高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程学案苏教版选修
- 格式：doc
- 大小：168.00 KB
- 文档页数：11
2．3.1双曲线的标准方程学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一双曲线的定义思考已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|x＋52＋y2－x－52＋y2|＝6；(2)x＋42＋y2－x－42＋y2＝6.梳理把平面内与两个定点F1，F2距离的________________等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做________________，________________叫做双曲线的焦距．知识点二双曲线的标准方程思考1双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？思考2如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使OB＝b吗？梳理焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距F 1F 2＝2c ，c 2＝a 2＋b 2类型一求双曲线的标准方程 例1求下列双曲线的标准方程：(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)过点P (3，154)，Q (－163，5)，且焦点在坐标轴上．反思与感悟待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k＝1(－b2＜k ＜a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 跟踪训练1根据条件求双曲线的标准方程： (1)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上； (2)经过点P (4，－2)和点Q (26，22)；(3))已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)．类型二由方程判断曲线的形状例2已知0°<α<180°，当α变化时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？反思与感悟像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的功能：①定型：以x 2和y 2的系数的正负来确定；②定量：以a 、b 的大小来确定．跟踪训练2已知曲线x 216－m －y 2m＝1.(1)当曲线为椭圆时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标； (2)当曲线为双曲线时，求m 的取值范围，并写出焦点坐标．类型三双曲线的定义及应用命题角度1焦点三角形问题例3(1)如图，已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，点A ，B 均在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，AB ＝m ，F 1为双曲线的左焦点，则△ABF 1的周长为________．引申探究在本例(2)中，若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积．(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________． 反思与感悟求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF 1－PF 2|＝2a ； ②利用余弦定理表示出PF 1，PF 2，F 1F 2之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出PF 1·PF 2的值； ④利用公式12PF F S＝12×PF 1·PF 2sin∠F 1PF 2求得面积． (2)方法二：利用公式12PF F S＝12×F 1F 2×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积． 特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF 1－PF 2|＝2a 的变形使用，特别是与PF 21＋PF 22，PF 1·PF 2间的关系．跟踪训练3已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左，右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则PF 1·PF 2＝________.命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例4已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．反思与感悟定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时，要注意常数与两定点间距离的大小问题． (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．跟踪训练4设F 1，F 2是双曲线x 24－y 245＝1的左，右焦点，P 是双曲线左支上一点．若PF 1、PF 2、F 1F 2成等差列，且公差大于0，则∠F 1PF 2＝________.1．已知双曲线中的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________________________．2．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a ＝________.3．若方程x 210－k ＋y 25－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________． 4．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左，右焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．5．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)； (3)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的顶点为焦点，且过(3，10)．1．在双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a(2a<F1F2)，不要漏了绝对值符号，当2a＝F1F2时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解．提醒：完成作业第2章2.32.3.1答案精析问题导学 知识点一 思考(1)∵|x ＋52＋y 2－x －52＋y 2|表示点P (x ，y )到两定点F 1(－5,0)、F 2(5,0)的距离之差的绝对值，F 1F 2＝10， ∴|PF 1－PF 2|＝6<F 1F 2， 故点P 的轨迹是双曲线． (2)∵x ＋42＋y 2－x －42＋y 2表示点P (x ，y )到两定点F 1(－4,0)、F 2(4，0)的距离之差，F 1F 2＝8， ∴PF 1－PF 2＝6<F 1F 2，故点P 的轨迹是双曲线的右支．梳理差的绝对值双曲线的焦点两焦点间的距离 知识点二思考1在双曲线标准方程中，x 2与y 2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x 2的系数为正时，焦点在x 轴上；当y 2的系数为正时，焦点在y 轴上，而与分母的大小无关． 思考2以双曲线与x 轴的交点A 为圆心，以线段OF 2为半径画圆交y 轴于点B ，此时OB ＝b .题型探究例1解(1)方法一椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.方法二由椭圆方程x 216＋y 225＝1知，焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．因为双曲线过点(－2，10)， 所以1025－λ－4λ－16＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)因为双曲线经过点M (0,12)，所以M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，所以c ＝13， 所以b 2＝c 2－a 2＝25. 所以双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． 因为点P (3，154)，Q (－163，5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.故所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.跟踪训练1解(1)设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2. 由题意知25a 2－4b 2＝1，∴25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍)．∴b 2＝1.∴双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵点P (4，－2)和点Q (26，22)在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝1，24m ＋8n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝－14，∴双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1. (3)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.例2解(1)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1. ①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，方程表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆．(2)当α＝90°时，方程为y 2＝1.方程表示两条平行直线y ＝±1. (3)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，方程表示焦点在y 轴上的双曲线． 跟踪训练2解(1)当曲线为椭圆时，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－m >0，－m >0，16－m ≠－m ，解得m <0，即m 的取值范围为(－∞，0)．此时，椭圆的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4,0)． (2)当曲线为双曲线时，依题意得(16－m )m >0， 解得0<m <16，即m 的取值范围为(0,16)．此时，双曲线的焦点在x 轴上，焦点坐标为(±4,0)．例3(1)4a ＋2m (2)16 3 引申探究解由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5. 由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ＝6， 所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36.① 在Rt△F 1PF 2中，由勾股定理， 得PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c )2＝100.② 将②代入①，得PF 1·PF 2＝32. 所以12F PF S＝12PF 1·PF 2＝16. 跟踪训练34例4x 2－y 28＝1(x ≤－1)跟踪训练4120° 当堂训练1.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝12.1 3．(5,10)4.245．解(1)由题设知，a ＝3，c ＝4. 由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上． 因为点A (－5,6)在双曲线上， 所以2a ＝|－5－02＋6＋62－－5－02＋6－62|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.(3)由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．则有a 2＋b 2＝c 2＝8.因为过点(3，10)， 所以9a 2－10b2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.x2 3－y25＝1.所以所求双曲线的标准方程为。
