抛物线及其标准方程简单的几何性质导学案(第二课时).

第二章第四节抛物线的简单几何性质第二课时设计者：李晓帆 审核者： 执教： 使用时间：学习目标1．了解抛物线与直线的关系；2. 在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处.______________________________________________________________________________自学探究问题1.直线和椭圆、双曲线的判定方法是什么？问题2.直线与抛物线的位置关系如何判定?【技能提炼】1. 已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【变式】过点(2,0)M 又如何？【思考】直线和抛物线有一个公共点一定相切吗？2.已知抛物线的方程)0(22>=p px y ，AB 是过焦点F 的一条弦，点()()2211,,,y x B y x A 求证：⑴4,221221p x x p y y =-=⑵θ221sin 2p p x x AB =++= （θ为直线AB 的倾斜角） ⑶以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切；⑷A,B 在准线上的射影为C,D ，则︒=∠90CFD .教师问题创生学生问题发现 变式反馈1. 直线2y x =-与抛物线22y x =相交于A ，B 两点，求证：OA OB ⊥．2.已知抛物线x y 62=，过点()1,4P 引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程.3．垂直于x 轴的直线交抛物线24y x =于A ，B 两点，且AB =，求直线AB 的方程．4．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．*5.已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 ．6.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点， 证明：pFB FA 211=+7．已知抛物线x y -=2于直线()1+=x k y 相交于A,B 两点。

《抛物线的简单几何性质》第2课时教学设计“抛物线的简单几何性质”在全章占有重要的地位和作用．本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一．对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用．研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论．已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p ．课时分配本节分两课时进行教学．第一课时内容主要讲抛物线的几何性质、抛物线的画图；第二课时主要内容为焦半径公式．1．灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．教学重点：抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的位置关系． 教学难点：抛物线几何性质的综合运用．复习引入 （多媒体投影）活动设计：以问题形式巩固复习抛物线的定义及几何性质，每个学生独立思考下列问题，必要时，允许合作、讨论、交流．①抛物线mx ＋ny 2＝0（m ·n ≠0）的顶点坐标是（0，0），焦点坐标是（－m 4n，0），准线方程是x ＝m 4n ，离心率是1，通径长|mn|．②若点A （3，2），点F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，则使|MA |＋|MF |取最小值的抛物线上点的坐标是（2，2）．这一节，我们将继续研究抛物线的几何性质的应用． 新课讲解1斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．分析：例1是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB 分段转化成点A 、B 到准线的距离，从而达到求解目的．解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F （1，0）．所以直线AB 的方程为y ＝x －1．①将方程①代入抛物线方程y 2＝4x ，得（x －1）2＝4x ，化简得x 2－6x ＋1＝0． 解之得：x 1＝3＋22，x 2＝3－22．将x 1，x 2的值分别代入方程①中，得y 1＝2＋22，y 2＝2－22． 即A 、B 坐标分别为（3＋22，2＋22）、（3－22，2－22）． ∴|AB |＝422＋422＝8．解法二：如右图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由抛物线的定义可知，|AF |等于点A 到准线x ＝－1的距离|AA ′|，而|AA ′|＝x 1＋1．同理|BF |＝|BB ′|＝x 2＋1，于是得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2．由此可以看到，本题在得到方程x 2－6x ＋1＝0后，根据根与系数关系可以直接得到x 1＋x 2＝6，于是可以求出|AB |＝6＋2＝8．点评：法一：直接求两点坐标，计算弦长（运算量一般较大）；法二：设而不求，数形结合，活用定义，运用韦达定理，计算弦长（运算简单）． 焦半径：连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径．焦半径公式：|AF |＝x 1 ＋p2．提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦半径公式．焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点A ，B ，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦公式：|AB |＝x 1＋x 2＋p ．提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦点弦公式．2过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．分析：可用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系．只要证明点D 的纵坐标与点B 的纵坐标相等即可．证明：如图，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系．设抛物线的方程为：y 2＝2px ①点A 的坐标为（y 202p ，y 0），则直线OA 的方程为y ＝2p y 0x （y 0≠0）②抛物线的准线方程是x ＝－p2③联立②③，可得点D 的纵坐标为：y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是（p 2，0），所以直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2（x －p2）⑤其中y 20≠p 2．联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴、当y 20＝p 2时，结论显然成立，所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴．3已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P （－2，1），斜率为k ．k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：依题意，设直线l 的方程为y －1＝k （x ＋2）．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k(x ＋2)y 2＝4x （*） 消去x 可得ky 2－4y ＋4（2k ＋1）＝0①当k ＝0时， 直线与抛物线只有一个公共点． 由方程①得y ＝1， 把y ＝1代入y 2＝4x 得x ＝14．此时，直线l 与抛物线只有一个公共点（14，1）．（2）当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16（2k 2＋k －1）． ①由Δ＝0， 即2k 2＋k －1＝0，解得：k ＝－1， 或k ＝12．所以， 当k ＝－1或k ＝12时，方程①只有一个解， 此时，直线l 与抛物线只有一个公共点．②由Δ＞0， 即2k 2＋k －1<0，解得：－1＜k ＜12．所以， 当－1＜k ＜12，且k ≠0时，方程①有两个解， 此时，直线l 与抛物线有两个公共点．③由Δ＜0， 即2k 2＋k －1>0，解得：k ＜－1， 或k ＞12．所以， 当k ＜－1 或k ＞12时，方程①没有实数解， 此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上，可得当k ＝－1， 或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1＜k ＜12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k ＜－1， 或k ＞12时，直线l 与抛物线没有公共点．提出问题：你能通过作图验证一下结论吗？并写出结论． 设直线和抛物线方程联立，消去一个未知数y 得： ax 2＋bx ＋c ＝0． （1）当a ＝0时．直线和抛物线的对称轴平行或重合，为相交关系； （2）当a ≠0时．Δ＞0→方程组两组解→相交； Δ＝0→方程组一组解→相切；Δ＜0→方程组没有解→相离．变式演练：在抛物线y ＝4x 2上求一点，使这点到直线y ＝4x －5的距离最短． 解：设点P （t ，4t 2）到直线y ＝4x －5的距离为d ． ∴d ＝|4t －4t 2－5|17＝4t 2－4t ＋517．当t ＝12时，d 取得最小值，此时P （12，1）为所求的点．达标检测1．若直线y ＝kx ＋1与抛物线y 2＝x 仅有一个公共点，则k 的值为（ ） A ．14 B ．0或14 C ．0或－34 D ．14或－342．在抛物线y ＝x 2上，到直线y ＝3x －1的距离最短的点的坐标是（ ） A ．（1，1） B ．（3，3） C ．（32，34） D ．（12，14） 3．抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是__________．4．抛物线y 2＝2x 中被点A （1，1）平分的弦所在的直线的方程是________________ 5．已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦，被焦点分为长度是m ，n 的两部分，则1m ＋1n ＝____________________答案：1．B 2．C 3.2 4．y ＝x 5.1 课堂小结1．能够灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．掌握用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．学会应用数形结合的思想、化归思想及方程的思想解决直线与圆锥曲线的关系问题． 布置作业课本习题2.4 A 组第6题，B 组第2题． 补充练习1．已知直线l 过点A （－3p 2，p ）且与抛物线y 2＝2px （p >0）只有一个公共点，则直线l 的条数为__________________．2．过抛物线y 2＝2px （p >0）的焦点的一条直线和抛物线相交于点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1y 2＝－p 2是直线PQ 过抛物线焦点的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则| FA →|＋| FB →|＋| FC →|＝______________________．4．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线的方程．答案：1.3 2．C 3．384．解：设抛物线的方程为y 2＝2px ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1 ，消去y 得4x 2－（2p －4）x ＋1＝0，x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14．|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5x 1＋x 22－4x 1x 2＝5p －222－4×14＝15． 则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，p ＝－2或6． ∴y 2＝－4x ，或y 2＝12x ．本节课基于能使学生灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力的目的而设计. 例1是直线与抛物线相交问题，主要是让学生体会多角度思考问题，寻找多种解决问题的办法．例2则是解析几何中的证明题，同时也是教材中的例题，此题也有多种证明思路，但学生可能想不到，这就要求我们多做引导，向量法、纯几何法都能证明此题，坐标法较容易想到，应作重点讲解．问题是数学的心脏，本节以让学生形成完整的知识方法体系为中心，以问题为载体，先易后难，逐步加深，符合学生的学习规律．。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《抛物线的简单几何性质》导学案学习目标:1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程:一、课前准备 复习1：准线方程为x =2的抛物线的标准方程是___________________．复习2：双曲线221169x y -=有哪些几何性质？ 二、新课导学 ※ 学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 新知：抛物线的几何性质 图形标准方程焦点(0,)2p -准线 2p y =-顶点 (0,0)(0,0)对称轴 x 轴 离心率试试：画出抛物线8y x =的图形，顶点坐标( )、焦点坐标( )、准线方程（ ）、对称轴（ ）、离心率（ ）． ※ 典型例题例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,22)M -，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,22)M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ． 小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解． ※ 动手试试练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程： ⑴顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点 (5M ，4)-；⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F ； ⑶焦点是(0,8)F -，准线是8y =． 三、总结提升 ※ 学习小结1．抛物线的几何性质 ； 2．求过一点的抛物线方程； 3．求抛物线的弦长． ※ 知识拓展抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．其长为2p ．※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分： 1．下列抛物线中，开口最大的是( )． A ．212y x =B ．2y x =C ．22y x =D ．24y x =2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程( ) ． A ．220y x = B ．220x y = C ．2120y x =D ．2120x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于( )．A ．10B ．8C ．6D ．4 4．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．5．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB=______________________．课后作业1．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：⑴顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等到于6；P--．⑵顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点(6,3)2.M是抛物线24=上一点，F是抛物线的焦点，60y x∠=o，求FA．xFM。