第5讲 λ-矩阵与标准形

第5讲λ-矩阵与标准形

内容：1. 矩阵的Jordan标准形

2. 矩阵的最小多项式

3. λ-矩阵与Smith标准型

4. 多项式矩阵的互质性与既约性

5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解

λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容，在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形.

§1 矩阵的Jordan标准形

1.1 矩阵相似

定义 1.1设A和B是矩阵，C和D是非奇异矩阵，若B=,则称A和B相抵；若AC

DAC

=,则称A和B相合（或合

B T

C

同）；若AC

=,则称A和B相似，即若n n C

C

B1-

∈

,，存在n n n C

A?

B

∈,

P?使得B

-1，则称A与B相似，并称P为把A变成B的相似变P=

AP

换矩阵.特别，当1-

P H,称A与B酉相似，当1-

=P

P T,称A与B

=P

正交相似.

相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：

定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式，则

（1） 反身性：A 与A 相似；

（2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似；

（3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似；

（4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =；

（5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似；

（6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同.

对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？

定义1.2 设n n C A ?∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化.

定理 1.2 设n n C A ?∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.

证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中

),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量，

再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关.

必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有

),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==

),,,(),,,(),,,(212121n n n Pdiag diag p p p λλλλλλ ==, 即有),,,(211n diag AP P λλλ =-，故A 可对角化.

推论 1.1 若n 阶方阵A 有n 个不同的特征值，则A 可对角化.

推论1.2 设s λλλ,,,21 是n 阶方阵A 的所有互不相同的特征值，其重数分别为s r r r ,,,21 .若对应i r 重特征值i λ有i r 个线性无关的特征向量),,2,1(s i =，则A 可对角化.

例1.1 研究下列矩阵能否与对角形矩阵相似：

1）??????????---=6116100010A ， 2）????

??????=1221212221A ，3）??????????----=284014013A 解

1）因A 的特征多项式为)3)(2)(1(+++=-λλλλA I ，因而A 有三个不同的特征值：3,2,1321-=-=-=λλλ.由于A 的3个特征值互不相同，故A 能对角化. 又求得相应的三个特征向量为：T x )1,1,1(1-=,T x )4,2,1(2-=,T x )9,3,1(3-=,它们是线性无关的.取

??????????---=941321111P ，则????

??????---=-3211AP P . 2）特征多项式为)5()1(2-+=-λλλA I .故特征值为

121-==λλ（二重根）

，53=λ.特征值为1-的两个线性无关的特征向量为T x )1,0,1(1-=,T x )1,1,0(2-=，而特征值35λ=对应的一个特

征向量为：T x )1,1,1(3=，取??????????--=111110101P ，则????

??????--=-5111AP P .

3）A 的特征多项式为，)2()1(2+-=-λλλA I ，特征值为121==λλ，23-=λ.而对应于特征值1的一切特征向量为T k x )20,6,3(-=，0≠k .又对应于特征值2-的一切特征向量为，T k y )1,0,0(1=，01≠k . 不存在三个线性无关的特征向量，所以A 不能与对角形矩阵相似.

例1.2 设????

??????----=163053064A ，求A 的相似对角矩阵及100A . 解 由)2()1(2+-=-λλλA I ，得21-=λ，12=λ（二重根）.则对应于21-=λ的一个特征向量T x )1,1,1(1-=及对应于二重根12=λ的两个线性无关特征向量为T x )0,1,2(2-=，T x )1,0,0(3=.取

??????????--=101011021P ，则????

??????-----=-1210110211P ，故 ????

??????-=-1121AP P （1.1） 注意，若取????

??????--=0111012011P ，则?????

?????-=-112111AP P ，可见P 不是唯一的.

现在计算100A .由式（1.1）有1112-????

??????-=P P A ，因此易知 ??????

????----??????????-??????????--=??????????-=-12101102111)2(1010110211121001100100P P A

????

??????----+-+-=122120121202222101100101100101100.

1.2 特征矩阵

设n n ij C a A ?∈=)(，称A I A -=λλ)(为A 的特征矩阵.

定义1.3 称)(λA 中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式)(λk D 为)(λA 的一个k 级行列式因子，n k ,,2,1 =.10=λ.

由定义 1.3可知：A E D n -=λλ)(.又因)(1λ-k D 能整除每个1-k 级子式，从而可整除每个k 级子式（将k 级子式按一行或一列展开即知），因此)(1λ-k D 能整除)(λk D ，并记为)()(1λλk k D D -，n k ,,2,1 =.

定义1.4 称下列n 个多项式

,)()()(),()(12211λλλλλD D d D d ==)

()()(,,)()()(,11λλλλλλ--==n n

n k k k D D d D D d , 为)(λA 的不变因式. 把每个次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现次数计算），称为)(λA 的初级因子.

因A E A -=λλ)(完全由A 决定， )(λA 的不变因式及初级因子也常称为矩阵A 的不变因式及初级因子.

例1.3 求矩阵?????

???????--=2121A 的不变因式及初级因子. 解 因A 的特征矩阵为

?????

???????--++=-=2121)(λλλλλλA E A , )(λA 的行列式因子： )4)(1()(224--=-=λλλλA E D ,1)(3=λD ,1)(2=λD ,1)(1=λD .

不变因式：

1)()(,1)()(3211====λλλλd d D d ,)4)(1()()()(22344--==λλλλλD D d . 初级因子式：

2,2,1,1+-+-λλλλ.

1.3 矩阵A 的标准形

定义1.5 设矩阵n n ij C a A ?∈=)(的全部初级因子为：

s k s k k )(,,)(,)(2121λλλλλλ--- ，n k s

i i =∑=1，

其中s λλλ,,,21 可能有相同的，指数s k k k ,,,21 也可能有相同的.

对每个初级因子i k i )(λλ-构作一个i k 阶矩阵，称形如

???????

?????????=i i i i J λλλ11 的i k 阶方阵（或T i J ）为i k 阶Jordan 块（约当块）.称由

A 的所有约当块构成的分块对角矩阵12s J J J J ???

???=??????

（或T J ）为矩阵A 的约当形矩阵，或A 的Jordan 标准形.

例1.4 下列方阵都是Jordan 块

??????=3132J ， ????

??????=212123J . 定理1.3 每个n 阶复数矩阵A 都与一个约当形矩阵J 相似，J AP P =-1,除去约当块的排列次序外，约当形矩阵J 是被矩阵A 唯一决定的.

这个定理用线性变换的语言来说，设T 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中必定存在一组基，使T 在这组基下的矩阵是约当形矩阵；除去约当块的排列次序外，这个约当矩阵是被T 唯一决定的.

推论 1.3 复数矩阵A 与对角形矩阵相似的充要条件是A 的初级因子全为一次式.

例1.5 求矩阵??????????--=304021101A 的Jordan 标准形.

解 因为??????????----+=-304021101λλλλA E 的初级因子为2)1(-λ，

2-λ，故A 的Jordan 标准形为????

??????=2111J . 例1.6 求矩阵????

??????-----=211212112A 的约当标准形及矩阵P . 解 因为????

??????--+--=-211212112λλλλA E 的初级因子2)1(),1(--λλ，

故A 的约当标准形为：

??????????=1111J ，再设),,(321X X X P =，由J AP P =-1，得J A ),,(),,(321321X X X =X X X ,于是有

),,(),,(3321321X X +X X =X X X A A A ,即得：

0)(1=X -A E （1.1）

32)(X -=X -A E （1.2）

0)(3=X -A E （1.3）

解方程（1.1）得基础解系为T T e e )1,0,1(,)0,1,1(21==. 我们选取T X )0,1,1(1=.又由于方程（1.3）与（1.1）是一样的，所以（1.3）

的任一解具有形式：T c c c c e c e c X ),,(212122113+=+=.为使方程

（1.2）有解，可选择21,c c 的值使下面两矩阵的秩相等：

??????????----=-111222111A E ,??????????---+-2121111222111c c c c ，这样可得1,221-==c c .

故T X )1,2,1(3-=.将3X 代入式（1.2），可得

T X )0,0,1(2=.取),,(321X X X P =，即????

??????-=100201111P ,便有J AP P =-1. 例 1.7 求矩阵????

??????----=163053064A 的特征多项式、初级因子及约当标准形.

解 易得特征多项式为)2()1()(2+-=-=λλλλA E f ,不变因式为)2)(1()(,1)(,1)(321+-=-==λλλλλλd d d ,故初级因子为

)2(),1(),1(+--λλλ.A 的约当标准形为对角形矩阵????

??????-=211J . 例1.8 求线性微分方程组

211x x dt dx +-=，21234x x dt dx +-=，3132x x dt

dx +-= 的通解.这里1x ，2x ，3x 都是t 的未知函数.

解 方程组为AX dt dX

=.其中??????????--=201034011A ,T x x x X ),,(321=.

A 的初级因子：2)1(,2--λλ.可逆矩阵),,(321X X X P =，使得

????

??????=-11121AP P ，有),,2(),,(3321321X X +X X =X X X A A A , 故 ?????X =X X +X =X X =X 33322112A A A ，求得T T T X X X )1,2,1(,)1,1,0(,)1,0,0(321-=-==.所以

????

??????--=111210100P ，作满秩线性变换PY X =，其中T y y y Y ),,(321=.则有dt dY P APY =，即Y APY P dt dY ??????????==-11121,即?????????+===32322112y y dt

dy y dt dy y dt dy . 由前两个方程可得t t e k y e k y 22211,==.将2y 代入第三个方程

便得t e k t k y )(323+=.故微分方程组的通解为：

????

??????++-+++=??????????+??????????--==t t t t t t t e k k t k e k e k k t k e k t k e k t k e k e k PY X )()22()()(111210100322213223232221， 这里321,,k k k 是任意常数.

§2 矩阵的最小多项式

2.1 矩阵A 的零化多项式

定义2.1 若)(λ?是个多项式，A 是个方阵，如果有0)(=A ?（矩阵），则称)(λ?是矩阵A 的零化多项式.

定理2.1（Hamilton-Cayley 定理） 设n 阶矩阵A 的特征多项式为n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( ，则有0)(=A f ，即0111=++++--E a A a A a A n n n n （零矩阵）. （2.1）

证明 设)(λB 为A E -λ的伴随矩阵，则

E f E A E A E B )())((λλλλ=-=-.

（2.2） 由于矩阵)(λB 的元素都是行列式A E -λ中的元素的代数余子式，因而都是λ的多项式，其次数都不超过1-n ，故)(λB 可以写成如下形式121201)(----++++=n n n n B B B B B λλλλ ，这里各个i B 均为n 阶数字矩阵. 因此有

A B A B B A B B B A E B n n n n n 1210110)()())((-----+++-+=-λλλλλ .（2.3）

另一方面，显然有

E a E a E a E E f n n n n ++++=--λλλλ111)( . （2.4）

由等式（2.2）、（2.3）、（2.4）可得：?????????=-=-=-=----E

a A B E a A B B E a A B B E B n n n n n 1121

1010 . （2.5） 以E A A A n n ,,,,1 -依次右乘（2.5）的第一式，第二式，……，第1n +式，并将它们加起来，则左边变成零矩阵，而右边即

为)(A f ，故有0)(=A f （零矩阵）.

显然，每个方阵都有零化多项式，因为它的特征多项式就是一个，但并不唯一.

例2.1 设????

??????-=010110201A ，试计算E A A A A A 432)(2458-++-=?. 解 因A 的特征多项式为12)(3+-=-=λλλλA E f .取多项式432)(2458-++-=λλλλλ?.以)(λf 去除)(λ?可得

)()()149542()(235λλλλλλλ?r f +-+-+=.

这里余式103724)(2+-=λλλr .

由Hamilton-Cayley 定理，0)(=A f （矩阵），所以

????

??????----=+-==346106195026483103724)()(2E A A A r A ?. 2.2 矩阵A 的最小多项式

定义2.2 设A 是n 阶矩阵，则A 的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式.

定理 2.2 矩阵A 的任何零化多项式都被其最小多项式所整除.

证明 设)(λ?是A 的任一零化多项式，又)(λm 是A 的最小多项式，以)(λm 除)(λ?即得)()()()(λλλλ?r m q +=，这里)(λr 如不为零时则其次数小于)(λm 的次数.于是有)()()()(A r A m A q A +=?.因0)()(==A m A ?（矩阵），所以有0)(=A r （矩阵），即)(λr 也是A 的零化多项式.如果0)(≠λr ，则)(λr 的次数)(λm <的次数，这与)

(λm

为最小多项式矛盾.所以，只能有0)(≡λr ，故)()(λ?λm .

定理2.3 矩阵A 的最小多项式是唯一的.

证明 若)(λm 与)(λn 均为A 的最小多项式，那末每一个都可被另一个所整除，因此两者只有常数因子的差别.这常数因子必定等于1，因为两者的首项系数都为1.故)()(λλn m =.

定理2.4 矩阵A 的最小多项式的根必定是A 的特征根；反之，A 的特征根也必定是A 的最小多项式的根.

证明 因A 的特征多项式A E f -=λλ)(是A 的零化多项式，故)(λf 可被A 的最小多项式)(λm 所整除，即)(λm 是)(λf 的因式，所以)(λm 的根都是)(λf 的根.

反之，若0λ是A 的一个特征根，且0,0≠=X X AX λ.又设A 的最小多项式k k k k a a a m ++++=--λλλλ111)( .

则 X m X a X a X a X X

a AX a X A a X A X A m k k k k k k k k )()(0011010111λλλλ=++++=++++=----

由于0)(=A m （矩阵），又0≠X ，所以0)(0=λm ，亦即0λ是)(λm 的根.

推论2.1 设矩阵n n C A ?∈的所有不同的特征值为s λλλ ,,21，又A 的特征多项式为s k s k k A E f )()()()(21

21λλλλλλλλ---=-= ，则A 的最小多项式必具有如下形式：s n s n

n m )()()()(2121λλλλλλλ---= ，这里每个s i k n i i ,2,1,=≤.

例2.2 求矩阵????

??????----=031251233A 的最小多项式)(λm .

解 A 的特征多项式为)4()2()(2--=-=λλλλA E f ，故A 的最小多项式只能是

)4)(2()(--=λλλm ，或)()(λλf m =.

但由0)4)(2()(=--=E A E A A m （矩阵）（直接计算可得），便知A 的最小多项式应为)4)(2()(--=λλλm 而不是)(λf .

定理 2.5 设A 是n 阶矩阵，)(1λ-n D 是特征矩阵A E -λ的1-n 阶行列式因子，则A 的最小多项式

)()

()()()(11λλλλλλn n n n d D D D A E m ==-=--， 这里)(λn d 是A E -λ的第n 个不变因式.

§3 λ-矩阵与Smith 标准型

3.1 λ-矩阵

定义 3.1 设),,2,1;,,2,1,n j m i a ij

==()(λ为数域F 上的多项式，则称以)(λij

a 为元素的n m ?矩阵 ?????

???????=)()()()()()()()()()(2122221

11211λλλλλλλλλλmn m m n n a a a a a a a a a A 为多项式矩阵或λ-矩阵.

数字矩阵和特征矩阵A E -λ都是λ-矩阵的特例.λ-矩阵的加法、数乘和乘法运算与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律.

例3.1 ??????

????????-+++=10130053211)(32242λλλλλλλλλλA 是λ-矩阵，其中λ是一个未定元，当λ取具体的数时，它就是一个数字矩阵了.

定义3.2 如果λ-矩阵)(λA 中有一个r 阶（1≥r ）子式不为零，而所有1+r 阶子式（如果有的话）全为零，则称)(λA 的秩为r ,记为r rankA =)(λ.零矩阵的秩为0.若n 阶λ-矩阵)(λA 的秩为n ，则称)(λA 为满秩的或非奇异的.

定义3.3 设)(λA 为一个n 阶λ-矩阵，如果存在n 阶λ-矩阵)(λB 使

,)()()()(n E A B B A ==λλλλ （3.1） 则称)(λA 为可逆的(或称)(λA 是单模矩阵)，)(λB 称为)(λA 的逆矩阵，记为)(1λ-A ，n E 是数字单位矩阵.

定理 3.1 一个n 阶的λ-矩阵)(λA 可逆的充要条件是)(det λA 是一个非零的常数.

证明 若λ-矩阵)(λA 可逆，存在λ-矩阵)(λB 使式（3.1）成立，对其两边取行列式便有1)()(=λλB A ,由于)()(λλB ，A 都是λ的多项式，所以)()(λλB ，A 都是常数. 反之，设0)(≠=c A λ，则n E adjA c A A adjA c =??

? ??=??? ??)(1)()()(1λλλλ,因而)(λA 是可逆的.这里，)(λadjA 为)(λA 的伴随矩阵.

由定理3.1可知，在λ-矩阵中，满秩矩阵未必是可逆的.

3.2 初等变换与初等矩阵

定义3.4 λ-矩阵的初等变换是指下面三种变换：

（1） 任意两行（列）互换；

（2） 用非零的数k 乘某行（列）；

（3） 用λ的多项式)(λ?乘某行（列），并将结果加到另一行（列）上去.

称对数字单位矩阵施行上述三种类型的初等变换得到相应的三种λ-矩阵为初等矩阵. 因此初等矩阵的行列式为一个非零常数. 同数字矩阵一样，可证，施行行（列）初等变换相当于在矩阵的左（右）边乘以相应的初等矩阵，并且对一个λ-矩阵施行初等变换不改变λ-矩阵的秩.

定义3.5 如果)(λA 经过有限次的初等变换后变成)(λB ，则称)(λA 与)(λB 等价，记为)()(λλB A ?.

λ-矩阵的等价关系满足：

（1）自反性：每一个λ-矩阵与自身等价；

（2）对称性：若)()(λλB A ?，则)()(λλA B ?；

（3）传递性：若)()(λλB A ?，)()(λλC B ?，则)()(λλC A ?. 显然，如果两个λ-矩阵等价，则其秩相等；反之，则不然. 这也是λ-矩阵与数字矩阵不同之处. 例如：

??

????=101)(λλA ，??????=101)(λλB ,的秩相等，但不等价. 定理 3.2 λ-矩阵)(λA 与)(λB 的等价的充要条件是存在两个可逆矩阵)(λP 与)(λQ ，使得)()()()(λλλλQ A P B =.

3.3 多项式矩阵的史密斯（Smith ）标准形

在多项式矩阵的应用中，有多种标准形在不同场合里被使用着，这里只介绍其中最基本的一种，即史密斯（Smith ）标准形.

引理 3.1 若多项式矩阵n m ij a A ?=))(()(λλ的左上角元素

0)(11≠λa ，并且)(λA 中至少有一个元素不能被)(11λa 所整除，则必可找到一个与)(λA 等价的多项式矩阵)(λB ，其左上角元素)(11λb 也不等于零，且)(11λb 的次数低于)(11λa 的次数.

证明 分三种情况来讨论：

1）若)(λA 的第一列中有某个元素)(1λi a 不能被)(11λa 整除，则用)(11λa 去除)(1λi a 可得)()()()(111λλλλr a q a i +=,且余式0)(≠λr 的次数低于)(11λa 的次数，则有

???????

?????????=)()()()()()()()()()(212111211λλλλλλλλλλmn m m in i i n a a a a a a a a a A

????????????????--??????→?-??????)()()()()()()()()()()

()()()1)(()(21112211211λλλλλλλλλλλλλλmn m m n in i n a a a a q a a q a r a a a q i

)()()()()()()()()()()()()()()(),1(21112111122λλλλλλλλλλλλλλB a a a a a a a q a a q a r i mn m m n n in i =???????

?????????--???→???????

， 则)(λB 已达到要求；

2）若)(λA 的第一行中有某个元素)(1λj a 不能被)(11λa 整除，则证法与1）类似；

3）若)(λA 的第一行与第一列的各个元素均可被)(11λa 整除，但)(λA 中至少有某个元素)1,(),(>j i a ij λ不能被)(11λa 整除.此时可设)()()(111λλ?λa a i =，则有

????????????????--??????→?-??????)()()()()

()()()()()(0)()()1)(()()(1111111λλλ?λλλλλλ?λλλλ?λmn n in n mj m j ij j a a a a a a a a a a i A

???????

?????????--+--+????→?+??????)()()()()())(1()()()()()()(0)())(1()()()()1(1111111λλλ?λλλ?λλλλλ?λλλ?λλmn n in n in mj m j ij j ij a a a a a a a a a a a a i

)(1λA =.

则)(1λA 的第一行中已至少有一个元素)()())(1()(1λλλ?λf a a j ij =-+不能被左上角元素)(11λa 所整除，因为)(|)(111λλj a a ，推知)(|)(11λλf a 不成立. 因此情形3）就归结为已证明了的情形2）.

定理3.3 任一非零的多项式矩阵n m ij a A ?=))(()(λλ，都等价

于一个如下形式的标准对角形：

??????????????????????=?000000000000)(0

00000)(000

00)()()(21

λλλλλr d d d J A ， 这里1≥r 是)(λA 的秩,),,2,1),(r i d i =λ是首项系数为1的多项式，且1,,2,1),(|)(-=+r i d d i i i λλ.称)(λJ 为)(λA 的史密斯（Smith ）标准形.

例 3.2 求多项式矩阵????

??????+-+-=200100)1(0)(λλλλλλA 的史密斯标准形.

解 可求得????

??????--???????????+-+-=)2)(1(0000001200100)1(0)(λλλλλλλλλλA .

定义3.6 设多项式矩阵)(λA 的秩1≥r ，则称()A λ中的所有非零的k 阶子式的首项系数为1的最大公因式)(λk D 为)(λA 的k 阶行列式因子，r k ,,2,1 =.

定理3.4 若)()(λλB A ?，则)(λA ，)(λB 必有相同的秩及相同的各阶行列式因子.

设)(λA 经过一次初等变换化为)(λB ，则只须就三种初等变换的每一种证明)(λA 与)(λB 有相同的秩及相同的各阶行列式因子就行了.

定义3.7 在)(λA 的史密斯标准形)(λJ 中，多项式)(1λd ，

)(,),(2λλr d d 称为)(λA 的不变因式. 可知：,)()()(),()(12211λλλλλD D d D d ==)

()()(,1λλλ-=r r r D D d . （3.2） 通过求行列式因子，也就可以求出)(λA 的不变因式，从而可得到)(λA 的史密斯标准形.由式（3.2）看出，)(λA 的不变因式完全由其各阶行列式因子所唯一确定，所以史密斯标准形是唯一的.还看出行列式因子之间满足整除关系.

)(λA 为单模矩阵的充要条件是)(λA 可以表示成初等矩阵的乘积.

如果取复数域，则我们还可以把)(λA 的那些次数大于1的不变因式分解为一次因式的方幂的乘积.

定义 3.8 )(λA 的每个次数1≥的不变因式)(λk d 分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，称所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）为)(λA 的初级因子.

应用本节介绍的一般方法来计算A E -λ的不变因式方法为：化多项式矩阵A E -λ为史密斯标准形，得出不变因式. 再计算出初级因子，便可以写出矩阵A 的约当标准形了.

定理 3.5 两个多项式矩阵)(λA 与)(λB 等价的充要条件是两个矩阵有相同的行列式因子，或相同的不变因式.

推论：数域P 上的两个n 阶矩阵A ，B 相似的充要条件是它们的特征矩阵A E -λ与B E -λ等价.

§4 多项式矩阵的互质性与既约性

本节在复数域中讨论多项式矩阵.

4.1 最大公因子

定义 4.1 设具有相同列数的多项式矩阵)(λN ，)(λD 与)(λR ，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD ，使得

)()()(λλλR N N =,)()()(λλλR D D =，

则称多项式矩阵)(λR 为矩阵)(λN 与)(λD 的一个右公因子.

类似地可以定义左公因子.

定义4.2 如果1）)(λR 是)(λN 与)(λD 的右公因子；2）

)(λN 与)(λD 的任一其它的右公因子)(1λR 都是)(λR 的右乘因子，即有多项式矩阵)(λW 使得)()()(1λλλR W R =，则称多项式矩阵)(λR 为具有相同列数的两个多项式矩阵)(λN 与)(λD 的一个最大右公因子（记为gcrd ），

类似地可以定义最大左公因子（gcld ）.

对任意的n n ?多项式矩阵)(λD 与n m ?多项式矩阵)(λN ，它们的最大右公因子都存在，因为T T T N D R ))(),(()(λλλ=便是一个.

定理 4.1（gcrd 的构造定理） 如果可以找到一个)()(m n m n +?+的单模矩阵)(λG ，使得

??

????=????????????=??????0)()()()()()()()()()(22211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G （4.1）， 则n n ?多项式矩阵)(λR 为)(λD 与)(λN 的一个最大右公因子（gcrd ）.

相类似，也可以建立最大左公因子的构造定理.

由于单模矩阵都可以表示成一些初等矩阵的乘积，故对

【苏教版】高中数学选修4-2《矩阵与变换》.2.4 旋转变换

选修4－2矩阵与变换 2.2.4 旋转变换 编写人： 编号：005 学习目标 1、 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。 2、 掌握旋转变换的几何意义及其矩阵表示。 学习过程： 一、预习： （一）阅读教材，解决下列问题： 问题1：P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转 变换作用下的象。其结果为''x x y y ?=-?=-?，也可以表示为''00x x y y x y ?=-+??=?-?，即''x y ??????＝ 1001-????-????????y x ＝x y -????-??怎么算出来的？ 归纳： 问题2：P （x,y ）绕原点逆时针旋转300得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式. 问题3：把问题2中的旋转300改为旋转α角，其结果又如何？ 练习

1、在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o 的旋转变换对应的二阶矩阵是 2、如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 二、课堂训练： 例1．已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图. 例2、若△ABC 在矩阵M 对应的旋转变换作用下得到△A ′B ′C ′，其中A （0，0），B （1，3），C （0，2），A ′（0，0）， C ′（-3，1），试求矩阵M 并求B ′的坐标. 练习： 1. 将向量?? ????=12a 绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为=______________. 2. 在某个旋转变换中，顺时针旋转 3 π所对应的变换矩阵为 ＿＿＿＿＿＿． 三、课后巩固： 1. 曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是＿＿＿＿＿，变换对应的矩阵 是＿＿＿＿.

矩阵函数的求法

二、利用零化多项式求解矩阵函数. 利用Jordan 标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J 和P 。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。 定律：n 阶方阵A 的最小多项式等于它的特征矩阵的第n 个（也就 是最后一个）不变因子n d ()λ。（可参见张远达《线性代数原理》P215） 设n 阶方阵A 的不变因子反向依次为n d (),λn 11d (),,d ()-λλ ，由它们给出的初等因子分别为 12r m m m 12r (),(),,()λ-λλ-λλ-λ ；s r 1m m r 1s (),,()++λ-λλ-λ ； ，s i i 1 m n ==∑ 由于1223n 1n d ()|d (),d ()|d (),,d ()|d ()-λλλλλλ ，故 1o r 1s ~+λλ必定出现在1r ~λλ中； 2o 若i j (i r)(j r)λ>=λ≤则i j m m ≤ 根据上述定理，A 的最小多项式 12r m m m 012r ()()()()?λ=λ-λλ-λλ-λ 即 12r m m m 12r (I A)(I A)(I A)O λ-λ-λ-= 令r i i 1m m ==∑，则可见m A 可以由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示，从 而m i A (0)+λ>亦可由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示。所以，矩阵函数f(A)若存在，也必定可由0m 1A ~A -线性表示。 因此，我们定义一个系数待定的(m -1)次多项式m 1 i i i 0g()c -=λ=λ∑，根据 以上论述，适当选择系数0m 1c ~c -，就可以使f (A )=g (A )

矩阵的若尔当标准型及简单应用

哈尔滨师范大学 学年论文 题目矩阵的若尔当标准型及简单应用 学生李小琴 指导老师穆强 年级 2005级 专业数学与应用数学 系别数学系 学院数学与计算机科学学院 哈尔滨师范大学 07年6月

矩阵的及若尔当标准型及简单应用 李小琴 摘 要：复数域上的每一n 阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用. 关键词：若尔当 线性变换 矩阵 标准 定义1 设λ是一个复数，矩阵????? ?? ? ??λλλλ1 ..................00 (10) 00 0 1 00 (00) （ 1 ） 其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于 λ的一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同的本征值，那么存在V 的一个基，似的σ关于这个基的矩阵有形状 ???? ?? ? ??k B B B 002 1 （ 2 ） 这里i B =???? ?? ? ? ?i is i i J J J 002 1 ，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当块，.,...,2,1k i = 证 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域上是不可约 的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的本征值，k r r r ,...,,21是正整数，又设 i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{) (｜0)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解 V =....1k V V ⊕⊕ 对于每一i ，令i τ是σ—i λ在i V 上的限制，那么i τ是子空间i V 的一个幂零线性变换，而子空间i V 可以分解为i τ一循环子空间的直和：i is i i W W V ⊕⊕=...1.在每一循环子空间

矩阵的各种标准形研究

玉林师范学院本科生毕业论文 反例在数学证明中的运用Study about the Kind of Matrix Standard Form Question 院系数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 学生班级2010级1班 姓名 学号201004401137 指导教师单位数学与信息科学学院 指导教师姓名 指导教师职称副教授

数学与应用数学2010级1班梁玉漫 指导老师钟镇权 摘要 数学与应用数学专业本科生撰写学位论文应当符合写作规范和排版格式的要求.以下格式为依据国家标准和行业规范所编制的学士学位论文格式模板，供我系毕业生参照使用.理工科论文句号一律用实心圆点. 摘要部分说明： “摘要”是摘要部分的标题，不可省略. 标题“摘要”可选“标题1+四号”或手动设置成字体：黑体，居中，字号：四号，1.5倍行距，段前为0，段后11磅. 论文摘要是学位论文的缩影，文字要简练、明确。内容要包括目的、方法、结果和结论。单位制一律换算成国际标准计量单位制，除特别情况外，数字一律用阿拉伯数码。文中不允许出现插图. 摘要正文选用模板中的样式所定义的“正文”，每段落首行缩进2个汉字；或者手动设置成每段落首行缩进2个汉字，字体：宋体，字号：小四，行距：多倍行距1.25，间距：前段、后段均为0行，取消网格对齐选项. 摘要篇幅以一页为限，字数为300-500字. 摘要正文后，列出3－5个关键词。“关键词：”是关键词部分的引导，不可省略。关键词请尽量用《汉语主题词表》等词表提供的规范词. 关键词与摘要之间空一行.关键词词间用逗号间隔，末尾不加标点，3－5个，黑 体，小四.

Mathematics and Applied Mathematics 2007-2 Supervisor Su Derong Abstract Study about the question of matrix not only is the foundation of studying classical mathematics, also is useful value for the mathematics theory. It is not only an important branch of mathematics, also already become the powerful tool of processing massive question in the modern science and technology .Specially, computer has been used, which is opened the broad prospect for studying about the question of matrix. But the standard form of matrix has very important status whether in the theory or in the application. This article takes standard form of matrix as research object, starting from equal normal form, according to characteristic nature and qualitative, draws about two kind of different standard forms----similar standard form and contract standard form. What is more , sums up these two kinds of standard form convergence point as the solid symmetrical matrix standard form, through many examples, make every standard form expresses itself clearly, also causes the relation between them clearer. In the end , sums up the relation of several standard forms. Make us to understand the problem more profound. Key words: matrix, equal standard form, similar standard form, contract standard form

选修4-2 矩阵与变换 第一节 线性变换与二阶矩阵

第一节 线性变换与二阶矩阵 1．矩阵的相关概念 (1)由4个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表?????? a b c d 称为二阶矩阵，数a ，b ，c ，d 称为矩 阵的元素．在二阶矩阵中，横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；竖的叫列，从左到右依次称为矩阵的第一列、第二列．矩阵通常用大写的英文字母A ，B ，C ，…表示． (2)二阶矩阵?? ?? ?? 00 0称为零矩阵，简记为0，矩阵?? ?? ??1 00 1称为二阶单位矩阵，记作E 2. 2．矩阵的乘法 (1)行矩阵[]a 11a 12与列矩阵?? ?? ?? b 11b 21的乘法规则：为[]a 11a 12?? ? ? ?? b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21. (2)二阶矩阵??????a 11 a 12a 21 a 22与列向量??????x 0y 0和乘法规则：??????a 11 a 12a 21 a 22??????x 0y 0＝??????a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

??????a 11 a 12a 21 a 22??????b 11 b 12b 21 b 22＝???? ??a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律 即(AB )C ＝A (BC )， AB ≠BA ， 由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C . 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 3．线性变换的相关概念 (1)我们把形如???? ? x ′＝ax ＋by y ′＝cx ＋dy (*)的几何变换叫做线性变换，(*)式叫做这个线性变换的坐 标变换公式，P ′(x ′，y ′)是P (x ，y )在这个线性变换作用下的像． (2)对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P ，都有σ(P )＝ρ(P )，则称这两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设σ，ρ所对应的二阶矩阵分别为A ，B ，则A ＝B . 4．几种常见的线性变换 (1)由矩阵M ＝?? ?? ??1 00 1确定的变换T M 称为恒等变换， 这时称矩阵M 为恒等变换矩阵或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为E .平面是任何一点(向量)或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己． (2)由矩阵M ＝???? ?? a 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k (k >0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换，这时称矩 阵M ＝?? ?? ?? k 00 1或M ＝?? ?? ??1 00 k 伸压变换矩阵． 当M ＝?? ?? ??k 00 1时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩，当k >1时伸长，当 01时伸长，当 0

【高考精品复习】选修4-2 矩阵与变换 矩阵与变换

【高考会这样考】 1．本部分高考命题的一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算，考题中多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，进而研究新图形的性质． 2．本部分高考命题的另一个热点是逆矩阵，主要考查行列式的计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解决二元一次方程组的求解问题． 【复习指导】 1．认真理解矩阵相等的概念，知道矩阵与矩阵的乘法的意义，并能熟练进行矩阵的乘法运算． 2．掌握几种常见的变换，了解其特点及矩阵表示，注意结合图形去理解和把握矩阵的几种变换． 3．熟练进行行列式的求值运算，会求矩阵的逆矩阵，并能利用逆矩阵解二元一次方程组． 基础梳理 1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵????b 11b 21 的乘法规则： [a 11 a 12]????b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵????a 11a 21 a 12a 22与列向量??? ?x 0y 0的乘法规则： ????a 11a 21 a 12a 22 ????x 0y 0＝??? ?a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ????a 11a 21 a 12a 22 ??? ?b 11b 21 b 12b 22＝ ????a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB )C ＝

复矩阵若当标准形的性质与应用

莆田学院数学与应用数学系“高等代数选讲”课程论文 题目：复矩阵若当标准形的性质与应用 姓名：廉换霞 学号：410401143 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6 月 25 日

复矩阵若当标准形的性质与应用 数本041 廉换霞 410401143 摘要：若当标准形有广泛的应用。本文首先给出了若当形矩阵的定义和若当标准形的一些 性质及相关例题。然后讲到其应用。若当标准形在“矩阵分解论”、“矩阵方程论”，在解线性递推关系式等等中都有它的应用，我们通过一些例题来说明。最后，利用若当标准形的性质给出了哈密尔顿——凯莱定理的另一种证法。 关键词：若当形矩阵 若当标准形 初等因子 可逆阵 哈密尔顿——凯莱定理 一、 定义及性质 1、若当形矩阵的定义 形式为 1(,)1t t J t λλλλ??? ? ?= ? ? ?? 的矩阵称为若当块，其中λ是复数。由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵。 特别地一级若当块就是一级矩阵，因此若当形矩阵包括对角矩阵。 2、若当标准形的性质 性质一 若当形矩阵除去其中若当块排列次序外，被它的初等因子惟一决定。 此性质可用于求矩阵的若当标准形。 例1 求矩阵 126103114A --?? ?=- ? ?--?? 的若当标准形 解：首先求E A λ-的初等因子 22212601321001301101111411401321001 00011010002100(1)E A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ??+--+-+-???? ? ? ? -=-→--+→--+ ? ? ? ? ? ?---+-+-?????????? ? ?→--+→- ? ? ? ?-+--???? 因此，A 的初等因子是1λ-，2(1)λ-，A 的若当标准形是

第5讲 λ矩阵与标准形

第5讲 λ-矩阵与标准形 内容：1. 矩阵的Jordan 标准形 2. 矩阵的最小多项式 3. λ-矩阵与Smith 标准型 4. 多项式矩阵的互质性与既约性 5. 有理式矩阵的标准形及仿分式分解 λ-矩阵又称多项式矩阵是矩阵理论中的重要内容， 在线性控制系统理论中有着重要的应用. 本讲讨论λ-矩阵和数字矩阵的相似标准形、矩阵的Jordan 标准形、矩阵的最小多项式、多项式矩阵与有理分式矩阵的标准形. §1 矩阵的Jordan 标准形 1.1 矩阵相似 定义 1.1 设A 和B 是矩阵，C 和D 是非奇异矩阵，若DAC B =,则称A 和B 相抵；若AC C B T =,则称A 和B 相合（或合同）；若AC C B 1-=,则称A 和B 相似，即若n n C B A ?∈,，存在n n n C P ?∈,使得B AP P =-1，则称A 与B 相似，并称P 为把A 变成B 的相似变换矩阵.特别，当1-=P P H ,称A 与B 酉相似，当1-=P P T ,称A 与B 正交相似. 相似是矩阵之间的一种重要的关系. 相似矩阵具有以下性质：

定理1.1 设n n C B C A ?∈,,, )(λf 是一个多项式，则 （1） 反身性：A 与A 相似； （2） 对称性：若A 与B 相似，则B 与A 也相似； （3） 传递性：若A 相似于B ，B 相似于C ，则A 与C 相似； （4） 若A 与B 相似，则B A det det =,rankB rankA =； （5） 若A 与B 相似，则)(A f 与)(B f 相似； （6） 若A 与B 相似，则)det()det(B I A I -=-λλ,即A 与B 有相同的特征多项式，从而特征值相同. 对角矩阵是较简单的矩阵之一，无论计算它的乘积、幂、逆矩阵和特征值等都比较方便.问题：方阵A 能否相似于一个对角矩阵？ 定义1.2 设n n C A ?∈，若A 相似于一个对角矩阵，则称A 可对角化. 定理 1.2 设n n C A ?∈，则A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 证明 充分性.设),,,(211n diag AP P λλλ =Λ=-,其中 ),,,(21n p p p P =，则由Λ=P AP 得i i i p Ap λ=, ),,2,1(n i =，可见i λ是A 的特征值，P 的列向量i p 是对应特征值i λ的特征向量， 再由P 可逆知n p p p ,,,21 线性无关. 必要性. 如果A 有n 个线性无关的特征向量n p p p ,,,21 ，即有i i i p Ap λ=,),,2,1(n i =，记),,,(21n p p p P =，则P 可逆，且有 ),,,(),,,(221121n n n p p p Ap Ap Ap AP λλλ ==

第八章λ矩阵与若尔当标准形复习指导

第八章 λ-矩阵与若尔当标准形复习指导 （一）基本内容 1.-λ矩阵，可逆的-λ矩阵，-λ矩阵的秩. 2.-λ矩阵的初等变换及标准形，-λ矩阵的等价. 3.行列式因子，不变因子，初等因子. 4.若尔当标准形，最小多项式，矩阵的有理标准形. （二）主要方法 1.-λ矩阵的逆矩阵的求法. 2.化-λ矩阵为标准形的方法. 3.-λ矩阵的不变因子与初等因子的求法. 4.矩阵相似的判别. 5.矩阵与对角矩阵相似的判别. 6.复系数矩阵的若尔当标准形的求法. 7.矩阵的最小多项式的求法. （三）重要习题 例1：求可逆-λ矩阵的逆矩阵. 【①伴随矩阵法：)() (1)(1λλλ?-=A A A , ②初等变换法:()???→?初等行变换E A )(λ() )(1λ-A E 】 例2：化-λ矩阵为标准形. 如：课本P334例. 类似题有：课本P355习题1. 例3：求-λ矩阵的不变因子与初等因子. 如：课本P342例. 类似题有：课本P356习题2、习题3. 例4：求复系数矩阵A 的若尔当标准形. 【这是重点！①先求初等因子，②写出初等因子对应的若尔当块，③得到A 的若尔当标准形.】 如：课本P349例1、例2. 类似题有：课本P357习题6. 例5：判别矩阵相似. 【两矩阵相似的充分必要条件是它们的不变因子或初等因子相等】 见：课本P341推论、P343定理8. 方法：求出它们对应的特征多项式的行列式因子或不变因子或初等因子. 如：课本P357习题5. 例6：判别矩阵与对角矩阵相似. 【矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是初等因子全为一次因子或其不变因子都没有重根】 见：课本P351定理12、13. 方法：求出对应的特征多项式的不变因子或初等因子. 例7：求矩阵的最小多项式. 【最小多项式是特征多项式的因式】 方法：先求出特征多项式，再找满足条件的因式. 如：课本P317例1、2. 类似题有：课本P326习题27.

利用若当标准型讨论矩阵的秩

利用若当标准型讨论矩阵的秩 首先， 对于如下r ?r 的若当块矩阵 J =100100λλ?? ? ? ? ??? 任给η∈C ，考虑矩阵 Q(η)= η?E r ?r - J , 那么我们如下简单性质： 性质1. 如果η≠λ, 那么Q(η)为可逆矩阵. 性质2. 当1≤ m ≤ r 时，rank(Q(λ)m )= r -m . 性质3. 当m ≥ r 时Q(λ)m = 0. 设矩阵A 为n ?n 的矩阵，它的若当标准型J =diag(J 1,J 2,…,J K ),即存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1 成立，其中J i =100100i i λλ?? ? ? ? ??? , 并且J i 的阶数为r i , i =1,2,…,K . 很明显，对于不同的i ，相应的若当块的对角元素可能是相同的。 很自然，我们有如下的简单关系： r 1+r 2+…+r K = n 下面我们讨论一下矩阵(λ?E n ?n - A )m 的秩。由于存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1成立，我们只需要分析矩阵(λ?E n ?n - J )m 的秩就可以了。 当λ 不为A 的特征值时，(λ?E n ?n - J )m 为可逆矩阵，这对于我们进一步的讨论没有任何意义。因此，我们只考虑λ 是A 特征值的情形, 并且不妨设在A 的若当标准型中λ=λi =λi +1=…=λi +s -1所对应的若当块为J i , J i +1,…, J i +s -1共s 个，那么 rank((λ?E n ?n - A )m )=rank ((λ?E n ?n - J )m )= 1rank(())i i K m r r i i λ?=?-∑E J 很明显，当j < i 或者j ≥ i +s 时rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= r j ; 对于i ≤j ≤i +s -1 的情形，我们需要区分1≤m ≤ r j 和m >r j 的情况。 根据性质2，当i ≤j ≤i +s -1 且1≤ m ≤ r j 时，rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= r j -m ; 根据性质3，当i ≤j ≤i +s -1且m ≥ r j 时, rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= 0; 如果对于x ∈R 引入记号 (x )+= max{x ,0}, 那么我们有: 当i ≤j ≤i +s -1 时，rank((λ?j j r r ?E - J j )m )= (r j -m )+ . 因此 rank((λ?E n ?n - A )m )=1rank(())i i K m r r i i λ?=?-∑E J =1 11()i K i s j j j j j i s j i r r r m -+-+==+=++-∑∑∑

高三数学(理)《选修4-2_矩阵与变换》专题练习答案

高二数学（理）《矩阵与变换》 1、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD 在矩阵?? ????100a 变换作用下变成正方形，则a ＝ 2、在直角坐标系xOy 内，将每个点的横坐标与纵坐标都变为原来的3倍，则该变换的矩阵是 3、已知矩阵A =1111?? ?-??，B =2111-?? ?-?? ，则AB 等于 4、已知矩阵A =1111-?? ??? ，则矩阵A 的逆矩阵A -1等于 5、点（－１，k ）在伸压变换矩阵?? ????100m 之下的对应点的坐标为（-2, -4 ），则m 、k 的值分别为 6、计算:??????-???? ??321110=__________ 7、点A （1，2）在矩阵?? ????-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 8、若点A 在矩阵1222-????-?? 对应的变换作用下下得到的点为（2，4），则点A 的坐标为_________ 9、将向量?? ????=12a 绕原点按逆时针方向旋转4π得到向量b ，则向量b 的坐标为___________ 10、在某个旋转变换中，顺时针旋转3 π所对应的变换矩阵为＿＿＿＿＿＿ 11、曲线y x =在矩阵0110?????? 作用下变换所得的图形对应的曲线方程为＿＿＿＿＿＿ 12、曲线xy=1绕坐标原点逆时针旋转90°后得到的曲线方程是 ，变换对应的矩阵是＿＿ 13、若曲线x 3cos 2 1y =经过伸压变换T 作用后变为新的曲线cos y x =，试求变换T 对应的矩阵M =＿＿＿＿. 14、矩阵3221A ??=???? 的逆矩阵

求矩阵的Jordan标准形的两种方法

求矩阵的Jordan 标准形的两种方法 方法1. 利用矩阵的初等因子 原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然. 求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形. 方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 原理: 在复数域上, 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似, 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形. 例. 设??? ? ? ?? -----=411301621A , 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形. 解: 方法1. .)1(0 001000 1120011000123101100 014111102310411316212222 )1(232132???? ? ??-- →????? ??-+---??→?????? ??-+----→?? ? ? ? ??----+--???→?????? ??---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλ λλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为 . 1100 1000121??? ? ? ??=???? ??=J J J 方法2. (1) 首先求A 的特征值. 3)1(||-=-λλA E , 所以特征值为1,1,1. (2) 求出相应的特征向量. 求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解: .000000311311311622???? ? ??-→????? ?? ---=-A E 相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基. (3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形.

选修42矩阵与变换习题

第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 ①OP → (2, 3)，将→的坐标排成一列，并简记为??????2 3 ???? ?? 2 3 初赛 复赛 甲 80 90 乙 86 88 ③ 概念一： 象??????2 3 80908688?? ???? 23324m ????-?? 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍： ①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行） ④列矩阵：???? ?? a 11 a 21 （仅有一列） ⑤向量a → ＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ?? ???? ，在本书中规定所有的平面向量 均写成列向量x y ?? ???? 的形式。 练习1： 1.已知??????-=243x A ,?? ? ???-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ??=????，2m n x y B x y m n ++?? =??--?? ，若A=B ，求x,y,m,n 的值。 概念二： 由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ?? ????称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000?? ???? ，记为0。 ②二阶单位矩阵：1001?? ?? ?? ，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法 2 3 m 3 －2 4 y x 2 3 O P ( 2, 3) — 2 — 3 — ???? ??80 90 86 88 231,3242x y mz x y z ++=??-+=?简记为23324m ????-??

二次型化为标准形的几种方法

2015届本科毕业论文 题目：二次型化为标准型方法 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-2班学生姓名：赵江南 指导教师：艾合买提 答辩日期：2015年5月5日

目录 1 引言 (1) 2 关于二次型定义 (1) 3 二次型化为标准型的方法 (3) 3.1 正交变换法 (3) 3.2. 配方法 (5) 3.3. 初等变换法 (7) 3.4. 雅可比方法 (8) 3.5. 偏导数法 (10) 4. 小结 (14) 参考文献 (15) 致谢 (16)

二次型化为标准形的几种方法 摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。 关键词：正交变换法；配方法；初等变换法；雅可比方法；偏导数法 Several Methods of Changing the Quadratic into the Standard Abstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula. Key words: orthogonal transform method ; match method ;elementary transformation; jacobian method ;partial derivative method

矩阵的若尔当标准型及简单应用

矩阵的及若尔当标准型及简单应用 摘要： 矩阵的若尔当标准形是线性代数的一个重要的的组成部分，他通过数字矩阵的相似变换得到。矩阵的若尔当标准型理论在数学、理论力学、计算方法、物理、化学及数学的其他领域都有极其广泛应用。 每个n级得复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外是被矩阵A唯一决定的，它称为A的若尔当标准形。对于n阶矩阵来说，如果他的特征根方程有重根且重根的个数等于其相应的特征向量个数时，此n阶矩阵就可通过相似变换化为对角形。 本文主要通过研究矩阵的极小多项式、可逆矩阵P的求法，以及若而当标准型的几种求解方法，对若而当标准型矩阵进行探讨。 关键词：若尔当线性变换矩阵标准

定义1： 设λ是一个复数，矩阵 ??? ? ? ??? ? ?λλλ λ1000 0..................00 (1000) ...0100 (00) ，其中主对角上的元素都是λ，紧邻主对角线下方的元素都是1，其余位置都是零，叫做属于的λ一个若尔当（或若尔当块）. 当λ=0时，就是所谓的幂零若尔当矩阵. 定理1 ： 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，k λλλ,...,,21都是σ的一切互不相同特征值，那么存在V 的一个基，σ关于这个基的矩阵有形式 ??????? ? ?k B B B 002 1 这里i B = ??????? ? ?i is i i J J J 002 1 ，而i is i i J J J ,...,,21都是属于i λ的若尔当 块，.,...,2,1k i = 证： 设σ的最小多项式是rk k r x x x P )...()()(11λλ--=，而)(x P 在复数域 上是不可约的因式分解，这里k λλλ,...,,21是互不相同的特征值， k r r r ,...,,21是正整数。 又i V =ker V i r i ∈=-ξλσ{)(｜ 0)(=-ξλσi r i }，,,...,2,1k i =所以空间V 有直和分解V =....1k V V ⊕⊕

4-2矩阵与变换(含行列式)(2009)

1. (2009 福建理) （本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M=2311-?? ?-?? 所对应的线性变换把点()A x y ，变成点(135)A '，，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标.． 答案：本小题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．满分7分． 解：依题意得由2311M -??= ?-??，得||1M =，故11312M --??= ?-?? ． 从而由2 313115x y -??????= ??? ?-??????得1313113352125113253x y --?+???????????=== ? ??? ? ?--?+?-??????????， 故23x y =??=-? ，，即(23)A -，为所求． 2. (2009 江苏) 选修4-2：矩阵与变换 求矩阵3 221A ??=???? 的逆矩阵． 答案：本题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力．满分10分． 解：设矩阵A 的逆矩阵为x y z w ??????，则3221??????1001x y z w ????=???????? ， 即323222x z y w x z y w ++????++??1001??=????，故32120x z x z +=??+=?，，32021y w y w +=??+=? ，， 解得1 223x z y w =-===-，，，， 从而A 的逆矩阵为11223A --??=??-?? ．

3. (2009 上海理) 若行列式45 13 789 x x中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件 是． 答案： 8 3 x> 4. (2009 上海文) 若行列式45 13 789 x x中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件 是． 答案： 8 3 x>

选修4-2+矩阵与变换

/选修4－2 矩阵与变换A [最新考纲] 1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系． 2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示． 3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵． 5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量. 知 识 梳 理 1．矩阵的乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵???????? b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]????? ??? b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵????????a 11a 21 a 12a 22与列向量?????? ?? x 0y 0的乘法规则： ????????a 11a 21 a 12a 22????????x 0y 0＝????? ??? a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则 ①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.

(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ????????a 11a 21 a 12a 22????? ???b 11b 21 b 12b 22＝ ????? ???a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B . (2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝?? ?? ?? a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为 A － 1＝ ????? ???d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组??? ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝??????a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解??????x y ＝?? ????a b c d －1??? ? ?? m n ， 其中A － 1＝????? ???d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．

矩阵对角化、若当标准型

第三章 矩阵的对角化、若当标准型 §3.1 矩阵对角化 线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。 一、特征值、特征向量性质 定义1 设n n A ?∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。 下面定理1是显然的。 定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。 由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。 定理2 设n n A ?∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。 定义2设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为i λ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。 由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关特征向量的个数。 定理3 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则 证明 特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以 例1 求123323001A ????=????-??的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。 解 1 23det()3 2300 1I A λλλλ----=---+ 所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。 1λ的几何重复度113rank()I A αλ=-- 2λ的几何重复度223rank()I A αλ=-- 定理4 设n n A ?∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何重复度，则i i m α≤。