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第七讲 矩阵的秩一、考试内容与考试要求考试内容矩阵秩的概念及性质． 考试要求（1）理解矩阵秩的概念； （2）了解矩阵秩的性质；（3）掌握用初等变换求矩阵的秩．一、知识要点引入 学习秩的概念，是为找出线性方程组中有效方程的个数．或者说学习矩阵秩的目的是为判断矩阵对应的线性方程组中有效方程的个数．1．定义矩阵A 中不等于零的子式的最高阶数r ，叫做矩阵的秩，记为()R A r =．2．矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．3．注意（1）若矩阵A O =，则()0R A =；若A O ≠，则()1R A ≥；（2）若()R A r =，则A 中存在r 阶子式不为零，而任何1r +阶子式（若存在）全为零； 很明显，若A 中有一个1r +阶子式不为零，它的秩为1r +． （3）若()R A r =，则A 中1r -阶子式不全为零；当()R A r =时，A 中至少有一个r 阶子式不为零，这个r 阶子式可展开成r 个1r -阶子式，若所有1r -阶子式全为零，则这个r 阶子式为零，产生矛盾．（4）{}0()min ,m n R A m n ⨯≤≤； （5）若()R A r =，则 Ar cr E O O O ⎛⎫ ⎪⎝⎭或A 含有r 个非零行（或列）的阶梯形式矩阵．即一般情况下，只有初等行、列变换合用才可将A 化成标准形；但将A 化为含有r 个非零行（或列）的阶梯形矩阵只用初等行（或列）变换即可．单纯求矩阵的秩只须将A 化成阶梯形．（6）对于n 阶方阵A ，有0(),0(),A R A n A A R A n A ⎧≠⇔=⎪⎨=⇔<⎪⎩满秩,A 可逆,A 非奇异降秩,A 不可逆,A 奇异若()R A =矩阵A 的行（列）数，称A 为行（列）满秩矩阵．（7）学习矩阵秩的实质是为判断矩阵对应的线性方程组中有效方程的个数．4．性质以下性质先用简单的例题予与说明，然后对难以直观理解的一些性质进行证明． （1）()()TR A R A = （2）0()()R kA R A ⎧=⎨⎩ 00k k =≠很明显，当0k ≠时，A 中不等于零的最高子式在kA 中有对应的不等于零的子式． （3）A O R O B ⎛⎫⎪⎝⎭=()()R A R B + （4）{}max (),()(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+ 例：1000A ⎛⎫=⎪⎝⎭，0001B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}max (),()1R A R B =，(,)2()()R A B R A R B ==+ （5）()()()R A B R A R B +≤+例：取1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，A B O +=，()0()()4R A B R A R B +=<+=（6）若AB ，则()()R A R B =即初等变换不改变矩阵的秩，证明见课本． （7）若P 、Q 可逆，则()()R PAQ R A =即左乘及右乘可逆矩阵不改变原矩阵的秩，这也是初等变换不改变矩阵的秩这句话用数学符号来描述．可简单证明：P 、Q 可逆，则P 、Q 可以表示成有限个初等矩阵的乘积，即对A 实施初等变换得PAQ ，再由性质（6）得证．（8）()R AB ≤{}min (),()R A R B 例：1000A ⎛⎫=⎪⎝⎭，0001B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，AB O =，()0R AB =<{}min (),()R A R B {}min 1,11==（9）若m n n l A B O ⨯⨯=，则()()R A R B n +≤ 例：1000A ⎛⎫=⎪⎝⎭，0001B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，AB O =，()()2R A R B +=． （10）A 为任意矩阵，则()()TR A A R A =（11）设A 为n 阶方阵，*()10n R A ⎧⎪=⎨⎪≤⎩，当R(A)=n，当R(A)=n-1，当R(A)n-25．性质证明这里只证明部分不易理解的性质．为记忆方便，将性质（3）放在前面，但性质（3）的证明用到性质（7），故学习时应 先证明性质（7）．证明（3）设()R A s =，()R B t =，则存在可逆矩阵11,P Q 及22,PQ 使得 11sE O P AQ OO ⎛⎫=⎪⎝⎭，22tE O P AQ O O ⎛⎫= ⎪⎝⎭故存在可逆矩阵12P O O P ⎛⎫⎪⎝⎭，12Q O O Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得 12P O O P ⎛⎫ ⎪⎝⎭A O O B ⎛⎫ ⎪⎝⎭12Q O O Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1122P AQ O OP BQ ⎛⎫ ⎪⎝⎭=st E O O O O O O O OO E O OOOO ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因为左乘及右乘可逆矩阵不改变原矩阵的秩，故有A O R OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭=st E O O O O O O O R O O E O OOOO ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=s t +=()()R A R B +证明（5） 设,A B 为n m ⨯矩阵．方法1 利用初等列变换．对矩阵(,)A B B + 进行初等列变换(,)A B B +1,2,,i n i c c i n+-=(,)A B由于矩阵A B +是矩阵(,)A B B +的子矩阵，并利用性质（4）及上式有 ()(,)R A B R A B B +≤+=(,)()()R A B R A R B ≤+方法2 利用线性表示和最大线性无关组的性质（利用向量组的线性关系证明）． 设()R A s =，()R B t =，将,A B 按列分块为A =(12,,,n ααα)，B =12(,,,)n βββ即 A B +=1122(,,,)n n αβαβαβ+++不妨设A 和B 的列向量组的最大线性无关组分别为12,,,s ααα和12,,,t βββ，于是A B +的列向量组可由向量组12,,,s ααα，12,,,t βββ线性表示，如1112120000s t αβαααβββ+=+++++++故 ()R A B +=A B +的列秩≤秩{12,,,s ααα,}12,,,t βββs t ≤+．证明（8） 方法1 利用方程组解的性质证明．设C AB =，知矩阵方程AX C =有解X B =，故()(,)R A R A C =，而()(,)R C R A C ≤，因此()()R C R A ≤．又T T TB AC =，同上段证明知有()()TTR C R B ≤，即()()R C R B ≤．综合便得()R AB ≤{}min (),()R A R B 。
一、以下结论是否成立，如成立，试证明，否则举反例。
（每题4分，共24分）1．若a为f’(x)的k重根，则a为f(x)的k+1重根，这里f’(x)表示多项式f(x)的微商（或导数）。
2．设A为m*n阵，B为n*m阵，且m>n，则|AB|=0。
3．若A，B均为n阶实对称阵，具有相同的特征多项式，则A与B相似。
4．设a1，a2，a3，a4线性无关，则a1+a2，a2+a3，a3+a4，a4+a1的秩为3。
5．设V1，V2均为线性空间V的子空间，满足V1与V2的交集为{0}，则V=V1○+V2。
6．设A为n阶正定阵，则一定存在正定阵B，使A=B2。
二、（10分）已知线性方程组Ax=kb1+b2，其中1 1 -12 1A=（-1 -2 1 ），b1=（1），b2=（3 ）1 -1 -1 3 -1求k，使方程组有解，并求有解时的通解。
三、（10分）已知A是n阶实对称阵，a1，……，a n是A的特征值，相对应的标准正交特征向量为b1，……，b n，求证A=a1b1b1T+……+a n b n b n T这里“T”表示转置。
1 0 1四、（12分）设线性变换/A在线性空间V的基a1，a2，a3下矩阵为（-2 1 0 ）1 1 31.求值域/A V，核/A-1(0)的基。
2.问V=/A V+rA-1(0)吗？为什么。
五、（10分）设A=(a ij)n*n，如果a i1+a i2+……+a in=0，i=1,……,n，求证A11=A12=……=A1n这里A ij为a ij的代数余子式。
六、（12分）设A为n阶矩阵，试证A2=A的充要条件为r(A)+r(I-A)=n这里I为n阶单位阵，r(A)表示A的秩。
七、（10分）设A为4阶矩阵，且存在正整数k，使A k=0，又A的秩为3，分别求A与A2的若当（Jordan）标准型。
八、（12分）证明，若f(x)与g(x)互素，并且f(x)，g(x)次数都大于零，那么可以选取u(x)，v(x)使a(u(x))<a(g(x))，a(v(x))<a(f(x))，且有f(x)u(x)+ g(x)v(x)=1并且这样的u(x)，v(x)是唯一的。
利用矩阵的秩讨论若当标准型首先， 对于如下r ⨯r 的若当块矩阵J =100100λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭任给η∈C ，考虑矩阵 Q(η)= η⋅E r ⨯r - J , 那么我们如下简单性质：性质1. 如果η≠λ, 那么Q(η)为可逆矩阵.性质2. 当1≤ m ≤ r 时，rank(Q(λ)m )= r -m .性质3. 当m ≥ r 时Q(λ)m = 0.设矩阵A 为n ⨯n 的矩阵，它的若当标准型J =diag(J 1,J 2,…,J K ),即存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1成立，其中J i =100100i i λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 并且J i 的阶数为r i , i =1,2,…,K . 很明显，对于不同的i ，相应的若当块的对角元素可能是相同的。
很自然，我们有如下的简单关系：r 1+r 2+…+r K = n下面我们讨论一下矩阵(λ⋅E n ⨯n - A )m 的秩。
由于存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1成立，我们只需要分析矩阵(λ⋅E n ⨯n - J )m 的秩就可以了。
当λ 不为A 的特征值时，(λ⋅E n ⨯n - J )m 为可逆矩阵，这对于我们进一步的讨论没有任何意义。
因此，我们只考虑λ 是A 特征值的情形, 并且不妨设在A 的若当标准型中λ=λi =λi +1=…=λi +s -1所对应的若当块为J i , J i +1,…, J i +s -1共s 个，那么rank((λ⋅E n ⨯n - A )m )=rank ((λ⋅E n ⨯n - J )m )= 1rank(())i i Km r r ii λ⨯=⋅-∑E J 很明显，当j < i 或者j ≥ i +s 时rank((λ⋅j jr r ⨯E - J j )m )= r j ; 对于i ≤j ≤i +s -1 的情形，我们需要区分1≤m ≤ r j 和m >r j 的情况。
幂等矩阵的相似标准型与分解形式董庆华;王成伟【摘要】利用线性变换的方法研究了幂等矩阵的相似标准型, 并在此基础上推导出了幂等矩阵的秩恰好等于它的迹, 证明了任意 n阶矩阵都可以分解为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积, 任意一个幂等矩阵都可以分解为两个对称矩阵的乘积.【期刊名称】《大庆师范学院学报》【年(卷),期】2010(030)006【总页数】3页(P43-45)【关键词】幂等矩阵;矩阵秩;相似标准型;分解形式【作者】董庆华;王成伟【作者单位】北京服装学院,基础教学部,北京,100029;北京服装学院,基础教学部,北京,100029【正文语种】中文【中图分类】O150 引言在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果, 都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b, 其中的系数矩阵A往往是一个幂等矩阵。
为此，有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。
定义1：设有n阶方阵A满足A2=A, 则称方阵A为幂等矩阵。
显然，n阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。
关于幂等矩阵，目前已有一些结论, 我们选择其中三个作为性质列举如下：1) 设有全矩阵I=(1)n×n, 则是一个幂等矩阵[1];2) 若方阵B是幂等矩阵, 则BT和E-B也是幂等矩阵[2]；3)若n阶方阵A为幂等矩阵，则它的秩满足R(A)+R(E-A)=n[3]。
我们将首先以线性变换的方法来构造幂等矩阵的相似标准型，然后在此基础上研究幂等矩阵的秩和迹之间的关系，以及幂等矩阵在矩阵分解中的重要作用。
1 主要研究内容与结果1.1 幂等矩阵的相似标准型对角矩阵可以认为是形式最简单的一种矩阵, 对角矩阵的特征值就是其主对角线上的全部元素, 对角矩阵的秩就等于主对角线上非零元素的个数。
接下来我们以幂等矩阵的特征值为线索，探求幂等矩阵的具有对角形式的相似标准型。
定理1：若n阶方阵A为幂等矩阵, 并且A的秩R(A)=r，则存在可逆矩阵P使得P-1AP=(Er000)(1)证明：在n维线性空间V中任取一组基(ε1,ε2,…εn), 定义线性变换σ在基(ε1,ε2,…εn)下的矩阵为A, 即σ(ε1,ε2,…εn)=(ε1,ε2,…εn)A假设Ax=λ，其中x≠0，则由λx=Ax=A2x=λ2x，得λ2=λ，所以幂等矩阵特征值为1或0。
百度文库-让每个人平等地提升自我3 矩阵秩的研究与应用[摘要]矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。
矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理论基础。
而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。
它反映矩阵固有特性的一个重要概念。
矩阵一旦确定秩也就确定了。
它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。
本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比较分析。
后面着重介绍了矩阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。
这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。
[1][2][3][关键词]：矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。
百度文库-让每个人平等地提升自我4 矩阵秩的研究与应用1 前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。
更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。
矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。
如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。
理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其意义更加广泛且深远。
摘 要矩阵的若当标准形的求解方法在代数中有着极其重要的作用，在计算行列式、求矩阵的方幂、矩阵的分解、解微分方程等问题中都有重要的应用.此外，矩阵的若当标准形理论在力学和计算方法中是一个非常重要的工具.但是，在众多的教科书及包含矩阵理论的著作中，对矩阵的若当标准形的求解方法及其相似变换矩阵的介绍并不全面，所以显得这部分内容比较的简单，不容易被学生所重视.本论文首先阐述了矩阵的若当标准形的求解方法的背景、意义、研究现状、相关概念和性质定理，然后对矩阵的若当标准形的求解方法进行归纳和总结，并给出具体例题以便详细说明每一种解法的步骤与特点.同时，对各种方法进行比较，指出各种方法的优缺点和适应性，以期待能够帮助读者在解决与矩阵的若当标准形的求解有关题目时能够选择使用适当的方法，从而提高解题的效率；最后，鉴于矩阵的若当标准形在“矩阵方程论”、“矩阵函数论”以及“常微分方程”和“现代控制论”中都有广泛的应用，所以对矩阵的若当标准形的应用进行总结，并给出具体实例，强调理论联系实际的重要性.此外，利用所总结的矩阵的若当标准形的求解方法及其应用，教学者能更深刻地向学生展示数学方法的多样性与统一性，进一步培养学生的发散性思维，使学生能更深刻地理解数学之美.关键词：矩阵，若当标准形，计算方法，应用AbstractHow to get the Jordan Canonical form of a matrix has an extremely important role in the algebra. The Jordan Canonical form of a matrix can be used in calculating the determinant, the power of matrices, the decomposition of matrices, the solution of differential equations and so on. In addition, the Jordan Canonical form of a matrix is also a very important tool in mechanics and computational methods. However, the methods to get the Jordan Canonical form of a matrix are not elaborated in many textbooks and books include matrix theory. In this paper, the background, the significance of research, the nature of the relevant concepts and theorems with respect to the Jordan Canonical form of a matrix are given firstly. And then, the methods to get the Jordan Canonical form of a matrix are summarized and concluded, and there is a specific example of each method to help the readers understand the method. At the same time, comparisons of various methods are given. Finally, in view of the Jordan Canonical form of a matrix is wide used in the "matrix equation"、 " matrix function of "、" Ordinary Differential Equations "and" modern control theory ", the application of the Jordan Canonical form of a matrix are summarized. Furthermore, this paper can be used to help teachers show students the diversity and unity of mathematical methods and the beauty of mathematics.Key words:Matrix，Jordan Canonical form，solution，application目 录第一章 前言 (1)1.1 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的背景及意义 (1)1.2 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的研究现状 (1)1.3 论文的结构安排 (2)第二章 矩阵的若当标准形的相关概念与结论 (3)2.1 基本概念的介绍 (3)2.2 若当块、若当标准形的定义和性质 (4)2.3 矩阵的若当标准形的基本定理 (5)第三章 矩阵的若当标准形的计算方法 (6)3.1 初等因子方法一 (6)3.2 初等因子方法二 (7)3.3 特征值方法一 (8)3.4 特征值方法二 (10)3.5 行列互逆初等变换法 (11)3.6 λ-矩阵初等变换法 (12)3.7 初等相似变换法 (14)3.8 幂零矩阵的若当标准形求法 (16)3.9 可分块矩阵的若当标准形的求法 (17)第四章 矩阵的若当标准形的应用 (19)4.1 在计算矩阵多项式中的应用 (19)4.2 在矩阵的高次幂计算中的应用 (20)4.3 在证明过程中的应用 (22)4.4 在解线性微分方程组中的应用 (25)第五章 总结 (27)参考文献 (28)致 谢 (29)声 明 (30)第一章 前 言1.1 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的背景及意义在高等代数和线性代数中，矩阵的理论与方法贯穿于行列式、线性方程组、线性空间、线性变换、二次型等各个方面，高等代数的许多问题都可以转化为相应的矩阵问题来处理.同时矩阵也是许多其他数学分支和学科中研究问题的重要工具.若当标准形定理是矩阵标准形理论的一个重要定理.矩阵的若当标准形在计算行列式、求矩阵的方幂、矩阵的分解、求解微分方程等数学问题中都有重要的应用.此外，矩阵的若当标准形理论在力学及其计算方法中也是一个非常重要的工具.鉴于矩阵的若当标准形在各个领域的重要性，讨论、归纳和总结矩阵的若当标准形的计算方法及矩阵的若当标准形的应用是有必要的，且具有一定的理论和实际意义.希望通过对若当标准形的的多种计算方法的总结和比较，加深笔者和读者对矩阵的若当标准形的理解和认识，进一步培养笔者和读者的发散性思维，从而有助于今后更好地利用该方法解决各类实际问题.1.2 矩阵的若当标准形的计算方法及其应用的研究现状若当标准形是矩阵理论中不可缺少的部分，在研究矩阵若当标准形的过程中，大多是以矩阵若当标准形的基本定理[1]出发，即：每个n阶的复数矩阵A都与一个若当形矩阵相似，这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵A唯一确定的，它称为A的若当标准形.这个定理是计算矩阵的若当标准形各种方法的理论基础.根据这个基本定理和其他定理，能够得出其他的推论[2,3]，如：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，A的初等因子全为一次的.求解矩阵的若当标准形的最常见的方法是初等因子法、特征值法和初等变换法.初等因子方法是最为基础的求解矩阵若当标准形的计算方法.[4]中介绍了两种初等因子法求矩阵若当标准形的详细步骤，并给出简单的例子进行说明.文献[4～7]中介绍的求矩阵的若当标准形的方法是特征值法，该方法也是比较基础的计算方法.两种方法都是先求出矩阵的特征值，之后再根据不同的方法来求解矩阵的若当标准形。
对于幂零矩阵秩的特征的探讨徐玉1，任灿（中国矿业大学理学院，江苏徐州221116）摘要：矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量。
本文主要是在文献[1]的有关结果的基础上，对文献[1]中的2次与3次的幂零矩阵进行推广，主要是反复利用了Frobenius不等式及矩阵秩的性质解决了k次幂零矩阵的秩的不等式问题。
首先在研究的过程中，先介绍矩阵秩的定义，接着介绍了后面要用到的矩阵秩的性质及矩阵秩的相关的不等式进行了总结和归纳。
然后是研究的重点，在这部分中，对文献[1]中的2次与3次的幂零矩阵的结果进行推广k次幂零矩阵；进一步,利用Frobenius不等式得到了幂零矩阵秩的一系列的结论。
关键词：矩阵的秩; 幂零矩阵; Frobenius不等式中图法分类号：O151.21Research on the Character of Rank ofNilpotent-matricesXU Yu，REN Can（College of Science, China University of Mining and Technology, Xuzhou 221116,Jiangsu）Abstract：Rank is an important constant of matrix. Based on the conclusions of paper [1], we prove the inequality of matrix rank of three times nilpotent matrix and try to give its proper promotion. And next, this paper repeat employs Frobenius inequality to find some results of inequation about k-degree nilpotent matrix. First, in the part, we summarize the nature of matrix rank and the inequalities of partitioned matrices rank. Then the part is the main content. In this part, similarity as the result of inequality of matrix rank of twice and three times nilpotent matrix in paper [1], we extend and prove them by Frobenius inequality. At last, we find several inequalities about k-degree nilpotent matrix by the illumination of the conclusions of paper [1]and prove them.Keywords：Matrix rank; Nilpotent matrix; Frobenius inequality1徐玉，1987，安徽省宿州市，在读硕士，计算数学，******************。
利用若当标准型讨论矩阵的秩
首先， 对于如下r ⨯r 的若当块矩阵
J =100100λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
任给η∈C ，考虑矩阵 Q(η)= η⋅E r ⨯r - J , 那么我们如下简单性质：
性质1. 如果η≠λ, 那么Q(η)为可逆矩阵.
性质2. 当1≤ m ≤ r 时，rank(Q(λ)m )= r -m .
性质3. 当m ≥ r 时Q(λ)m = 0.
设矩阵A 为n ⨯n 的矩阵，它的若当标准型J =diag(J 1,J 2,…,J K ),即存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1
成立，其中J i =100100i i λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
, 并且J i 的阶数为r i , i =1,2,…,K . 很明显，对于不同的i ，相应的若当块的对角元素可能是相同的。
很自然，我们有如下的简单关系：
r 1+r 2+…+r K = n
下面我们讨论一下矩阵(λ⋅E n ⨯n - A )m 的秩。
由于存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1成立，我们只需要分析矩阵(λ⋅E n ⨯n - J )m 的秩就可以了。
当λ 不为A 的特征值时，(λ⋅E n ⨯n - J )m 为可逆矩阵，这对于我们进一步的讨论没有任何意义。
因此，我们只考虑λ 是A 特征值的情形, 并且不妨设在A 的若当标准型中λ=λi =λi +1=…=λi +s -1所对应的若当块为J i , J i +1,…, J i +s -1共s 个，那么
rank((λ⋅E n ⨯n - A )m )=rank ((λ⋅E n ⨯n - J )m )= 1rank(())i i K
m r r i
i λ⨯=⋅-∑E J 很明显，当j < i 或者j ≥ i +s 时rank((λ⋅j j
r r ⨯E - J j )m )= r j ; 对于i ≤j ≤i +s -1 的情形，我们需要区分1≤m ≤ r j 和m >r j 的情况。
根据性质2，当i ≤j ≤i +s -1 且1≤ m ≤ r j 时，rank((λ⋅j j
r r ⨯E - J j )m )= r j -m ; 根据性质3，当i ≤j ≤i +s -1且m ≥ r j 时, rank((λ⋅j j
r r ⨯E - J j )m )= 0; 如果对于x ∈R 引入记号 (x )+= max{x ,0}, 那么我们有:
当i ≤j ≤i +s -1 时，rank((λ⋅j j r r ⨯E - J j )m )= (r j -m )+ .
因此
rank((λ⋅E n ⨯n - A )m )=1rank(())i i K m r r i i λ⨯=⋅-∑E
J =1
11()i K i s j j j j j i s j i r r r m -+-+==+=++-∑∑∑
=1
(())i s j j j i n r
r m +-+=---∑ =1min(,)i s j j i
n r m +-=-∑ 所以我们不妨记d m =n - rank((λ⋅E n ⨯n - A )m )，那么 d m =1
min(,)i s j
j i r m +-=∑ 设r = max (r i , r i +1,…, r i +s -1),那么明显有d 1<d 2<⋅⋅⋅<d r =d r +1= d r +2= ⋅⋅⋅.
进一步，设对应于A 的特征值λ的所有若当块中阶数为k 的个数有t k 个，那么我们有
d m =1
min(,)i s j
j i r m +-=∑=1min(,)r k k t k m =⋅∑
对于m =1,2,…,r ,我们得到如下的线性方程组：
t 1+t 2+t 3+⋅⋅⋅+t r = d 1
t 2+t 3+⋅⋅⋅+t r = d 2-d 1
t 3+⋅⋅⋅+t r = d 3-d 2
⋅⋅⋅
t r = d r -d r -1
因此，我们有t 1=2d 1-d 2, t r = d r -d r -1,当1<k <r 时 t k =2d k -d k -1-d k +1.当r =1时，公式t r = d r -d r -1无法定义。
事实上，可以补充定义d 0=0,那么公式t k =2d k -d k -1-d k +1,对于k =1,…,r 都成立。
因为当k =1,…,r -1显然是成立的,而当k =r 时，由于d r +1=d r ,因此公式t r =2d r -d r -1-d r +1= d r -d r -1,仍然是成立的。
综合上面的讨论，我们得到如下基于特征矩阵幂的秩决定矩阵若当标准型的算法： 第一步：对于给定矩阵特征值λ, 对于m =1,2,…, 计算d m =n - rank((λ⋅E n ⨯n - A )m ). 显然有 d 1<d 2<⋅⋅⋅<d r =d r +1= d r +2= ⋅⋅⋅， 因此当d m 不再严格增加的m 值置为r ;
第二步：补充定义d 0=0;那么根据公式
t k =2d k -d k -1-d k +1, k =1,2,…,r
计算出矩阵特征值λ的阶数为k 的若当块的个数t k .
下面我们在讨论以下根据特征矩阵幂的秩决定最小多项式m A (λ)。
设矩阵A 为n ⨯n 的矩阵，它的特征多项式可以写为
ϕA (λ)=11()n λλ-…()L n L λλ-,
其中特征根各不相同。
由于最小多项式和特征多项式的根相同，只是每个根的重数不一样，因此我们的目标就是决定在最小多项式m A (λ)每个特征根的指数。
设
m A (λ)=11()m λλ-…()L m L λλ-，
很明显1≤ r l ≤ n l , l =1,2,…,L .
对于特征值λl , l =1,2,…,L , 我们考虑矩阵(λl ⋅E n ⨯n - A )m 的秩。
对于A 的若当标准型作前面的假设 。
设矩阵A 的若当标准型为J =diag(J 1,J 2,…,J K ),即存在可逆矩阵P 使得A =PJP -1成立，
其中J i =100100i i λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭ , 并且J i 的阶数为r i , i =1,2,…,K . 很明显，对于不同的i ，相应的
若当块的对角元素可能是相同的。
因此A 的最小多项式m A (λ)和J 的最小多项式m J (λ)是完全相同的。
这样我们来讨论J 的最小多项式m J (λ)。
有最小多项式的定义
m J (J )= 11()m n n λ⨯-⋅J E …()
L m L n n λ⨯-⋅J E =0 由于J 为块对角矩阵，因此()l m l n n λ⨯-⋅J E , l =1,2,…,L ,也为具有和J 相同分块的对角矩阵。
而具有相同分块对角矩阵的乘积也为具有相同分块的对角矩阵，而且乘积的每个对角块为相乘矩阵对角块的乘积。
因此，m J (J )= 11()m n n λ⨯-⋅J E …()L m L n n λ⨯-⋅J E =diag(m J (J 1), m J (J 2),…,m J (J K ))=0 对于给定的矩阵A 的特征值λl , l =1,2,…,L , 假设对应得若当标准型中的若当块为所对应的若当块为J i , J i +1,…, J i +s -1共s 个。
那么对于i ≤ k ≤ i +s -1，由
m J (J k )= 11()k k m k r r λ⨯-⋅J E …()
L k k m k L r r λ⨯-⋅J E
=1()()j l k k k k L m m k j r r k k r r j j l
λλ⨯⨯=≠-⋅⋅-⋅∏J E J E =0. 根据性质1，欲使等式成立，因为等式右边的第一部分为可逆矩阵，因此只有等式右边的第二部分为0，也就是()l k k m k k r r λ⨯-⋅J E =0，根据性质3，我们得到m l ≥ r k , i ≤ k ≤ i +s -1. 因此，我们可以得到m l ≥ max{r i , r i +1,…, r i +s -1}, m J (J k )=0。
再根据最小多项式的定义，零化多相式的次数必须是最小的，因此我们得到m l = max{r i , r i +1,…, r i +s -1}。
这也就说，假如我们知道若当标准型，我们实际上是可以知道最小多项式的。
但是，在实际很多情形我们不知道若当标准型，但我们仍然可以知道最小多项式。
事实上，由前面的讨论我们知道m l 也就是计算数列d m =n - rank((λl ⋅E n ⨯n - A )m ), m =1,2,…, 的值，当d m 不再增加时的m 的值即为m l 的值，即
d 1<d 2<⋅⋅⋅<d m =d m +1=⋅⋅⋅
因此我们得到利用特征矩阵的秩计算最小多项式的方法：
对于A 的特征值λl ，计算d m =n - rank((λ⋅E n ⨯n - A )m ), m =1,2,…, 的值，
d 1<d 2<⋅⋅⋅<d m =d m +1=⋅⋅⋅
当d m 不再增加时的m 的值即为最小多项式m A (λ)=11()m λλ-…()L m L λλ-中包含的因式 ()l m l λλ-的次数m l .
因此我们给出了通过计算特征矩阵(λl ⋅E n ⨯n - A )m , m =1,2,…,的秩可以确定矩阵若当标准型和最小多项式的。
当然，前提条件我们必需知道矩阵的所有不同特征根。
