理论力学 第3篇 动力学

平面的距离保持不变。
2
刚体平面运动的描述
o
S
x
从几何学角度来
看刚体平面运动
等价于平面图形
y
S 的运动。
—刚体的性质
3
一、平面运动刚体的运动方程 Planar motion equation of rigid body
y
A
rAB
B
A称为基点 刚体的转角
xA x(t) yA y(t)
(t)
o
x
rAB rB rA
9
Example 1 求定轴转动刚 体上任意一点的速度 已知 (t)
vB ω rAB
A B
基点：A v A 0 角速度 ω k
vB v A ω rAB vB ω rAB
Example 2 求平动刚体 AB 上任意一点的速度 已知 (t); l
A
vM ωrCM
M
rCM
CV
速度瞬心 存在的条件
ω0
0 v A ω rAC
vA
Hale Waihona Puke CrACvA ω
rAC
14
例：半径为 R 的圆盘在地面上纯滚动，中心速度 为u。求圆盘边缘上 A点的速度及瞬心。
A rOAuω roA
O
C
解：由纯滚动条件
s R s R u
u
R
vA u ω roA
24
B ω
解：1、求出刚体角速度
2、以 A 作基点， 求各点速度。
C rCD ω rCD
vDA
刚体上是否存在
速度为零的点C ? vC 0
以C 作基点
A
vD 0 ω rCD
怎样找？ v A ω rCA

I
zx
I zy
I zz
**
(2)惯量椭球－用几何方法求刚体对某瞬时轴的转动惯量
Q点的坐标为：
x R
y
R
z
l
Q
R x
R y
z R 代入**得
y
o
x
椭球面方程
R z
Ixx x2 Iyy y2 Izz z2 2Iyz yz 2Izxzx 2Ixy xy 1
中心惯量椭球：刚体的质心(或重心)在O点
刚体绕基点A的“定点”转动，则刚体上任一点P的速度为
A
r
加速度为
a
aA
d
dt
r
(
r)
r是P点相对于基点A的位矢
3、刚体绕两相交轴转动的合成
刚体绕某点O作定点转动，相当于刚体绕某轴作“定轴”
转动，而该轴又绕另一固定轴转动，这两个轴相交于O点。
z
2
•
1
x
o
y
结论：当刚体绕两个相交轴转动时，刚体的瞬时角速 度等于它分别绕这两个轴转动的角速度的矢量和。
Izx
I xy I yy I zy
I I
xz yz
x y
Izz z
三、转动惯量
转动惯量：描述刚体转动惯性大小的物理量。 1、对定轴转动惯性的大小用转动惯量描述， 其定义为：
I midi2 或 I d 2dm
即转动惯量=各质点的质量与该点到转轴距离平方乘积之 和。转动惯量由刚体的质量分布和转轴位置决定。
i 1
ri
xii
xi
yi j
y
zik
j zk
J J
x y
I xx I yx
I xy I yy

vr2
质点系的动能与刚体的动能
质点系的动能——例 题 1
通过本例可以看出，确定系统动能时，注意以下几 点是很重要的：
系统动能中所用的速度必须是绝对速度。 正确应用运动学知识，确定各部分的速度。 需要综合应用动量定理、动量矩定理与动能定理。
质点系的动能与刚体的动能
刚体的动能
v0
r
C1
C2
d
坦克或拖拉机履带单位 长度质量为ρ ，轮的半径 为 r ，轮轴之间的距离为d， 履带前进的速度为v0 。
求：全部履带的总动能。
质点系的动能与刚体的动能——例 题 2
y´
v0 C1
d
r C2
解：把履带看成一质点系
在 C1 C2 上建立平动坐标系
C1x´y´，则牵连运动为水平平
移，牵连速度为 v0。
● 平移刚体的动能
刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度， 并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能
T
i
12mivi2

1 2
(
mi )vC2

1 2
mvC2
上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将 刚体的质量集中于质心时的动能。
质点系的动能与刚体的动能
刚体的动能
● 定轴转动刚体的动能
* 机器中有相对滑动的两个零件之间的摩擦力是内力，作负功。
* 有势力的内力作功，如系统内的弹簧力作功。
力的功
不作功的力
* 刚体的内力不作功
刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作 功之和恒等于零。
* 理想约束约束反力不做功
光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座 都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。

④对刚体系,由于
，
表示每个刚体的质量和质心
的加速度，则质心运动定理又可写为
•质心运动守恒
质心运动定理：
－－质点系质心运动守恒 ——质点系质心位置不变
例 已知：如图所示的电动机用螺栓固定在刚性基础上，设其外壳和定子 的总质量为m1，质心位于转子转轴的中心O1；转子质量为m2，由于制造或 安装是的偏差, 转子质心O2不在转轴中心上，偏心距 O1O2=e。转子以等
角速度 转动，试求电动机机座的约束力。
解：1． 研究对象：电动机整体 2. 分析受力（如图示）
分析运动：定子不动 xO1 yO1 0 ； 转子作
匀速圆周运动，其法线加速度
an O2
e 2
列动力学方程求解：
miaix Fix
miaiy Fiy
m1 0 m2 e 2 cost Fx
动能定理的微分形式 动能定理的积分形式(有限形式)
质点系的动能定理
求和，有微分形式
积分形式
势能、机械能守恒定律在普通物理中论述较多，此略。
[例] 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘 A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与 加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)
质心运动定理
质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，重要而实用。 质心运动定理
动量定理微分形式:
——质心运动定理
注：
①此定理与动量定理完全等价，都反映质系随质心平动部分与所受外 力主矢之间的关系，但形式和所用物理量不同。质心运动定理已不再 使用动量和冲量的概念；
②形式与牛二定律（动力学基本方程）相同，但含义不同； ③适于任意质点系；