高二数学选修1-2 推理与证明测试题

选修1-2第二章《推理与证明》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( )A．假设2是有理数B．假设3是有理数C．假设2或3是有理数D．假设2＋3是有理数3．下列推理过程属于演绎推理的为( )A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32…得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列4．用反证法证明命题“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是( )A．x，y都不能被7整除B．x，y都能被7整除C．x，y只有一个能被7整除D．只有x不能被7整除5．求证：3＋7<25的证明过程如下：因为3＋7和25都是正数，所以为了证明3＋7<25，只需证明(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，即21<5，只需证明21<25.因为21<25成立，所以不等式3＋7<25成立．上述证明过程应用了( ) A ．综合法 B ．分析法C ．反证法D ．综合法、分析法合用6．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( ) A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2a 3…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×97．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于08．已知对正数a 和b ，有下列命题：①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( )A ．2 B.92 C ．4D ．59．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝010．下列不等式中一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 11．已知f (x )＝sin x ＋cos x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′(n ∈N *)，经计算，f 1(x )＝cos x －sin x ，f 2(x )＝－sin x －cos x ，f 3(x )＝－cos x ＋sin x ，…，照此规律，则f 100(x )＝( )A ．－cos x ＋sin xB ．cos x －sin xC ．sin x ＋cos xD ．－sin x －cos x12．请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，即4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数a 1，a 2，…，a n 满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝n 时，你能得到的结论是( ) A ．a 1＋a 2＋…＋a n ≤2n B ．a 1＋a 2＋…＋a n ≤n 2C ．a 1＋a 2＋…＋a n ≤nD ．a 1＋a 2＋…＋a n ≤n第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是________．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可以判断乙去过的城市为________．15．通过圆与球的类比，由“半径为R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2R 2.”猜想关于球的相应命题为________．16．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点 A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x >0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式．18．(本小题满分12分)已知A ＋B ＝π3，且A ，B ≠k π＋π2(k ∈Z)．求证：(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝4.19．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交； (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．20．(本小题满分12分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b 为正实数． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.22．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1­BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1­BCDE 的体积为362，求a 的值．选修1-2第二章《推理与证明》单元检测题参考答案【第5题解析】结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．故选B. 【第6题解析】由等差数列性质，有a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5.易知选项D 正确．故选D. 【第7题解析】法一：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， 所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a 、b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选项D 正确．故选D.【第8题解析】从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以，若a ＋b ＝9，则ab ≤92.故选B.【第9题解析】所求的平面方程为－1×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0.化简得x ＋2y －z －2＝0.故选A.【第10解析】A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；B 项中sin x ＋1sin x ≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.故选C. 【第11题解析】根据题意， f 4(x )＝[f 3(x )]′＝sin x ＋cos x ，f 5(x )＝[f 4(x )]′＝cos x －sin x ，f 6(x )＝[f 5(x )]′＝－sin x －cos x ，…，观察知f n (x )的值呈周期性变化，周期为4，所以f 100(x )＝f 96＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ＋cos x . 故选C.【第12题解析】构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋n ，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0；即4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n 2≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n ≤n . 故选C.【第16题解析】根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1，∴{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1q 6＝2×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 故填14. 【第17题答案】f n (x )＝x（2n－1）x ＋2n(x >0)． 【第17题解析】依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝xx ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x（22－1）x ＋22 f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x（23－1）x ＋23，…，由此归纳可得f n (x )＝x（2n －1）x ＋2n (x >0)．【第18题答案】见解析 【第18题解析】由A ＋B ＝π3得tan(A ＋B )＝tan π3， 即tan A ＋tan B1－tan A tan B＝3，所以tan A ＋tan B ＝3－3tan A tan B .所以(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝1＋3(tan A ＋tan B )＋3tan A tan B ＝1＋3(3－3tan A tan B )＋3tan A tan B ＝4. 故原等式成立．(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．[.【第20题答案】见解析.【第20题解析】证明：由题意得，S n ＝na ＋n （n －1）2d .由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0. 因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k . 【第21题答案】见解析【第21题解析】证明：(1)欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，即证b a ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，只要证a 2＋b 2＋4ab 2a 2＋2b 2＋5ab ≤23. 因为a ，b 为正实数，只要证3(a 2＋b 2＋4ab )≤2(2a 2＋2b 2＋5ab )，即a 2＋b 2≥2ab ， 因为a 2＋b 2≥2ab 显然成立，故原不等式成立． (2)假设af (b )＝ab ＋2≤12，bf (a )＝b a ＋2≤12， 由于a ，b 为正实数，所以2＋b ≥2a ，2＋a ≥2b ， 两式相加得：4＋a ＋b ≥2a ＋2b ，[ 即a ＋b ≤4，与条件a ＋b >4矛盾， 故af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.(2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)知，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ， 则A 1O 是四棱锥A 1­BCDE 的高． 由图①知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2.从而四棱锥A 1­BCDE 的体积 V ＝13×S ·A 1O ＝13a 2·22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6.。

一、选择题1．已知ABC 的边长分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则2=++Sr a b c ，类比这一结论可知：若三棱锥A BCD -的四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球半径为R ，三棱锥A BCD -的体积为V ，则R =（ ）A ．1234+++VS S S SB ．12342+++VS S S SC ．12343+++VS S S SD ．12344+++VS S S S2．正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ）A ．22005B ．22006C ．20052006+D ．20052006⨯3．类比推理是一种重要的推理方法.已知1l ，2l ，3l 是三条互不重合的直线，则下列在平面中关于1l ，2l ，3l 正确的结论类比到空间中仍然正确的是（ ）①若13//l l ，23//l l ，则12l l //；②若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //；③若1l 与2l 相交，则3l 必与其中一条相交；④若12l l //，则3l 与1l ，2l 相交所成的同位角相等 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④4．将正奇数数列1，3，5，7，9，⋅⋅⋅依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中（ ） A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组5．已知三个月球探测器α，β，γ共发回三张月球照片A ，B ，C ，每个探测器仅发回一张照片.甲说：照片A 是α发回的；乙说：β发回的照片不是A 就是B ；丙说：照片C 不是γ发回的，若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确，则发回照片B 的探测器是（ ） A ．αB ．βC ．γD ．以上都有可能6．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于（ ） A ．243a b π B ．243ab π C ．22a b πD ．22ab π7．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ）A ．1211n n ；+-+B ．211n n -+；C ．21n n -；D ．121n n +-；8．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算”做出了巨大贡献.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命.”比如在下面的部分对数表中，16，256对应的幂指数分别为4，8，幂指数和为12，而12对应的幂4096，因此162564096.⨯=根据此表，推算51216384⨯=（ ）x1 2 3 4 5 6 7 8 9 102x y = 24 8 16 32 64 128 256 512 1024x1112 13 14 15 16 17 18 19 202x y = 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576x21222324252x y = 20971524194304 8388608 16777216 33554432A ．524288B ．8388608C ．16777216D ．335544329．将正整数排列如下：则图中数2020出现在（ ） A ．第64行第3列B ．第64行4列C ．第65行3列D ．第65行4列10．设F 为椭圆的左焦点，A 为椭圆的右顶点，B 为椭圆短轴上的一个顶点，当72AB =时，该椭圆的离心率为12，将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为（）A ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72AB =时，该双曲线的离心率为2 B ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72AB =时，该双曲线的离心率为4 C ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72FB AB =时，该双曲线的离心率为2 D ．设F 为双曲线的左焦点，A 为双曲线的右顶点，B 为双曲线虚轴上的一个顶点，当72FB AB =时，该双曲线的离心率为4 11．下列说法中不正确的是（）A ．命题：“∈，x y R ，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设x ≠1或y ≠1．B ．若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1．C ．若14－，，，，－x y z 成等比数列，则2y =±. D ．命题：“[0,1]∃∈m ，使得12+<m x x”的否定形式是：“[0,1]∀∈m ，总有12m x x+≥”． 12．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.96二、填空题13．已知函数2()42(0)f x x x x =++≥，若1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，*n N ∈，则2020()f x 在[0,1]上的最大值为____________．14．把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小的原则写成如下数表：111351111791113111115172729⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅第k 行有12k -个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为(),A t s ，则()11,4A =________. 15．在如图的数表中，仅列出了前6行，照此排列规律还可以继续排列下去，则数表中第n （3n ≥）行左起第3个数为_______。

高二数学选修 1-2 ?推理与证明?测试题班级姓名学号得分一、选择题： 1、与函数 yx 为不异函数的是〔〕x 2 x 2y e ln xxA.yyy log 2 2B.C.D.x2、下面使用类比推理正确的选项是 〔 〕. A. “假设 a 3 b 3, 那么a b 〞类推出“假设 a 0 b 0 , 那么 a b〞 B. “假设 (a b)c ac bc 〞类推出“ (a b)cacbc 〞a b a bC. “假设 (a b)c ac bc 〞 类推出“〔c ≠0〕〞c c c n n n n n nD. “〔ab 〕 a b 〞 类推出“〔a b 〕 a b 〞3、 有一段演绎推理是这样的： “直线平行于平面 , 那么平行于平面内所有直线；直线b 平面，直线 a平面，直线 b ∥平面，那么直线 b ∥直线 a 〞的结论显然是错误的，这是因为〔〕A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误 1，2，3，4，5，6 时，比拟 2n 2n4、当 和的大小并猜测n〔 〕nn 2 n 3时， 2n n 2 n 5 时， A. n 1时， 2 B. n 4时， 2nn 22nn 2C.D.a c xya,b,c x, ya,b b,c 别离为 和 的等差中项，那么5、设 三数成等比数列，而 〔 〕A ．16、定义运算 : xB． 2 3C．D ．不确定x ( x y)y ( xy), 例如 34 4, 那么以下等式不．能．成．立．的是〔〕yA ． x y y xB ． (x y) z x (y z) 222C ．( xy)xyc (xy) (c x)(c y)c 0 〕〔此中D ． 二、填空题：7、一同学在电脑中打出如下假设干个圈 此规律继续下去 , 得到一系列的圈 , 那么在前 120 个圈中的●的个数是 8、 类比平面几何中的勾股定理：假设直角三角形ABC 中的两边 AB 、AC 互相垂直，那么三角形三边长之间满足: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○● , 假设将此假设干个圈依。

一、选择题1．学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人2．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d ≠，则有2415a a a a >.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若0n b >，公比1q ≠，则关于3b ，5b ，2b ，6b 的一个不等关系正确的是（ ） A ．3526b b b b > B ．5623b b b b > C ．3526b b b b +<+D ．5623b b b b +<+3．曾玉、刘云、李梦、张熙四人被北京大学、清华大学、武汉大学和复旦大学录取，他们分别被哪个学校录取，同学们做了如下的猜想 甲同学猜：曾玉被武汉大学录取，李梦被复旦大学录取 同学乙猜：刘云被清华大学录取，张熙被北京大学录取 同学丙猜：曾玉被复旦大学录取，李梦被清华大学录取 同学丁猜：刘云被清华大学录取，张熙被武汉大学录取结果，恰好有三位同学的猜想各对了一半，还有一位同学的猜想都不对 那么曾玉、刘云、李梦、张熙四人被录取的大小可能是（ ） A ．北京大学、清华大学、复旦大学、武汉大学 B ．武汉大学、清华大学、复旦大学、北京大学 C ．清华大学、北京大学、武汉大学 、复旦大学 D ．武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 4．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（ ） A ．62B ．63C ．64D ．655．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问考试成绩，老师说：你们4人中有2位优秀，2位良好，我给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看完后甲对大家说：我不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道4人的成绩 C ．丁可以知道自己的成绩 D ．丁可以知道4人的成绩6．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20187．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1227N =，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．98．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则 项目积分规则100米跑 以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球 以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分 姓名 100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲 13.3 1.24 11.8乙 12.61.3 11.4 丙 12.91.2611.7丁13.11.2211.6A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了10．已知222233+=，333388+=，44441515+=，⋅⋅⋅，若66n nm m+=（m 、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（ ）A ．40B ．41C ．42D ．4311．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.9612．现有A B C D 、、、四位同学被问到是否去过甲，乙，丙三个教师办公室时，A 说：我去过的教师办公室比B 多，但没去过乙办公室；B 说：我没去过丙办公室；C 说：我和A B 、去过同一个教师办公室；D 说：我去过丙办公室，我还和B 去过同一个办公室.由此可判断B 去过的教师办公室为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．不能确定 二、填空题13．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .14．若ABC 的三边之长分别为a 、b 、c ，内切圆半径为r ，则ABC 的面积为()2r a b c ++.根据类比思想可得：若四面体A BCD -的三个侧面与底面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________.15．设,a b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >. 其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________． 16．观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________.17．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为____ 18．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________19．某大学进行自主招生时,需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示:得出下面四个结论:①甲同学的逻辑排名比乙同学的逻辑排名更靠前②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前 ③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中,甲同学更靠前 ④甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前 则所有正确结论的序号是_________.20．刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数式12122+++⋅⋅⋅是一个确定值x (数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式x =，则12x x+=，即2210x x --=，解得12x =正数得21x =.666+++⋅⋅⋅=_____________.三、解答题21．已知正三角形ABC 的边长是a ，若O 是ABC △内任意一点，那么O 到三角形三边的距离之和是定值32a .这是平面几何中一个命题，其证明常采用“面积法”.如图，设O 到三边的距离分别是OD 、OE 、OF ，则111222S a OD a OE a OF =⋅+⋅+⋅=11()22a OD OE OF a h ⋅++=⋅,h 为正三角形ABC 的高32a ，即32OD OE OF a ++=.运用类比法猜想，对于空间正四面体，存在什么类似结论，并用“体积法”证明.22．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①22sin 30cos 60sin30cos60︒+︒+︒︒； ②22sin 15cos 45sin15cos 45︒+︒+︒︒； ③22sin 20cos 50sin 20cos50︒+︒+︒︒； ④22sin (18)cos 12sin(18)cos12-︒+︒+-︒︒； ⑤22sin (25)cos 5sin(25)cos5-︒+︒+-︒︒.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论. 23．某同学在一次研究性学习中，发现以下五个式子的值都等于同一个常数. （1）22sin 10sin 70sin10sin 70︒+︒-︒︒ （2）22sin 20sin 80sin 20sin80︒+︒-︒︒ （3）22sin 30sin 90sin30sin90︒+︒-︒︒（4）()()22sin13sin 47sin 13sin 47-︒+︒--︒︒ （5）()()()()22sin 78sin 18sin 78sin 18-︒+-︒--︒-︒（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明该结论. 24．下面（A ），（B ），（C ），（D ）为四个平面图形：（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整；（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,E F G ，试猜想,,E F G 之间的数量关系（不要求证明）.25．已知()33xf x =+,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论. 26．设0a >，0b >，且11a b a b+=+. 证明：(1) 2a b +≥；(2) 22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：用,,A B C 分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A 的学生最多只有1个，语文成绩得B 也最多只有1个，得C 的最多只有1个，因此人数最多只有3人，显然(),(),()AC BB CA 满足条件，故选B ．考点：合情推理的应用．2．C解析：C 【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式及性质逐一计算判断即可. 【详解】在等比数列{}n b 中，0n b >，公比1q ≠，0q ∴>，即01q <<或1q >， 在A 中，3526b b b b =，故A 错误；在B 中，29561b b b q =，23231b b b q =，故当01q <<时，5623b b b b <，当1q >时5623b b b b >，故B 错误；在C 中，()3351b b b q q q+=+，()42611b b b q q +=+，而()()()()()()243332111110q q q q q q q q q +-+=---=-++>，得431qq q +>+，故3526b b b b +<+，故C 正确；在D 中，()45611b b b q q +=+，()2311b b b q q +=+，故当01q <<时，5623b b b b +<+，当1q >时5623b b b b +>+，故D 错误.故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于中档题.3．D解析：D 【分析】推理得到甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，得到答案. 【详解】根据题意：甲对了前一半，乙对了后一半，丙对了后一半，丁全错，曾玉、刘云、李梦、张熙被录取的大学为武汉大学、复旦大学、清华大学、北京大学 （另外武汉大学、清华大学、北京大学、复旦大学也满足）. 故选：D . 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力.4．B解析：B 【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2， 第二组最后一个数是5=2+3， 第三组最后一个数是9=2+3+4，……， 依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案. 【详解】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩，乙、丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩，若为两良，甲也会知道自己的成绩）；乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩； 丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，【点睛】该题是一道逻辑推理的题目，掌握此类题目的推理方法是解题的关键.6．A解析：A 【分析】通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果. 【详解】根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12n a n n +=由14254556,,22b b a a ⨯⨯==== 394109101011,22b b a a ⨯⨯==== …可得()215512k k k b --=所以()19510510112252b ⨯⨯⨯-==故选：A 【点睛】本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题，7．B解析：B 【分析】根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】根据题意，121925925352M lg lg =⊗=+=+， 13112()232727N lg -===+，则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。