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若尔当标准型求法例题
若尔当标准型求法是一种矩阵分解的方法，用于将一个线性变换表示为若尔当矩阵的乘积形式。
它在线性代数中被广泛应用，特别是在研究矩阵的特征值和特征向量时。
若尔当标准型提供了一种简洁的方式来描述矩阵的特征结构。
为了理解若尔当标准型的求法，我们首先需要了解若尔当矩阵。
一个若尔当矩阵是一个由多个若尔当块组成的矩阵，其中每个若尔当块都由一个特征值和对应的特征向量所确定。
若尔当矩阵的形式类似于一个对角矩阵，但是对角线上可以有多个非零元素。
若尔当标准型的求法涉及以下步骤：
1. 计算特征值和特征向量：首先，我们需要计算给定矩阵的特征值和特征向量。
这可以通过求解矩阵的特征方程来完成。
2. 构建若尔当块：对于每个特征值，我们根据对应的特征向量构建一个若尔当块。
若特征值有重复的根，则若尔当块的大小将相应增加。
3. 形成若尔当标准型：将所有构建的若尔当块按照特定的顺序排列，形成若尔当标准型矩阵。
通常，若尔当块按照特征值的大小进行排序。
若尔当标准型的求法允许我们更好地理解线性变换的行为，特别是当矩阵的特征值存在重复根时。
通过将矩阵分解为若尔当矩阵的乘积形式，我们可以更清楚地看到特征向量的线性组合如何影响变换。
总结起来，若尔当标准型求法是一种用于将线性变换表示为若尔当矩阵乘积形式的方法。
它通过计算特征值和特征向量来构建若尔当块，并按照特征值的大小排列它们，从而形成若尔当标准型矩阵。
这种表示方式有助于我们更好地理解矩阵的特征结构和线性变换的行为。
问题：有没有简便的方法求若尔当标准型？记号：以下U ∗表示矩阵U 的共轭转置命题1：若存在酉矩阵U ，使得U ∗AU=B ，设A=【a ij 】，B=【b ij 】，则：|a ij |2n i,j=1= |b ij |2n i,j=1证明： |a ij |2n i,j=1=tr A ∗A , |b ij |2n i,j=1= tr B ∗B =tr U ∗A ∗AU ，由矩阵乘法在迹运算下的可交换知：tr A ∗AU U ∗= tr A ∗A ，得证由这个定理，则将矩阵A 酉相似为若尔当标准型后，记s= |a ij |2n i,j=1，t= |λi |2n i=1（λi 为A 的特征根），则s 与t 的差值即为若尔当标准型中剩下的1的个数。
对每个若尔当块J t 为n t ×n t ，有n t -1个“1”，设化为若尔当标准型后有k 个若尔当块，则s −t = （n i −1）=n-k ，故 k=n+t-s .命题：记号同上，矩阵A 的若尔当标准型中若尔当块的个数k= n+t-s . 推论：记号同上，则s-t 为非负整数，且等于0当且仅当A 可对角化当且仅当A 是正规矩阵.分析：记号同上，设矩阵A 的特征根λi 的重数为n i ，若重数大于1的特征根只有1个，设其为λt ，对应重数为n t ，那么应该有n t -1个1，而其他的特征值由于互异，对应的若尔当块没有1，若矩阵A 一共有m 个不同的特征根，其中只有λi 的重数大于1，为n i ，那么λi 将对应k-m+1个若儿当块，此时可以很快写出若尔当标准型。
命题：记号同上，设矩阵A ，若重数大于1的特征根只有1个，设其为λt，对应重数为n t，令p= k-m+1，若方程x1+……x p=n i的正整数解唯一，则可以直接写出A的若尔当标准型。
问题：对于其他情况将更加复杂，是否可以再多求解一下简单的量值的情况下求出其他情况下矩阵A的若尔当标准型？？？。
求若当标准型例题4阶本例题目，问一个分数的问题。
要求给一个方程式，求出这一个数量的数的平方和。
求这个数的乘积，和就是四则运算的减法运算。
若不想减分，也可以不写。
这道题给出了四个条件，要求用什么方式求？这三种类型都是题型特点，可以作为解题的标尺；或者直接写答案；也可以结合其他方法解题。
其实这样做有两个好处：第一、对于初学者来说，本题考察了一定范围内任意数都可以从不同方向得出结果；第二点说明了只要在求解这类题目时只考虑几个字母就行了。
本例题是先给出一个数。
一般情况下这种题型有两种解法，一是直接给出答案或一个答案；二是把题所求之值减去相应的系数进行求和(-1),再乘以相应得出结论或结果。
这种题型又称“一次不变式”或“求为式”或“不求为式”，它有三个特点：①计算简便；②要求数形结合；③有规律可循、条件易于证明。
解出后若能根据已知结果直接求答案更为省时省力，但此选项不是最终结果；也不是必选项）等。
这里我们要注意三个基本的条件:(1) x与 z成对(0-1)(2+4)=8等式中2x-9=0,,因此要做二次不等式才能得到答案，否则不能够求出问题也没有办法解决；因为x+1>4是数据点，所以无法通过运算得出答案。
所以需要二次元函数或者等差的代数形式为 y= x+2x-y轴的交点为坐标轴时,,也就是正方形时，然后用最小值得此答案；二次方程也可由 y= k 得到结果，但只有到x时才能算出题目中所要求的所有解的情况下。
②只需利用求出结果来计算。
注意本题是一道典型的二一、对于有多个数相乘的题，因为求出的数太多，求不出结果；出多个数而又未给出任何结果时不能用一次方程计算，只能通过求和来求解；②用不等式或二次不等式求出结果后，再根据结果来求得相应解项。
③因二次方程未给出结果而只需找出二次方程中的一阶解即可，所以用最小值的方法可以得到答案。
①由于本题用的二次方程是由 y=k- l x= k得到的结果，所以用求和结果计算就行了；②由于本题要求的所有解都是二次方程，所以用最小值就可以求得解项了；③对于多个数相乘的题，通过求出多个相乘的解即可，在求解的过程中二次元函数的性质必须同时满足(y= k+1)两个条件。
第三章 矩阵的对角化、若当标准型§ 矩阵对角化线性变换在基下的矩阵若为对角阵，则向量在基下的表示将非常简单，而线性变换在两个基下的矩阵相似，故线性变换在基下矩阵为对角阵问题即为矩阵对角化问题。
一、特征值、特征向量性质定义1 设n n A ⨯∈C ，称A 的全体特征值为A 的谱。
下面定理1是显然的。
定理1 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的谱。
由于矩阵A 的不同特征值对应的特征子空间的和是直和，故有下面定理2。
定理2 设n n A ⨯∈C ，则A 的不同特征值对应的特征向量线性无关。
定义2设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，称A 的特征多项式中i λ的重根数i m 为iλ的代数重复度，称特征子空间i V λ的维数i α为i λ的几何重复度。
由定义2即知A 的特征值i λ的几何重复度i α为A 对应于特征值i λ的线性无关特征向量的个数。
定理3 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i α为i λ的几何重复度，则rank()i i n n I A αλ=--证明 特征子空间{|,}i n i V x Ax x x λλ==∈C ，所以dim dim ()ii i n V N I A λαλ==-dim ()i n n R I A λ=-- rank()i n n I A λ=--例1 求123323001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱，及相异特征值的代数重复度和几何重复度。
解 123det()32301I A λλλλ----=---+ 2(1)(4)λλ=+-所以A 的谱为11,1λ=--，24λ=，12,λλ的代数重复度分别为122,1m m ==。
1λ的几何重复度113rank()I A αλ=--2233rank 3331000---⎡⎤⎢⎥=----=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2λ的几何重复度223rank()I A αλ=--3233rank 3231005--⎡⎤⎢⎥=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定理4 设n n A ⨯∈C ，i λ为A 的特征值，i m 为i λ的代数重复度，i α为i λ的几何重复度，则i i m α≤。
利用若当标准型讨论矩阵的秩首先， 对于如下r ⨯r 的若当块矩阵J =100100λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭任给η∈C ，考虑矩阵 Q(η)= η⋅E r ⨯r - J , 那么我们如下简单性质：性质1. 如果η≠λ, 那么Q(η)为可逆矩阵.性质2. 当1≤ m ≤ r 时，rank(Q(λ)m )= r -m .性质3. 当m ≥ r 时Q(λ)m = 0.设矩阵A 为n ⨯n 的矩阵，它的若当标准型J =diag(J 1,J 2,…,J K ),即存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1成立，其中J i =100100i i λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 并且J i 的阶数为r i , i =1,2,…,K . 很明显，对于不同的i ，相应的若当块的对角元素可能是相同的。
很自然，我们有如下的简单关系：r 1+r 2+…+r K = n下面我们讨论一下矩阵(λ⋅E n ⨯n - A )m 的秩。
由于存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1成立，我们只需要分析矩阵(λ⋅E n ⨯n - J )m 的秩就可以了。
当λ 不为A 的特征值时，(λ⋅E n ⨯n - J )m 为可逆矩阵，这对于我们进一步的讨论没有任何意义。
因此，我们只考虑λ 是A 特征值的情形, 并且不妨设在A 的若当标准型中λ=λi =λi +1=…=λi +s -1所对应的若当块为J i , J i +1,…, J i +s -1共s 个，那么rank((λ⋅E n ⨯n - A )m )=rank ((λ⋅E n ⨯n - J )m )= 1rank(())i i Km r r ii λ⨯=⋅-∑E J 很明显，当j < i 或者j ≥ i +s 时rank((λ⋅j jr r ⨯E - J j )m )= r j ; 对于i ≤j ≤i +s -1 的情形，我们需要区分1≤m ≤ r j 和m >r j 的情况。
