人教数学必修四 2.5平面向量应用举例
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2.5 平面向量应用举例
问题导学
一、向量在平面几何中的应用
活动与探究1
如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2=DB2－DC2．
求证：AD⊥BC．
迁移与应用
如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为
CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则
进行运算．
(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标
相等．
二、向量在物理中的应用
活动与探究2
在风速为75(6－2)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有
风时飞机的航速和航向．
迁移与应用
如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角
为θ，绳子所受到的拉力为F1．
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求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，角θ的取值范围．
向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则
把物理问题抽象转化为数学问题．同时该类题目往往涉及三角形问题，能够正确作图是解决
问题的关键．
当堂检测
1．若向量1OF＝(2,2)，2OF＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0,5) B．(4，－1) C．22 D．5
2．在四边形ABCD中，若AB＋CD＝0，AC·BD＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
3．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时
间长短为( )
A．2 B．3 C．4 D．8
4．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则BA·BC＝__________．
5．已知力F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体所
做的功为________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和
基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
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【预习导引】
1．向量
2．加
3．向量 向量问题 数量积
预习交流 提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1 思路分析：解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所
蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．
证明：设AB＝a，AC＝b，AD＝e，DB＝c，DC＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d．
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2．
由已知a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0．
∵BC＝BD＋DC＝d－c，
∴AD·BC＝e·(d－c)＝0．
∴AD⊥BC，即AD⊥BC．
迁移与应用 证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐
标系．令|AD|=1，则|DC|=1，|AB|=2．
∵CE⊥AB，而AD=DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵ED=(－1,1)－(0,0)=(－1,1)，
BC
=(0,1)－(1,0)=(－1,1)，
∴ED=BC，
∴ED∥BC，即DE∥BC．
(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，
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∴M10,2，
∴MD=(－1,1)－10,2=11,2，
MB
=(1,0)－10,2=11,2．
∴MD=－MB，∴MD∥MB．
又MD与MB有公共点M，
∴D，M，B三点共线．
活动与探究2 思路分析：解本题首先根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关
运算求解．
解：设ω=风速，va=有风时飞机的航行速度，νb=无风时飞机的航行速度，νb=νa－ω．如
图所示．
设|AB|=|νa|，|CB|=|ω|，|AC|=|νb|，
作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E，
则∠BAD=45°．
设|AB|=150，则|CB|=75(62)．
∴|CD|=|BE|=|EA|=752，|DA|=756．
从而|AC|=1502，∠CAD=30°．
∴|νb|=1502km/h，方向为北偏西60°．
迁移与应用 解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得G=F1+F2，|F1|=cosG，
|F2|=|G|tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
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(2)令|F1|=cosG，由|F1|≤2|G|得 cos θ≥12．
又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°．
【当堂检测】
1．D 解析：|F1＋F2|＝|1OF＋2OF|
＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5．
2．D 解析：∵AB∥CD，|AB|＝|CD|，且AC⊥BD，
故四边形为菱形．
3．B 解析：|ν|＝12＋22＝5，
又|AB|＝(7－4)2＋(12－6)2＝45，
∴时间t＝455＝3．
4．16 解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，
∴BA＝42，∠ABC＝45°，
∴BA·BC＝42×4×cos 45°＝16．
5．1 解析：W＝F·s＝F·AB＝(2,3)·(－4,3)＝
