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高中数学必修2 第二章章末检测

章末检测

一、选择题

1．下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB

C．l?α，A∈l?A?α

D．A∈l，l?α?A∈α

2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°

3．下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则() A．P一定在直线BD上

B．P一定在直线AC上

C．P一定在直线AC或BD上

D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上

5．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()

A．SG⊥△EFG所在平面

B．SD⊥△EFG所在平面

C．GF⊥△SEF所在平面

D．GD⊥△SEF所在平面

8．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于() A．AC B．BD C．A1D D．A1D1

8题图9题图

9．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是() A．90°B．60°C．45°D．30°

10．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是() A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1所成的角为60°

10题图11题图

11．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为()

3 B.

5 C.

5 D.

12．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为() A．2 B. 3 C. 2 D．1

二、填空题

13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.

14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b?α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b?α，则b∥α.

其中正确命题的序号是________．

15．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．

15题图16题图

16．如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若P A⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．

三、解答题

17．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？

18．ABCD与ABEF是两个全等正方形，AM＝FN，其中M∈AC，N∈BF.求证：MN∥平面BCE.

19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，P A＝2.求：

(1)三角形PCD的面积；

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．

20．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面

ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．

(1)求证：P A∥面BDE；

(2)求证：平面P AC⊥平面BDE；

(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．

21．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝22，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.

(1)证明：PC⊥平面BED；

(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

答案

1．C 2.D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．A 8．B 9.A 10．D 11．D 12．D 13．9 14．④

15．B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一) 16．a >6

17．解直线MN ∥平面A 1BC 1，M 为AB 的中点，证明如下：

∵MD /∈平面A 1BC 1，ND /∈平面A 1BC 1. ∴MN ?平面A 1BC 1.

如图，取A 1C 1的中点O 1，连接NO 1、BO 1.

∵NO 1綊12D 1C 1，MB 綊1

2D 1C 1，

∴NO 1綊MB .

∴四边形NO 1BM 为平行四边形． ∴MN ∥BO 1.

又∵BO 1?平面A 1BC 1， ∴MN ∥平面A 1BC 1.

18．证明如图所示，连接AN ，延长交BE 的延长线于P ，连接CP .

∵BE ∥AF ， ∴FN NB ＝AN NP

，由AC ＝BF ，AM ＝FN 得MC ＝NB . ∴FN NB ＝AM MC . ∴AM MC ＝AN NP ， ∴MN ∥PC ，又PC ?平面BCE . ∴MN ∥平面BCE .

19．解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD .

又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ，从而CD ⊥PD . 因为PD ＝22＋(22)2＝23，CD ＝2，

所以三角形PCD 的面积为1

×2×23＝2 3.

(2)如图，取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．

在△AEF 中，由EF ＝2，AF ＝2，AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形，所以∠AEF ＝45°.

因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是45°. 20．(1)证明连接OE ，如图所示．

∵O 、E 分别为AC 、PC 的中点，∴OE ∥P A. ∵OE ?面BDE ，P A ?面BDE ， ∴P A ∥面BDE .

(2)证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD . 在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴BD ⊥面P AC . 又∵BD ?面BDE ， ∴面P AC ⊥面BDE .

(3)解取OC 中点F ，连接EF . ∵E 为PC 中点，

∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD . ∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD .

∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.

在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan 30°＝6

12a ，

∴OP ＝2EF ＝6

6a .

∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝6

18a 3.

21．(1)证明因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC .

又P A ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥BD .

如图，设AC ∩BD ＝F ，连接EF .

因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，

故PC ＝23，EC ＝23

，FC ＝2，

从而PC

FC ＝6，

＝ 6. 因为PC FC ＝AC

，∠FCE ＝∠PCA ，

所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°.由此知PC ⊥EF . 因为PC 与平面BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直，所以PC ⊥平面BED .

(2)解在平面P AB 内过点A 作AG ⊥PB ，G 为垂足．因为二面角A －PB －C 为90°，所以平面P AB ⊥平面PBC . 又平面P AB ∩平面PBC ＝PB ，故AG ⊥平面PBC ，AG ⊥BC .

因为BC 与平面P AB 内两条相交直线P A ，AG 都垂直，故BC ⊥平面P AB ，于是BC ⊥AB ，所以底面ABCD 为正方形，AD ＝2， PD ＝P A 2＋AD 2＝2 2. 设D 到平面PBC 的距离为d .

因为AD ∥BC ，且AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，

故AD ∥平面PBC ，A 、D 两点到平面PBC 的距离相等，即d ＝AG ＝ 2. 设PD 与平面PBC 所成的角为α，

则sin α＝d PD ＝1

所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.

高一数学必修一第二章知识总结

高一数学必修一第二章知识总结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(* >∈>= n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1 * >∈>= =- n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a 〃s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a a b =)( ),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；二、对数函数（一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值真数指数对数（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log 〃=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log = ；（2）a b b a log 1log = ．（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．