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2 一维应力波理论 2.1-2.5

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固体中的应力波

固体中的应力波

固体中的应力波李清中国矿业大学（北京）参考书：1 王礼立. 《应力波基础》第2版(2005年8月1日)，国防工业出版社2 李玉龙. 《应力波基础简明教程》第1版 (2007年4月1日)，西北工业大学3 丁启财(美国). 《固体中的非线性波》，中国友谊出版公司4 宋守志. 《固体中的应力波》，煤炭工业出版社5 杨善元. 《岩石爆破动力学基础》，煤炭工业出版社6 莱茵哈特(杨善元译). 《固体中的应力瞬变》，煤炭工业出版社7 徐小荷. 《冲击凿岩的理论基础与电算方法》，东工出版社8 郭自强. 《固体中的波》，地震出版社目录第0章绪论 (1)1 波动现象 (1)2 应力波的概念 (1)3 应力波分类 (3)4 应力波理论与其它力学理论的关系 (3)5 应力波理论的发展 (3)6 应力波理论在岩土工程中的应用 (3)第1章一维应力波基础 (4)§1.1波动方程及其解 (4)1.1.1 一维纵波的波动方程 (4)1.1.2 波的传播速度 (4)1.1.3 波动方程的解 (5)1.1.4 解的物理意义 (6)§1.2 应力波的几个基本参量 (7)§1.3 应力波的能量 (7)§1.4 波的衰减 (8)1.4.1 原因 (8)1.4.2 度量 (8)1.4.3 衰减率α的测定 (9)§1.5 考虑杆的横向效应的波动方程 (10)§1.6 杆中的扭转波与弯曲波 (12)1.6.1 扭转波 (12)1.6.2 弯曲波 (13)第2章二维和三维弹性波理论基础 (14)§2.1 弹性体的运动微分方程 (14)§2.2 弹性体的无旋波与等容波 (15)2.2.1 无旋波(纵波、P波) (15)2.2.2 等容波(横波、S波) (16)§2.3 平面波的传播 (17)2.3.1 平面纵波(V//c) (17)2.3.2 平面横波(V⊥c) (18)§2.4 薄板中的应力波 (19)2.4.1 控制方程 (19)2.4.2 纵波 (20)2.4.3 横波 (21)2.4.4 各种波速关系 (21)§2.5 球面波 (22)2.5.1 波动方程及其解 (22)§2.6 柱面波 (23)第3章应力波的相互作用 (24)§3.1 一维应力波在界面的反射和透射 (24)3.1.1 应力波在不同介质界面的反射和透射 (25)3.1.2应力波在变截面杆中的反射和透射 (26)§3.2 两杆相撞的入射波 (27)§3.3 传播图与状态图 (29)3.3.1传播图 (29)3.3.2 状态图 (30)§3.4 弹性杆中波的传播（图解法举例） (32)3.4.1 冲锤撞击杆件应力波的传播 (32)3.4.2 双圆柱活塞撞击钎杆应力波传播 (33)§3.5 平面波的边界效应 (36)3.5.1 平面波在界面上的垂直入射 (36)3.5.2 平面波在界面上的倾斜入射 (37)§3.6 应力波引起的破裂 (39)3.6.1金属丝冲击波拉伸断裂 (39)3.6.2 Hopkinson压杆与飞片 (41)3.6.3 断裂准则 (41)3.6.4 简单反射拉伸波引起的层裂或剥裂 (42)3.6.5 物体形状对应力波引起破裂的影响 (45)§3.7 冲击波基本问题 (45)第4章固体中的非线性波基础 (48)§4.1 弹塑性加载波及其相互作用 (48)4.1.1 强间断弹塑性波的迎面加载 (48)4.1.2弱间断弹塑性波的迎面加载 (50)§4.2 卸载波的控制方程和特征线 (51)第5章岩石动态力学性质与应力波的相互作用 (53)§5.1 岩石动态本构关系与动态强度 (53)§5.2 岩石动态力学参数测试 (54)§5.3 本构关系对应力波传播的影响 (54)§5.4 应变率相关的应力波理论 (55)5.4.1 Voigt体 (55)5.4.2 Maxwell体 (55)第6章应力波在岩土工程中的应用 (55)§6.1 应力波在冲击凿岩中的应用 (55)6.1.1 冲击凿岩的应力波的传递 (55)6.1.2 凿岩机的凿入机理 (55)6.1.3 入射波形对凿入效果的影响 (56)6.1.4 冲击凿岩的破坏原理 (56)§6.2 应力波在爆破工程中的应用 (56)§6.3 应力波在土动力学中的应用 (56)6.3.1绪论 (56)6.3.2 土的动应力-应变关系及其描述 (58)§6.4 应力波在地震工程学的应用 (58)第7章应力波测试分析技术简介了解 (60)§7.1 膨胀环测试技术 (60)§7.2 Hopkinson杆测试技术 (60)§7.3 Taylor圆柱测试技术 (61)§7.4 高速冲击载荷的实验技术 (61)第0章 绪论1 波动现象波动现象：水波、声波、电磁波、光波等。

2 一维应力波理论 21-

2 一维应力波理论 21-

在空间坐标系中有:
d c d t t x W x t
d (2-3-8) dt t v x
在物质坐标系中有：
d C t t X d W X t
Ψ = F (X ,t ) = f (ｘ,t )
(2-2-3)
18
2.2 物质坐标和空间坐标
描述同一物理量Ψ ，既可以用物质坐标也可以用空间坐标 来进行描述，二者还可以进行转换。 （1）物质坐标系中描述的物理量 物理量 由（2-2-2）、（2-2-3）式， 空间坐标系中描述的
f (ｘ,t ) = F [X（ｘ,t）, t ]
描述的是某一个质点的运动
dx x v t X dt
物质波速和空间波速都是对同一个应力波的传播速度的
描述，但由于选择的坐标不同，其数值一般是不相同的， 除非波阵面前方介质是静止且无变形的。
24
2.3 时间微商与波速
随波微商：
随着波阵面来观察物理量Ψ 对时间t的变化率。根据坐标系的不 同，有两种表达式，即
空间波速（Euler波速）： 在空间坐标中来观察应力波的传播，设在t时刻波阵面传 播到空间点x处，以表示波阵面在空间坐标中的传播规律，则 空间波速（Euler波速）可表示为： dx (2-3-7) c (t) dt W
23
2.3 时间微商与波速
物质波速和空间波速描述的是波阵面传播，而质点速度
x 上式中， t 是质点X 的空间位置对时间的物质微商，也就是 X
质点X的运动速度，即有：
dx x v t X dt d
dt t v x
(2-3-3)

应力波基础-第二章 一维杆中应力波初等理论(转)

应力波基础-第二章 一维杆中应力波初等理论(转)
17
思考：2.5章 思考：2.5章：空间坐标描述的控制方程
m( x ) v ( x )
m( x ) v 2 ( x )
x
m( x + dx)v( x + dx)
m( x + dx)v 2 ( x + dx)
p( x)
p ( x + dx)
dx
x
空间坐标
ρ0 A0 1+ ε
假定：等截面
M = ρ Adx = ρ 0 A0 dX
质量守恒： 动量守恒：
x x + dx 均质 细长杆
dx = (1 + ε )dX
引入线密度：m = ρ A =
空间坐标 描述的控 制方程
18Leabharlann 特征线法一阶P.D.E : au x + bu y = c 方程中a,b,c仅是x,y,u的特征函数。上述 P.D.E为拟线性P.D.E。方程的解为：u=u(x,y).
dX C= 物质波速 dt
dψ dt dψ dt
=
W
∂ψ ∂t
+c
x
∂ψ ∂x ∂ψ ∂X
（2.8）
t
（2.6）
物质坐标中的随波微商：
W
设t时刻波阵面传到空间点x处:
=
W
dx （2.7） c= 空间波速 当 ψ = x( X , t ) dt W
∂ψ ∂t
+C
X
（2.9）
t
c = v + (1 + ε )C
（2.18）
P.D.E也可写成另一种形式：
(u , u
x
即：
y
,−1)• ( a, b, c) = 0

应力波基础

应力波基础

第一章绪论物体在爆炸/冲击载荷下的力学响应往往与静载荷下的有显著不同。

例如，飞石打击在窗玻璃上时往往首先在玻璃的背面造成碎裂崩落。

碎甲弹对坦克装甲的破坏正类似于此。

又如，对一金属杆端部施加轴向静载荷时，变形基本上是沿杆均匀分布的，但当施加轴向冲击载荷时(如打钎，打桩……)，则变形分布极不均匀，残余变形集中于杆瑞。

子弹着靶时，变形呈蘑菇状也正类似于此。

固体力学的动力学理论的发展正是与解决这类力学问题的需要分不开的。

为什么在爆炸/冲击载荷下会发生诸如此类的特有现象呢？为什么这些现象不能用静力学理论来给以说明呢？固体力学的动力学理论与静力学理论的主要区别是什么呢？首先，固体力学的静力学理论研究处于静力平衡状态下的固体介质，以忽略介质微元体的惯性作用为前提。

这只是在载荷强度随时间不发生显著变化的时候，才是允许和正确。

而爆炸/冲击裁荷以载荷作用的短历时为其特征，在以毫秒（ms）、微秒（μs）甚至毫微秒纳秒（ns）计的短暂时间尺度上发生了运动参量的显著变化。

例如核爆炸中心压力可以在几μs内突然升高到107 ～108 大气压（103～104 GPa）量级；炸药在固体表面接触爆炸时的压力也可在几微秒内突然升高到105大气压（10 GPa）量级；子弹以102～103 m/s的速度射击到靶板上时，载荷总历时约几十μs，接触面上压力可高达104～105大气压（1～10 GPa）量级。

在这样的动载荷条件，介质的微元体处于随时间迅速变化着的动态过程中，这是一个动力学问题。

对此必须计及介质微元体的惯性，从而就导致了对应力波传播的研究。

事实上，当外载荷作用于可变形固体的某部份表面上时，一开始只有那些直接受到外载荷作用的表面部份的介质质点离开了初始平衡位置。

由于这部分介质质点与相邻介质质点之间发生了相对运动（变形），当然将受到相邻介质质点所给予的作用力（应力），但同时也给相邻介质质点以反作用力，因而使它们也离开了初始平衡位置而运动起来。

应力波

应力波

编辑炸药在土岩介质中爆炸时，其冲击压力以波动形式向四外传播，这种波统称为应力波。

当应力与应变呈线性关系时，介质中传播的是弹性波；呈非线性关系时，为塑性波和冲击波。

目录1基本介绍2描述分类▪速率无关材料中的应力波▪卸载波▪速率相关材料中的应力波3反射透射▪反射和透射▪反射断裂4研究简史5发展趋势1基本介绍编辑应力和应变扰动的传播形式。

在可变形固体介质中机械扰动表现为质点速度的变化和相应的应力、应变状态的变化。

应力、应变状态的变化以波的方式传播，称为应力波。

通常将扰动区域与未扰动区域的界面称为波阵面，波阵面的传播速度称为波速。

地震波、固体中应力波相关图书的声波和超声波等都是常见的应力波。

应力波的研究同地震、爆炸和高速碰撞等动载荷条件下的各种实际问题密切相关。

在运动参量不随时间变化的静载荷条件下，可以忽略介质微元体的惯性力，但在运动参量随时间发生显著变化的动载荷条件下，介质中各个微元体处于随时间变化着的动态过程中，特别是在爆炸或高速碰撞条件下，载荷可在极短历时（毫秒、微秒甚至纳秒量级）内达到很高数值（1010、1011甚至1012帕量级），应变率高达102～107秒-1量级，因此常需计及介质微元体的惯性力，由此导致对应力波传播的研究。

对于一切具有惯性的可变形介质，当在应力波传过物体所需的时间内外载荷发生显著变化的情况下，介质的运动过程就总是一个应力波传播、反射和相互作用的过程，这个过程的特点主要取决于材料的特性。

应力波研究主要集中在介质的非定常运动、动载荷对介质产生的局部效应和早期效应以及载荷同介质的相互影响（见冲击载荷下材料的力学性能），研究时需要考虑材料在高应变率下的动态力学性能和静态力学性能的差别。

问题的复杂性在于，应力波分析是以已知材料动态力学性能为前提的，而材料动态力学性能的实验研究又往往依赖于应力波的2描述分类编辑应力波波速的描述与参考坐标系的选择有关，若以X表示在物质坐标中波阵面沿其传播方向的位置，t表示时间，则C=dX/dt称为物质波速或内禀波速。

应力波理论简述

应力波理论简述

v1
v0
1 0 1C1
v2
v0
2 0 2C2
反射波：
v2
v1
2 1 1C1
(20)-(21)，并考虑(19):
(19) (20) (21)
跨越入射波阵面 动量守恒
跨越透射波阵面 动量守恒
跨越反射波阵面 动量守恒
1 0 1C1
v1 v0
2 0 2C2
2 1 1C1
(22)
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
(18) a (18) b
应力波基础
5 弹性波在两种介质界面上的透反射
k 2C2 1 1C1
应力波从低阻抗介质向高阻 抗介质传播
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
k 2C2 1 1C1
应力波从高阻抗介质向低阻 抗介质传播
应力波基础 5 弹性波在两种介质界面上的透反射
入射波： 透射波：
0
由于：E > E1，显然：
Ce Cp De Dp
当将之由自然静止状态
突然加至 *( Y )
的应力撞击：
双波结构：弹性前 驱波。
应力波基础 3 弹塑性波
对于一维应变： 如：板与板的面撞击
应力波基础 3 弹塑性波
体应变： 偏应变：
一维应变
x y z
x
x'
x
3
2 3
x
一维应变
静水压力： K K x
3 弹塑性波
如果材料是双线性弹 塑性材料
弹性模量 塑性模量
E d d
E1
d d
应力波基础
应力波基础 3 弹塑性波
① 对撞击应力小于弹性屈服限Y的撞击，则D，C都为常数， 都等于：

一维应力波理论



v t


D2


X


X12)

D
1
[] X
0 [ ]
X
(2-8-13)
MSE
2.8 波阵面上的守恒条件
讨论：
（1）波阵面上运动学的相容条件和动力学的相容 条件，在推导时未涉及材料的物性，因此其结果对 任何连续介质中的表面波一概成立。
（2-9-1） （2-9-2）

uY

Y X
Y
uX ( X ,t) X
uZ

Z X

（ Z2-u9X -(3X）,t)
X
MSE
2.9 横向惯性引起的弥散效应
取杆横截面中心为横向坐标 Y 和 Z 的原点，可得横向运
动的质点速度和加速度分别为：
uuZY
量为 (X，,t)设波阵面之前和之后的ψ值分别表示为 和 ，
则波阵面前后参量的变化值表示为：
[ ]
(2-8-1)
如果ψ在波阵面上连续，有 [ ] 0，有间断则 [ ] 0 ，
用 [ ]表示物理量在波阵面前后的差值，即突跃值。
考察物理量对时间的变化率，即随波微商有：

Y X Z X

vY
uY t
Y X
t
Y vX
X
vZ
uZ t
Z X
t
Z vX
X
（2-9-4）
aY

vY t
Y
2 X
t 2
Y
2vX X t
Y
aX X

v t

应力波理论复习资料

复习内容：概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot 弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；主要内容：一、Lagrange 方法推导一维应力纵波的波动方程。

解:在Lagrange 坐标中建立图示一维应力波长度为dX 的微元的受力图,截面X 上作用有总力F(X,t),截面X+dX 上作用有总力F(X+dx,t),有dX Xt X F t X F dX X F ∂∂+=+),(),()(根据牛顿第二定律,有dX Xt X F t X F dX X F dX A t v O o ∂∂=-+=∂∂),(),()(ρ 解之,有dX t vA dX X t X F ∂∂=∂∂00),(ρ 而0),(A t X F σ=,故上式可以化为Xt v ∂∂=∂∂σρ0(a) 对于一维应力纵波,)(εσ 连续可微,记εσρd d C 01=则 ερσd C d 20= 代入(a)式,可得XC t v ∂∂=∂∂ε2 (b)因为t u v ∂∂=,Xu ∂∂=ε,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange 坐标系中的波动方程:022222=∂∂-∂∂Xu C t u 二、 用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂0)(02x c x v v tv xv x v t ρρρρρ解:对一阶偏微分方程组进行线性组合, ①×λ+②其中λ为待定系数,整理可得:0)()(2=∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+tvX v v t X c v ρρλρρλρλ (a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为ρρλρλλv c v dt dx +=+=Γ2)( 解之,得c ±=λ, c v dtdx±=Γ)(,即特征线的微分方程为: dt c v dx )(±=将其积分即可得到特征线方程。

一维应力波理论


量为 (X，,t)设波阵面之前和之后的ψ值分别表示为 和 ，
则波阵面前后参量的变化值表示为：
[ ]
(2-8-1)
如果ψ在波阵面上连续，有 [ ] 0，有间断则 [ ] 0 ，
用 [ ]表示物理量在波阵面前后的差值，即突跃值。
考察物理量对时间的变化率，即随波微商有：


D
2
X t


D2
2

X
2

MSE
2.8 波阵面上的守恒条件
如果波阵面上运动学相容条件的通式中的ψ用位移u来代
替，根据位移连续条件，显然有 [u] 0

t


D


X

对于冲击波（一阶奇异面）波阵面，ψ用位移u来代替，
和二阶导数发生间断情况下波阵面上运动学相容条件的通式。
以此类推，还可得到更高阶奇异面上的运动学相容条件。如
果是对于左行波，相应的关系式只需用-D替代D即可。
d dt
[
]



t


D


X



t


D


X


2
t 2
dt


t


D

X

此即著名的Maxwell定理。
(2-8-4)
强间断：如果位移函数u的一阶导数间断 弱间断：如果函数u及其一阶导数皆连续，但其二阶导数等发生间断
MSE
2.8 波阵面上的守恒条件
对于二阶奇异面，用ψ的一阶偏导数 和 代替

基桩检测中的应力波基本理论


2.1 一维应力波
波阻抗－杆件横截面所受内力增量与质点运动速度增量
之比。（或质点运动速度变化一个单位速度（m/s）所
需的力。）
Z=dF/dv =A⋅dσ/dv = A⋅Edε/dv =EA/C
Z= ρcA
ρ：质量密度；c：波速；A：杆件横截面积。
波阻抗Z 的大小由材料性质所决定。
2.1 一维应力波
vT vI vR FT FI FR
2.2 应力波在一维杆中的传播
波阵面上的守恒条件
阻抗比
I R T 1C1 1C1 2 C 2
Z1 VI VR Z 2VT
1 A1C1 n 2 A2C2
I — 入射波 ，R — 反射波 ，T — 透射波
当采用手锤或力棒（小扰动）敲击桩顶时，由于桩
体变形很小，其应变量亦很小，俗称小应变方法，主要 是通过分析桩顶的速度响应来获得应力波的传播规律。
由速度响应时程曲线的变化特征可确定桩身波阻抗的差
异性分布，从而做出完整性评价。
V R VI Z 2 Z 1 /Z 1 Z 2 VT VI 2Z 1 /Z 1 Z 2
也不同，在真空中不能传播，而电磁波可以在真空中传播；
机械波可以是横波和纵波，电磁波只是横波； 机械波与电磁波的许多物理性质相似，（如：折射、反射
等），描述它们的物理量也是相同的。
1.1 振动和波动
机械波形成的条件：
（1）有做机械振动的波源 （2）有传播这种机械振动的介质
例如： 将石子投入平静的水中， 在水面上可见一圈圈向外 扩展的水波。
1.4 应力波传播的相关规律
（2）叠加： 两列波在传播中相遇，仍然保持各自的特性（频率、波长 、振幅、振动方向等）不变，并保持原来的方向不变。 在相遇区域内，将形成波的叠加。任一点的质点振动为两 列波单独在该点引起的振动的位移值的矢量叠加。
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1 2
锻造, 挤压，轧制, 机械加工 高速碰撞，爆炸
不考虑波动
考虑波动
3
MSE
2.1 基本概念
应力波的形成机制：
当外加载荷作用于可变形固体的某部分表面时，一开始只有那 些直接受到外载荷作用的表面部分的介质质点离开了初始平衡位置。 由于这部分介质质点与相邻介质质点之间发生了相对运动（产生变 形），当然将受到相邻介质质点所给予的作用力（应力），但同时 也给相邻介质质点以反作用力，因而使它们也离开了初始平衡位置 而运动起来。不过，由于介质质点具有惯性，相邻介质质点的运动 将滞后于表面介质质点的运动。依此类推，外载荷在表面上所引起
1 北京理工大学材料学院材来自动态力学概论2. 一维应力波理论
2
MSE
2.1 基本概念
应力波理论是研究材料动态力学行为的基本理论；
是材料动态力学性能测试的基本原理。
何时考虑应力波：
1 当载荷作用的时间与应力波传过物体特征尺寸的时间在同 一数量级或更小时；
2 当研究材料瞬间或者局部破坏机理或过程时。
14
MSE
2.2 物质坐标和空间坐标
Lagrange坐标：
为了识别运动中物体的一个质点，以一组数（a，b，c） 作为其标记，不同的质点以不同的数（a，b，c）表示，这 组数（a，b，c）称为Lagrange坐标（或物质坐标、随体坐 标）。
Euler坐标：
为了表示物体质点在不同时刻运动到空间的一个位置， 以一组固定于空间的坐标表示该位置，这组坐标称为Euler 坐标（或空间坐标）
物质波速和空间波速描述的是波阵面传播，而质点速度
描述的是某一个质点的运动
dx x v t X dt
物质波速和空间波速都是对同一个应力波的传播速度的
描述，但由于选择的坐标不同，其数值一般是不相同的， 除非波阵面前方介质是静止且无变形的。
24
MSE
2.3
时间微商与波速
d C d t W t X X t
(2-3-9)
(2-3-9)式中，取物理量Ψ为质点的空间位置x，该式转变为：
dx x x C dt W t X X t
Ψ = F (X ,t ) = f (ｘ,t )
(2-2-3)
18
MSE
2.2 物质坐标和空间坐标
描述同一物理量Ψ，既可以用物质坐标也可以用空间坐 标来进行描述，二者还可以进行转换。 （1）物质坐标系中描述的物理量 的物理量 由（2-2-2）、（2-2-3）式， 空间坐标系中描述
f (ｘ,t ) = F [X（ｘ,t）, t ]
15
MSE
2.2 物质坐标和空间坐标
以长杆中一维运动为例：
X
质点命名（质点在参考时刻的空间位置坐标）：X
质点任一时刻t 在空间所占位置： x
表示法一：介质的运动可表示为质点X在不同的时间t所在的空
间位置x ，即x是X 和t 的函数 (2-2-1) 如果固定X，上式给出了质点X如何随时间运动；如果固定t， 上式给出了某时刻各质点所占据的空间位置。一般来说，在给定时 刻，一个质点只能占有一个空间位置，而一个空间位置也只能有一 个质点。
13
MSE
2.2 物质坐标和空间坐标
Lagrange描述（方法）：
随着介质中固定的质点来观察物质的运动，所研究的是 在给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些量由一个 质点转到其他质点时的变化，这种描述介质运动的方法称为 Lagrange描述（方法）。
Euler描述（方法）：
在固定的空间点上观察物质的运动，所研究的是在给定 的空间点上以不同时间到达该点的不同质点的各物理量随时 间的变化，以及这些物理量从一个空间点转换到另一空间点 时的变化，这种描述介质运动的方法称为Euler描述（方法）。
拉伸波：扰动传过之后使介质微团有被拉伸效果的波。
其它波的概念： （入射波、反射波、透射波） （弥散波、汇聚波）
（冲击波：是强间断、强扰动，是一种强烈的压缩波）
11
MSE
2.2 物质坐标和空间坐标
连续介质力学的基本出发点之一，是不从微观上
考虑物体的真实物质结构，而只是在宏观上把物体看成 是连续不断的质点所组成的系统，即把物体看成是质点 的连续集合。每个质点在空间上占有一定的空间位置， 不同的质点在不同的时间占有不同的空间位置。 为了区别不同的质点，要对质点命名，为了描述质 点所占据的空间位置，就需要一个参考的空间坐标系。
两个波速：
空间波速（Euler波速）、物质波速（Lagrange波速） 空间微商（Euler微商）：在给定空间位置x上，物理量Ψ对 时间的t 变化率，即 f x, t t (2-3-1) t x x 物质微商（Lagrange微商或随体微商）：随着给定的质点X 来观察物理量Ψ对时间t 的变化率，即
（2）空间坐标系中描述的物理量 的物理量
(2-2-4)
物质坐标系中描述
由（2-2-1）、（2-2-3）式，有
F (X ,t ) = f [ｘ（X ,t）, t ] (2-2-5)
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2.3
时间微商与波速
三种微商：
空间微商（Euler微商）、物质微商（Lagrange微商或随体 微商）和随波微商。
按波阵面形状分类：平面波、柱面波、球面波
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2.1 基本概念
按加载的性质分类：加载波、卸载波
加载波：使介质的状态参量（σ、p、v等）（绝对）值增大的 波。
卸载波：使介质的状态参量（σ、p、v等）（绝对）值减小的 波。
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2.1 基本概念
按波本身的性质分类：压缩波、稀疏波、拉伸波
压缩波：扰动传过之后使介质微团有被压密效果的波。 稀疏波：扰动传过之后使介质微团有被稀疏效果的波。
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2.1 基本概念
间断波和和连续波是两种在表现形式上完全不 同的波，但是它们之间又相互联系，在应力波的传
播过程中，间断波和连续波在一定条件下可以相互
转化。
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2.1 基本概念
按传播方向分类：纵波、横波 纵波：扰动信号的传播方向与介质质点的运动方向一 致（相同或相反）。（声波）
横波：扰动信号的传播方向与介质质点的运动方向相 垂直。（水波）
递增硬化材料中的塑性波由于高幅值扰动的 传播速度大于低幅值扰动的传播速度，最终形成6 强间断波，通常被称为冲击波。
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2.1 基本概念
连续波波阵面(弱间断、弱振动)：
波阵面前后的状态参量（σ、v、ε）之间的差值为无限小， 波剖面是连续的。对应于数学上为二阶及更高阶奇异面。其 对应的波称为连续波，其中二阶奇异面对应的波又称为加速 度波（加速度为u 的二阶导数）。
x 上式中， t 是质点X 的空间位置对时间的物质微商，也就 X
是质点X的运动速度，即有：
dx x v t X dt d
dt t v x
(2-3-3)
(2-3-4)
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MSE
2.3
时间微商与波速
d v dt t x
(2-3-6)
空间波速（Euler波速）： 在空间坐标中来观察应力波的传播，设在t时刻波阵面 传播到空间点x处，以表示波阵面在空间坐标中的传播规律， 则空间波速（Euler波速）可表示为：
dx c (t ) dt W
(2-3-7)
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2.3
时间微商与波速
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x x ( X , t)
MSE
2.2 物质坐标和空间坐标
表示法二：
反过来只要运动是连续单值的，（2-2-1）式可反演为 (2-2-2) X X ( x, t ) 即X是ｘ和t 的函数。 质点在参考时刻t0时在参考空间坐标系中所占据的位置坐标。 参考时刻可以取t0=0时刻，或其它适当的时刻；参考空间坐 标系可以与描述运动所用的空间坐标系一致，也可以不同， 选取原则取决于研究问题的方便性。 （2-2-1）式和（2-2-2）式是描述一维长杆中介质运动的两种 形式，二者是可是互换的。
22
MSE
2.3
时间微商与波速
物质波速（Lagrange波速）： 在物质坐标中来观察应力波的传播，设在t 时刻波阵面 传播到质点X处，以 X (t ) 表示波阵面在物质坐标中的传 播规律，则物质波速（Lagrange波速）可表示为：
dX C (t ) dt W
物理量 Ψ 为质点速度时，(2-3-4)式变为质点加速度的表达式：
v dv v v a v x t X dt t
(2-3-5)
(2-3-4)式中，等式右边第一项通常称为局部变化率，显 然在定常场中该项为零，第二项称为迁移变化率，在均匀场中 该项为零。与此相对应，(2-3-5)式中，等式右边第一项通常 称为局部加速度，第二项称为迁移加速度。
随波微商：
随着波阵面来观察物理量Ψ对时间t的变化率。根据坐标系的不 同，有两种表达式，即
在空间坐标系中有:
d c dt W t x x t
d (2-3-8) dt t v x
在物质坐标系中有：
dx x x C dt W t X X t
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MSE
2.2 物质坐标和空间坐标
在连续介质力学中，往往采用两种观点和方法来研究 介质的运动：Lagrange方法和Euler方法。
相应地，研究杆的运动时，要先选定坐标系统，一般 对应有两种坐标系：Lagrange坐标（即物质坐标，随着介质 流动来考察）和Euler坐标（即空间坐标，固定空间位置来 考察）。
(2-3-10)