应力波理论复习资料

复习内容： 概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；

主要内容： 一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。

解:

在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图,截面X上作用有总力F(X,t),截面X+dX上作用有总力F(X+dx,t),有

dXXtXFtXFdXXF),(),()( 根据牛顿第二定律,有 dXXtXFtXFdXXFdXAtvOo),(),()( 解之,有 dXtvAdXXtXF

00),(

而0),(AtXF,故上式可以化为

Xtv0 (a)

对于一维应力纵波,)( 连续可微,记

d

dC01

则 dCd20 代入(a)式,可得

XCtv2 (b)

X+dX X F(X+dX,t) F(X,t) X

dX 因为tuv,Xu,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方程:

022222XuCt

u

二、 用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系 (1)0)(02xcxvvtvxvxvt 解:对一阶偏微分方程组进行线性组合, ①×λ+②其中为待定系数,整理可得: 0)()(2tvXvvtXcv (a)

根据特征线求解方法,特征线特征方程为

vcvdtdx

2)(

解之,得c, cvdtdx)(,即特征线的微分方程为: dtcvdx)( 将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有

0)()(2tvXvvtX

cv

即 0dtdvdtd 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为: dvcdvd

(2)0)1(0)1(2xcxvvtvxvxvt 解: 对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②，其中为待定系数,整理可得: 0])1([])1([2tvxvvtxcv (a)

根据特征线求解方法,特征线特征方程为

1)1()1()(2vcvdtdx

 解之,得c, cvdtdx)1()(,即特征线的微分方程为: dtcvdx])1([ 将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有

0)1()1(2tvxvv

tx

cv

即 0dtdvdtd 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为: cdddv

(3) 0)(022rcrvvtvrvrvrvt 对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+ ②×λ，其中为待定系数,整理可得: 02)(][2rvtvrvvtrcv (a)

根据特征线求解方法,特征线特征方程为

vcvdtdr

1)(2

解之,得c1, cvdtdr)(,即特征线的微分方程为: dtcvdr)( 将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有

021][2rvtvrvvtrcv

即 02rvdtdvdtd 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为: 02dtrvdvcd

(4) 0101020XttCX 解: 对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，其中为待定系数,整理可得: 200

10XtXCt

 (a)

根据特征线求解方法,特征线特征方程为 020

()11dXdtC

解之,得1C, ()dXCdt,即特征线的微分方程为: dXCdt 将其积分即可得到特征线方程。 由(a)式,整理有

01)1(220txCCtx





即 0120dtdCdtd 将值代入上式,可得特征线上的相容关系为: dCdCd02011

三、 用特征线法求解波的传播。 设半无限长弹性杆初始状态为,)0,(X,)0,(vXv,)0,(Xt=0时刻杆左端

X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为)(),0(0vtv,用特征线法求解(X,t)平面上AOX和Aot区域的物理量。 解:

OA为经O(0,0)点作的右传波的特征线,将(X,t)平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的AOX区和弹性波已传到的Aot区。 对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于:







dvCddCdvdtCdX

0000

 引入积分常数1、2、、、1K、2K后,可写成 右行波有: 0101001XCtvCCvK 左行波有: 0102002XCtvCCvK (1) AOX区 在该区任一点P,作正向特征线PQ和负向特征线PR,分别交OX轴于Q点和R点,沿着特征线PQ和PR分别有

001002(1)(2)PPQQPPRRvCvCvCvC 0000100002PPQQPPRR

CvCvKCvCvK







由（1）（2）可得：0001()()21()()2PQRRQPRQRQvvvCvvCC

由初始条件,有QR,,)0,(vXv,)0,(X则可解得ppPvv 由于P点位AOX区域中的任意点,因此该解适合用于整个AOX区。 (2) 对于Aot区 该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点,负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点,沿着特征线BC、BD和CE分别有

001002BBCCBBDDvCvCvCvC 000011000022BBCCBBDD

CvCvkCvCvk



0030000023CCEECCEE

vCvCvCCvCvk





沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值,即有 ED,EDvv,

ED

此外,Cv由边界条件已给出,即)(0vvc 于是可解得







)]([)()(000000vvCvvvCvv

CBCBCB 可以看出,在时刻,施加于杆端部的扰动)(0v和C以0C的速度沿杆传播,并且沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。 特征线BC的特征方程可表示为0()XCt,则有0CXt。 由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为









)()()(000000000CXtvvC

CXtvv

CCXtvv



四、 波形曲线和时程曲线 一线性硬化材料半无限长杆0X，应力应变关系如图所示，其中310100,/25,200,4/EGPaEEYMPagcm。在杆的左端0X处施加如图所示

的载荷。 （1）画出Xt图；（2）画出0.4mst时刻的波形曲线； （3）画出0.5Xm位置的时程曲线。

解：半无限长杆中弹性波波速：1130301.010510m/s4.010EC 塑性波速：3110001110m/s255EECC 产生塑性波的速度8330021010m/s410510YYvC，时间0.1msYt。（图上把关键点的坐标表示清楚，Xt图、波形图和时程图尽量画在一起）

20 Y



E 1E



()vms

tms O 0.2