),,(有时采用下面公式计算：òòòòòò=ba S V xz y z y x f x z y x z y x f d d ),,(d d d d ),,(式中S S y z x x =(,)是用平行于O yz 的平面截区域V 所得的截断面(图6.3). 例 设V 表示在第一卦限中由曲面1=÷øöçèæ+÷øöçèæ+÷øöçèærqpc z b y a x 和坐标平面所围成的封闭区域，则当一切常数都是正的时候，有)1())()((d d d 111r q p pqr r q p c b a z y x z y x V g b a g b a g b a g b a +++G G =òòò--- 这种类型的积分称为狄利克莱积分，它在计算重积分时经常用到. [圆柱坐标下的三重积分] (图6.4) òòòòòò¢= d d d ),sin ,cos (d d d ),,(V V zz f z y x z y x f j r r j r j r （一般地，0≤j ≤2π) 式中V 为直角坐标中的有界区域，V '是区域V 在圆柱坐标系中的表达式. [球面坐标下的三重积分] (图6.5) òòòòòò¢=2d d d sin )cos ,sin sin ,cos sin (d d d ),,(V V r r r r r f z y x z y x f j q q q j q j q（一般地，0≤j ≤2π,0≤θ≤π) 式中V '是区域V 在球面坐标系中的表达式. [三重积分的变量替换(雅可比式)] 若连续可微函数ïîïíì===),,(),,(),,(w u z z w u y y w u x x u u u 把Oxyz 空间的有界三维闭区域双方单值地映射到O'u u w 空间的闭区域V '，并且当（u , u ,w )∈V '时其雅可比式0),,(),,(¹¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶¶=¶¶=wz w y wx z yxuz u y u x w u z y x J u u uu 则òòòòòò¢= d d d ||)],,(),,,(),,,([d d d ),,(V V w u J w u z w u y w u x f z y x z y x f u u u u 3. 多重积分[直接计算多重积分] 若函数f (n x x x ,,,21 )在由下列不等式所确定的有界闭区域Ω内是连续的：a ≤1x ≤b 2x ¢(1x )≤2x ≤2x ¢¢ (1x ) ………………………n x ¢ (121,,,-n x x x )≤n x ≤n x ¢¢ (121,,,-n x x x ) 式中a ,b 为常数，2x ¢(1x )，2x ¢¢ (1x )，…，n x ¢ (121,,,-n x x x )，n x ¢¢ (121,,,-n x x x )为连续函数，则对应的多重积分可按下面公式计算：n b a x x x x x x x x xx x x n Ωn n x x x x f x x x x x x x x f n nn nòòòòòò¢¢¢¢¢¢--=)( )( ),...,(),...,(212121211212121121d ),...,(...d d d ...d d ),...,(...[多重积分的变量替换（雅可比式）] 若连续可微函数i x =i j (n x x x ,,,21 ), i =1,2,…,n把O n x x x 21空间内的有界闭区域Ω双方单值地映射成O'n x x x 21空间内的有界闭区域Ω',并且在闭区域Ω'内雅可比式0),,,(),,,(2121¹¶¶=n n x x x J x x x则òòòòòò='21212121d ...d d ||),...,(...d ...d d ),...,(...W Wx x x j j j n n n n J f x x x x x x f特别，根据公式ïïïîïïíì====-----12211221121211sin sin ...sin sin cos sin ...sin sin ..........................cos sin cos n n n n n n r x r x r x r x j j j j j j j j jj j 变换成极坐标(r ,121,,,-n j j j )时，有： 22312112121sin sin sin ),,,,(),,,(-----=¶¶=n n n n n n r r xx x J j j j j j j二、 曲线积分[对弧长的曲线积分] 若函数f (x ,y ,z )在光滑曲线C : ïîïí죣===)()()()(0T t t t z z t y y t x x 的各点上有定义并且连续（图6.6）则 òò++=C T t t t z t y t x t z t y t x f s z y x f 0d )()()()](),(),([d ),,(222式中d s 为弧的微分，,d )(d )(tt x t x =·等这个积分与曲线C 的方向无关. [对坐标的曲线积分] 若函数P =P (x ,y ,z ),Q =Q (x ,y ,z ),R =R (x ,y ,z )在光滑曲线C: ïîïí죣===)()()()(0T t t t z z t y y t x x 的各点上连续，这曲线的正方向为t 增加的方向，则òò···++=++Tt C tt z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P z z y x R y z y x Q x z y x P 0d )}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{d),,(d ),,(d ),,(当曲线C 的正向变更时，积分的符号改变. [全微分的情形] 若函数P =P (x ,y ,z ),Q =Q (x ,y ,z ),R =R (x ,y ,z )在区域V 中的任一条光滑曲线C 上连续，并且u z z y x R y z y x Q x z y x P d d ),,(d ),,(d ),,(=++ 式中u =u (x ,y ,z )为区域V 内的单值可微函数，则),,(),,(d d d 111222z y x u z y x u z R y Q x P C -=++ò 式中(111,,z y x )为积分曲线C 的始点，(222,,z y x )为积分曲线C 的终点.这说明在假定的条件下，积分值与曲线C 的形状无关，只与曲线的始点和终点有关(图6.7). 在单连通区域V 内有连续的一阶偏导数的函数P ,Q ,R 能表成全微分 u z z y x R y z y x Q x z y x P d d ),,(d ),,(d ),,(=++ 的充分必要条件是：在区域V 内等式z Px R y R z Q x Q y P ¶¶=¶¶¶¶=¶¶¶¶=¶¶,, 成立.这时函数u 可按下面公式求得： z zy x R y z y x Q x z y x P z y x u zz y y x x d),,(d ),,(d),,(),,(000000òòò++= 式中(000,,z y x )为区域V 内的某一固定点. [格林公式] 1°曲线积分与二重积分的关系.设C 为逐段光滑的简单（无自交点）闭曲线，围成单连通的有界区域S ,这围线的方向使区域S 保持在左边，若函数P (x ,y ),Q (x ,y )及它们的一阶偏导数在S +C 上连续，则有格林公式 ：òòò¶¶-¶¶=+S C y x y P x Q y y x Q x y x P d d )(d ),(d ),(2° 曲线积分与积分线路的关系.若函数P ,Q ,xQ y P ¶¶¶¶, 在区域S 上连续，且x Qy P ¶¶=¶¶ 则沿S 内的任一光滑闭曲线的积分为零，即0d d =+òC y Q x P因而由S 中的A 到B 的积分与线路无关（图6.8)，即òò+=+),(),(21dd d d B A C B A C y Q x P y Q x P三、 曲面积分[对曲面面积的曲面积分] 1° 若S 为逐片光滑的双侧曲面* z =z (x ,y ) ((x ,y )sÎ) 式中σ为曲面S 在Oxy 坐标面上的投影，z (x ,y )为单值连续可微函数，函数f (x ,y ,z )在曲面S 的各点上有定义并连续，则òòòò¶¶+¶¶+=s y x y z x z y x z y x f S z y x f S d d )()(1)],(,,[d ),,(22此积分与曲面S 的方向（法线的方向）无关. 2° 若曲面S 由连续可微函数ïîïíì===),(),(),(u u u u z z u y y u x x ((u ,u )∈Ω) 给定，则òòòò-=Wu u u u d d )],(),,(),,([d ),,(2u F EG u z u y u x f S z y x f S式中222)()()(u z u y u x E ¶¶+¶¶+¶¶=u u u ¶¶¶¶+¶¶¶¶+¶¶¶¶=z u z y u y x u x F222)()()(uu u ¶¶+¶¶+¶¶=z y x G* 曲面上某一点的法线方向的选定，唯一确定了曲面上所有其他点的法线方向，它们就是选定方向的法线在曲面上连续移动（不经过曲面边缘）的指向，所以也就决定了曲面的一侧.如果改变原来选定 的法线方向，曲面上的所有其他点的法线方向都随着改变，曲面就从一侧移到另一侧.这种曲面称为 双侧曲面.[对坐标的曲面积分] 若S 为光滑的双侧曲面，S +为它的正面，即由法线方向n (cos α, cos β,cos γ)所确定的一侧，P =P (x ,y ,z ),Q =Q (x ,y ,z ),R =R (x ,y ,z )为在曲面S 上有定义并且连续的函数，则 òòòò++=+++SS S R Q P y x R x z Q z y P d )cos cos cos (d d d d d d g b a 若曲面S 由连续可微函数ïîïíì===),(),(),(u u u u z z u y y u x x ((u ,u )∈Ω) 给定，则òòòò++=+++Wu d d )(d d d d d d u CR BQ AP y x R x z Q z y P S式中),(),(,),(),(,),(),(u u u u y x C u x z B u z y A ¶¶=¶¶=¶¶=[斯托克斯公式] 若C 是包围逐片光滑有界双侧曲面S 的逐段光滑简单闭曲线，P =P (x ,y ,z ),Q =Q (x ,y ,z ),R =R (x ,y ,z )是在S +C 上连续可微函数，则yx y P x Q x z x R z P z y z Q y R z R y Q x P S Cd d )(d d )(d d )(d d d ¶¶-¶¶+¶¶-¶¶+¶¶-¶¶=++òòò [高斯公式] 若S 为包含体积V 的逐片光滑曲面P =P (x ,y ,z ),Q =Q (x ,y ,z ),R =R (x ,y ,z )及其一阶偏导数在V +S 上连续，则有高斯公式：z y x z R y Q x P S R Q P V S d d d )(d )cos cos cos (òòòòò¶¶+¶¶+¶¶=++gb a 式中cos α,cos β,cos γ为曲面S 的法线正方向的方向余弦. 四、 重积分、曲线积分与曲面积分的近似计算[二重积分的近似计算公式] òòå+==WWR y x f w A y x y x f nk k k k 1),(d d ),(式中W A 对于不同的积分区域Ω选取不同的常数，k w 是求积系数，R 是余项. Ω为圆形C : 22y x +≤h 2 Ac =πh 2n 图示),(k k y x k w R 5 (0,0) (±h ,0) (0,±h ) 21 81 81 )(6h O4 )2,2(hh ±± 41)(6h O7 (0,0) (±h ,0) )23,2(hh ±± 21121 121 )(6h O9 (0,0) (±h ,0) (0, ±h ) )2,2(h h ±± 61 241 241 61 )(8h O7 (0,0) (±32h ,0) (±61h , ±22h ) 41 81 81 )(8h O21 (0,0) (,102cos 1066h k ×-p)102sin 1066h k ×-p(,102cos 1066h k ×+p )102sin 1066h k ×+pk =1,2,…,10 91 360616+ 360616-)(12h OΩ为正方形S : |x|≤h ,|y |≤h , s A =4h 2n 图示),(k k y x k w R 9 (0,0) (±h ,±h ) (±h ,0) (0, ±h ) 94 361 91 91 )(6h O4 )31,31(hh ±±41)(6h O9 (0,0) )53,53(h h ±±)53,0(h ±)0,53(h ±8116 32425 8110 8110 )(8h OΩ为正三角形T : 外接圆半径为h ，2343h A T =n 图示 ),(k k y x k wR 4 (0,0) (h ,0) )23,2(h h ±- 43121 121 )(5h O7 (0,0) )0,(h )23,2(h h ±- )0,2(h - )43,4(h h ± 209 201 201 152152)(6h O7 (0,0) )0,7115(h +)14)115(3,14115(h h +±+- )0,7115(h --)14)115(3,14115(h h -±- 409120015155- 120015155-120015155+120015155+ )(8h OΩ为正六边形H : 外接半径为h ，2323h A H=n 图示 ),(k k y xk wR 7 (0,0) )23,2(h h ±± (±h ,0) 127 725 725 )(6h O7 (0,0) )1042,1014(h h ±± )0,514(h ±10082581008125 1008125)(8R O[三重积分的近似计算公式] åòòò=+=nk k k k k VR z y x f w A z y x z y x f 1),,(d d d ),,(u式中u A 对于不同的积分区域V 选取不同的常数，k w 是求积系数，R 是余项. V 为球体S : 222z y x ++≤h 2. S A =34π3hn 图示),,(k k k z y x k w R 7 (0,0,0) )0,0,(h ±)0,,0(h ±),0,0(h ±52 101 101 101 )(7h OV 为立方体C : |x|≤h ,|y |≤h,|z|≤h. C A =83h n 图示 ),,(k k k z y x k w R 6 )0,0,(h ±)0,,0(h ±),0,0(h ±61 61 61)(7h O21 (0,0,0) 中心到6个面的距离的6个中点6个面的中心8个顶点360496-36012836083605 )(9h On 图示 ),,(k k k z y xk w R 42 6个面的中心12个棱的中点每个面的对角线上到每个面中心距离为52h 的4个点（共 24点）45091 45040- 45016)(9h OΩ为四面体T .V A T =为四面体体积 n 图示),,(k k k z y x k w R 8 11 4个顶点4个面的重心T 的重心4个顶点6个棱的中点401 409 158 601 151[曲线积分的近似计算公式] 圆周G ：222h y x =+上的曲线积分)()sin ,cos (d ),(2221-=+=òån nk h O nk h n k h f n h s y x f p p p G [曲面积分的近似计算公式] 球面S ：2222h z y x =++上的曲面积分R z y x f w hdS z y x f n k k k k k +=åòò=),,(4),,(12p Sn 图示),,(k k k z y xk w R6 )0,0,(h ±)0,,0(h ±),0,0(h ±61 61 61 )(6h On 图示),,(k k k z y x k w R 18 )0,21,21(h h ±±)21,0,21(h h ±±)21,21,0(h h ±±)0,0,(h ±)0,,0(h ±),0,0(h ± 151 151 151 301 301 301 )(8h O26 )31,31,31(h h h ±±±)0,21,21(h h ±± )21,0,21(h h ±±)21,21,0(h h ±±)0,0,(h ±)0,,0(h ±),0,0(h ±2809 10541054 1054 211211211 )(10h O。
重积分§1. 二重积分、三重积分、 第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念1． 对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质． 2． 设有一质量分布不均匀的半圆弧cos ,sin (0)x r y r θθθπ==≤≤，其线密度a ρθ=(a 为常数)，求它对原点(0，0)处质量为m 的质点的引力．3． 计算球面三角形2222x y z a ++=，0,0,0x y z >>>的围线的重心坐标．设线密度1ρ=．4． 求均匀球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对z 轴的转动惯量．5． 求均匀球面z =(0,0,)x y x y a ≥≥+≤的重心坐标．6． 求密度0ρρ=的截圆锥面cos ,sin ,(02,0)x r y r z r b r a ϕϕϕπ===≤≤<≤≤对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力．当0b →时，结果如何？§2. 积分的性质1. 证明有界闭区域上的连续函数必可积．2. 设Ω是可度量的平面图形或空间立体，,f g 在Ω上连续，证明： (1) 若在Ω上()f P ≥0，且()f P 不恒等于0，则()0f P d ΩΩ>⎰；(2) 若在Ω的任何部分区域'Ω⊂Ω上，有''()()f P d g P d ΩΩΩ=Ω⎰⎰，则在Ω上有()()f P g P ≡．3. 设()f x 在[a,b]可积，()g y 在[c,d]可积，则()()f x g y 在矩形区域D ＝[a,b]×[c,d]上可积，且()()()()b dacDf x gy dxdy f x dx g y dy =⎰⎰⎰⎰．4. 若(,)f x y 在D 上可积，那么(,)f x y 在D 上是否可积？考察函数1, (,)1, x y f x y x y ⎧=⎨-⎩若，是有理数,若，至少有一个是无理数,在[0,1]×[0,1]上的积分． 5. 设[][]0,10,1D =⨯，1, (,)0, x f x y x ⎧=⎨⎩是有理数，是无理数，证明(,)f x y 在D 上不可积．§1. 二重积分的计算1． 将二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为不同顺序的累次积分：(1) D 由x 轴与222(0)x y r y +=>所围成； (2) D 由,2y x x ==及1(0)y x x=>所围成； (3) D 由33,2,1y x y x y ===和2y =围成； (4) {}(,)1D x y x y =+≤． 2. 计算下列二重积分： (1)(2)Dy x dxdy -⎰⎰，[][]3,51,2D =⨯；(2) cos()Dx y dxdy +⎰⎰，[]0,0,2D ππ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦； (3)22x y Dxye dxdy +⎰⎰，[][],,D a b c d =⨯；(4)1Dxdxdy xy +⎰⎰，[][]0,10,1D =⨯． 3. 改变下列累次积分的次序： (1)2230(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(2) 221(,)dx f x y dy ⎰；(3)2113(3)2001(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰．4. 设(,)f x y 在所积分的区域D 上连续，证明(,)(,)b xb baaaydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰．5. 计算下列二重积分： (1) m kDx y dxdy ⎰⎰ (,0m k >),D 是由22(0),2py px p x =>=围成的区域；(2) ,Dxdxdy D ⎰⎰是由20,sin ,0y y x x ===和x =(3) ,DD ：22x y x +≤； (4) ,D xy dxdy D ⎰⎰：222x y a +≤；(5) (),Dx y dxdy D +⎰⎰由,1,0,1xy e y x x ====所围成；(6) 22,Dx y dxdy D ⎰⎰由2,0,2,2x y x x y x ====+所围成； (7) ,x yDe dxdy D +⎰⎰是以(2,2),(2,3)和(3,1)为顶点的三角形； (8)sin ,Dnxdxdy D ⎰⎰由2,4y x y x ==和4y =所围成．6. 求下列二重积分： (1) 2110y x I dx e dy -=⎰⎰；(2) 21120y xI dx x edy -=⎰⎰；(3) 220sin yI y x dx =．7. 改变下列累次积分的次序： (1) 11000(,,)xx ydx dy f x y z dz -+⎰⎰⎰； (2) 22110(,,)x y dx dy f x y z dz +⎰⎰⎰； (3) 21101(,,)x ydx dy f x y z dz --⎰⎰⎰；(4)111(,,)dx f x y z dz -⎰．8. 求下列立体之体积：(1) V 由2222222,2x y z r x y z rz ++≤++≤所确定； (2) V 由222,,2z x y y x z ≥+≥≤所确定；(3) V 是由坐标平面及2,3,4x y x y z ==++=所围成的角柱体． 9. 用极坐标变换将(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为累次积分：(1) D ：半圆222,0x y a y +≤≥； (2) D ：半环 2222,0a x y b x ≤+≤≥； (3) D ：圆 22x y ay +≤ (0)a >； (4) D ：正方形 0,0x a y a ≤≤≤≤． 10. 用极坐标变换计算下列二重积分：(1) ,D⎰⎰ D ：22224x y ππ≤+≤； (2) (),Dx y dxdy +⎰⎰D 是圆22x y x y +≤+的内部； (3) 22(),Dx y dxdy +⎰⎰ D 由双纽线222222()()(0)x y a x y x +=-≥围成； (4),Dxdxdy ⎰⎰D 由阿基米德螺线r θ=和半射线θπ=围成；(5),Dxydxdy ⎰⎰D 由对数螺线r e θ=和半射线0,2πθθ==围成．11. 在下列积分中引入新变量,u v ，将它们化为累次积分： (1) 2201(,),xxdx f x y dy --⎰⎰若,u x y v x y =+=-；(2) (,)bxa xdx f x y dy βα⎰⎰(0,0a b αβ<<<<)，若,yu x v x==；(3)(,)Df x y dxdy⎰⎰，其中D ＝({},0,0x y x y ≤≥≥，若44cos ,sin x u v y u v ==；(4)(,)Df x y dxdy⎰⎰，其中D ＝(){},,0,0x y x y a x y +≤≥≥ (0a >)，若,x y u y u v +==．12. 作适当的变量代换，求下列积分： (1)22(),Dx y dxdy +⎰⎰D 是由441x y +=围成的区域；(2) (),Dx y dxdy +⎰⎰D 由22224,9,4,9y x y x x y x y ====围成； (3) ,Dxydxdy ⎰⎰ D 由2,4,,2xy xy y x y x ====围成．§3. 三重积分的计算1.利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：(1) 222,,0z xy x y a z =+==；(2) 2220,z z x y R ==+=； (3) 球面2222x y z a ++=与圆柱面22x y ax +=（0a >）的公共部分；(4) 2222222222221,x y z x y z a b c a b c ++=+= (0z >)；(5) 22222,24949x y x y z z =+=+； (6)22,z x y z x y =+=+．2. 求曲线222222x y xyab c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所围成的面积．3. 用柱坐标变换计算下列三重积分：(1)222()Vxy dxdydz +⎰⎰⎰，V 由曲面22,4,16z x y z z =+==围成；(2)3Vdxdydz ⎰⎰⎰, V 由曲面22222229,16,,0x yx y z x y z +=+==+≥ 围成． 4.用球坐标变换计算下列三重积分： (1)(),Vx y z d x d y d z ++⎰⎰⎰ V ：2222R x y z ++≤；(2) 5V dxdydz ⎰⎰⎰, V 由2222x y zz ++=围成；(3) 2Vx dxdydz ⎰⎰⎰，V 由222222,8x y z x y z +=++=围成． 5.作适当的变量代换，求下列三重积分：(1) 22Vx y zdxdydz ⎰⎰⎰，V 由2222,,,,,x y x y z z xy c xy d y x y x a b αβ++======围成的立体，其中0,0a b αβ<<<<； (2) 2Vx yzdxdydz ⎰⎰⎰，V 同(1)； (3)4Vy dxdydz ⎰⎰⎰，V 由22,x az x bz == (0,0z a b ><<)，,x y x y αβ== (0αβ<<)以及(0)x h =>围成；(4) V ⎰⎰⎰，V 由2222221x y z a b c++=围成；(5)120dx dz ⎰．6.求下列各曲面所围立体之体积：(1) 22222,2(),,z x y z x y y x y x =+=+==；(2) 221x y z a b c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(0,0,0,0,0,0x y z a b c ≥≥≥>>>)．7. 计算下列三重积分：(1) (),Vx y z dxdydz ++⎰⎰⎰ V ：2222xy z a ++≤；(2) ,V zdxdydz ⎰⎰⎰ V 由曲面22,1,2z xy z z =+==所围成；(3) 4(1),Vx dxdydz +⎰⎰⎰V 由曲面222,2,4x z y x x =+==所围成； (4)3,Vxyzdxdydz ⎰⎰⎰ V 是由曲面2221,0,0,0x y z x y z ++====围成的位于第一卦限的有界区域； (5)23,Vxy z dxdydz ⎰⎰⎰ V 由曲面,,0,1z xy y x z x ====所围成；(6) cos(),Vy x z dxdydz +⎰⎰⎰ V 是由0,0y y z ===及2x z π+=所围成的区域．§4. 积分在物理上的应用1．求下列均匀密度的平面薄板的质心：(1) 半椭圆22221,0x y y a b+≤≥；(2) 高为h ，底分别为a 和b 的等腰梯形； (3) (1cos )(0)r a ϕϕπ=+≤≤所界的薄板； (4) 2,2(0)ay x x y a a =+=>所界的薄板． 2．求下列密度均匀的物体的质心：(1) 221,0z x y z ≤--≥；(2) 由坐标面及平面21x y z +-=所围成的四面体； (3) 22,,0,0,0z x y x y a x y z =++====围成的立体； (4)222(0)z x y z =+≥和平面z h =围成的立体；(5) 半球壳22222,0a x y z b z ≤++≤≥． 3．求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量：(1) 边长为a 和b ，且夹角为ϕ的平行四边形，关于底边b 的转动惯量； (2) 2,1y x y ==所围平面图形关于直线1y =-的转动惯量．4．求由下列曲面所界均匀体的转动惯量：(1) 22,1,1,0z x y x y x y z =++=±-=±=关于z 轴的转动惯量； (2) 长方体关于它的一棱的转动惯量；(3) 圆筒2222a x y b ≤+≤，h z h -≤≤关于x 轴和z 轴的转动惯量． 5．设球体2222x y z x ++≤上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量．6．求均匀薄片222R ,0x y z +≤=对z 轴上一点(0，0，c )(c >0)处单位质点的引力．求均匀柱体222,0x y a z h +≤≤≤对于(0，0，c ) (c >h )处单位质点的引力．。
讨论高等数学
三重积分、第一类曲面积分的问题
一、 前言
在学习第一类曲线积分与三重积分之后，会发现它们的计算有些不同但又相似，实际上最根本的原因还是对概念的不理解，只要理解概念加以思考，这些问题就应然而解。
二、 问题
（1） 三重积分与第一类曲面积分的概念；
（2） 第一类曲面积分的曲面的微元 dxdy Z Z dS xy
D y x ⎰⎰++=221
（3） 三重积分与第一类曲面积分的物理意义，三重积分在计算的过程中不能把积分趋
于带入到被积函数中，而三重积分的积分曲面可以带入到被积函数中去；
三、 解决方法
（1） 概念 三重积分
设()z y x f ,,是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分割成为n 个小闭区域，
n v v v v ∆∆∆∆，，，321，其中v ∆，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的体积，在
每一个v ∆中任取一点()i i i ζηξ,,，做乘积()i i i i v f ∆ζηξ,,，*
⊂Z i ，并做和()i n
i i i i v f ∆∑=1
,,ζηξ，
如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时，这时和的极限总是存在的，则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域Ω中的三重积分，记作
()⎰⎰⎰Ω
dv
z y x f ,,，即
()⎰⎰⎰Ω
dv z y x f ，，=()∑=→∆n
i i
i
i
i
v f 1
,,lim ζηξλ
，其中dv 为体积的微元。
曲面积分
设曲面∑是光滑的，函数()z y x f ,,在曲面∑上的有界函数，把曲面∑认为分成n 个小块S ∆,其中S ∆，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的面积，设()i i i ζηξ,,是S ∆上的任意一点，做乘积()i i i i S f ∆ζηξ,,,如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时, 这时和的极限总是存在的, 则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域中∑的曲面积分，成为第
一类曲面积分，记作为
⎰⎰∑
dS
z y x f ),,(，即
⎰⎰∑
dS
z y x f ),,(=
()∑=→∆n
i i
i i i S f 1
,,lim ζηξλ。
（2） 第一类曲面积分的曲面的微元
如图所示，设曲面方程为()y x f z ,=，在曲面上任选一点()i i i ζηξ,,，那么在这一点必定存在一个切平面∑，切平面∑与xoy 平面的夹角为γ，在曲面上任选一个0→λ的趋于dS ,它在xoy 平面上的投影为σd 。
由于σd 很小，那么它对应的在曲面()y x f z ,=中的部分曲面可以近似的认为是一个平面，则求得γ
σ
c o s
d dS =
○1；()()1
,,1
cos 22
++=
y x F y x F z
x
γ，证明：()()z y x f z y x F -=,,,，现在求得曲面中任意一点
的法向量()()()1,,,,,,y x f y x f z F y F x F n y x =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂∂∂∂∂=→
，取xoy 平面中的法向量()1,0,0=→a ，∴
()()()()1
,,1
1
,,11
cos 2222++=
++-=
y x F y x F y x F y x F z
x
z
x
γ()y x f z ,= ∴()y x F x ,()
y x F y ,相当于z 对y x ,分别求偏倒，所有得公式()()1
,,1
cos 22++=
y x F y x F z
x
γ带入○1中得：
()()σd y x f y x f dS z x 1,,22++=
，∴()()⎰⎰
++=xy
D z x d y x f y x f S σ1,,2
2
（3） 物理意义
三重积分的物理意义
在于计算一个空间实体中不同点有不同密度的质量，函数
()z y x f ,,是有界空间曲面∑与垂直于坐标平面或几个曲面∑所围成的封闭区域不同点的密度，在此区域中的任意一点有不同的密度，因为质量公式V m ρ=在这里已经不能够使用，所以取为
()i i i i v f ∆ζηξ,,为小体积的质量，
经过()∑=→∆n
i i i i i v f 10
,,lim ζηξλ取极限求和得到整个实体的质量。
第一类曲面积分的物理意义
第一类曲面积分所求的的也是在
于计算一个空间实体中的质量，与三重积分不同的是，函数()z y x f ,,是曲面上的不同点的面密度。
因为质量公式S m ρ=在这里已经不能够使用，所以()i i i f ζηξ,,曲面中某点的面密度，在这里积分曲面中的某点的坐标与被积函数中的面密度所对应的坐标值相
同，所以这里的()z y x ,,为积分曲面与被积函数的坐标值，因此⎰⎰∑
dS z y x f ),,(为微元小柱
体的质量，经过()∑=→∆n
i i i i i S f 1
,,lim ζηξλ取极限求和得到整个曲面所对应实体的质量，所以
它所求得的体积是一个微元的柱面质量的和。
四、 结论
三重积分中积分区域不能带入到被积函数中去；曲面积分的积分区域可以带入到被积函数中去。
