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微积分下册常见六种积分考试重点二重积分、三重积分第一型曲线积分、曲面积分第二型曲线积分、曲面积分二重积分/累次积分⎰⎰Dd y x f σ),(1）⎰⎰D在有界闭区域D 上进行积分的积分符号；D Oxy 平面上的有界闭区域，积分区域；f (x,y )被积函数（其在D 上连续才可积），比如可以是区域D 的密度大小，也可以表示底面是D 的曲顶柱体的高。
2）d σ Oxy 平面上微小区域面积，面积元素（d 微分；σ D 中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。
3）微小面质量=微小面密度×微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高×微小曲顶柱体底面长度；f (x,y )d σ 微小面质量或者微小面积，被积表达式。
4）σd y x f D⎰⎰),( 曲面D 的质量，曲顶柱体面积。
此处应注意：f (x,y )>0时，二重积分积分的现实意义才成立。
5）的面积。
即为时，注意：当D D d y x f y x f D)(),(1),(σσ=≡⎰⎰6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分{}{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=≤≤≤≤==≤≤≤≤==)()(21)()(212121),(),(,),()(),(),(),(,),()(),()1y x y x baDx y x y ba Ddxy x f dy d y x f b y a y x x y x y x D dy y x f dx d y x f b x a x y y x y y x D dxdyd σσσ当当型域条件下， {}⎰⎰⎰⎰⎰⎰==≤≤≤≤=⎩⎨⎧===⨯=)()(2121)sin ,cos ()sin ,cos (),(),()(),(,sin cos )2x r x r DDrdrr r f d dr rd r r f d y x f r r r r D r y r x drrd dr rd d θθθθθθσβθαθθθθθθθσβα极坐标条件下， ⎰⎰⎰⎰'=≠∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂='→⎩⎨⎧===D DdudvJ v u y v u x f d y x f vy uyv xu xv u y x J D D v u y y v u x x D dudvJ d )),(),,((),(0),(),(,,),(),()3σσ令对于区域换元条件下，三重积分dV z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(1）⎰⎰⎰Ω在有界闭区域Ω上进行积分的积分符号；Ω Oxyz 空间中的有界闭区域，积分区域，代表一几何体；f (x,y,z ) 被积函数（其在Ω上连续才可积），可以是区域Ω的密度大小。
知识结构图1、三重积分概念理解三重积分的概念是要注意⑴若1),,(=z y x f 时，则⎰⎰⎰=vv dv z y x f ),,(，其中|v|为V 的体积。
例:利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体体积：1) 226y x z --=及)(22y x z +=;2)az z y x 2222=++(a>0)及222z y x =+（含有Z 轴的部分） 3) )(22y x z +=及22y x z += 4))5(22y x z --=及z y x 422=+⑵三重积分的物理意义:若V 是某物体所占有的空间闭区域，连续函数),,(z y x f 为该物体的密度函数，则三重积分⎰⎰⎰vdv z y x f ),,(的值等与该物体的质量。
例1:设有一物体，占有空间闭区域}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点),,(z y x 处的密度为z y x z y x ++=),,(ρ，计算该物体的质量。
例2:球心在原点、半径为R 的球体，在任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。
2、三重积分的计算方法一、利用直角坐标进行三重积分 投影法步骤为:以平行与坐标轴的直线穿过区域V 的边界曲面而定，先穿过的为下限后穿过的为上限，确定的积分限，完成“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
围成的闭区域。
例：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面0,0,0===z y x解：画出Ω及在xoy 面投影域D.“穿线”y x z --≤≤10X 型D ：xy x -≤≤≤≤1010 ∴Ω：yx z xy x --≤≤-≤≤≤≤10101三重积分概念三重积分 存在性三重积分 计算利用球面坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω+---=--===101032210101010102]31)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dydx zdxdydz I x x y x x241]4123[61)1(6110410323=-+-=-=⎰x x x x dx x截面法步骤为：计算区域上的二重积分 ，完成“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。
三重积分求解技巧三重积分是在三维空间中计算体积、质量、质心、转动惯量等物理量的重要工具。
在进行三重积分的求解时，我们可以运用一些技巧来简化问题和提高计算效率。
下面将介绍一些常用的三重积分求解技巧。
1. 坐标变换坐标变换是一种常用的简化三重积分问题的技巧。
通过选择适当的坐标系，可以将原本复杂的积分变为更简单的形式。
常见的坐标变换包括柱坐标变换和球坐标变换。
在柱坐标变换中，用$r$，$\\theta$和$z$来表示三维空间中的点，可以将$x$，$y$，$z$转化为$r$，$\\theta$和$z$。
在球坐标变换中，用$r$，$\\theta$和$\\phi$来表示三维空间中的点，可以将$x$，$y$，$z$转化为$r$，$\\theta$和$\\phi$。
通过坐标变换，原本复杂的积分可以被简化为一个更简单的形式，使得计算更加容易。
2. 对称性如果被积函数具有某种对称性，可以利用对称性简化求解问题。
常见的对称性包括轴对称性和平面对称性。
如果被积函数在$x$，$y$和$z$的交换下不变，那么可以利用轴对称性简化问题。
通过将积分区域限定在一个八分之一坐标轴内，并将结果乘以8来计算整个积分。
如果被积函数在某个平面的对称性，可以利用平面对称性简化问题。
通过将积分区域限定在平面的一个半空间内，并将结果乘以2来计算整个积分。
通过利用对称性，可以减少计算量，并且简化问题的形式。
3. 利用积分的性质在进行三重积分计算时，可以利用积分的性质来简化问题。
常见的性质包括线性性质、可交换性和可分离性。
利用线性性质，可以将三重积分分解为若干个单独的积分，然后分别计算。
这样可以将复杂的三重积分问题转化为多个简单的一重或二重积分问题。
利用可交换性，可以改变积分的变量顺序，从而简化计算。
需要注意的是，在改变积分变量顺序时，需要同时改变积分区域的表示。
利用可分离性，可以将三重积分分解为三个独立的一重积分，然后分别计算。
这样可以将三重积分的计算问题转化为三个独立的一重积分问题。
三重积分知识点总结一、三重积分的基本概念1. 几何意义三重积分的几何意义是在三维空间中求某一区域内函数的平均值。
我们可以想象三维空间被分割成无数个小立方体，每个小立方体的体积趋于零。
然后将函数在每个小立方体上的值相加，并对整个区域进行求和，得到的就是三重积分的值。
2. 定义三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。
设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。
3. 坐标变换在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。
常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。
通过坐标变换，可以将原积分区域变换成更容易处理的形式，从而简化计算步骤。
二、三重积分的计算方法1. 直角坐标系下的三重积分直角坐标系下的三重积分是最基本的计算方法，它通常通过分割积分区域，并利用定积分的性质逐步进行计算。
对于简单的积分区域和函数，直角坐标系下的三重积分计算比较直观和容易理解。
2. 球坐标系下的三重积分在球坐标系下进行三重积分的计算，可以避免一些复杂的计算步骤。
球坐标系下的积分区域通常是球形或者球形的一部分，利用球坐标系的简洁性可以简化积分的计算过程。
3. 柱坐标系下的三重积分柱坐标系下进行三重积分的计算，适用于柱状或圆柱状的积分区域。
柱坐标系的简化性使得积分的计算更加方便和高效。
三、三重积分的应用1. 物理学中的应用在物理学中，三重积分被广泛应用于计算物体的质量、密度、电荷分布等问题。
例如，通过三重积分可以计算物体的质心、转动惯量等物理量，也可以计算电荷在空间中的分布情况。
2. 工程学中的应用在工程学中，三重积分被用于计算空间中的流体流动、物体的温度分布、材料的应力分布等问题。
通过三重积分可以得到流体的流速、压强分布等关键信息，也能够计算物体的热传导、热辐射等问题。
重积分知识点重积分是数学分析中的一个重要概念，是对多元函数在三维空间中的积分，也称为三重积分。
它是高等数学、微积分、物理学等领域中必须掌握的基本知识点。
下面将从定义、性质、计算方法和应用四个方面详细介绍重积分知识点。
一、定义重积分是对三元函数在三维空间中某一区域内的积分，表示为：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV$$其中，$\Omega$表示被积区域，$dV$表示体积元素。
二、性质1.线性性质：若$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在$\Omega$上可积，则有：$$\iiint_{\Omega}(af+bg)dV=a\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV+b\iiint_{ \Omega}g(x,y,z)dV$$其中$a,b$为常数。
2.可加性质：若将$\Omega$划分成若干个互不相交的子区域$\Omega_1,\Omega_2,...,\Omega_n$，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV=\sum^n_{i=1}\iiint_{\Omega_i}f(x,y,z )dV$$3.保号性质：若$f(x,y,z)\geq0$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\geq0$$4.单调性质：若$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$在$\Omega$上成立，则有：$$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)dV\leq\iiint_{\Omega}g(x,y,z)dV$$三、计算方法1.直接计算法：将被积函数$f(x,y,z)$转化为三元积分的形式，然后按照定积分的方法进行计算。
2.累次积分法：将三重积分转化为三个定积分的累次积分，然后按照定积分的方法进行计算。
3.极坐标法：适用于旋转对称的区域，可以通过极坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
4.柱面坐标法：适用于柱面对称的区域，可以通过柱面坐标系下的面积元素$dS$和体积元素$dV$来简化计算。
三重积分的积分性质和计算规则三重积分是数学中的一个重要概念，它在物理、工程、计算机科学等领域被广泛应用。
三重积分的计算需要掌握一些性质和规则，本文将详细介绍三重积分的积分性质和计算规则，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
一、三重积分的定义三重积分是指对三维空间内的一个体积区域进行积分运算，其数学表达式为：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$其中，$V$ 表示积分区域，$f(x,y,z)$ 表示被积函数，$\mathrm{d}V$ 表示体积元素。
二、三重积分的积分性质1. 可积性若$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上连续，则其在 $V$ 上可积。
2. 线性性设$f(x,y,z)$和$g(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，$k$为常数，则有：$$\iiint\limits_{V}(kf(x,y,z)+g(x,y,z))\mathrm{d}V=k\iiint\limits_ {V}f(x,y,z)\mathrm{d}V+\iiint\limits_{V}g(x,y,z)\mathrm{d}V$$3. 保号性设$f(x,y,z)$在闭合的积分区域 $V$ 上可积，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V\geq0$$当且仅当 $f(x,y,z)$在 $V$ 上恒为 $0$ 时，等号成立。
4. 区域可加性设积分区域 $V$ 可以分成若干个不相交的子区域$V_1,V_2,\cdots,V_n$，则有：$$\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\sum_{i=1}^{n}\iiint\limi ts_{V_i}f(x,y,z)\mathrm{d}V$$三、三重积分的计算规则1. 直角坐标系下的计算在直角坐标系下，我们可以将积分区域先按照 $x,y,z$ 的顺序分解，将三重积分化为三重定积分，然后按照积分顺序先计算$z$ 再计算 $y$ 最后计算 $x$。
三重积分计算口诀以下是为您生成的十个关于三重积分计算的口诀：口诀一：一重积分一条线，二重积分一个面，三重积分占空间。
一找区域先定边，二看函数要关联。
先一后二或先二后一，顺序选对计算易。
投影区域要清晰，被积函数别忘记。
积分上下细分辨，计算准确心欢喜。
口诀二：三重积分有点难，计算步骤记心间。
一判类型定顺序，先一后二或先二后一不混乱。
二找投影定区域，图形清晰思路现。
三写积分表达式，被积函数要周全。
积分上下要明确，计算过程仔细算。
巧用对称性化简，难题也能变简单。
口诀三：计算三重积分时，一思顺序怎合适。
先一后二或反之，哪种简便就选之。
二观区域啥样子，投影边界要明知。
三定函数表达式，认真书写别写错。
积分上下分仔细，如同走路看标识。
计算耐心别着急，答案准确笑嘻嘻。
口诀四：三重积分别害怕，一选顺序有方法。
先一后二或先二，根据区域来定下。
二画图形看形状，投影范围要抓牢。
三写式子定积分，被积函数别跑掉。
积分上下定清楚，如同穿衣扣好扣。
一步一步慢慢算，成功就在眼前现。
口诀五：学三重积分不难，一判顺序心不烦。
先一还是先二选，就看区域哪种简。
二找投影边界线，图形清晰在眼前。
三写积分认真算，被积函数细查看。
积分上下别弄混，好比走路方向准。
多多练习长本领，数学成绩往上升。
口诀六：三重积分要学好，一思顺序很重要。
先一后二常考虑，先二后一也能搞。
二看区域怎么描，投影形状要记牢。
三算积分耐心瞧，被积函数处理妙。
积分上下区分清，如同分辨路和桥。
细心认真多动脑，难题不再把你扰。
口诀七：三重积分别慌张，一步一步有良方。
一选顺序先思量，哪种顺手就用上。
二定区域看形状，投影范围心中装。
三写积分别匆忙，被积函数不能忘。
积分上下看仔细，如同区分猫和鼠。
认真计算不马虎，成绩优秀人人慕。
口诀八：三重积分不难算，一选顺序别犯难。
先一后二多试试，先二后一也看看。
二画区域明界限，投影范围要找全。
三写式子算积分，被积函数细钻研。
积分上下要分辨，好像区分白天晚。
三重积分计算中的一些技巧在三重积分的计算中，有一些技巧可以帮助我们简化计算过程，提高效率。
接下来，我将介绍一些常用的三重积分计算技巧。
1.先进行变量代换：在求解三重积分时，通过适当的变量代换可以简化被积函数的形式。
常见的变量代换方法包括球坐标系、柱坐标系和抛物坐标系等。
2.交换积分次序：当被积函数在不同变量的积分中存在其中一种对称性时，可以考虑交换积分次序。
例如，当被积函数在一些变量的积分中只依赖于另外两个变量时，可以将该变量的积分放在最后进行计算，从而简化计算。
3.利用对称性：当被积函数具有其中一种对称性时，可以通过利用对称性简化计算。
例如，当被积函数关于一个坐标轴对称时，可以将整个积分区域对称折叠，从而减少积分区域的计算量。
4.利用奇偶性：当被积函数具有奇偶性时，可以利用奇偶性简化计算。
例如，当被积函数为奇函数时，可以将积分区域关于原点对称分成两个部分，只计算一个部分的积分再乘以2，从而简化计算。
5.使用对称性的特殊点：在一些情况下，利用对称性的特殊点可以简化计算。
例如，当被积函数在其中一点处取得极值时，可以将该点作为积分区域的对称中心，从而简化计算。
6.利用积分的性质：在进行具体计算时，可以利用积分的性质简化计算。
例如，利用积分线性性质，将被积函数拆分成多个部分进行计算，再将计算结果加和即可。
7.重心坐标法：在一些特殊情况下，可以通过引入重心坐标法简化计算。
重心坐标法是一种利用面积、体积比例关系的坐标变换方法，通过引入重心坐标，可以将多重积分转化为更简单的单重积分计算。
8.利用积分的几何意义：在进行三重积分的计算时，可以利用积分的几何意义进行估算。
通过将积分区域分成若干个小区域，在每个小区域上进行近似计算，最后将计算结果进行求和，可以得到对原积分的估计值。
总而言之，三重积分的计算过程需要我们熟练掌握数学知识，并结合具体问题运用相应的技巧。
以上介绍的仅仅是一些常用的技巧，实际计算过程中还需要根据具体情况进行灵活运用。
第三节 三重积分教学目的和要求：1．了解三重积分的概念和性质。
2．会在直角坐标、柱面坐标、球面坐标下计算较简单的三重积分。
重点：三重积分的计算方法。
难点：积分区域的图形及积分限的确定。
主要知识点：一． 三重积分的概念1． 三重积分的定义2． 三重积分的存在性3． 三重积分物理定义（与二重积分相区别）4． 三重积分的性质二． 三重积分的计算方法1． 直角坐标下：1）对积分域的要求。
2）可以看作是“先二后一”的积分，也可化为三次积分。
3）直角坐标适合的类型：积分域为在某坐标面投影为三角形，矩形等带“棱”、“角”的图形，被积函数的特点为一般不带高次的项或高次项的平方和。
4） 积分限的确定方法：第一步：先往某坐标面投影（如xoy 面），得一平面图形，按二重积分的积分限的方法确定x 和y 。
第二步：在区域内沿z 轴方向穿线，穿入的为下限，穿出的为上限；或从边界面方程中去解z ，小的放下限，大的放上限。
5） 可利用对称性和奇偶性。
比如，若积分区域关于xoy 面对称，被积函数关于z 的奇函数，则积分值为0，其它两种情况同理。
2、利用柱面坐标计算三重积分1）柱面坐标的特点：I ．可以看成平面上的极坐标又加上一个z 轴，可按此定积分限。
II ．规定,,r z θ的范围2）利用柱面坐标适合的类型I ．积分本身为圆柱域，或投影域为圆域或圆域的一部分。
II ．被积函数有形如()22f x y +，或含22x y +的因子。
3）柱面坐标计算时应注意的问题I ．关键是变量z 积分限的定法。
II ．被积表达式中dv 要换成rdrd dz θ。
r 不要丢掉3、利用球面坐标计算三重积分1）球坐标变换公式及,,r θϕ的含义和范围。
2）球坐标适合的类型：I ．积分域为球域或部分球域。
II．被积函数有f 的形式。
3）球坐标计算应注意的问题：I ．此处的r 与柱坐标中的r 不同。
但ϑ是一样的。
II ．计算时dv 要换成2sin r d d dr ϕθϕ，2sin r ϕ不要丢掉。
