2.2.2
抛物钱的简单性质
M是抛物线y2 = 2px 点M的横坐标为m 丙7E
(p>0)上一点9若则点M到焦点的距
>x
抛物线上一点到焦点的距离
P（Xo, y°）在y2=2px上，|PF| = x°+f
P（x（）, y（＞）在y2=・2px上，|”| = £-兀0
P（x（）, y°）在x2=2py上 |PF\ =
y0 + ^-
P（x°, y°）在x2=・2py上PF =^-y0
1、抛物线的对称性y^2px
天于兴轴对称
抛物线又叫做无心
没有对称中心“因此丿
圆锥曲线。
2＞抛物线的范H: y2=2px
3、抛物线的顶点
^=2px
定文:抛物线与对称轴的交点’叫做抛物线的顶点
只有一个顶点
4、抛物线的离心率y2=2px
所有的抛物线的藹心率都是
1
5、抛物线的基本元素
基本量：焦准距Q
（决定抛物线开口犬小）
6、焦点弦和通径
通径是焦点弦中y2=2px(p>0) 最短的弦,
通径IABI=2p
设AB是抛物线y2=2px（p>0）过焦
点F的
—条弦。
设A（Xi，yJ，B（X2，
y2），AB的中点M（xo，yo），过A，B，M分别向抛物线的准线作垂线，垂足为
y2
=2px(p>0)
y2=2px(p>0)
已知抛物线方程为y2=4小直线Z 过定点P (-2, 1),斜率为k.
则k为何值时，直线Z与抛物线护=4兀只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点呢。
过抛物殳焦点弦的｛響点的一条直线和阶线雲边》黃点的纵坐标为
JW2 2 力丿
2 = 一 P 求证： 一条性质）
过焦点的直线具有上述性质，反之，若直线与抛物线B的纵坐标为,且,
的两个交点4,那么直线是否经过焦点F呢？
=2px
2 力宀
J1J2 =-P
既然过抛物线焦点的直线与其相交，交点的纵坐标的乘积是一个定值，那么过抛物线对称轴上其他任意一定点，是否也有这个性质呢？
设抛物线上两动点2
,且满足V = / ，迥&嚣窈恒过某一定点？、4（兀兀2』2）
J1J2=氐仏为常数）
设抛物线上两动点 2 c
,且满足v = 2px
厶/ ,来&狀亭p的轨迹齐程.、
A(x1,y1),B(x2,y2)
J1J2 =比仏为常数)
设抛物线上两动点2
,o为坐标原点，V
OA±OB,则直线&3是否井声？求力B中点PI A(x1,y1),U(x2,y2
=2 nx 迪轨迹彳!呈.
设抛物线上两动点 2 c
则直线AB是否过定点?
,M为该抛物线上一0点，托讹$底
〃（兀2汀2）
右M为抛物线上一个定点，力、（衲非零常数），求证：直线过定点。
^MA ^MB = r 臨盘農和为180。
”,"劉瓠
|澤变为“直线“人与直线将“探究6”的 MB 的倾斜角之和为90。
”,
“直线M A 朽誉 即 变为 “直线MA 与直
线
上一个定点，&、物线少“彌衣初区 旨昭w 求证：直线力B 的斜率为型。
—厶P 入XP ? U 丿若M 为抛物线 与直线MB 的倾斜角互补,
设计意图：
培养我们研究数学问题的一般思想方法：
一是考虑原命题的逆命题是否成立；
二是考虑能否把原命题进行一般推广; 三是考虑从原命题条件中还能推岀什么结论？四是考虑把原命题进行适当变式进行拓展。
过抛物线上一定点
•当刊与PB的斜率存,作两条直纟射别交在且倾斜角互补时，V =
求的值，并证明懂线力B的:
率毆和沟）（沟＞°）
」）/（兀2』2）
于匸抛物线，若直线点的J驚确2〃加承鋼矚溜衢孑
P（兀o』o）（儿＞0）
A（兀1），〃（兀2』2 ）
P
Jo
设动直线AB： y=-x+b与抛物线，相交于两点，问在直线MN： x=2上能否找到一定点P （坐标与b的值无关），使得直线P4与FB的倾斜角互
y2 = 8x
过点戶霭乍豐鶴k的直线咬抛物'线于力、B两切A^x^P^P) 交x轴H Q点，当k 变化时，探究点Q是否为定点？
如图，定长为3的线段AB的两端点在抛物线『2=兀上移动，设线段AB的中点为M,求点M到y 轴的最短距离。
正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个三角形的边长。
已知在抛物线y=x?上三个点A、B、C组成一个等腰直角三角形,且顶点B是直角顶点,
⑴设直线BC的斜率为觥求顶点
B的坐标;
(2)求等腰直角三角形的面积的最小
值。
例•已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，且点A (-1, 0)和B (0, 8)关于直线的对称点都在抛物线上，求直线和抛物线的方程。
