抽屉原理公式及例题

第10讲 抽屉原理一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论1. 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的． 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6511÷= ，112+=（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．2. 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的任意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼．3. 教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业． 将5名学生看作5个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉 由抽屉原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果．即至少有两名学生在做同一科的作业．4. 3年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗？先想一想，在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽屉？从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果．因此至少有两个同学在同一个月过生日．【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解．5. 数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样． 属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉”，13个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉”，根据抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样．6. 五一路小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？ 一年最多有366天，把366天看作366个“抽屉”，将367名学生看作367个“苹果”．这样，把367 个苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果．这就说明，至少有2名同学的生日相同．7. 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同．五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜色． 也可以把五种颜色作为5个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同．8. 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为7303661364÷=，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天． 9. 试说明400人中至少有两个人的生日相同.将一年中的366天或365天视为366个或365个抽屉，400个人看作400个苹果，从最极端的情况考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有35个或34个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所以至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同. 10. 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的；情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的；情况三：这三个小朋友，可能其中1男2女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的；情况四：这三个小朋友，可能其中2男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的．所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的；方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．11. “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等． 假设共有n 个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n 个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目看作“抽屉”，那么，n 个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n 种可能：0，1，2，……，1n -．其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见1n -个熟人，所以共有n 个“抽屉”．下面分两种情况来讨论：⑴如果在这n 个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上2n -个熟人，这样熟人数目只有1n -种可能：0，1，2，……，2n -．这样，“苹果”数(n 个小朋友)超过“抽屉”数(1n -种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等． ⑵如果在这n 个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有1n -种可能：1，2，3，……，1n -．这时，“苹果”数(n 个小朋友)仍然超过“抽屉”数(1n -种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．总之，不管这n 个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等．12. 五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友．因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，……，19．把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多．13. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被3整除．14. 四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由．想一想，不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽屉”，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同． 15. 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数． 在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a 、b ，它们除以自然数m 的余数相同，那么它们的差a b -是m 的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数． 16. 证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

第一抽屉原理原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

[证明](反证法)：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能。

原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

[证明](反证法)：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn 个物体,与题设不符，故不可能。

第二抽屉原理把(mn－1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。

[证明](反证法)：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

抽屉原理，又叫狄利克雷原则，它是一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决各种有趣的问题，并且常常能够得到令人惊奇的结果，许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，利用它能很容易得到解决．那么，什么是抽屉原理呢？我们先从一个最简单的例子谈起．将三个苹果放到两只抽屉里，想一想，可能会有什么样的结果呢？要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么一只抽屉里放有三个苹果，而另一只抽屉里不放．这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入了两个或两个以上的苹果．虽然哪只抽屉里放入至少两个苹果我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一只抽屉放入了两个或两个以上的苹果．如果我们将上面问题做一下变动，例如不是将三个苹果放入两只抽屉里，而是将八个苹果放到七只抽屉里，我们不难发现，这八个苹果无论以怎样的方式放入抽屉，仍然一定会有一只抽屉里至少有两个苹果。

通过上面的分析，我们可以将上面问题中包含的基本原理写成下面的一般形式．抽屉原理（一）：把多于几个的元素按任一确定的方式分成几个集合，那么一定至少有一个集合中，至少含有两个元素．应用抽屉原理来解题，首先要审题，即分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，来设计抽屉，在应用抽屉原理解题时，正确地设计抽屉是解题的关键．例1 有红、黄、绿三种颜色的小球各四颗混放在一只盒子里，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，一次至少要取几颗？A、3B、4C、5D、6分析：将三种不同的颜色看作三个抽屉，为了保证一次能取到两颗颜色相同的小球，即要求至少有两颗小球出自同一抽屉，因此一次至少要取4颗小球．例2 某班有30名学生，班里建立一个小书库，同学们可以任意借阅，问小书库中至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学一次能至少借到两本书？A、28B、29C、30D、31分析：将30名同学看作30个“抽屉”，而将书看作“苹果”，根据抽屉原理，“苹果”数目要比“抽屉”数目大，才能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的“苹果”，因此，小书库中至少要有31本书，才能保证至少有一位同学一次能借到两本或两本以上的图书。

小学数学公式大全抽屉原理抽屉原理是数学中一个重要的定理，也称为鸽巢原理。

它是指如果有n个物品放入m个抽屉中，其中n>m，那么至少有一个抽屉中会放多于一个物品。

抽屉原理的应用非常广泛，特别是在组合数学、概率论和计算机科学等领域中。

以下是一些与抽屉原理相关的例子和公式：1.投票原理（多数派原理）：如果n个选项中，超过一半的选项选择了同一个选项，那么这个选项将成为多数派。

2.求余定理：对于任意整数a和b，其中b不等于0，存在唯一的整数q和r，使得a = bq + r，其中q是商，r是余数，并且0 <= r < ，b。

3.相反数的乘积：如果a和b是两个整数，那么-a和-b的乘积等于ab。

4.加法逆元：对于任意整数a，存在唯一的整数-b，使得a+b=0。

这个整数-b被称为a的加法逆元。

5.乘法逆元：对于任意非零整数a，存在唯一的倒数-b，使得a*b=1、这个倒数-b被称为a的乘法逆元。

6.平方差公式（差平方公式）：对于任意两个数a和b，有(a+b)(a-b)=a^2-b^27.同底数幂的乘法：对于任意三个数a、b和c，且a不等于0和1，有a^b*a^c=a^(b+c)。

8.同底数幂的除法：对于任意三个数a、b和c，且a不等于0和1，有a^b/a^c=a^(b-c)。

9.幂的乘法：对于任意三个数a、b和c，有(a^b)^c=a^(b*c)。

10.幂的除法：对于任意三个数a、b和c，有(a^b)/(a^c)=a^(b-c)。

11.幂的幂：对于任意四个数a、b、c和d，有(a^b)^(c^d)=a^(b*c^d)。

12.组合公式（二项式定理）：对于任意两个数a和b，有(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+...+C(n,n)*b^n，其中C(n,k)表示从n个物品中选取k个的组合数。

13.分配律：对于任意三个数a、b和c，有a*(b+c)=a*b+a*c；(a+b)*c=a*c+b*c。

1.68页：（1）因为扑克共有四种花色，所以先讨论4人的情况（以红桃为例）：4人都是红桃；3人是红桃，1人是其他花色；2人是红桃，另2人是其他花色【另2人花色不同】；1人是红桃，另3人是其他花色【另3人花色不同，分别是方块、黑桃、梅花】。

可以看出，只有最后一种情况花色各不相同，其余情况都满足题中所说的“至少有2张牌是同花色的”。

但最后一种情况，再加上第5张牌，无论这种牌是什么花色，都会和前4张中的一张花色重复，从而满足“至少有2张牌是同花色的”这一要求。

（2）直接讨论5人的情况（以红桃为例）：5人都是红桃；4人是红桃，1人是其他花色；3人是红桃，另2人是其他花色【另2人花色不同】；2人是红桃，另3人是其他花色【另3人花色不同，分别是方块、黑桃、梅花】。

1人是红桃，另3人分别是方块、黑桃、梅花，还剩一个人，无论他抽到什么花色，都会和前4人中的一个人重复。

（3）当题中要求“至少如何如何”时，我们就要考虑最平均、最倒霉、最背的情况，也就是前4张牌，花色都不一样，但是再加上第5张牌，无论这种牌是什么花色，都会和前4张中的一张花色重复，从而满足“至少有2张牌是同花色的”这一要求。

（4）5张牌中，“至少有2张牌是同花色的”；【5÷4=1……1 1+1=2】6张牌中，“至少有2张牌是同花色的”；【6÷4=1……2 1+1=2】7张牌中，“至少有2张牌是同花色的”；【7÷4=1……3 1+1=2】8张牌中，“至少有2张牌是同花色的”；【8÷4=2 】【整除时不加】9张牌中，“至少有3张牌是同花色的”；【9÷4=2……1 2+1=3】由此可以看出，5、6、7、8时，答案都是2，规律是“牌数÷花色”，然后用商加1.【切记是商加1，而不是商加余数】2.68页例1：（1）先讨论3支笔（以第一个笔筒为例）：第一个笔筒放3支；第一个笔筒放2支，其他笔筒放1支；第一个笔筒放1支，其他两个笔筒各放1支，剩下的1支无论放到哪个笔筒中，都会有一个笔筒中出现两支笔。