第2课时实物型抛物线及运动中的抛物线问题

第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用 学习目标 1.了解抛物线的简单应用.2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题． 导语一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？一、直线与抛物线的位置关系问题1 类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系． 提示 如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点． 知识梳理设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程k 2x 2＋2(km －p )x ＋m 2＝0.(1)若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 注意点：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．例1 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．解 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ， 得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝14，∴直线l 与C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．①当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切；③当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离．综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点；当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点；当k >1时，l 与C 没有公共点．反思感悟 判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于0时，直线与抛物线相交于一点．跟踪训练1 已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2,0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．答案 [－1,1]解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 并整理，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k <0或0<k ≤1.因此直线l 的斜率的取值范围是[－1,1]．二、弦长问题问题2 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么线段AB 叫做焦点弦，如图．如何求弦AB 的长度？提示 1.利用弦长公式．2．根据抛物线的定义|AB |＝x 1＋x 2＋p . 知识梳理设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p . 注意点：(1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角)． (4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)． 例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程． 解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意． 所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2 ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0或2x ＋y －p ＝0.延伸探究若本例条件不变，求弦AB 的中点M 到y 轴的距离．解 如图，过A ，B ，M 分别作准线x ＝－p 2的垂线交准线于点C ，D ，E . 由定义知|AC |＋|BD |＝52p ， 则梯形ABDC 的中位线|ME |＝54p ， ∴点M 到y 轴的距离为54p －p 2＝34p . 反思感悟 求弦长问题的方法(1)一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .跟踪训练2 已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求实数m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求实数m 的值．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.由Δ＝(2m －8)2－4m 2＝64－32m >0，得m <2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m .(1)因为|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716，经检验符合题意． (2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8或m ＝0(舍去)．所以m ＝－8，经检验符合题意．三、抛物线的轨迹问题例3 设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值．解 (1)过点P 作x 轴的垂线且垂足为点N ，则|PN |＝y ，由题意知|PM |－|PN |＝12， ∴x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝y ＋12，化简得x 2＝2y .故点P 的轨迹方程为x 2＝2y . (2)由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝2y ，消去y 化简得x 2－2kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2.∵|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·4k 2＋8＝26，∴k 4＋3k 2－4＝0，又k 2≥0，∴k 2＝1，∴k ＝±1.反思感悟 求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．(2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解曲线方程．跟踪训练3 若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．解 设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2,0)，半径r ＝1. 因为两圆外切，所以|MC |＝R ＋1.又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切，所以圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R .所以|MC |＝d ＋1.即动点M到定点C(2,0)的距离等于它到定直线x＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且p＝2，p＝4，2故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝8x.1．知识清单：(1)直线和抛物线的位置关系．(2)抛物线中弦长问题．(3)抛物线的轨迹问题．2．方法归纳：直接法、定义法、代数法．3．常见误区：轨迹方程的等价性；数学运算的失误．1．动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是() A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线答案 D解析依题意可知动点P(x，y)在直线x＋2＝0的右侧，设P到直线x＋2＝0的距离为d，则|PF|＝d＋1，所以动点P到F(3,0)的距离与到x＋3＝0的距离相等，其轨迹为抛物线.2．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是() A．相交B．相切C．相离D．相交或相切答案 D解析当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)有一个交点，此时直线l 与抛物线是相交的．当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切．3．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________.答案(4,2)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，y 2＝4x ， 得x 2－8x ＋4＝0，Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，故线段AB 的中点坐标为(4,2)．4．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝________.答案 0或1解析 当k ＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k ≠0时，联立方程消去y ，得k 2x 2＋4(k －2)x ＋4＝0，由题意Δ＝16(k －2)2－16k 2＝0，∴k ＝1.综上，k ＝0或1. 课时对点练1．过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点作直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( )A ．16B ．12C ．10D ．8答案 B解析 由题意得p ＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋6＝12.2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆心C 的轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆答案 A解析 设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r ，由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，所以圆心C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故圆心C 的轨迹是抛物线．3．直线2x －y －4＝0与抛物线y 2＝6x 交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为( )A ．8 B.2852 C.3052 D.3352答案 B解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，2x －y －4＝0， 消去y 并整理得2x 2－11x ＋8＝0，Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝112，x 1x 2＝4， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4×1214－4×4＝2852. 4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85D ．3 答案 A解析 方法一 设与抛物线相切的直线，且与直线4x ＋3y －8＝0平行的直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0.与抛物线y ＝－x 2联立，消去y 可得3x 2－4x －m ＝0，由题意知，Δ＝16＋12m ＝0，∴m ＝－43. ∴最小值为两平行线之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪－43＋85＝43. 方法二 设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5， 当m ＝23时，取得最小值43. 5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为E ，O 为坐标原点，且|OE |＝13，则p 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．12答案 A解析 由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 为y ＝x －p 2， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，相减得， y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1＋y 2＝2p ， 因为E 为线段AB 的中点，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，p ， 因为E 在直线AB ：y ＝x －p 2上，所以E ⎝⎛⎭⎫3p 2，p ， 又因为|OE |＝13，所以p ＝2.6．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|BF |＝16，则p 的值为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．8答案 C解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴直线AB 的方程为y ＝x －p 2， 代入y 2＝2px 可得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24， 由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2， ∴|AF |·|BF |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2 ＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24＋32p 2＋p 24＝2p 2＝16，解得p ＝2 2.7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．答案 72解析 抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x ＝－1，p ＝2.由抛物线的定义，知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋p ＝7，故x 1＋x 2＝5.于是弦AB 的中点M 的横坐标为52，因此点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝72. 8．已知抛物线C ：y 2＝2x ，斜率为k 的直线l 过定点M (x 0，0)，直线l 交抛物线C 于A ，B两点，且A ，B 位于x 轴两侧，OA →·OB →＝3(O 为坐标原点)，则x 0＝________.答案 3解析 设直线l 的方程为y ＝k (x －x 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，与抛物线方程联立可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k (x －x 0)， 消去y 并整理可得，k 2x 2－(2k 2x 0＋2)x ＋k 2x 20＝0，由根与系数的关系可得，x 1x 2＝x 20，则y 1y 2＝－4x 1x 2＝－2x 0，∵OA →·OB →＝3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝3，即x 20－2x 0＝3，解得x 0＝3(负值舍去)．9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A ，B 两点．求证：(1)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；(2)直线AB 过定点．证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x 0，y 0)，(1)k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2， ∵OA ⊥OB ，∴k OA ·k OB ＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， ∴y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0， ∵y 1≠0，y 2≠0，∴y 1y 2＝－4p 2，∴x 1x 2＝4p 2.(2)当直线AB 的斜率存在时，∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2， ∴k AB ＝2p y 1＋y 2， ∴直线AB ：y －y 1＝2p y 1＋y 2(x －x 1)， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2， ∵y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2， ∴y ＝2px y 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2， ∴y ＝2p y 1＋y 2(x －2p )， ∴AB 过定点(2p ,0)．当直线AB 的斜率不存在时，则k OA ＝1，∴直线OA ：y ＝x ，与抛物线方程联立，得x 2＝2px ，∴A (2p ,2p )，故直线AB 过定点(2p ,0)，综上，AB 过定点(2p ,0)．10.如图，已知抛物线y 2＝4x ，其焦点为F .(1)求以M (1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线m ，n 都经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点和C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．解 (1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在．设所求直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2， ∴所求直线方程为2x －y －1＝0.(2)依题意知，直线m ，n 的斜率存在，设直线m 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，其两根为x 3，x 4，且x 3＋x 4＝4k 2＋2. 由抛物线的定义可知，|AB |＝2＋x 3＋x 4＝4k2＋4， 同理，|CD |＝4k 2＋4，∴四边形ACBD 的面积S ＝12(4k 2＋4)·⎝⎛⎭⎫4k 2＋4＝8⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2≥32.当且仅当k ＝±1时取得最小值．11．设抛物线y 2＝4x 上一点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l ：3x ＋4y ＋12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．2 B.153 C.163D ．3 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，3x ＋4y ＋12＝0， 得3y 2＋16y ＋48＝0，Δ＝256－12×48<0，故方程无解，∴直线3x ＋4y ＋12＝0与抛物线相离．又d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1，而d 1＋1为P 到准线x ＝－1的距离，故d 1＋1为P 到焦点F (1,0)的距离，从而d 1＋1＋d 2的最小值为F 到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离， 即|1×3＋0×4＋12|32＋42＝3， 故d 1＋d 2的最小值为2.12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3答案 C解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ， 解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝－233或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2 3. ∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)．∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4，|MF |＝|MN |＝3＋1＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形．∴点M 到直线NF 的距离为2 3.13．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．答案 32解析 设AB 的方程为x ＝my ＋4，代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，Δ>0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，所以y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋32，当m ＝0时，y 21＋y 22的最小值为32.14．已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.答案 2解析 由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点F 的坐标为(1,0)，所以直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2，x 1x 2＝1， 因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋[k (x 1－1)－1]·[k (x 2－1)－1]＝(1－k －k 2)(x 1＋x 2)＋(1＋k 2)x 1x 2＋k 2＋2k ＋2＝(1－k －k 2)2(k 2＋2)k 2＋(1＋k 2)＋k 2＋2k ＋2＝0，解得k ＝2.经检验，k ＝2符合题意．15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线y 2＝2px (p >0)，如图，一平行于x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后又射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行于x 轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为__________．答案 y 2＝3x解析 由抛物线的光学性质可得，PQ 必过抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0.当直线PQ 的斜率不存在时，易得|PQ |＝2p ；当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，得k 2⎝⎛⎭⎫x 2－px ＋p 24＝2px ， 整理得4k 2x 2－(4k 2p ＋8p )x ＋k 2p 2＝0，所以x 1＋x 2＝p ＋2p k 2，x 1x 2＝p 24. 所以|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2>2p . 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝3x .16.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M ，N 两点，且|MN |＝8.(1)求抛物线C 的方程；(2)设直线l 为抛物线C 的切线，且l ∥MN ，P 为l 上一点，求PM →·PN →的最小值．解 (1)由题意可知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则该直线方程为y ＝x －p 2， 代入y 2＝2px (p >0)，得x 2－3px ＋p 24＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝3p .∵|MN |＝8，∴x 1＋x 2＋p ＝8，即3p ＋p ＝8，解得p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，代入y 2＝4x ，得x 2＋(2b －4)x ＋b 2＝0.∵直线l 为抛物线C 的切线，∴Δ＝0，解得b ＝1.∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.由(1)可知x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1.设P (m ，m ＋1)，则PM →＝(x 1－m ，y 1－(m ＋1))，PN →＝(x 2－m ，y 2－(m ＋1))，∴PM →·PN →＝(x 1－m )(x 2－m )＋[y 1－(m ＋1)]·[y 2－(m ＋1)]＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2－(m ＋1)·(y 1＋y 2)＋(m ＋1)2.∵x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，y 1y 2＝－4. ∵y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴y 1＋y 2＝4×x 1－x 2y 1－y 2＝4， ∴PM →·PN →＝1－6m ＋m 2－4－4(m ＋1)＋(m ＋1)2＝2(m 2－4m －3)＝2[(m －2)2－7]≥－14，当且仅当m ＝2，即点P 的坐标为(2,3)时，PM →·PN →取得最小值，最小值为－14.。

《抛物线的简单几何性质》第2课时教学设计“抛物线的简单几何性质”在全章占有重要的地位和作用．本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一．对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用．研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论．已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p ．课时分配本节分两课时进行教学．第一课时内容主要讲抛物线的几何性质、抛物线的画图；第二课时主要内容为焦半径公式．1．灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．教学重点：抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的位置关系． 教学难点：抛物线几何性质的综合运用．复习引入 （多媒体投影）活动设计：以问题形式巩固复习抛物线的定义及几何性质，每个学生独立思考下列问题，必要时，允许合作、讨论、交流．①抛物线mx ＋ny 2＝0（m ·n ≠0）的顶点坐标是（0，0），焦点坐标是（－m 4n，0），准线方程是x ＝m 4n ，离心率是1，通径长|mn|．②若点A （3，2），点F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，则使|MA |＋|MF |取最小值的抛物线上点的坐标是（2，2）．这一节，我们将继续研究抛物线的几何性质的应用． 新课讲解1斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．分析：例1是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB 分段转化成点A 、B 到准线的距离，从而达到求解目的．解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F （1，0）．所以直线AB 的方程为y ＝x －1．①将方程①代入抛物线方程y 2＝4x ，得（x －1）2＝4x ，化简得x 2－6x ＋1＝0． 解之得：x 1＝3＋22，x 2＝3－22．将x 1，x 2的值分别代入方程①中，得y 1＝2＋22，y 2＝2－22． 即A 、B 坐标分别为（3＋22，2＋22）、（3－22，2－22）． ∴|AB |＝422＋422＝8．解法二：如右图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由抛物线的定义可知，|AF |等于点A 到准线x ＝－1的距离|AA ′|，而|AA ′|＝x 1＋1．同理|BF |＝|BB ′|＝x 2＋1，于是得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2．由此可以看到，本题在得到方程x 2－6x ＋1＝0后，根据根与系数关系可以直接得到x 1＋x 2＝6，于是可以求出|AB |＝6＋2＝8．点评：法一：直接求两点坐标，计算弦长（运算量一般较大）；法二：设而不求，数形结合，活用定义，运用韦达定理，计算弦长（运算简单）． 焦半径：连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径．焦半径公式：|AF |＝x 1 ＋p2．提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦半径公式．焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点A ，B ，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦公式：|AB |＝x 1＋x 2＋p ．提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦点弦公式．2过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．分析：可用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系．只要证明点D 的纵坐标与点B 的纵坐标相等即可．证明：如图，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系．设抛物线的方程为：y 2＝2px ①点A 的坐标为（y 202p ，y 0），则直线OA 的方程为y ＝2p y 0x （y 0≠0）②抛物线的准线方程是x ＝－p2③联立②③，可得点D 的纵坐标为：y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是（p 2，0），所以直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2（x －p2）⑤其中y 20≠p 2．联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴、当y 20＝p 2时，结论显然成立，所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴．3已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P （－2，1），斜率为k ．k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：依题意，设直线l 的方程为y －1＝k （x ＋2）．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k(x ＋2)y 2＝4x （*） 消去x 可得ky 2－4y ＋4（2k ＋1）＝0①当k ＝0时， 直线与抛物线只有一个公共点． 由方程①得y ＝1， 把y ＝1代入y 2＝4x 得x ＝14．此时，直线l 与抛物线只有一个公共点（14，1）．（2）当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16（2k 2＋k －1）． ①由Δ＝0， 即2k 2＋k －1＝0，解得：k ＝－1， 或k ＝12．所以， 当k ＝－1或k ＝12时，方程①只有一个解， 此时，直线l 与抛物线只有一个公共点．②由Δ＞0， 即2k 2＋k －1<0，解得：－1＜k ＜12．所以， 当－1＜k ＜12，且k ≠0时，方程①有两个解， 此时，直线l 与抛物线有两个公共点．③由Δ＜0， 即2k 2＋k －1>0，解得：k ＜－1， 或k ＞12．所以， 当k ＜－1 或k ＞12时，方程①没有实数解， 此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上，可得当k ＝－1， 或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1＜k ＜12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k ＜－1， 或k ＞12时，直线l 与抛物线没有公共点．提出问题：你能通过作图验证一下结论吗？并写出结论． 设直线和抛物线方程联立，消去一个未知数y 得： ax 2＋bx ＋c ＝0． （1）当a ＝0时．直线和抛物线的对称轴平行或重合，为相交关系； （2）当a ≠0时．Δ＞0→方程组两组解→相交； Δ＝0→方程组一组解→相切；Δ＜0→方程组没有解→相离．变式演练：在抛物线y ＝4x 2上求一点，使这点到直线y ＝4x －5的距离最短． 解：设点P （t ，4t 2）到直线y ＝4x －5的距离为d ． ∴d ＝|4t －4t 2－5|17＝4t 2－4t ＋517．当t ＝12时，d 取得最小值，此时P （12，1）为所求的点．达标检测1．若直线y ＝kx ＋1与抛物线y 2＝x 仅有一个公共点，则k 的值为（ ） A ．14 B ．0或14 C ．0或－34 D ．14或－342．在抛物线y ＝x 2上，到直线y ＝3x －1的距离最短的点的坐标是（ ） A ．（1，1） B ．（3，3） C ．（32，34） D ．（12，14） 3．抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是__________．4．抛物线y 2＝2x 中被点A （1，1）平分的弦所在的直线的方程是________________ 5．已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦，被焦点分为长度是m ，n 的两部分，则1m ＋1n ＝____________________答案：1．B 2．C 3.2 4．y ＝x 5.1 课堂小结1．能够灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．掌握用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．学会应用数形结合的思想、化归思想及方程的思想解决直线与圆锥曲线的关系问题． 布置作业课本习题2.4 A 组第6题，B 组第2题． 补充练习1．已知直线l 过点A （－3p 2，p ）且与抛物线y 2＝2px （p >0）只有一个公共点，则直线l 的条数为__________________．2．过抛物线y 2＝2px （p >0）的焦点的一条直线和抛物线相交于点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1y 2＝－p 2是直线PQ 过抛物线焦点的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则| FA →|＋| FB →|＋| FC →|＝______________________．4．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线的方程．答案：1.3 2．C 3．384．解：设抛物线的方程为y 2＝2px ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1 ，消去y 得4x 2－（2p －4）x ＋1＝0，x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14．|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5x 1＋x 22－4x 1x 2＝5p －222－4×14＝15． 则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，p ＝－2或6． ∴y 2＝－4x ，或y 2＝12x ．本节课基于能使学生灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力的目的而设计. 例1是直线与抛物线相交问题，主要是让学生体会多角度思考问题，寻找多种解决问题的办法．例2则是解析几何中的证明题，同时也是教材中的例题，此题也有多种证明思路，但学生可能想不到，这就要求我们多做引导，向量法、纯几何法都能证明此题，坐标法较容易想到，应作重点讲解．问题是数学的心脏，本节以让学生形成完整的知识方法体系为中心，以问题为载体，先易后难，逐步加深，符合学生的学习规律．。

新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
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5.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB时，水面宽度为20 m， 水位上升3 m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10 m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的表达式； (2)若洪水到来时，水位以每小
时0.2 m的速度上升，从警戒线开 始，再持续多少小时才能到达拱 桥顶？
答:篮球在该运动员出手时的高度为2.25 m.
新知导入 课程讲授 随堂练习 课堂小结
抛物线形实际问题
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归纳：解决抛物线型问题，其一般步骤为： (1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标； (2)根据图像设抛物线对应的函数表达式； (3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用 二次函数的性质解题．在解题过程中要充分利用抛 物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用．
(3)利用关系式求解实际问题.
例 如图所示,一名运动员在距离篮圈中心4 m(水平距离)远处跳起投 篮,篮球准确落入篮圈.已知篮球运行的路线为抛物线,当篮球运行 的水平距离为2.5 m时,篮球达到最大高度,且最大高度为3.5 m.如果 篮圈中心距离地面3.05 m,那么篮球在该运动员出手时的高度是多 少米?
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在平面直角坐标系下的抛物线型 问题,我们通过求函数表达式,解 决了实际问题,在这个抛物线型 实际问题中,没有直角坐标系,我 们如何解决呢?
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抛物线形实际问题
解:以地面为x轴,大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系,则抛物线
过(0,0),(8,0),(1,4),(7,4)四点,设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,

第2课时抛物线的标准方程及性质的应用一、学习目标1.了解抛物线的简单应用;2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题．二、导学指导与检测导语一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里，经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？（一）、直线与抛物线的位置关系问题1类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系．提示如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点．（二）、知识点梳理课前预习课本（135-137）页一、直线与抛物线相交问题设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；①当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点;②当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．注意点：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．课内探究例1已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．跟踪训练1已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．二、弦长问题问题2 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么线段AB 叫做焦点弦，如图．如何求弦AB 的长度？提示: 1.利用弦长公式．2.根据抛物线的定义|AB |＝x 1＋x 2＋p .知识点梳理设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ 注意点：(1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α是直线AB 的倾斜角)． (4)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值(F 是抛物线的焦点)． 例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．反思感悟 求弦长问题的方法(1)一般弦长：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .跟踪训练2 已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝10，求实数m 的值；(2)若OA ⊥OB ，求实数m 的值．三、抛物线的轨迹问题例3 设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 内的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M ⎝⎛⎭⎫0，12的距离比点P 到x 轴的距离大12. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求实数k 的值．三、巩固诊断 1．过抛物线C ：y 2＝12x 的焦点作直线l 交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |等于( ) A ．16 B ．12 C ．10 D ．8 2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆心C 的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆 3．直线2x －y －4＝0与抛物线y 2＝6x 交于A ，B 两点，则线段AB 的长度为( ) A ．8 B.2852 C.3052 D.3352 4．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( ) A.43 B.75 C.85 D ．3 5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为E ，O 为坐标原点，且|OE |＝13，则p 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．12 6．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |·|BF |＝16，则p 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．8 7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若|AB |＝7，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________． 8.过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A ，B 两点．求证： (1)A ，B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； (2)直线AB 过定点．。