2009-2010学年第二学期期中概率论与数理统计(B)试卷答案

【北交大】2009-2010学年第一学期概率统计期中试题（有答案）【北交大】2009-2010学年第一学期概率统计期中试题(有答案) 北京交通大学2009-2010学年第一学期《概率论与数理统计（B ）》期中考试试题答案学院专业班级学号姓名注意：本试卷共11道题，如有不对，请与监考老师调换题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分1.（本题满分10分，每小题5分）(1) P(A)=0.25, P(B|A)=0.4, P(A|B)=0.5,试求 P(A B U ).(2)事件,,A B C 相互独立, 证明事件A B U 与事件C 也相互独立.解：(1)()P BA (A)0.4P(A)P B ==,()0.25P A = 则 ()0.1P AB = ——2分又()P BA ()0.5P(B)P A B ==，则()0.2P B =，——2分因此()P(A)P(B)P(AB)0.35.P A B =+-=U——1分(2) 证明：由于事件,,A B C 相互独立，所以()()()()P ABC P A P B P C =，()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =，——2分所()()()P A B C P AC BC =U U ()()()P AC P BC P ABC =+-()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C =+- ()()()()()()()P A P B P A P C P A P B P C =+-()()P A B P C =U——2分即()()P A B C U ()()P A B P C =U ,所以事件A B U 与C 也相互独立。

——1分2. （本题满分10分）两个箱子中都有10个球，其中第一箱中4个白球，6个红球，第二箱中6个白球，4个红球，现从第一箱中任取2个球放入第二箱中，再从第二箱中任取1个球，(1) 求从第二箱中取的球为白球的概率；(2) 若从第二箱中取的球为白球，求从第一箱中取的2个球都为白球的概率.解: 设A 表示“从第二箱中取的球为白球” ，iB 分别表示“从第一箱中取的2个球都为白球,1白1红，2个球都为红球” 1,2,3i =，则()1P B =24210C C =2/15，()2P B =1146210C CC =8/15，()3P B =26210C C =1/3，——2分()1|P A B =2/3，()2|P A B =7/12，()3|P A B =1/2，——2分由全概率公式得：()()()31|iii P A P A B P B ===∑17/30，——2分由贝叶斯公式得：()()()111||()P A B P B P B A P A ==8/51 ——4分3．（本题满分10分）已知随机变量X的密度为,01()0,ax b x f x +<其它,且{1/2}5/8P x >=,求: (1) 常数,a b 的值; (2) 随机变量X 的分布函数()F x . 解:(1)由1()/2f x dx a b+∞-∞==+?,——2分和 {}1/25/81/2()3/8/2P X f x dx a b +∞=>==+? 解得1,1/2a b == ——2分(2)0.5,01()0,x x f x +<其它, 当x <时,(){}0F x P X x =≤=，——2分当01x ≤<时, (){}()()200.5/2xF x P X x x dx x x =≤=+=+?, ——2分当1x ≥时, ()1F x =，所以()()20,0/2,011,1x F x x x x x <??=+≤<??≥?——2分4．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 同分布，X 的概率密度为()f x =230280,x x ?<≤，其它，事件{}A X a =>与事件{}B Y a =>相互独立，且()34P A B =U ，求常数a 的值。

中国计量学院2009~2010学年第 一 学期《概率论与数理统计B 》课程考试样卷A 第 1 页 共 ６ 页 中国计量学院2009~ 2010学年第 一 学期《概率论与数理统计B 》课程考试试卷(A)开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 年 月 日 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级：题序 一 二 三 (1) 三 (2) 三 (3) 三 (4) 三 (5) 三(6)总分 得分评卷人 一、选择题：（每题2分，2×10=20） 1．设事件A 、B 互相独立，且()0P A >，()0P B >，则（ ）一定成立。

(A)()1()P A B P A =- (B) ()0P A B = (C) ()1()P A P B =- (D) ()()P A B P B =2. 掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ ）。

(A) 1/6 (B)2/3 (C)1/3 (D)1/23. 已知(,)X B n p 服从二项分布, 且(2)8E X =，32(2)3D X -=，则参数,n p 分别为（ ）。

（A ）18，2/3 （B ）12, 1/2 （C ）12, 1/3 （D ）24, 1/4 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则23Y X =+的分布函数()G y 为（ ）。

(A) 3()22y F - (B) (23)F y + (C) 2()3F y + (D) 13()22F y - 5. 对任意随机变量X ，若,EX DX 存在，则[()]D D DX 等于（ ）。

（A ）0 （B ）X （C ） 3()DX （D ）DX6. 对于任意两个随机变量X 和Y ，若相关系数0XY R =，则（ ）。

（A ）()D XY DX DY =⋅ （B ） X 和Y 相互独立装订线中国计量学院2009~2010学年第 一 学期《概率论与数理统计B 》课程考试样卷A 第 2 页 共 ６ 页 （C ）()D X Y DX DY +=+ （D ） 以上选项都不成立7. 设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ）。

西南科技大学2009——2010学年第 1 学期《概率论与数理统计B 》期末考试试卷（B 卷）学院:_______________班级:_____________姓名:_______________学号:____________一、填空题（每小题3分，共15分）1、袋中有红、黄、蓝球各一个，从中任取三次，每次取一个，取后放回，则红球一次也不出现的概率为___________。

2、设()0.5,()0.4,P A P AB ==则(|)P B A = ___________.3、设随机变量(2,)XB p ,若5{1}9P X ≥=则{1}P X == ______．4、设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=,,0;11,11,41),(其他y x y x f则P{0≤X ≤1,0≤Y ≤1}=___________. 5、设随机变量X ，Y 的分布律分别为X 1 2 3 Y -1 0 1 P13 6112 P 12 14 14且X ，Y 相互独立，则E （XY ）=___________. 二、选择题（每小题3分，共15分）1、设事件A B 、相互独立，且()0,()0,P A P B >>则下列等式成立的是（ ） A ．()0P AB =B ．()()()P A B P A P B -=C ．()()1P A P B +=D ．(|)0P A B =2、下列函数中， 可以作为随机变量X 概率密度的是 （ ）西南科技大学2009——2010学年第 1 学期《概率论与数理统计B 》期末考试试卷（B 卷）A ．⎩⎨⎧<<=其他,0;10,2)(x x x f B ．⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0;10,21)(x x fC ．⎩⎨⎧-<<=其他,1;10,3)(2x x x fD ．⎩⎨⎧<<-=其他,0;11,4)(3x x x f3、设随机变量X 和Y 相互独立，且~(3,4)X N ，~(2,9)Y N ，则3~Z X Y =-（ ） A ．(7,21)N B ．(7,27)N C ．(7,45)ND ．(11,45)N4、设随机变量X 与Y 相互独立，且11(36,),(12,)63X B YB ,则D （X-Y+1）=（ ） A ．34 B ．37 C ．323D ．3265、1234,,,X X X X 为总体X 的一个样本，且2(),()E X D X μσ==，则下列为μ的最小方差无偏估计量的是（ ）A ．2123411114444X X X X μΛ=+++ B ．312341119481616X X X X μΛ=+++C ．3123411134848X X X X μΛ=+++ D ．4123412135555X X X X μΛ=+++三、(8分) 设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%. 求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率；（2）若已知该件产品为次品，求它是由甲车间生产的概率.西南科技大学2009——2010学年第 1 学期《概率论与数理统计B 》期末考试试卷（B 卷）四、（12分）设离散型随机变量X 的分布律如下，令2Y X =，求：（1 （2）D(X); D(Y); Cov( X,Y)五、（10分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=.1,0,1,1)(2x x x x f X求：（1）求X 的分布函数)(x F X ；（2）求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<321X P ；（3）令Y =2X ，求Y 的概率密度)(y f Y .六、（10分）设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为X 和Y 的边缘分布律； （3）Z=X+Y 的分布律.七．（12分）设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为西南科技大学2009——2010学年第 1 学期《概率论与数理统计B 》期末考试试卷（B 卷）试求：（1）求常数c ; （2）求{}1,1P X Y >>(3)求（X ，Y ）分别关于X ，Y 的边缘密度);(),(y f x f Y X （4）判定X 与Y 的独立性，并说明理由； 八、（10分）设总体X 的概率密度函数为(1)2,2;(;)0,,x x f x θθθθ-+⎧>=⎨⎩其他 其中1θ>为未知参数，12,,...,n X X X 是来自总体X 的样本 求：（1）θ的矩估计量； （2）θ的极大似然估计量.九、(8分) 已知某厂生产的一种元件，其寿命服从均值0μ=120，方差920=σ的正态分布.现采用一种新工艺生产该种元件，并随机取16个元件，测得样本均值x =123，从生产情况看，寿命波动无变化. 在显著水平05.0=α下，试判断采用新工艺生产的元件平均寿命较以往有无显著变化.附：0.05 1.645z = , 0.025 1.96z =, 0.05(16) 1.7459t = 0.025(16) 2.1199t =, 0.05(15) 1.7531t = 0.025(15) 2.1315t =⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0;20,20,),(其他y x cxy y x f参考答案及评分细则西南科技大学2009——2010学年第1学期《 概率论与数理统计B 》期末考试试卷（B 卷）一、填空题（每小题3分，共15分） 1、827； 2、15；3、49；4、14； 5、1324-； 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、B ； 2、A ； 3、C ； 4、C ； 5、A 三、（8分）解: 设A ={该产品为次品}, 1B ={产品为甲厂生产} ，2B ={产品为乙厂生产}，3B ={产品为丙厂生产}由题知,123123(|)4%;(|)2%;(|)5%;()0.45,()0.35,()0.2P A B P A B P A B P B P B P B ======（1）：由全概率公式得,31()()(|)0.450.040.350.020.20.050.035i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑……4分（2）：由贝叶斯公式得, 111()()0.01818()()0.03535P B P A B P B A P A ===……4分 四、(12分)解:（1）： Y=2X 的分布律为 Y 0 1 P12 12………3分 （2）：E (X )=0 ，21()2E X =，D(X)= 12…………………………3分2Y 的分布律为 2Y 0 1 P12 12………3分 2211(),22EY E X EY ===,221()4DY EY EY =-=…………3分XY =3X 的分布律为 XY -1 0 1 P 4112413()0E XY EX ==，Cov( X,Y)= ()E XY EXEY -=0…………3分五、（10分）解：（1）0,1()11,1x F x x x<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩……………………4分（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<321X P =1(3)()2X X F F -=23……………………3分（3）2Y X =的概率密度224122()20,Y y f y y y ⎧⨯=≥⎪=⎨⎪⎩其他………3分六、(10分)解：（1）：0.3a =……………………2分（2）：X 的分布律 X 0 1 2P 0.4 0.3 0.3 ………2分Y 的分布律 Y 1 2P 0.4 0.6 ………2分（3）X+Y 的分布列为七、（12分）解： （1）：由22001(,),f x y dxdy dy cxydx Ω==⎰⎰⎰⎰得c=14……………3分（2）： {}{}1,11,1(,)X Y P X Y f x y dxdy >>>>=⎰⎰221119416dy xydx ==⎰⎰………3分 （3）：20011(,),02()420,X f x y dy xydy x x f x ∞⎧==≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其他 ……2分 同理，20011(,),,02()420,Y f x y dx xydx y y f y ∞⎧==≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰⎰其他 …………2分 （4）：(,)()();X Y f x y f x f y =所以X 与Y 相互独立…………2分 八、（10分）解：（1）：2()221EXx d x θθθθθ∞-==-⎰………2分令()E X X=，则21X θθ=-，解得θ的矩估计量为2XX θΛ=-…3分 （2）：似然函数:1111()22()nnnn ii i i L xx θθθθθθθ----====∏∏……………2分对数似然函数:1ln(())ln ln 2(1)(ln )ni i L n n x θθθθ==+-+∑令1(ln(()))ln 2ln 0ni i d L nn x d θθθ==+-=∑ 解得θ的极大似然估计量为1ln ln 2nii nxn θΛ==-∑……………3分九、（8分）解：由题知，需检验0010:120,:H H μμμμ==≠……………………1分由于方差29σ=已知，故检验的拒绝域为2z z α=≥…………………………………3分又已知0.05α=，20.025 1.96z z α==，4 1.96z ==> ………………………2分所以z 落入拒绝域中，故不接受0H ，即采用新工艺生产的元件平均寿命较以往有显著变化 ………………………2分。

第 1 页 共 4 页河南理工大学成人业余学历教育 2010年下半年考试试卷(B)年级09级 专业 采矿工程 层次 本科 科目 概率论与数理统计一、 填空(每小题5分,共25分)1、邮政大厅有5个邮筒，现将两封信逐一随机投入邮筒，那么第一个邮筒内恰好有一封信的概率为_________；前两个邮筒内没有信的概率为_______.2、设A 、B 为两个事件，且已知P(A)=0.2，P(B)=0.3，P(A+B)=0.4，则P(AB)=__________.3、设A 、B 为两个事件，且已知P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.3，则P(A|B)=___________.4、已知连续型随机变量x 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它，，0100101)(x x ϕ，则数学期望E(x )=________.5、已知随机变量x 的方差D(x )=2，则方差D(-2x +5)=__________.二、计算题(共75分)1、在矿井内同时装有两种报警系统A 与B ，当报警系统A 单独使用时，其有效的概率为0.92，当报警系统B 单独使用时，其有效的概率为0.90，在报警系统B 有效的条件下，报警系统A 有效概率为0.93，若发生意外时，求：(1)、这两种报警系统中至少有一种有效的概率； (2)、这两种报警系统都失灵的概率.2、某村麦种放在甲、乙、丙三个仓库保管，其保管数量分别占总数量的40%，35%，25%，所保管麦种发芽率分别为0.95,0.92,0.90，现将三个仓库的麦种全部混合，求其发芽率.3、设A,B为两个事件,且已知,54)(=BP，65)|(=ABP，试求:(1) 概率)(BAP；(2) 概率)(ABP；(3) 条件概率)|(BAP；(4) 概率)(BAP+.第 2 页共 4 页任选一位男生，求这位男生体重在55kg～60kg之间的概率.(φ(1)=0.8413，φ(1.5)=0.9332)第 3 页共 4 页从小区居民中随机调查30户居民，他们每户每月对此商品的平均需求量为20，试以0.99的置信度，求小区每户居民每月对此商品平均需求量μ的置信区间第 4 页共 4 页。