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矩阵与矩阵的标准形

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矩阵理论(第三章矩阵的标准型)

矩阵理论(第三章矩阵的标准型)

100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子

矩阵理论矩阵的标准型(ppt)

矩阵理论矩阵的标准型(ppt)

定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
还可注意到,如果两个 –矩阵等价,则其秩相等;反之则不然. 这也是 –矩阵与数字矩阵的不同之处.例如:
A(
)
0
1 1
,
B(
)
1 0
1
的秩相等,但不等价.
定理 3.3 若 rank(A()) r ，则
d1()
d2()
A()
D()Biblioteka dr ()00
其中 di ( ) | di1( ) ， i 1, 2, , r 1 (依次相除性)， di ( ) 为首 1 多项式， i 1, 2, , r . D( )为 A( ) 的等价标准形，称为 Smith 标准形.
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.

矩阵分析矩阵的标准形

矩阵分析矩阵的标准形

矩阵分析矩阵的标准形矩阵的标准形是矩阵理论的一个重要概念，它能够将复杂的矩阵转化为简洁的形式，并提供有关矩阵性质的重要信息。

在矩阵分析中，我们可以通过相似变换将矩阵转化为标准形。

本文将介绍矩阵的标准形的定义、性质和应用。

一、矩阵的标准形的定义矩阵的标准形是指通过相似变换将矩阵转化为一个特定的形式。

由于矩阵的相似性保持了矩阵的一些重要性质，因此标准形可以用来研究和描述矩阵的特征。

在矩阵理论中，最常见的标准形有特征值标准形、有理标准形和Jordan标准形等。

二、特征值标准形特征值标准形是矩阵分析中最常见的标准形之一、对于一个n阶矩阵A，如果它有n个不同的特征值，则它一定可以被相似变换为特征值标准形，即：P^-1*A*P=D其中，P是一个可逆矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。

特征值标准形的意义在于将一个复杂的矩阵转化为了一个对角矩阵，可以方便地提取和计算矩阵的特征值，进而得到矩阵的其他性质，如特征向量、固有子空间等。

三、有理标准形有理标准形是一类特殊的矩阵标准形，它可以将矩阵分解为若干个简单的分块。

对于一个n阶矩阵A，如果它有分块矩阵B_i与可逆矩阵P_i，使得：P_1^-1*B_1*P_1+P_2^-1*B_2*P_2+...+P_k^-1*B_k*P_k=A其中，B_i是一个特定的形式矩阵，称为无穷小标准形。

具体形式如下：B_i=[0,1,0, 0[0,0,1, 0[0,0,0, 0...[0,0,0, 0有理标准形的应用十分广泛，它可以用于求解线性差分方程、等价关系等问题。

四、Jordan标准形Jordan标准形也是矩阵分析中一种重要的标准形。

对于一个n阶矩阵A，如果它有分块矩阵J_i与可逆矩阵P_i，使得：P_1^-1*J_1*P_1+P_2^-1*J_2*P_2+...+P_k^-1*J_k*P_k=A其中，J_i是一个特定的Jordan分块形式矩阵，它由特征值和特征向量的个数决定。

2.1,2.2矩阵的初等变换与标准形

2.1,2.2矩阵的初等变换与标准形

化成标准形。
从定理2可以看出，若A B, 则A与B有相同的标 准形.设A是n阶方阵，经初等变换后化成B，据行 列式的性质及初等变换的定义可知，当 | A | 0时
必有 | B | 0，当 | A | 0时必有 | B | 0，即初等变换 不改变矩阵的可逆性因此，对于 . n阶可逆方阵A， 它的标准形I 也可逆，故I 是n阶单位矩阵En；反之 若n阶方阵A的标准形I En，则A可逆，故我们又 有如下定理
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
T
由此可知
T
Ax 0与AT Ax 0同解,
故 RA A R A.
1 2
9 r4 r3 4 3 r3 ( ) 4
1 0 0 0
1 2
1
1 1 1 3 0 0 1 0 0 0
4 2 B 3 0
一般地，对任何矩阵均可类似上例进行， 从而有以下定理 定理1 任何非零矩阵A (aij )mn可以只用
2.1初等变换与矩阵等价
一. 初等（行/列）变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
ri rj 1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri rj）； ; kri 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 r kr （第 i 行乘 k , 记作 ri k） i j 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
1 4 1 1 2 r 5r 1 2 0 1 1 2 3 3 r 3r 2 0 5 5 3 6 4 0 3 3 4 3

第3章 矩阵的标准形1

第3章 矩阵的标准形1

⇒ 设 A( λ )可逆，则存在B( λ ) ，使得 A( λ ) B( λ ) = B( λ ) A( λ ) = En
⇒ A(λ ) B (λ ) = 1 即 A(λ ) B (λ ) =1 由于 A(λ ) ， B (λ ) 均 B(λ ) 均为 λ 的多项式，所以 A(λ ) ， 为常数。
设 A(λ ) =C ≠ 0 ，则 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ adjA(λ ) ⎟ A(λ ) = A(λ ) ⎜ adjA(λ ) ⎟ = En ⎝c ⎠ ⎝c ⎠ 所以， A(λ )是可逆的。其中 adjA(λ ) 是 A(λ ) 的伴随矩阵。
矩阵分析简明教程
矩阵分析简明教程
定义3.2.5 定义 3.2.5
形如
⎛ d1 (λ ) ⎜ ⎜ ⎜ J (λ ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
d r (λ ) 0
引理3.2.1 引理 3.2.1 如果 λ − 矩阵 A( λ ) 的左上角元素a11 ( λ ) ≠ 0, 且 A( λ ) 中至少有一个元素不能被 a11 ( λ) 整除，则可以 找到一个与 A( λ) 等价的 λ − 矩阵 B( λ ) ，其左上角 元素 b11 ( λ) ≠ 0, 且次数比 a11 ( λ) 的次数低。
二、行列式因子、不变因子与初等因子
定义3.2.6 定义 3.2.6 矩阵 A( λ ) 的所有非零 k 阶子式的首一 （最高次项系数为 1 ）最大公因式 Dk ( λ ) 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子 阶行列式因子。 定义3.2.7 定义 3.2.7 矩阵 A( λ ) 的Smith标准形中的非零对角元
矩阵分析简明教程
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λ - 矩阵及其Smith标准形 § 2、

矩阵理论矩阵的标准型ppt课件

矩阵理论矩阵的标准型ppt课件

–矩阵的相等、加法、数乘和乘法等概念与运算 都与数字矩阵相同，而且有相同的运算规律． 对 n n 的 -方阵可类似定义行列式、子式、余子式、 伴随矩阵等概念．
如果 –矩阵 A( ) 中有一个 r 阶子式 (r 1) 不为零，
而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
矩阵理论矩阵的标准型
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
其中 aij ( ) (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) 为 的多项式．
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
故不是 Smith 标准形. 方法一 用初等变换

矩阵理论第四章 矩阵的标准形


β = (0,1, −1)
T
综合上述， 综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组 用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组 标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得 由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量， 值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称 根向量。 为 λ i 的 ni j 级根向量。 的广义特征向量 称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设

矩阵的有理标准型

矩阵的有理标准型矩阵的有理标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它在矩阵理论和应用中有着广泛的应用。

在本文中，我们将对矩阵的有理标准型进行详细的介绍和讨论。

首先，我们来定义什么是矩阵的有理标准型。

对于一个n阶方阵A，如果存在可逆矩阵P和Q，使得P^-1AQ=J，其中J是一个有理标准型矩阵，那么J就是矩阵A的有理标准型。

有理标准型的形式为：J = diag{J1, J2, ..., Jr}。

其中每个Ji都是一个块对角矩阵，它的形式为：Ji = λi I + Ni。

其中λi是矩阵A的特征值，Ni是对应于特征值λi的矩阵A的特征子空间的一组基所对应的矩阵。

有理标准型的存在性是线性代数中一个非常重要的定理，它保证了对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P和Q，使得P^-1AQ是一个有理标准型矩阵。

这个定理的证明比较复杂，我们在这里不做详细讨论。

有理标准型的计算方法一般是通过对矩阵A进行相似对角化来实现的。

首先，我们需要计算出矩阵A的特征值和对应的特征向量，然后构造出P和Q，最后通过相似对角化的方法得到矩阵A的有理标准型。

有理标准型在矩阵的理论和应用中有着广泛的应用。

例如，在矩阵的对角化、矩阵的相似性等问题中，有理标准型都有着重要的作用。

另外，在控制理论、微分方程等领域，有理标准型也有着重要的应用价值。

总之，矩阵的有理标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它保证了对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P和Q，使得P^-1AQ是一个有理标准型矩阵。

有理标准型在矩阵的理论和应用中有着广泛的应用，它是线性代数中的一个重要定理，对于深入理解矩阵理论和应用有着重要的意义。

矩阵化标准型

矩阵化标准型
矩阵化标准型是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵的运算和应用中起着至关重要的作用。

在矩阵化标准型的概念中，我们需要了解其定义、性质以及相关的运算规则，以便更好地应用于实际问题中。

首先，矩阵化标准型是指将矩阵化为一种特定的标准形式，使得矩阵的结构更加简洁明了，方便进行进一步的运算和分析。

通过对矩阵进行一系列的变换和化简，可以将其化为标准型，从而更好地理解和利用矩阵的性质。

其次，矩阵化标准型具有一些重要的性质。

首先，矩阵化标准型是唯一的，即对于一个给定的矩阵，其标准型是确定的，不会因为不同的化简方法而产生不同的结果。

其次，矩阵化标准型是矩阵的一种规范形式，可以帮助我们更好地理解和分析矩阵的性质和特点。

最后，矩阵化标准型可以帮助我们解决线性方程组、矩阵的相似性和对角化等问题，具有广泛的应用价值。

在进行矩阵化标准型的计算时，我们需要遵循一定的运算规则和步骤。

首先，我们可以通过初等行变换和初等列变换将矩阵化为
行阶梯型或者列阶梯型，然后再进一步化简为标准型。

在进行变换的过程中，需要注意保持矩阵的等价性，即不改变矩阵的秩和行列式的值。

通过适当的变换和化简，最终可以得到矩阵的标准型。

总之，矩阵化标准型是矩阵理论中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解和应用矩阵的性质和特点。

通过对矩阵进行一系列的变换和化简，可以将其化为标准型，从而更好地进行进一步的运算和分析。

在实际问题中，矩阵化标准型具有广泛的应用价值，可以帮助我们解决线性方程组、矩阵的相似性和对角化等问题。

因此，掌握矩阵化标准型的概念、性质和运算规则对于深入理解和应用矩阵理论具有重要意义。

§1.5 矩阵的初等变换


推论2证明
存在 n 阶可逆阵P和Q, 使 PAQ Er O , (r n), O O
则 A P 1 Er O Q1, 故有 P 1 Er O Q1B E,
O O
O O
即有 Er O Q1B P, 由此可断定 r = n, O O
1 1 4 2
行最简形及标准形.
化为行阶梯形、
A
r

1 0
2 3
2 6
1 3
r
1 0
0 1
2 2
1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
C

0
1
0
0
0 0 0 0
矩阵化标准形步骤：先 用初等行变换化为行最简 形,再用初等列变换化为标 准形.
证明 (1) 由 A2 A 2E O , 得 A( A E) 2E, 即 A A E E,
2 故 A 可逆,且有 A1 1 ( A E ).
2 (2) 由 A2 A 2E O , 得 ( A 2E)( A 3E) 4E O,
即 ( A 2E) 1 (3E A) E,
(1) ri rj 的逆变换是 ri rj
(2)
ri

k
的逆变换是
ri

(1 k
)
(或记作
ri

k
).
(3) ri+krj 的逆变换是 ri+(k)rj (或记作 ri krj ).
3. 1) 若矩阵A经有限次初等行 (列) 变换变成矩阵B,
就称矩阵A与B行
(列)
等价,
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λ ( λ + 1) λ λ ≃ 2 ( λ + 1) λ ( λ + 1) ≃ λ λ − λ ( λ + 2) 1
λ ( λ + 1) 3 2 ≃ λ + 2λ + λ 0 2 − λ − 2λ 1 λ ( λ + 1) 2 ≃ λ (λ + 1) 1 1 λ ( λ + 1) ≃ 2 λ (λ + 1)
将其化为Smith标准形。 解：
0 0 −1 λ − a λ − a 0 −1 0 A( λ ) ≃ 0 λ − a −1 0 0 0 λ − a 0
−1 λ − a 0 (λ − a )2 ≃ 0 0 0 0 0 1 0 (λ − a )2 ≃ 0 0 0 0
1 0 ≃ 0 0
1 0 0 0 1 0 4 0 0 (λ − a ) 0 0 0
λ 矩阵标准形的唯一性
定 义：A( λ ) 为一个 λ 矩阵且 rank ( A( λ )) = r 对 于任意的正整数 k ，1 ≤ k ≤ r ， ( λ ) 必有非零的 k A 阶子式， 阶子式，A( λ ) 的全部 k 阶子式的最大公因式 Dk ( λ ) 行列式因子。 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子。
2
2 1 0 λ2 + λ − 4 ≃ λ −2 λ −1 2 2 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 2 0 1 2 λ −2 ≃ λ +λ −4 λ −1 2 2 3λ − 3 4λ + 3λ − 7 λ + 3λ − 4
1− λ A( λ ) = λ 1 + λ 2
2
λ λ 1 λ +λ 0 −λ λ −λ ≃ λ λ 2 2 2 2 1 + λ 2 −λ λ −λ λ
2 2
1 λ +λ 3 2 ≃ 0 −λ − λ + λ 0 −λ 4 − λ 3 − λ
1− λ λ
2
λ
1− λ
2
λ λ
2
2
= λ ( −λ − λ + 1) = f (λ )
2
λ +1 λ
= λ ( −λ − 1) = g (λ )
3
显然 ( f ( λ ), g ( λ )) = λ 而且其余的7各2 阶 子式也都包含 λ 作为公因子，所以 另外
D2 (λ ) = λ
3 2
A(λ ) = −λ − λ ⇒ D3 ( λ ) = λ + λ
0 3 2 −λ − λ + λ 2 −λ − λ
0 λ 0 0 λ ( λ + 1)
例 2
λ ( λ + 1) λ A(λ ) = 2 ( λ + 1)
将其化成Smith标准形。 解：
λ ( λ + 1) A( λ ) = λ 2 ( λ + 1)
0 0 1 0 λ − 1 ≃ 0 3 2 0 −λ + λ + λ − 1 0 0 0 1 0 λ − 1 ≃ 0 2 0 ( λ + 1)( λ − 1) 0
例 4
−1 λ − a λ − a −1 A( λ ) = λ − a −1 λ − a
0 0 −1 λ − a
0 0 −1 λ − a
1 0 ≃ 0 0 1 0 ≃ 0 0
0 1
0 0
0 ( λ − a )3 0 0 0 1 0 0
0 0 −1 λ − a 0 0
3 0 −1 ( λ − a ) 0 λ −a 0
由于 A( λ ) 与上面的Smith标准形具有相同的 各阶行列式因子，所以 A( λ ) 的各阶行列式因 子为 而
D1 (λ ), D2 ( λ ),⋯ , Dr ( λ ) d1 (λ ), d 2 (λ ),⋯ , d r (λ )
又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我 们得到 定 理： A( λ ) 的Smith标准形是唯一的。 例 1 求下列
定理
一个 n 阶 λ 矩阵 A( λ ) 可逆的充要必要是 det A( λ ) 一个非零的常数。
定义 下列各种类型的变换，叫做 λ 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的任二行(列)互换位置； (2) 非零常数 c 乘矩阵的某一行(列)； ( ) (3) 矩阵的某一行(列)的ϕ ( λ ) 倍加到另一行(列)上去， 其中 ϕ是 ) 的一个多项式。 (λ λ 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应 得三种 λ 矩阵得初等矩阵
3
2
注意 ：观察 D1 ( λ ), D2 ( λ ), D3 ( λ ) 三者之间的关 系。 定理： 等价（相抵）λ 矩阵有相同的各阶行列 式因子从而有相同的秩。 设 λ 矩阵 A( λ ) 的Smith标准形为
d1 ( λ ) d 2 (λ ) ⋱ A(λ ) ≃ d r (λ ) 0 ⋱ 0
例 3
3λ + 2λ − 3 2λ − 1 λ + 2λ − 3 2 2 A(λ ) = 4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3λ − 4 λ2 + λ − 4 λ −2 λ −1
2 2
将其化为Smith标准形。 解：
λ +λ −4 λ−2 λ −1 2 2 A( λ ) ≃ 3λ + 2λ − 3 2λ − 1 λ + 2λ − 3 4λ 2 + 3λ − 5 3λ − 2 λ 2 + 3λ − 4
2 0 1 2 0 ≃ λ −λ λ −1 2 2 0 4λ − 3λ − 1 λ + 3λ − 4 0 0 1 2 0 ≃ λ −λ λ −1 2 2 0 4λ − 3λ − 1 λ + 3λ − 4
0 0 1 2 0 ≃ λ −1 λ −λ 2 2 0 λ + 3λ − 4 4λ − 3λ − 1 0 0 1 2 0 λ − 1 ≃ λ −λ 3 2 0 −λ + λ + λ − 1 0
λ 矩阵为 A(λ ) 的Smith标准形。 d1 ( λ ), d 2 ( λ ),⋯ , d r ( λ ) 称为 A( λ ) 的不变因子。
例1
1− λ A(λ ) = λ 1 + λ 2
λ λ λ −λ 2 2 λ −λ
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将其化成Smith标准形。
解：
2
λ +λ −4 λ −2 λ −1 2 2 ≃ 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 4λ 2 + 3λ − 5 3λ − 2 λ 2 + 3λ − 4
2
λ +λ −4 λ −2 λ −1 2 2 ≃ 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 2 1 0
P(i, j ), P(i ( c )), P (i, j (ϕ ))
定理 对一个 m × n的 λ 矩阵 A( λ ) 的行作初等行变换， m A(λ ) A(λ ) 相当于用相应的 阶初等矩阵左乘 。对 的列作初等列变换，相当于用相应的 n 阶初等矩阵右 乘 A( λ ) 。 定义 如果 A( λ ) 经过有限次的初等变换之后变成 B ( λ ) ，则称 A( λ ) 与 B ( λ ) 等价，记之为
⋯ a1n ( λ ) ⋯ a2 n ( λ ) ⋯ ⋯ ⋯ amn ( λ )
矩阵。 为多项式矩阵或 λ 矩阵。 阶 ( r ≥ 1) 定义 如果 λ 矩阵 A( λ )中有一个 子式不为零，而所有 阶子式(如果有的话) 全为零，则称 A( λ ) 的秩为 ，记为
rankA( λ ) = r
λ 矩阵的Smith标准形。
0 0 0 λ 2 0 λ −λ 0 0 (1) 0 ( λ − 1)2 0 0 2 0 0 0 λ − λ c1 λ − a λ −a c2 (2) ⋱ ⋱ λ − a cn −1 λ − a
r +1 r
r
零矩阵的秩为0。 定义 一个 n 阶 λ 矩阵称为可逆的，如果有一 个 n 阶 λ 矩阵 B ( λ ) ，满足
A( λ ) B ( λ ) = B ( λ ) A( λ ) = E
B 这里 E 是 n 阶单位矩阵。 ( λ )称为 A( λ )矩阵的 逆矩阵，记为 A−1 ( λ ) 。
A(λ ) ≃ B( λ )
定理 A( λ ) 与 B ( λ ) 等价的充要条件是存在两个可逆 矩阵 P ( λ ) 与 Q ( λ ) ，使得
B(λ ) = P (λ ) A(λ )Q (λ )
λ
矩阵Smith标准形的存在性 标准形的存在性 矩阵
定 理 任意一个非零的m × n 型的 λ 矩阵都等价于 一个对角形矩阵 对角形矩阵，即 对角形矩阵
显然，如果 rank ( A( λ )) = r ，则行列式因子 一共有 r 个。 例 1 求
1− λ A(λ ) = λ 1 + λ 2
的各阶行列式因子。 解：
λ λ λ −λ 2 2 λ −λ
2
由于 (1 − λ , λ ) = 1 ，所以 D1 ( λ ) = 1 。