高等数学-利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分-9-5
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柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
计算三重积分详细方法
一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。 6
例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdyd, z 其中
是由z曲 x2面 y2与平 z面 4所围成的闭
解 (1) 画 图
z
(2) 确定 z，r， 的上下限
44
将 向 xoy 面投影，得
D :x2y24
或
02,
D:
0r2.
o•(r,)
yy
xx
就叫M 点 的柱面坐标． z
规定： 0r,
02 ,
•M (x,y,z)
z . 简单地说，柱面坐标就是
or
y
•
P(r,)
x
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
4
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z
z.
z
z
or
y
x
z
M (x ,y,z)
•
o
x
r
y
• P(r,) 5
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
d v rdd rd, z
z
rd
dr r dz
于是，
o
y
f(x,y,z)dxdydz
x d
f (r c o ,r ssi,z n )r d dr d . z
再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。
z
R
任取一 [0,2],过 z
轴作半平面，得
04.
在半平面上，任取一
[0, 4],
x
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分汇总
z
rd
dr
dv rdrddz,
f ( x , y, z )dxdydz
r
dz
o
x
d
y
f ( r cos , r sin , z )rdrddz.
例1 计算 I
2 2 2
zdxdydz ，其中
2 2
是球面
x y z 4 与抛物面 x y 3 z
0 2 ,
2 a a
I ( x y )dxdydz d rdr r 2dz
0
0
r
5 a a 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10
a 3
4 5
例 4 求曲面 x y z 2a 与 z 所围 成的立体体积.
r
3 cos a 4 2 d 2 sin d r2 d r 0 0 0 2 3 2 1 a sin cos d a 3 0 3 3
x
y
dv r 2 sin dr d d
三、小结
柱面坐标 三重积分换元法 球面坐标
x
f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin d d d .
是锥面 例 3 计算 I ( x 2 y 2 )dxdydz ，其中
x 2 y 2 z 2 ， 与平面z a
解1 采用球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
（2） 球面坐标的体积元素 dxdydz r 2 sindrdd （3） 对称性简化运算
3.5 利用柱面坐标和球面坐标的计算三重积分
三重积分的计算关键在于选取适当的坐标系, 确定单积 分的积分上下限. 通常是球形域或球与圆锥面围成时用球坐标, 是圆柱形或投影域为圆时用柱坐标.
ex6.设f ( u)具有连续的导数, 且f (0) 0, 求 1 lim 4 t 0 t
x2 y2 z2 t 2
f (
r2 则 {( r , , z ) | z 4 r 2 , 0 r 3,0 2 } 3 z I zrdrddz z 4 r2
0 d 0 dr r 2
3
2
3
4 r 2
r zdz
13 . 4
r2 z 3 x
y
2
x
02 d 0
2 cos
8 2 a2 8 3 2 r dr 0 zdz 02 cos d a . 9 2 3
a
二. 在球面坐标下计算三重积分
1. 球面坐标及坐标面
设 M ( x , y, z ) 为空间内一点，则点M 可用 三个有次序的数 ，， 来确定，其中 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按 逆时针方向转到有向线 OP 的角，这里 P 为 段 点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 ，，
x sin cos y sin sin z cos
z
x
M ( x, y, z )
z
o
A
y
y
x
P
3. 球面坐标下的三次积分
球面坐标系中的体积元素为
d
z
d
sin
ex6.设f ( u)具有连续的导数, 且f (0) 0, 求 1 lim 4 t 0 t
x2 y2 z2 t 2
f (
r2 则 {( r , , z ) | z 4 r 2 , 0 r 3,0 2 } 3 z I zrdrddz z 4 r2
0 d 0 dr r 2
3
2
3
4 r 2
r zdz
13 . 4
r2 z 3 x
y
2
x
02 d 0
2 cos
8 2 a2 8 3 2 r dr 0 zdz 02 cos d a . 9 2 3
a
二. 在球面坐标下计算三重积分
1. 球面坐标及坐标面
设 M ( x , y, z ) 为空间内一点，则点M 可用 三个有次序的数 ，， 来确定，其中 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按 逆时针方向转到有向线 OP 的角，这里 P 为 段 点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 ，，
x sin cos y sin sin z cos
z
x
M ( x, y, z )
z
o
A
y
y
x
P
3. 球面坐标下的三次积分
球面坐标系中的体积元素为
d
z
d
sin
利用柱面坐标计算三重积分
`z
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
《高等数学》第九章 3.2 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
z.
z
z
or
y
x
z
M(x, y, z)
o
x
r
y
P(r, )
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
dv rdrd dz,
z
rd
dr
r
dz
于是，
f ( x, y, z)dxdydz
o
y
x d
f (r cos , r sin , z) r drd dz.
再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。
02
d
02dr
4
r 2
r
z
dz
2
0
d
2
0
r
z2 2
4 r2
dr
1 2
2
0
d
2
0
(16r
r5 )dr
1 2
2
0
8r 2
1 6
r
6
2
d
0
1 2
2
8r 2
1 6
r
6
2 0
64 3
.
例 2 求I zdxdydz，其中 是球面 x2 y2 z2 4
r 3
o
A
或
D:
0 2 ,
0 r 3 .
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
r2 z 4 r2 .
x
3
0 2 ,
即 : 0 r 3 , r 2 3 z 4 r 2 .
最新95利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分汇总
95利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分§9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
一、利用柱面坐标计算三重积分1、柱面坐标设«Skip Record If...»为空间的一点,该点在«Skip Record If...»面上的投影为«Skip Record If...»,«Skip Record If...»点的极坐标为«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»三个数称作点«Skip Record If...»的柱面坐标。
规定«Skip Record If...»的取值范围是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»柱面坐标系的三组坐标面分别为«Skip Record If...»,即以«Skip Record If...»轴为轴的圆柱面；«Skip Record If...»,即过«Skip Record If...»轴的半平面；«Skip Record If...»,即与«Skip Record If...»面平行的平面。
点«Skip Record If...»的直角坐标与柱面坐标之间有关系式«Skip Record If...»(1)2、三重积分«Skip Record If...»在柱面坐标系中的计算公式«Skip Record If...»用三组坐标面«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,将«Skip Record If...»分割成许多小区域,除了含«Skip Record If...»的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
2.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分学习教案
4、若由不等式 x2 y2 (z a)2 a2,x2 y2 z2
所确定,将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
_______________________；其值为__________. 二、计算下列三重积分:
1、 ( x 2 y 2 )dv,其中 是由曲面4z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面z 5 所围成的闭区域.
当f ( x, y, z)关于____为偶函数时,
2 f ( x, y, z)dv ___ f ( x, y, z)dv
1
其中1为在xy面上方的部分.
第二十七页，共35页。
练习题
一、填空题: 1、若 由曲面z 2 3( x 2 y 2 )和 x 2 y 2 z 2 16 所
围,则三重积分 f ( x, y, z)dv 表示成直角坐标下
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
第二十二页，共35页。
例 6 计算 ( x y z)2dxdydz其中 是由抛
物面 z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的 空间闭区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx) 其中 xy yz 是关于y 的奇函数,
在柱面坐标下：
0 2, 0 r 1, r2 z 2 r2 ,
投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
2
1
I d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
第二十五页，共35页。
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标
球面坐标
（1） 柱面坐标(zuòbiāo)的体积
所确定,将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
_______________________；其值为__________. 二、计算下列三重积分:
1、 ( x 2 y 2 )dv,其中 是由曲面4z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面z 5 所围成的闭区域.
当f ( x, y, z)关于____为偶函数时,
2 f ( x, y, z)dv ___ f ( x, y, z)dv
1
其中1为在xy面上方的部分.
第二十七页，共35页。
练习题
一、填空题: 1、若 由曲面z 2 3( x 2 y 2 )和 x 2 y 2 z 2 16 所
围,则三重积分 f ( x, y, z)dv 表示成直角坐标下
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
第二十二页，共35页。
例 6 计算 ( x y z)2dxdydz其中 是由抛
物面 z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的 空间闭区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx) 其中 xy yz 是关于y 的奇函数,
在柱面坐标下：
0 2, 0 r 1, r2 z 2 r2 ,
投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
2
1
I d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
第二十五页，共35页。
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标
球面坐标
（1） 柱面坐标(zuòbiāo)的体积
高等数学 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 9-5
y 2 2z 解 由 x0
绕 oz 轴旋转得，
2 2
旋转面方程为 x y 2z ,
所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x 2 y 2 16, 0 2 0 4 1 : , 2 2 z8
D2 : x 2 y 2 4,
解1 采用球面坐标
(a 0) 所围的立体.
za r
2 2 2
a , cos
x y z , 4
a : 0 r , 0 , 0 2 , cos 4
I ( x 2 y 2 )dxdydz
d d
其值为_______.
3、若空间区域 为二曲面x 2 y 2 az 及 z 2a x 2 y 2 所围,则其体积可表为三重积分 _______________; 或 二 重 积 分 ______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________. 4 、 若 由 不 等 式 x 2 y 2 (z a)2 a 2 , x 2 y 2 z 2 所确定,将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 ,
如图，三坐标面分别为
r 为常数
0 2 .
球 面；
为常数
为常数
圆锥面；
半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为 P， 点 P 在 x 轴上的投影为 A，
则 OA x , AP y, PM z .
§3.3 利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分共16页
谢谢！ห้องสมุดไป่ตู้
柱面坐标系和球面坐标系求三 重积分
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
(V )
z
其中(V )由z R 2 x 2 y 2 与 z 0所围.
xoy面所围, 分析 (V )为由半球面与 故可用球面坐标 ,
此时,0 2 ,0
y
x
2
R
,0 R.
I d
0
2
/2
0
d cos 2sin d
y
( xy )
x
此时 0 z R 2 2 .
I
2 0
( xy )
[
R
R2 2
0
zdz ]dd
d
0
1 2 1 4 2 ( R ) d R . 2 4
思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分 I ( x y )dv,
4
y
,0 R.
x
I d
0
2
/4
0
d
R
0
2 2sin d
2 2 5 R . 5
练习 试用三种坐标系分别计 算三重积分
z
2
z
I zdv, 其中(V ) : x 2 y 2 z 2 2 z.
(V )
解法1 直角坐标系 (切片法)
0
4 . 4 cos sin d 3
2 cos
0
cos 2 sin d
x
3、化为累次积分
z 2 ,
1 ,
(1)用x sin cos , y sin sin , z cos
z
其中(V )由z R 2 x 2 y 2 与 z 0所围.
xoy面所围, 分析 (V )为由半球面与 故可用球面坐标 ,
此时,0 2 ,0
y
x
2
R
,0 R.
I d
0
2
/2
0
d cos 2sin d
y
( xy )
x
此时 0 z R 2 2 .
I
2 0
( xy )
[
R
R2 2
0
zdz ]dd
d
0
1 2 1 4 2 ( R ) d R . 2 4
思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分 I ( x y )dv,
4
y
,0 R.
x
I d
0
2
/4
0
d
R
0
2 2sin d
2 2 5 R . 5
练习 试用三种坐标系分别计 算三重积分
z
2
z
I zdv, 其中(V ) : x 2 y 2 z 2 2 z.
(V )
解法1 直角坐标系 (切片法)
0
4 . 4 cos sin d 3
2 cos
0
cos 2 sin d
x
3、化为累次积分
z 2 ,
1 ,
(1)用x sin cos , y sin sin , z cos
极坐标与球面坐标计算三重积分
4 3
3 a
2π
π
4 其中 M = πa 3 ρ 为球体的质量． 3
0
2πa 3 , r 2 sin ϕdr = 3
a
1 a4 zdv = ∫ 2 dϕ ∫ dθ ∫ r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕdr = ⋅ 2π ⋅ , ∫∫∫ 0 0 0 2 4 Ω 3a 3a 因此z= ．重心为(0，0， )． 8 8
2π
π
例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量． 解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a， z 则球体所占空间闭区域Ω可用不等式 x2+y2+z2≤a 2 来表示． 所求转动惯量为
θ =θ 0
y
θ0
直角坐标与柱面坐标的关系：
z z M(x, y, z)
x = r cos θ , y = r sin θ , z = z.
柱面坐标系中的体积元素： dv =rdrdθdz． 柱面坐标系中的三重积分： x
Ω
O x
θ
r
y P(r, θ )
y
∫∫∫ f (x，y，z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cos θ
V= ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ r2 sinϕ drdϕdθ
Ω Ω
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
2π
α
2 a cos ϕ
0
r 2 sin ϕdr
= 2π ∫ sin ϕdϕ ∫
0
α
2 a cos ϕ
ϕ r α O x y
0
r 2 dr
16πa 3 α = cos 3 ϕ sin ϕdϕ 3 ∫0 4πa 3 = (1 − cos 4 a) ． 3
3 a
2π
π
4 其中 M = πa 3 ρ 为球体的质量． 3
0
2πa 3 , r 2 sin ϕdr = 3
a
1 a4 zdv = ∫ 2 dϕ ∫ dθ ∫ r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕdr = ⋅ 2π ⋅ , ∫∫∫ 0 0 0 2 4 Ω 3a 3a 因此z= ．重心为(0，0， )． 8 8
2π
π
例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量． 解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a， z 则球体所占空间闭区域Ω可用不等式 x2+y2+z2≤a 2 来表示． 所求转动惯量为
θ =θ 0
y
θ0
直角坐标与柱面坐标的关系：
z z M(x, y, z)
x = r cos θ , y = r sin θ , z = z.
柱面坐标系中的体积元素： dv =rdrdθdz． 柱面坐标系中的三重积分： x
Ω
O x
θ
r
y P(r, θ )
y
∫∫∫ f (x，y，z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cos θ
V= ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ r2 sinϕ drdϕdθ
Ω Ω
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
2π
α
2 a cos ϕ
0
r 2 sin ϕdr
= 2π ∫ sin ϕdϕ ∫
0
α
2 a cos ϕ
ϕ r α O x y
0
r 2 dr
16πa 3 α = cos 3 ϕ sin ϕdϕ 3 ∫0 4πa 3 = (1 − cos 4 a) ． 3
利用柱面坐标与球面坐标计算三重积分
f ( r cos , r sin , z )rdrddz.
rdrd
Dr
z2 ( r , ) z1 ( r , )
f ( r cos , r sin , z )dz .
通常化为先对 z、再对 r、后对θ 的三次积分.
先将Ω在xOy面上的投影域用极坐标不等式表示
设M(x, y, z)为空间内一点,记向量OM来自长为r , OM与z轴z
r
M ( x, y, z )
z
正方向间的夹角为 , 再将OM
A x
x
O
y
y
P
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的 夹角为 , 称 ( r , , ) 为点M的球面坐标. 规定 0 r , 0 , 0 2 .
=常数: 半平面P
0
y
x
直角坐标与柱面坐标的关系为
x r cos , y r sin , z z.
在柱面坐标下 1. 若被积函数形如
x y r . 因此
2 2 2
f (x y ) ;
2 2
2. 积分区域Ω是由柱面、锥面、旋转抛物面、平 面或球面所围成.
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面r+d r
半平面 及+d ； 圆锥面及+d
rsind
半径为r及r+dr的球面；
r
圆锥面+d
1
1
2 1dr 2 0 1 r
1
1 r
Dxy
0
1
y
9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
§9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分对于某些三重积分,由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
一、利用柱面坐标计算三重积分1、柱面坐标设M x y z (,,)为空间的一点,该点在xoy 面上的投影为P ,P 点的极坐标为r ,θ,则r z ,,θ三个数称作点M 的柱面坐标。
规定r z ,,θ的取值范围是0≤<+∞r ，02≤≤θπ，-∞<<+∞z柱面坐标系的三组坐标面分别为r =常数,即以z 轴为轴的圆柱面；θ=常数,即过z 轴的半平面；z =常数,即与xoy 面平行的平面。
点M 的直角坐标与柱面坐标之间有关系式x r y r zz===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪cos sin θθ (1) 2、三重积分f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰在柱面坐标系中的计算公式用三组坐标面r =常数,θ=常数,z =常数,将Ω分割成许多小区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
考察由r z ,,θ各取得微小增量dr d dz ,,θ所成的柱体,该柱体是底面积为rdrd θ,高为dz 的柱体,其体积为dv rdrd dz =θ这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到(1)式有f x y z dv f r r z rdrd dz (,,)(cos ,sin ,)ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=θθθ (2)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。
(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量z r ,,θ的三次积分,其积分限要由z r ,,θ在Ω中的变化情况来确定。
3、用柱面坐标r z ,,θ表示积分区域Ω的方法(1)、找出Ω在xoy 面上的投影区域D xy , 并用极坐标变量r ,θ表示之； (2)、在D xy 内任取一点(,)r θ, 过此点作平行于z 轴的直线穿过区域, 此直线与Ω边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成r ,θ的函数 )即为z 的变化范围。
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
解
由x
2
由锥面和球面围成， 采用球面坐标， Ω 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
+ y + z = 2a
2 2
2
⇒ r = 2a ,
z=
π x + y ⇒ ϕ= , 4
2 2
Ω : 0 ≤ r ≤ 2a ,
π 0≤ϕ≤ , 4
0 ≤ θ ≤ 2π ,
由三重积分的性质知 V =
∫∫∫ dxdydz ,
例 3 计算 I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdydz ，其中Ω 是锥面
x 2 + y 2 = z 2 ， 与平面 z = a
解: 采用球面坐标
a ∵ z=a ⇒r = , cos ϕ
π x + y = z ⇒ϕ= , 4
2 2 2
Ω
( a > 0) 所围的立体.
a π , 0 ≤ ϕ ≤ , 0 ≤ θ ≤ 2π , ∴Ω : 0 ≤ r ≤ cos ϕ 4
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz = 0. Ω
三、小结
柱面坐标 三重积分换元法 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素 ）
dxdydz = rdrdθdz
（2） 球面坐标的体积元素 ） dxdydz = r 2 sin ϕdrdθdϕ （3） 对称性简化运算 ）
r2 Ω: ≤ z ≤ 4 − r 2， 3 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 2 π.
I = ∫ dθ ∫ dr ∫r 2
0 0
3
2π
3
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例1 计算I zdxdydz，其中 是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
x cos
解
由
y
sin
,
z z
知交线为
2 z2 4
2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
:
2
z
4 2，
3
0 3,
0 2 .
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
0
0
0
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
1
其中1为在xy面上方的部分.
练习题
一、填空题: 1、若 由曲面z 2 3( x 2 y 2 )和 x 2 y 2 z 2 16 所
围,则三重积分 f ( x, y, z)dv 表示成直角坐标下
的三次积分是_________________;在柱面坐标下 的三次积分是_________________;在球面坐标下 的三次积分是__________________. 2、若 由 曲 面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 所 围,
0
0
3r
2
2
3r
d rdr
f (r cos , r sin , z)dz,
0
0
16r2
2
4
d 6 d f (r sin cos ,
0
0
0
r sin sin , r cos )r 2 sindr
2
4
0 d 5 d 0 f (r sin cos ,
6
r sin sin , r cos )r 2 sin dr ；
同理 zx 是关于x 的奇函数,
且 关于yoz 面对称, xzdv 0,
由对称性知 x2dv y2dv ,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
在柱面坐标下：
0 2, 0 r 1, r2 z 2 r2 ,
投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
2
1
I d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrddz
（2） 球面坐标的体积元素
dxdydz r2 sindrdd
（3） 对称性简化运算
思考题
4、若由不等式 x2 y2 (z a)2 a2,x2 y2 z2
所确定,将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
_______________________；其值为__________.
二、计算下列三重积分:
1、 ( x 2 y 2 )dv,其中 是由曲面4z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面z 5 所围成的闭区域.
将 zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,
其值为_______.
3、若空间区域 为二曲面x 2 y 2 az 及 z 2a x 2 y 2 所围,则其体积可表为三重积分 _______________; 或二重积分______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________.
2
1
2、 d rdr
2r2 zdz ,7 ；
0
0
r2
12
3、 dv , (2a x 2 y 2 x 2 y 2 )dxdy,
D
a
2
a
2ar
0
d
rdr
0
r2
dz ；
a
4、
2
d
4 sin cos d
2acos r 3dr, 7 a4.
0
0
0
6
二、1、8 ；
2、4 ( A5 a5 )； 15
为常数 为常数
圆柱面； 半平面；
z 为常数
平 面．
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x cos ,
y
sin
,
x
z z.
z
• M (x, y, z)
z
o
• P(, )
y
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
dv d ddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f ( cos , sin , z)d ddz.
若为R3中关于xy面对称的有界闭区域，f ( x, y, z)为 上的连续函数,则
z 当f ( x, y, z)关于____为奇函数时, f ( x, y, z)dv 0; z
当f ( x, y, z)关于____为偶函数时,
2 f ( x, y, z)dv ___ f ( x, y, z)dv
例５ 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {( x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
r • M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
o
则 OA x, AP y, PM z.
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
3、4 abc . 5
三、2 (5 5 4) . 3
四、V1
37 a3 6
37 .
V2 27 a3 27
6
五、(2 a, 2 a, 7 a 2 ).
5 5 30
六、 M (a2 h2 ) (其中M a2h为圆柱体的质量).
4
3
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
1 :
0 4
,
2
2
z
8
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 2
.
2
2
z
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
1
I1 d d
I
2
d
0
3
d
0
4 2
2 zdz
3
13 . 4
例２ 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
是曲线 y2 2z ，x 0 绕oz 轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2,z 8 所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
所围成的立体如图，
练习题答案
一、1、
2
dx
4 x2
dy
16 x2 y2
f ( x, y, z)dz
2 4 x2
3( x2 y2 )
2
dx
4 x2 dy 3( x2 y2 ) f ( x, y, z)dz ,
2 4 x2
16 x2 y2
2
2
16 r 2
d rdr
f (r cos , r sin , z)dz
D1
8
2 fdz
2
2
d
0
2
4
d
0
8
2 2
2dz
45 3
,
I2 dd
D2
2
2 fdz
2
2
d
0
2
d
0
2
r2
2dz
2
25 , 6
原式I 45 25 336 . 36
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
dr
d r sin
r
o
d
x
r sin d rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r 2 sin drd d .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解 1 采用球面坐标
2、( x 2 y 2 )dv,其中 由不等式
0 a x 2 y 2 z 2 A, z 0所确定.
3、
x2 (
y2
z 2 )dxdydz,
a2 b2 c2
其中
(
x,
y, z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
.
三、求曲面z 5 x 2 y 2 及x 2 y 2 4z 所围成的立
4 (