《数字信号处理》第6章课后作业答案
6.1
（1）已知IIR 数字滤波器的系统函数为 (1) 232
164016
()81061
z H z z z z -+=-+- 试写出滤波器的差分方程，并分别画出直接I 型、直接Ⅱ型、转置直接Ⅱ型、级联型和并联型结构图。
解:经化解原式可得：123
123252()5311448
z z z H z z z z -------+=-+-
直接I 型：
直接Ⅱ型:
级联型：
注意，对于级联型，一定要化成负幂次，再写系数！
经对原式进行分解得：
112
1
1
221 2.5()110.2512
z z z H z z z z
-------+=⨯--+
并联型： 注意：系数b,a 是
()
H z z
的系数！ b=[0,0,16,-40,16]; a=[8,-10,6,-1,0]; [K,z,d]=residue(b,a) KK1=[K(1),K(2)]; zz1=[z(1),z(2)];
[b2,a2]=residue(KK1,zz1,0) 经原式分解得:
1
112
11.2 4.8 5.6()1610.2510.5z H z z z z -----=-++--+
6.4
Matlab 程序： clear; fp=5000; wp=2*pi*fp; fs=10000; ws=2*pi*fs; ap=3; as=30;
[N,wc]=cheb1ord(wp,ws,ap,as,'s'); [B,A]=cheby1(N,ap,wc,'s') freqs(B,A);
系统函数：17
43921317
1.220510()18271 1.153910 1.25510 1.72410H s s s s s ⨯=++⨯+⨯+⨯
图：
6.6试设计一个巴特沃斯型模拟带通滤波器，并用Matlab 验证结果，要求带宽为200Hz ，中心频率为1000Hz ，通带内衰减不大于3dB,在频率小于830Hz 或大于1200Hz 处的衰减不小于25dB. 解：
（1） 模拟带通滤波器的技术指标要求为：
BW Ω=400πrad/s; 0Ω=2210πrad/s;
p α=3dB; s α=25dB;
因为：ph pl Ω-Ω=400π；ph pl Ω∙Ω=4000000π2； 所以可得：ph Ω=2210πrad/s; pl Ω=1810πrad/s; sh Ω=2400πrad/s; pl Ω=ll1810πrad/s; (2) 归一化频率为： 2210
5.525;400ph ph BW
ηΩ=
=
=Ω 1810 4.525;400
pl pl BW ηΩ===Ω 24006;400sh sh BW ηΩ=
==Ω 1660
4.15;400
sl sl BW ηΩ===Ω 2
025;
s h s l ηηη=
= （3）归一化原型模拟低通滤波器()a G p 的技术指标要求为：
1;p λ= 2
222
00min sh sl s sh
sl ηηηηληη⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦， ；s λ=1.83；
（4）设计归一化原型低通滤波器：()a G p
0.11
0.12101lg 101 4.762;2lg (10
1) 1.029;
p s s
s N
s N ααλλλ-⎛⎫
- ⎪-⎝
⎭≥-==-=c 所以 N=5;
（5）查表得： 2345
1
()1 3.3261 5.236 5.2361 3.2361an G u u u u u u =+++++
（6）
()()c
a a n p
u G p G u λ=
= （7）
2()()()
ph pl ph pl
a s p s Ha s G p Ω-Ω=
+ΩΩ=
Matlab程序：
fp=[905,1105];
fs=[830,1200];
wp=2*pi*fp;
ws=2*pi*fs;
ap=3;
as=25;
[N,wc]=buttord(wp,ws,ap,as,'s'); %巴特沃斯型模拟带通滤波器[B,A]=butter(N,wc,'s');
f=500:1500;
w=2*pi*f;
H=freqs(B,A,w);
subplot(2,1,1);
plot(f,20*log10(abs(H)));
grid on;
axis([500,1500,-80,5]);
xlabel('f/Hz');
ylabel('幅度/dB');
subplot(2,1,2);
plot(f,angle(H));
grid on;
axis([500,1500,-5,5]);
xlabel('f/Hz');
ylabel('相位/dB');
6.7 解：
0.1T s =;
112
()(2)(3)23
a s H s s s s s +-=
=+
++++; 122;3;s s ∴=-=-
23122131
(),,2()11T T T T H z z e z e T T
H z e Z e Z ------==-∴=+
--所以相应的的极点为
Matlab 程序： clear; b=[1,1]; a=[1,5,6]; Fs=10;
[B,A]=impinvar(b,a,Fs); [H,w]=freqz(B,A,'whole'); plot(w/pi,20*log10(abs(H)));
6．8试用双线性变换法设计一个巴特沃斯型低通数字滤波器，并用matlab ，验证结果，给定技术指标为100,300,3,20,p s p s f Hz f Hz dB dB αα====采样频率为1000Hz 。 解： (1) 数字低通滤波器的技术指标要求为
222006000.2/;0.6/;10001000
p s p s T
T f f w rad s w rad s f f πππ
πππ=
=
====
3;20;1;p s dB dB T ms αα===
采用双线性变换法，相应的模拟低通滤波器的技术指标为：
20.2tan 21000tan 649.84/;22
20.6tan 21000tan 2752.764/;223;20;p p s s p s w rad s T w rad s T dB dB ππ
ααΩ=
=⨯⨯=Ω==⨯⨯===
（2） 设计对应摸拟滤波器并求其指标
