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1物体自地球表面以速度眄铅直上抛.试求该物体返回地面时的速度巧・假定空气阻力R=mkv2,其中k是比例常量，搜数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。
m是物体质V 是物体速度，重力加速度认为不变.答:叮解：阻力方向在上升与下降阶段不同（其方向与速度y相反），故分段考虑（1）上升阶段：tn— - -tng一dt通过坐标变换有加V字二-刃护-加£ ,积分得axvdv（2）下落阶段:(1)g2.静止中心0以引力F=k2mr吸弓I质量是m的质点M,其中k是比例常量，r=OM是点M的矢径.运动开始时OMo=b,初速度时呵并与阪成夹角求质点M的运动方程。
x = b cos 处 + —cosasin ktky = —sinasin^k解：取坐标如图，质点M在任意位貳将fna = F 沿x、y轴投彫，得mx = 一F cos<p= -k2fnrcos （p= -Qmxfny = 一Fsin cp= -k2fnr sin (p= -k^my艮卩x+k2x = 0 , y+^2y = 0徽分方程得通解为：x = s coskt+c2 sin kt求导得x = -kc x sin kt + kc2 coskt , y = -kc3 sin kt + kc^ cos kt (2)已知初始条件f=0 z 妒b z /o=0，x0 = v0 sin a ,代入方程（1），（2）得点M的运动方程为v =—cosax = 2?cos Ar/ +—kcos ar sin kt -I sin asin kt y =c3 cos kt + c^ sin kt (1)九=v0 sin a3单摆M 的悬线长/,摆重G 支点B 具有水平向左的均加速度a.如将摆在&=0处静止 释啟，试确定悬线的张力T （表示成&的函数）.解：质点的相对徴分方程为 ma r = mg+f +©投影到法线方向由式(2)得T = Gsin3 + —acos0 + — v 2g 0T = G 3 sin + 3 — cos — 2 —\ g S )答・ T - G(3sin3-cos^- 2-) g g投影到切线方向= T-Gsin^-0e cosB g !(2)由式（1）得 妙=gcos^-usin 0分离变量并积分|*V Xiv = \ f geos^10- [ asm Odd v 2 = 2"gsin &+ocos&-a 1(3)将式（3）代入上式代入式（2）得dt dt积分得4.水平面内弯成任意形状的细管以匀角速度G 绕点0转动.光滑小球M 在管內可自由 运动.设初瞬时小球在吆处，OMo=©相对初速^v o =0,求小球相对速度大小冬与极径r的关系。
《动力学I 》第一章 运动学部分习题参考解答1－3 解：运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。
将运动方程对时间求导并将030=θ代入得34cos cos 22lklk l yv ====θθθ938cos sin 2232lk lk y a =-==θθ1－6证明：质点做曲线运动,所以n t a a a +=, 设质点的速度为v ,由图可知:a a v v yn cos ==θ，所以: yv va a n =将c v y =，ρ2n v a =代入上式可得 ρc v a 3=证毕 1－7证明：因为n2a v =ρ，v a a v a ⨯==θsin n所以：va ⨯=3vρ证毕1－10解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式：t v L s 0-=，并且 222x l s +=将上面两式对时间求导得： 0v s-= ，x x s s 22= 由此解得：xsv x-= （a ） (a)式可写成：s v xx 0-= ，将该式对时间求导得： 2002v v s x x x =-=+ (b)将(a)式代入(b)式可得：3220220xlv x x v x a x -=-==（负号说明滑块A 的加速度向上）1－11解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即： θcos A B v v = （a ） 因为xR x 22cos -=θ （b ） 将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为： 22Rx x Rv A -=ω （c ）由于xv A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得： 222222)(x R R x xω=- 将上式两边对时间求导可得：x x R x x R x xx 2232222)(2ω=-- 将上式消去x2后，可求得：22242)(R x xR x --=ω由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 22242)(R x xR a A -=ω1－13解：动点：套筒A ；动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析：绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。
第三篇 动力学一、选择题（每题2分，共20分）1．在铅直面内的一块圆板上刻有三道直槽AO ，BO ，CO ，三个质量相等的小球M 1，M 2，M 3在重力作用下自静止开始同时从A ，B ，C 三点分别沿各槽运动，不计摩擦，则________到达O 点。
（A ）M 1小球先； （B ）M 2小球先； （C ）M 3小球先； （D ）三球同时。
题1 题2 题32．质量分别为m 1=m ，m 2=2m 的两个小球M 1，M 2用长为L 而重量不计的刚杆相连。
现将M 1置于光滑水平面上，且M 1M 2与水平面成︒60角。
则当无初速释放，M 2球落地时，M 1球移动的水平距离为____________。
（A ）3L； （B ）4L； （C ）6L； （D ）0。
3．质量为m ，长为b 的匀质杆OA ，以匀角速度ω绕O 轴转动。
图示位置时，杆的动量及对O 轴的动量矩的大小为________。
（A ）2ωmb p =，122ωmb L O =； （B ）0=p ，122ωmb L O =；（C ）2ωmb p =，22ωmb L O =； （D ）2ωmb p =，32ωmb L O =。
4．在_____情况下，跨过滑轮的绳子两边张力相等，即F 1=F 2（不计轴承处摩擦）。
（A ）滑轮保持静止或以匀速转动或滑轮质量不计； （B ）滑轮保持静止或滑轮质量沿轮缘均匀分布； （C ）滑轮保持静止或滑轮质量均匀分布； （D ）滑轮质量均匀分布。
题4 题55．均质杆长L ，重P ，均质圆盘直径D =L ，亦重P ，均放置在铅垂平面内，并可绕O 轴转动。
初始时杆轴线和圆盘直径均处于水平位置，而后无初速释放，则在达到图示位置瞬时，杆的角速度ω1________圆盘的角速度ω2。
（A ）大于； （B ）小于； （C ）等于； （D ）小于或等于。
6．均质杆AB ，长L ，质量m ，沿墙面下滑，已知A 端速度v，B 端高度h ，AB 对过杆端A ，质心C ，瞬心I 的水平轴的转动惯量分别为J A ，J C ，J I ，则图示瞬时杆的动能为__________。
《理论力学》习题三答案一、单项选择题（本大题共30小题，每小题2分，共60分）1. 求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来（ C ）。
A 、分析力的变化规律； B 、建立质点运动微分方程； C 、确定积分常数； D 、分离积分变量。
2. 在图1所示圆锥摆中，球M 的质量为m ，绳长l ，若α角保持不变，则小球的法向加速度为（ C ）。
A 、αsin g ；B 、αcos g ；C 、αtan g ；D 、αtan gc 。
3. 已知某点的运动方程为2bt a S +=（S 以米计,t 以秒计，a 、b 为常数），则点的轨迹为（ C ）。
A 、是直线；B 、是曲线；C 、不能确定；D 、抛物线。
4. 如图2所示距地面H 的质点M ，具有水平初速度0v，则该质点落地时的水平距离l 与（ B ）成正比。
A 、H ； B、H ； C 、2H ；D 、3H 。
5. 一质量为m 的小球和地面碰撞，开始瞬时的速度为1v ，碰撞结束瞬时的速度为2v（如图3），若v v v ==21，则碰撞前后质点动量的变化值为（ A ）。
A 、mv ；B 、mv 2 ；C 、mv 3；D 、 0。
6. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量（ B ）。
A 、平行； B 、垂直； C 、夹角随时间变化； D 、不能确定。
7. 三棱柱重P ，放在光滑的水平面上，重Q 的匀质圆柱体静止释放后沿斜面作纯滚动，则系统在运动过程中（ A ）。
A 、沿水平方向动量守恒，机械能守恒；B 、动量守恒，机械能守恒；C 、沿水平方向动量守恒，机械能不守恒；D 、均不守恒。
图1图2图38. 动点M 沿其轨迹运动时，下列几种情况中，正确的应该是（ A ）。
A 、若始终有a v⊥，则必有v 的大小等于常量； B 、若始终有a v ⊥，则点M 必作匀速圆周运动；C 、若某瞬时有v ∥a，则点M 的轨迹必为直线；D 、若某瞬时有a 的大小为零，且点M 作曲线运动，则此时速度必等于零。
适用标准文案一、是非题1.只需知道作用在质点上的力，那么质点在任一刹时的运动状态就完整确立了。
（错）2.在惯性参照系中，无论初始条件怎样变化，只需质点不受力的作用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态。
（对）3.作用于质点上的力越大，质点运动的速度越高。
（错）4.牛顿定律合用于随意参照系。
（错）5.一个质点只需运动，就必定受有力的作用，并且运动的方向就是它受力的方向。
（错）6.圆盘在圆滑的水平面上平动，其质心作等速直线运动。
若在此圆盘平面上作用一力偶，则今后圆盘质心的运动状态是变速直线运动。
（错）7.若系统的总动量为零，则系统中每个质点的动量必为零。
（错）8.质系动量关于时间的变化率，只与作用于系统的外力相关，而与内力没关。
（对）9.刚体在一组力作用下运动，只需各个力的大小和方向不变，无论各力的作用点如何变化，刚体质心的加快度的大小和方向不变。
（对）10.冲量的量纲与动量的量纲同样。
（对）11.平动刚体各点的动量对一轴的动量矩之和能够用质心对该轴的动量矩表示。
（对）12.质点系关于随意动点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的全部外力关于同一点的矩的矢量和。
（错）13.因为质点系的动量为p m v C，所以质点系对O 点的动量矩为L O M O m v C。
（错）14.质点系的内力不可以改变质点系的动量与动量矩。
（对）15.刚体的质量是刚体平动时惯性大小的胸怀，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的胸怀。
（对）16.机械能守恒定理是，当质点系不受外力作用时，则动能与势能之和等于零。
（错）17.系统内力所做功之代数和总为零。
（错）18.假如某质点系的动能很大，则该质点系的动量也很大。
（错）19.在使用动静法时，凡是运动着的质点都应加上惯性力。
（错）20.平移刚体惯性力系可简化为一个协力，该协力必定作用在刚体的质心上。
（对）21.拥有垂直于转轴的质量对称面的转动刚体，其惯性力系可简化为一个经过转轴的力和一个力偶，此中力偶的矩等于对转轴的转动惯量与刚体角加快度的乘积，转向与角加快度相反。
理论力学单元测试题及答案理论力学是物理学中的一个重要分支，它主要研究物体在力的作用下的运动规律。
以下是一套理论力学单元测试题及答案，供学生自测使用。
一、选择题（每题2分，共20分）1. 牛顿第一定律描述的是：A. 物体在任何情况下都有惯性B. 物体在没有外力作用下将保持静止或匀速直线运动C. 物体的运动状态改变需要外力D. 力是改变物体运动状态的原因答案：B2. 根据牛顿第二定律，力的作用效果与以下哪项无关？A. 力的大小B. 力的方向C. 物体的质量D. 物体的颜色答案：D3. 以下哪个不是牛顿第三定律的内容？A. 作用力和反作用力大小相等B. 作用力和反作用力方向相反C. 作用力和反作用力作用在不同物体上D. 作用力和反作用力同时产生，同时消失答案：C4. 动量守恒定律适用于以下哪种情况？A. 只有重力作用的系统B. 外力为零的系统C. 只有摩擦力作用的系统D. 所有物体的总动量保持不变的系统答案：D5. 以下哪个是能量守恒定律的表述？A. 能量既不能被创造也不能被消灭B. 能量可以被无限地创造或消灭C. 能量可以转化为其他形式，但总量不变D. 能量只能从一种形式转化为另一种形式答案：C二、填空题（每空2分，共20分）6. 牛顿运动定律是______的三个基本定律。
答案：经典力学7. 一个物体的惯性大小由其______决定。
答案：质量8. 力的合成遵循______原理。
答案：平行四边形9. 一个物体在水平面上受到一个恒定的水平力作用，若物体保持静止，则该力与______平衡。
答案：摩擦力10. 根据功的定义，力与位移的乘积称为______。
答案：功三、简答题（每题10分，共20分）11. 请简述牛顿第二定律的数学表达式及其物理意义。
答案：牛顿第二定律的数学表达式为 \( F = ma \)，其中 \( F \) 表示作用在物体上的合力，\( m \) 表示物体的质量，\( a \) 表示物体的加速度。
第三篇 动力学
一、选择题（每题2分，共20分）
1．在铅直面内的一块圆板上刻有三道直槽AO ，BO ，CO ，三个质量相等的小球M 1，M 2，M 3在重力作用下自静止开始同时从A ，B ，C 三点分别沿各槽运动，不计摩擦，则________到达O 点。
（A ）M 1小球先； （B ）M 2小球先； （C ）M 3小球先； （D ）三球同时。
题1 题2 题3
2．质量分别为m 1=m ，m 2=2m 的两个小球M 1，M 2用长为L 而重量不计的刚杆相连。
现将M 1置于光滑水平面上，且M 1M 2与水平面成︒60角。
则当无初速释放，M 2球落地时，M 1球移动的水平距离为____________。
（A ）
3
L
； （B ）
4
L
； （C ）
6
L
； （D ）0。
3．质量为m ，长为b 的匀质杆OA ，以匀角速度ω绕O 轴转动。
图示位置时，杆的动量及对O 轴的动量矩的大小为________。
（A ）2ω
mb p =，122ωmb L O =； （B ）0=p ，122ωmb L O =；
（C ）2ωmb p =，22ωmb L O =； （D ）2
ω
mb p =，32ωmb L O =。
4．在_____情况下，跨过滑轮的绳子两边张力相等，即F 1=F 2（不计轴承处摩擦）。
（A ）滑轮保持静止或以匀速转动或滑轮质量不计； （B ）滑轮保持静止或滑轮质量沿轮缘均匀分布； （C ）滑轮保持静止或滑轮质量均匀分布； （D ）滑轮质量均匀分布。
题4 题5
5．均质杆长L ，重P ，均质圆盘直径D =L ，亦重P ，均放置在铅垂平面内，并可绕O 轴转动。
初始时杆轴线和圆盘直径均处于水平位置，而后无初速释放，则在达到图示位置瞬时，杆的角速度ω1________圆盘的角速度ω2。
（A ）大于； （B ）小于； （C ）等于； （D ）小于或等于。
6．均质杆AB ，长L ，质量m ，沿墙面下滑，已知A 端速度v
，B 端高度h ，AB 对过杆端A ，质心C ，瞬心I 的水平轴的转动惯量分别为J A ，J C ，J I ，则图示瞬时杆的动能为__________。
（A ）22)(2121h v J mv A +； （B ）22
)(21421h
v J mv
C +； （C ）2)(21h v J I ；（
D ）221mv
题6 题7 题8
7．已知均质杆长L ，质量为m ，端点B 的速度为v
，则AB 杆的动能为___________。
（A ）2
3
1mv ；
（B ）
2
2
1mv ； （C ）
2
3
2mv ； （D ）
23
4mv 8．质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，
圆盘在地面上作纯滚动。
圆心速度为v
，则系统的动能为_______。
（A ）222221v m v m +； （B ）2
2212v m v m +； （C ）4
22221v m v m +； （D ）4322221v m v m +
9．已知曲柄OA 长r ，以角速度ω转动，均质圆盘半径为R ，质量为m ，在固定水平面上作
纯滚动，则图示瞬时圆盘的动能为________。
（A ）322
2ωmr ；
（B ）322ωmr ； （C ）3
42
2ωmr ；
（D ）22ωmr 。
题9 题10
10．汽车以匀速率v 在不平的道路上行驶，当汽车通过A ，B ，C 三个位置时，汽车对路面
的压力分别为F N A ，F N B ，F N C ，则下述关系式_____________成立。
（A ）F N A =F N B =F N C ；（B ）F N A <F N B <F N C ；（C ）F N A >F N B >F N C ；（D ）F N A =F N B >F N C 。
二、填空题（每空2分，共20分）
1．质量为m 的均质杆OA ，长L ，在杆的下端固结一质量亦为m ，半径为
2
L
的均质圆盘，图示瞬时角速度为ω，角加速度为α，则系统的动量为___________，系统对O 轴的动量矩为___________。
题1 题2 题3
2．图示系统置于铅垂面内，由静止开始释放，若：（1）均质圆盘在中心C 与杆铰接，则系统下降过程中，圆盘作____________ 运动；（2）均质圆盘在D 点与杆铰接，则系统下降过程中，圆盘作____________ 运动。
3．刚体的质量为m ，质心为C ，已知该刚体对A 轴的转动惯量为J A 。
若AC =a ，BC =b ，则该物体对B 轴的转动惯量J B =_______。
4．杆AB 长为L ，质量为m ，可绕轴O 转动，某瞬时角速度为ω，则该瞬时杆的动能大小为_________，动量大小为_________，杆对O 轴的动量矩大小为_________。
题4 题5
5．已知物块A 、B 质量均为m ，轮C 半径为R ，质量也为m ，。
某瞬时物A 有向下的速度v
，则该瞬时系统的动量大小为_______，动能的大小为_______。
三、计算题（共60分） 1．（15分）图示均质水平细杆AB 长为l ，一端铰接于A ，一端系于细绳BC ，而处于水平位置。
设细绳突然被割断。
试求（1）此瞬时细杆的角加速度1α；（2）细杆运动到铅直位置时的角加速度2α及角速度2ω。
2．（10分）图示均质杆OA 长l ，质量为1m ，在A 处与半径为r 、质量为2m 的均质圆盘B 相固连，且r l 2=，m m m ==21，O 、A 与盘心B 在同一条直线上，初瞬时杆水平，系统静止，置于铅垂面内。
若将绳突然烧断，试求此瞬时轮心B 的加速度及轴承O 处的约束力（绳重和摩擦不计）。
3．（10分）均质杆AB 长l ，质量为m 。
试求AB 杆无初速地由水平位置顺时针绕O 轴转动到铅直位置时杆的角速度和角加速度。
4．（10分）图示滑轮受重力P
，可视为均质圆盘，半径为R ，轮上绕以细绳，绳的一端固定于A 点，试求滑轮由静止开始降落时轮心的加速度和绳的张力。
5．（15分）均质细直杆AB ，长为2l 、质量为m ，其A 端搁于光滑水平面上，B 端用细绳铅直吊起，使杆成30º倾斜，如图3-6所示。
若B 端细绳断掉，试求杆子滑倒与水平面将接触（但尚未接触）时的角速度。
30=αA
B。
