理论力学 动力学.ppt
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理论力学经典课件-相对运动动力学
航天器轨道设计
相对运动分析在航天器轨道设计中具有重要意 义，帮助我们计算卫星与行星之间的相对位置。
实例分析
通过实例分析，我们将应用所学知识解决实际问题，深入理解相对运动动力 学的应用场景。
总结和展望
在本课件中，我们深入研究了相对运动动力学的基本概念、公式及应用。相信通过学习，你已经对相对运动动 力学有了更深入的理解。
相对速度
相对速度被广泛应用于交通运输、航空航天等领域 中。它帮助我们理解物体相对运动的速度关系。
相对加速度
相对加速度的概念在惯性导航、交通工程等领域有 重要的应用。我们将深入研究相对加速度的计算方 法。
位移与相对运动
位移是描述物体相对运动的重要概念。我们将探索 位移对于揭示物体间运动关系的意义。
矢量运算
矢量运算在相对速度和相对加速度的计算中起着关 键作用。我们将学习如何正确进行矢量运算。
相对运动的转动
1
转动概念
相对运动不仅发生在线性运动中，还可以出现在转动运动中。了解相对运动的转 动对于理解刚体运动至关重要。
2
旋转坐标系
用旋转坐标系分析相对运动可以帮助我们简化问题，使得分析更加直观和可行。
3
惯性力
相对速度是指一个物体相对于另一个物体的速度。通过研究相对速度，我们可以解释物体之 间的运动关系。
相对加速度
相对加速度是指一个物体ห้องสมุดไป่ตู้对于另一个物体的加速度。了解相对加速度对于描述物体之间的 动态关系至关重要。
基本概念
在相对运动动力学中，我们还需要了解一些基本概念，如参考系、位移、速度和加速度等。
相对速度和相对加速度
在转动参考系中，会出现一些额外的惯性力。我们将研究这些惯性力对物体的影 响。
相对运动分析在航天器轨道设计中具有重要意 义，帮助我们计算卫星与行星之间的相对位置。
实例分析
通过实例分析，我们将应用所学知识解决实际问题，深入理解相对运动动力 学的应用场景。
总结和展望
在本课件中，我们深入研究了相对运动动力学的基本概念、公式及应用。相信通过学习，你已经对相对运动动 力学有了更深入的理解。
相对速度
相对速度被广泛应用于交通运输、航空航天等领域 中。它帮助我们理解物体相对运动的速度关系。
相对加速度
相对加速度的概念在惯性导航、交通工程等领域有 重要的应用。我们将深入研究相对加速度的计算方 法。
位移与相对运动
位移是描述物体相对运动的重要概念。我们将探索 位移对于揭示物体间运动关系的意义。
矢量运算
矢量运算在相对速度和相对加速度的计算中起着关 键作用。我们将学习如何正确进行矢量运算。
相对运动的转动
1
转动概念
相对运动不仅发生在线性运动中，还可以出现在转动运动中。了解相对运动的转 动对于理解刚体运动至关重要。
2
旋转坐标系
用旋转坐标系分析相对运动可以帮助我们简化问题，使得分析更加直观和可行。
3
惯性力
相对速度是指一个物体相对于另一个物体的速度。通过研究相对速度，我们可以解释物体之 间的运动关系。
相对加速度
相对加速度是指一个物体ห้องสมุดไป่ตู้对于另一个物体的加速度。了解相对加速度对于描述物体之间的 动态关系至关重要。
基本概念
在相对运动动力学中，我们还需要了解一些基本概念，如参考系、位移、速度和加速度等。
相对速度和相对加速度
在转动参考系中，会出现一些额外的惯性力。我们将研究这些惯性力对物体的影 响。
理论力学拉格朗日方程PPT课件
Q* ]q
j
j
0
j 1
广义惯性力 记为Q*j
第22页/共73页
§7-2 拉格朗日方程
广义惯性力
Q*j
n i 1
(Fi*
ri q j
)
n
i 1
[(
m i
a i
)
r i
q
]
j
n
[(mi
i 1
dvi ) ri dt q j
]
因为
d dt
(mi vi
ri q j
)
(mi
dvi ) ri dt q j
对于这些函数进行一定的运算，就可了解系统的运动特性和获得系统的运 动方程，所以动力学普遍方程和拉格朗日方程式求解质点系复杂动力学问题的 普遍而有效的方法。
第3页/共73页
§7-1 动力学普遍方程
一、概述
动力学普遍方程是将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合而得到的， 可以看成是达朗贝尔原理的解析表达形式。
Q*j
n i 1
[
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)]
利用前面的二个拉格朗日变换式
v i
q
r i
q
j
j
vi d ( ri ) q j dt q j
有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
vi q j
) mivi
( vi q j
)]
d dt
n i 1
Qj
V q j
j (1, 2 , ..., k)
代入上式，注意到势能函数 V =V（ q1 ， q2 ，…， qk ）与广义速度q j 无关
理论力学9质点动力学基本方程ppt课件
小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
ppt版本-哈工大版理论力学课件(全套)
理论力学课程的内容包括质点和刚体的运动、弹性力学、 流体力学、振动和波等，其体系由静力学、运动学和动力 学三个部分组成。
理论力学课程的内容非常广泛，主要包括质点和刚体的运 动、弹性力学、流体力学、振动和波等方面的知识。这些 内容在理论力学体系中占据着重要的地位，为后续的工程 技术和科学研究提供了重要的理论基础和应用方法。同时 ，理论力学体系由静力学、运动学和动力学三个部分组成 ，这三个部分相互联系、相互渗透，构成了完整的理论力 学体系。
详细描述
理论力学作为经典力学的一个重要分支，主要研究物体运动规律、力的作用机制以及它们之间的相互作用。通过 对质点和刚体的运动规律、力的合成与分解、动量守恒和能量守恒等基本原理的研究，理论力学为各种工程技术 和科学研究提供了重要的理论基础和应用方法。
理论力学课程的内容和体系
要点一
总结词
要点二
详细描述
置和速度。
刚体的转动
02
描述刚体绕固定点或轴线的旋转运动，通过角速度矢量和角加
速度矢量表示刚体的转动状态。
刚体的复合运动
03
描述刚体同时存在的平动和转动，通过平动和转动运动的合成
来描述。
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
表述了物体运动与力的关系，即物体受到的合外力等 于其质量与加速度的乘积。
动量定理
表述了物体动量的变化率等于作用在物体上的力与时 间的乘积。
由于非惯性参考系中物体受到的力不是真实的外力，而是由于参考 系加速或旋转产生的惯性力。
非惯性参考系的应用
在研究地球上的物体运动时，常常需要用到非惯性参考系，例如研 究地球的自转和公转对物体运动的影响。
05
刚体的运动
01
描述刚体在空间中的位置和运动，通过平动矢量表示刚体的位
理论力学课件 动力学普遍定理综合应用61页PPT
40、人类法律，事物有规6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
理论力学课件 动力学普遍定理综合应 用
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
Thank you
理论力学课件 动力学普遍定理综合应 用
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
Thank you
理论力学-拉格朗日方程PPT
拉格朗日方程和牛顿方程是等价的，可以通过拉格朗日乘子法将其相互转化，从而更好地理解和解决力 学问题。
拉格朗日方程的推导
拉格朗日方程的推导基于哈密顿原则，通过对系统的运动原理进行最小作用 量的假设，推导出系统的运动方程。
拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程在各个物理学和工程学领域都有广泛的应用，例如刚体动力学、 量子力学、控制理论等。
经典示例：单摆运动
单摆运动是拉格朗日方程应用的经典示例之一，通过建立摆角和摆长的关系，可以得到描述摆动的拉格 朗日方程。
拉格朗日方程的优点
相较于牛顿方程，拉格朗日方程具有独特பைடு நூலகம்优点，如坐标自由度更广、描述力学系统更简洁等。
拉格朗日方程在其他领域的应 用
除了物理学和工程学领域外，拉格朗日方程还在经济学、生物学等领域中有 着广泛的应用，为解决复杂问题提供了新的视角。
理论力学-拉格朗日方程 PPT
欢迎大家来到这个关于理论力学的PPT。本次内容将深入探讨拉格朗日方程的 定义、与牛顿方程的关系、推导方法、应用、经典示例和其他领域的应用。
拉格朗日方程的定义
拉格朗日方程是解决运动的一种优雅方法，通过定义拉格朗日函数和广义坐 标来描述系统的动力学行为。
拉格朗日方程与牛顿方程的关系
拉格朗日方程的推导
拉格朗日方程的推导基于哈密顿原则，通过对系统的运动原理进行最小作用 量的假设，推导出系统的运动方程。
拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程在各个物理学和工程学领域都有广泛的应用，例如刚体动力学、 量子力学、控制理论等。
经典示例：单摆运动
单摆运动是拉格朗日方程应用的经典示例之一，通过建立摆角和摆长的关系，可以得到描述摆动的拉格 朗日方程。
拉格朗日方程的优点
相较于牛顿方程，拉格朗日方程具有独特பைடு நூலகம்优点，如坐标自由度更广、描述力学系统更简洁等。
拉格朗日方程在其他领域的应 用
除了物理学和工程学领域外，拉格朗日方程还在经济学、生物学等领域中有 着广泛的应用，为解决复杂问题提供了新的视角。
理论力学-拉格朗日方程 PPT
欢迎大家来到这个关于理论力学的PPT。本次内容将深入探讨拉格朗日方程的 定义、与牛顿方程的关系、推导方法、应用、经典示例和其他领域的应用。
拉格朗日方程的定义
拉格朗日方程是解决运动的一种优雅方法，通过定义拉格朗日函数和广义坐 标来描述系统的动力学行为。
拉格朗日方程与牛顿方程的关系
理论力学—拉格朗日方程PPT
m2 cos
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
理论力学说课PPT课件
机械运动实例
总结词
机械运动是理论力学的传统应用领域，涉及 各种实际机械系统的运动规律。
详细描述
机械运动是理论力学中最为常见的应用领域 之一。各种实际机械系统，如汽车、飞机、 机器和机器人等的运动规律，都需要通过理 论力学进行分析和描述。通过研究机械运动， 可以深入理解力矩、动量、动能等力学概念， 以及它们在机械系统中的具体应用。
自我评价
通过本课程的学习，我掌握了理论力 学的基本知识和分析方法，对物理学
的理解更加深入
我认为自己的逻辑思维、抽象思维和 创新能力得到了提高，解决问题的能 力也有所增强
建议
建议增加一些与实际应用相关的案例 和实验，以更好地理解理论力学的应 用价值
对于一些较难理解的概念和公式，希 望能够有更多的解释和练习题
详细描述
力的分析方法包括矢量表示法、直角坐标表示法和极坐标表 示法等。通过力的合成与分解，可以确定物体运动状态的变 化。力矩的计算则涉及到转动惯量、角速度和动量矩等概念 。
运动分析方法
总结词
运动分析方法主要研究物体运动轨迹、速度和加速度等参数。
详细描述
运动分析方法包括对质点和刚体的运动学分析，通过求解运动微 分方程或积分方程，可以确定物体的运动轨迹、速度和加速度等 参数。这些参数对于理解力学系统的运动规律和相互作用至关重 要。
本课程总结
提高了学生解决实际问题的能力 改进方向
针对不同专业需求，调整教学内容和深度，更好地满足学生需求
本课程总结
01
加强实验和实践环节，提高学生 的动手能力和实践经验
02
引入更多现代技术和方法，更新 教材和教学方法，保持课程的前 沿性
力学发展历程与展望
力学发展史
理论力学课件-动力学精选全文完整版
第一类问题-----已知质点的运动，求作用在质点上的力； 第二类问题-----已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
26
总结 4.求解质点动力学问题的步骤：
（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系； （2）分析研究对象的受力情况，作受力图； （3）分析研究对象的运动情况； （4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，
（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）
(3)矢量性和瞬时性
二. 质点运动微分方程
F
ma
m
dv dt
m
d2r dt 2
6
利用合矢量投影定理 ,可以在直角坐标系, 自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.
1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影
d2x m dt 2 XFx
m
d2y dt 2
YFy
m
还需根据初始条件确定积分常数。
27
作业
• 9-2 • 9-12
28
例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放
有质量为m的重物。求重物对地板的压力。 解：取重物为研究对象
进行受力分析与运动分析。
Fy= m ay
N - mg=m a
mg
N=mg+ma=N'
（静约束力；附加动约束力）
a
讨论：若加速度方向向下 N
b
l
FT
n
r
v
τ
z
mg
m
dv dt
F
t
0
m
v2 r
F
n
FT sin 600
0 F b mg FT cos 600
FT
mg cos 600
19.6N
理论力学完整ppt课件
理论力学
主讲 王卫东
可编辑课件PPT
1
可编辑课件PPT
2
绪
论
一、理论力学的研究对象和内容 二、理论力学发展简史 三、学习理论力学的目的 四、理论力学的研究方法
可编辑课件PPT
3
可编辑课件PPT
真汽 车 碰 撞 仿
4
可编辑课件PPT
5
可编辑课件PPT
6
一、理论力学的研究对象和内容
理论力学——研究物体机械运动规律的科学。
可编辑课件PPT
15
都江堰
岷江上的大型引水枢纽工程，也是现有世界上历史最长的无坝 引水工程。始建于公元前256～前251年。
可编辑课件PPT
16
赵州桥(安济桥)
591～599年，跨度37.4米,采用拱高只有7米的浅拱-敞肩拱，
敞肩拱的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”
的美誉。
可编辑课件PPT
3 随着科学技术的发展，交叉学科的地位也越来越 重要。力学与其它学科的渗透形成了生物力学、爆 炸力学、物理力学等边缘学科，这就需要我们有坚 实的理论力学基础。
4 培养分析问题、解决问题的方法。
可编辑课件PPT
24
四、理论力学的研究方法
是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立 公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论， 形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。
17
张衡与地动仪
东汉时期，中国发生地震的次数是比较多的，为了测定地
震方位，及时地挽救人民的生命财产，公元126年，张衡在第二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次担任太史令之后， 就注意掌握收集地震的情报和记录，经过
多年的潜心研究，终于在公元132年(东汉顺帝阳嘉元年)，发明
主讲 王卫东
可编辑课件PPT
1
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2
绪
论
一、理论力学的研究对象和内容 二、理论力学发展简史 三、学习理论力学的目的 四、理论力学的研究方法
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3
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真汽 车 碰 撞 仿
4
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5
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6
一、理论力学的研究对象和内容
理论力学——研究物体机械运动规律的科学。
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15
都江堰
岷江上的大型引水枢纽工程，也是现有世界上历史最长的无坝 引水工程。始建于公元前256～前251年。
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16
赵州桥(安济桥)
591～599年，跨度37.4米,采用拱高只有7米的浅拱-敞肩拱，
敞肩拱的运用为世界桥梁史上的首创，并有“世界桥梁鼻祖”
的美誉。
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3 随着科学技术的发展，交叉学科的地位也越来越 重要。力学与其它学科的渗透形成了生物力学、爆 炸力学、物理力学等边缘学科，这就需要我们有坚 实的理论力学基础。
4 培养分析问题、解决问题的方法。
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24
四、理论力学的研究方法
是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立 公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论， 形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。
17
张衡与地动仪
东汉时期，中国发生地震的次数是比较多的，为了测定地
震方位，及时地挽救人民的生命财产，公元126年，张衡在第二
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
次担任太史令之后， 就注意掌握收集地震的情报和记录，经过
多年的潜心研究，终于在公元132年(东汉顺帝阳嘉元年)，发明
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1
引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 二.力学模型：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点；
刚体作平动时,刚体
质点。
2
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
13
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、
位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
解题步骤如下： ①正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定
g 2s2 2gH 10.5 m/s 2gH
0
tg
1
v0 sin 0 v0 cos 0
tg1 2H s
31
18
[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。
解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。
火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
F
f
mM x2
2
17
则轨迹方程为:
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2 0
代入最高点A处值，得：dy dt
v0
s in 0
gt
0,
即
t v0 sin0
g
将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程，得
v0cos0
sg 2gH
v0sin0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
v0
(v0cos0 )2 (v0sin0 )2
16
m m
dvx dt
dvy dt
0 mg
dx dt
dy dt
c1 gt
c2
微分方程 积分一次
再积分一次
x
y
c1t c3 1 gt2
2
c2t
c4
代入初始条件得 : c1 v0cos0 ,c2 v0sin0 ,c3 c4 0
则运动方程为:
x
v0tc
os0
,
y
v0ts
in
0
1 2
gt
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
3
三.动质点 系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
4
5
第十章 质点运动微分方程 §10–1 质点运动微分方程的形式 §10–2 质点动力学两类问题
6
第十章 质点运动微分方程
§10-1 质点运动微分方程的形式 将动力学基本方程(ma F )表示为微分形式的方程，称为
质点的运动微分方程。 1.矢量形式 md 2r F ( 式中r r(t) 为质点矢径形式的运动方程) dt 2
7
2.直角坐标形式
m
d2 dt
x
2
X
m
d2 dt
y
2
Y
m
d2 dt
y
2
Z
x x(t)
(
式中
y
y(t)
为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t )
3.自然形式
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。 F ,Fn ,Fb分别为力 F在
自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影 )
8
质点运动微分方程除以上三种基本形式外，还可有极坐标 形式， 柱坐标形式等等。
应用质点的运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问 题。
9
§10-2 质点动力学两类问题
出其运动初始条件）。
14
④选择并列出适当的质点运动微分方程。
⑤求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运 动的初始条件，求出质点的运动。
如力是常量或是时间及速度函数时，
可直接分离变量
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
dv dt
v ddvs
,
再分离变量积分。
15
[例2] 煤矿用填充机进行填充, 为保证充 填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶 板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速
ma F ,
G g
dv dt
Gsin
1
man Fn ,
G g
v2 l
T
Gcos
2
⑤求解未知量
由2式得 T G(cos v2 ) ,
gl
其中 ,v为变量。
由1式知 重物作减速运动 , 因此 0时 , T Tmax
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
12
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
[注] ① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ② 拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量，称为静拉 力，一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称 为动拉力。
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
度v0 ? (2)初速 v0与水平的夹角a0？
解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
t
0,
x0
0,
y0
0;v0
x
v0
cos
0
,v0
y
v0
s
in
0
,v0
,
待求
0
t 瞬时 , M A , xS , yH , vx , vy
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
10
[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②受力分析如图所示 ③运动分析，沿以O为圆心, L为半径的圆弧摆动。
11
④列出自然形式的质点运动微方程
mg
f
mM R2
F
mgR2 x2
建立质点运动微分方程 mdx2 mgR2
dt 2
x2
即：
mvx
dvx dx
mgR2 x2
( d 2 x dvx dvx dx vxdvx )
dt2 dt dx dt dx
19
即： mvx
dvx dx
引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 二.力学模型：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点；
刚体作平动时,刚体
质点。
2
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
13
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、
位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
解题步骤如下： ①正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定
g 2s2 2gH 10.5 m/s 2gH
0
tg
1
v0 sin 0 v0 cos 0
tg1 2H s
31
18
[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。
解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。
火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
F
f
mM x2
2
17
则轨迹方程为:
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2 0
代入最高点A处值，得：dy dt
v0
s in 0
gt
0,
即
t v0 sin0
g
将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程，得
v0cos0
sg 2gH
v0sin0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
v0
(v0cos0 )2 (v0sin0 )2
16
m m
dvx dt
dvy dt
0 mg
dx dt
dy dt
c1 gt
c2
微分方程 积分一次
再积分一次
x
y
c1t c3 1 gt2
2
c2t
c4
代入初始条件得 : c1 v0cos0 ,c2 v0sin0 ,c3 c4 0
则运动方程为:
x
v0tc
os0
,
y
v0ts
in
0
1 2
gt
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
3
三.动质点 系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
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第十章 质点运动微分方程 §10–1 质点运动微分方程的形式 §10–2 质点动力学两类问题
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第十章 质点运动微分方程
§10-1 质点运动微分方程的形式 将动力学基本方程(ma F )表示为微分形式的方程，称为
质点的运动微分方程。 1.矢量形式 md 2r F ( 式中r r(t) 为质点矢径形式的运动方程) dt 2
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2.直角坐标形式
m
d2 dt
x
2
X
m
d2 dt
y
2
Y
m
d2 dt
y
2
Z
x x(t)
(
式中
y
y(t)
为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t )
3.自然形式
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。 F ,Fn ,Fb分别为力 F在
自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影 )
8
质点运动微分方程除以上三种基本形式外，还可有极坐标 形式， 柱坐标形式等等。
应用质点的运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问 题。
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§10-2 质点动力学两类问题
出其运动初始条件）。
14
④选择并列出适当的质点运动微分方程。
⑤求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运 动的初始条件，求出质点的运动。
如力是常量或是时间及速度函数时，
可直接分离变量
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
dv dt
v ddvs
,
再分离变量积分。
15
[例2] 煤矿用填充机进行填充, 为保证充 填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶 板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速
ma F ,
G g
dv dt
Gsin
1
man Fn ,
G g
v2 l
T
Gcos
2
⑤求解未知量
由2式得 T G(cos v2 ) ,
gl
其中 ,v为变量。
由1式知 重物作减速运动 , 因此 0时 , T Tmax
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
12
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
[注] ① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ② 拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量，称为静拉 力，一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称 为动拉力。
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
度v0 ? (2)初速 v0与水平的夹角a0？
解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
t
0,
x0
0,
y0
0;v0
x
v0
cos
0
,v0
y
v0
s
in
0
,v0
,
待求
0
t 瞬时 , M A , xS , yH , vx , vy
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
10
[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②受力分析如图所示 ③运动分析，沿以O为圆心, L为半径的圆弧摆动。
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④列出自然形式的质点运动微方程
mg
f
mM R2
F
mgR2 x2
建立质点运动微分方程 mdx2 mgR2
dt 2
x2
即：
mvx
dvx dx
mgR2 x2
( d 2 x dvx dvx dx vxdvx )
dt2 dt dx dt dx
19
即： mvx
dvx dx