21.2_特殊的高次方程的解法(2)

资源信息表
21.2（2）特殊的高次方程的解法
上海市交通大学附属第二中学梅佳
教学目标
1．理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；
2．学会判断双二次方程的根的个数;
3.通过学习增强分析问题和解决问题的能力.
教学用具准备
学习单、多媒体设备
教学重点及难点
掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数.
教学流程设计
复习引入形成概念例题分析
布置作业课堂小结巩固练习
教学过程设计
一、情景引入
1．复习
请同学们解下列一元二次方程：
(1)0452=+-y y (2) 0122=-+y y
（解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）
2．思考：
若令2x y =,则方程变形为（1）04524=+-x x ，（2）01224=-+x x 如何求解上述方程？
[说明]以前的教学中已经提及过换元法，经过前题中一元二次方程的求解的铺垫，大部分学生都能独立解决以上两题，并可以自然过渡到新课的讲解.
3．观察：
提问：以下哪些方程与04524=+-x x ，
01224=-+x x 具有共同的特点？ （1）0451424=+-x x （2）060723=-+x x x （3）0105223=+--x x x
（4）013224=-+x x （5）012
134=-+x x 这类方程有什么共同的特点？
二、学习新课
1．概念辨析
（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.
注 当常数项不是0时，规定它的次数为0.
（2）一般形式：)0(024≠=++a c bx ax
（3）学生归纳：如何求解双二次方程？
分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程.
2．例题分析
例4：解下列方程：
（1）014924=+-x x （2）024524=-+x x
例5：解方程 020924=++x x
分析：双二次方程既可以用换元法，也可以把2x 看作一个整体直接求解.
3．问题拓展
（1）自主探究：
不解方程，判断下列方程的根的个数：
（组织学生分小组谈论，也可采用竞赛的形式）
①06524=+-x x ； ②013224=--x x ；
③04224=+-x x ； ④036224=++x x .
分析：令2x y =
①△>0,y 1y 2>0,y 1+y 2>0 ∴原方程有四个实数根.
②△>0,y 1y 2>0,y 1+y 2<0 ∴原方程没有实数根.
③△>0,y 1y 2<0, ∴原方程有两个实数根.
④△<0 ∴原方程没有实数根.
（2）学生归纳：
你对双二次方程的根的个数有什么发现？
当△≥0时，如果y1y2<0，那么原方程有两个实数根；如果y1y2>0且y1+y2>0，那么原方程有四个实数根；如果y1y2>0
且y1+y2<0，那么原方程没有实数根.
当△<0时，原方程没有实数根.
[说明]因为双二次方程能转化为一元二次方程，所以判断双二次方程的根的个数问题实际上就转化为判断一元二次方程根的个数问题，学生就很容易联想到根的判别式△，结合x2本身是个非负数，考虑在实数范围内解的情况.韦达定理在这里的应用是一个难点，可以更深刻地帮助学生理解双二次方程与一元二次方程的关系.
三、巩固练习
挑战五颗星：解下列高次方程.
（规则：学生选择相应的星级会得到相应的分值奖励；额外奖励：凡是做出五星级的同学可以免做回家作业.）
★★★：（1）x4+3x-10=0; (2) 3x4-2x2-1=0.
★★★★：
（1）（x2+2x）2-7(x2+2x)+12=0; （2）（x2+x）2+（x2＋x）=2;
（3）（6x2-7x）2-2（6x2-7x）=3;（4）(x2+x)2-5x2-5x=6.
★★★★★：（1）(2x2-3x+1)2+4x2-1=6x ;
（2）12x4-56x3+89x2-56x+12=0.
解：观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由
说明本挑战的题目由学生自主选择，并不要求每位学生都能完成.
四、课堂小结
（学生总结，教师归纳）
1．解双二次方程的一般过程是什么？
（1）换元；
（2）解一元二次方程；
（3）回代.
2．如何判断双二次方程的根的个数？
五、作业布置
1．练习册：习题21.2（2）
2．选做题：解下列高次方程:
（1）（x2-x）2-4（2x2-2x-3）=0;
（2）（x2-2x+3）2=4x2-8x+17;
（3） x4-（a2+b2）x2＋a2b2=0;
（4）（x2+8x＋12）2＋6（x2＋8x＋12）＋9=0.
教学设计说明
1．通过一元二次方程引入了双二次方程的求解方法，上一节课已经涉及过换元的思想，所以学生在这里就显得驾轻就熟.对于双二次方程的概念的引入则采用让学生观察，然后归类，找出其共同点，最后才阐述双二次方程的概念.这里培养学生要注重概念的实质含义，而非名称.
2．在例4、例5的学习之后，展开了对双二次方程的根的个数问题
的探讨.这是本节课的难点，课堂上应给予学生充足的思考时间、自由的讨论和发言空间，使学生站在一个新的高度来认识所学内容，培养了学生探求、归纳、总结等认识客观世界的认知方法.
3．在巩固练习的环节中安排了“挑战五颗星”的课堂互动，这样既能达到分层学习的目的，使优秀生更上一层楼，又活跃了课堂气氛，充分调动了学生的积极性，让他们摆脱被动的学习，体会自主学习、探究问题的快乐.
4．作业同样采取了分层设计，尽可能使所有学生都能通过作业巩固新知.选做题的类型与难度相当于巩固练习中的四星级和五星级，是针对一些学有余力的同学设计，帮助他们进一步巩固提高.。