【K12教育学习资料】[学习]河北省2019年中考数学复习 圆 第29讲 圆的基本性质试题(含解析)

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小初高K12教育学习资料 第29讲 圆的基本性质

1. (2012，河北)如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是(D)

第1题图

A. AE>BE B. 弧AD＝弧BC C. ∠D＝12∠AEC D. △ADE∽△CBE

【解析】 ∵CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，∴AE＝BE，弧AC＝弧BC.∴A，B两选项错误．∵∠AEC不是圆心角，∴∠D≠12∠AEC. ∴C选项错误．∵∠AED＝∠CEB＝90°，∠DAE＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE.∴D选项正确．

2. (2015，河北)如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F.下列三角形中，外心不是点O的是(B)

第2题图

A. △ABE B. △ACF C. △ABD D. △ADE

【解析】 只有△ACF的三个顶点不都在⊙O上，故外心不是点O的是△ACF.

3. (2016，河北)如图所示的为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(B)

第3题图

A. △ACD的外心 B. △ABC的外心 C. △ACD的内心 D. △ABC的内心

【解析】 由网格图，知点O是边AC，BC的垂直平分线的交点．根据三角形外心的定义，知点O是 △ABC的外心．

圆的有关概念

例1 下列语句正确的是(D)

A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 小初高K12教育学习资料

小初高K12教育学习资料 C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴

【解析】 能完全重合的两条弧是等弧，所以A选项错误．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，所以B选项错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以C选项错误．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，所以D选项正确.

针对训练1 如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C.若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为(A)

训练1题图

A. 20° B. 30° C. 45° D. 60°

【解析】 如答图，连接OD，则∠DOC＝70°－45°＝25°，∠AOD＝160°－70°＝

90°.∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠A＝45°.∵∠ADO＝∠B＋∠DOB，∴∠B＝45°－25°＝

20°.

训练1答图

针对训练2 如图，点P在线段AB上，PA＝PB＝PC＝PD.当∠BPC＝60°时，∠BDC的度数为(B)

训练2题图

A. 15° B. 30° C. 25° D. 60°

【解析】 ∵PA＝PB＝PC＝PD，∴点A，B，C，D在以点P为圆心，PB的长为半径的圆上．∴∠BDC＝12∠BPC＝12×60°＝30°.

确定圆的条件

例2 (2010，河北)如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)

例2题图

A. 点P B. 点Q C. 点R D. 点M 小初高K12教育学习资料

小初高K12教育学习资料 【解析】 如答图，连接BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于点Q，则点Q即为圆心．

例2答图

针对训练3 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(－1，0)，点B的坐标是(3，0)，在y轴的正半轴上取一点C，使A，B，C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是(A)

A. (0，3) B. (3，0) C. (0，2) D. (2，0)

【解析】 如答图，连接AC，CB.根据题意可证得△AOC∽△COB，∴OCOA＝OBOC，即OC2＝OA·OB.∴OC2＝1×3＝3.解得OC＝3.故点C的坐标为(0，3).

训练3答图

针对训练4 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，有一圆过C，D，E三点，且此圆分别与AD，BC相交于P，Q两点．甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：

甲：连接DE，EC，作∠DEC的平分线EM，作DE的垂直平分线，交EM于点O，则点O即为所求．

乙：连接PC，QD，两线段交于一点O，则点O即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(A)

训练4题图

A. 两人皆正确 B. 两人皆错误

C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确

【解析】 对于甲，易知ED＝EC，∴△DEC为等腰三角形．进而易知EM为CD的垂直平分线．∴点O为两垂直平分线的交点，即点O为△CDE的外心．∴点O为此圆的圆心．对于乙，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，∴PC，QD为此圆的直径．∴PC与QD的交点O为此圆的圆心．因此甲、乙两人皆正确.

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小初高K12教育学习资料 圆的基本性质

例3 (2018，石家庄裕华区模拟)如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，C是优弧AB上一点(不与点A，B重合)，则cos C的值为(D)

例3题图

A. 43 B. 34 C. 35 D. 45

【解析】 如答图，作直径AD，连接BD.∵AD为直径，∴∠ABD＝90°.在Rt△ABD中，∵AD＝10，AB＝6，∴BD＝102－62＝8.∴cos D＝BDAD＝810＝45.∵∠C＝∠D，∴cos C＝45.

例3答图

针对训练5 (2018，石家庄模拟)如图，在半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD.若DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦BC的长是(A)

训练5题图

A. 8 B. 10 C. 11 D. 12

【解析】 如答图，作直径CF，连接BF，则∠FBC＝90°.∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF.∴弧DE＝弧BF.∴BF＝DE＝6.∴BC＝CF2－BF2＝8.

训练5答图

针对训练6 (2018，通辽)已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数为(D)

A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°

【解析】 如答图．在Rt△OAD中，∵OA＝10，OD＝5，∴cos∠AOD＝ODAO＝12.∴∠AOD＝60°.同理可得∠BOD＝60°.∴∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝60°＋60°＝120°.∴弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°.

训练6答图 小初高K12教育学习资料

小初高K12教育学习资料 垂径定理

例4 (2018，安顺，导学号5892921)已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为(C)

A. 25 cm B. 45 cm C. 25 cm或45 cm D. 23 cm或43 cm

【解析】 如答图，连接AC，AO.∵⊙O的直径CD＝10 cm，AB⊥CD，AB＝8 cm，∴AM＝12AB＝12×8＝4(cm)，OD＝OC＝5 cm.当点C的位置如答图①所示时，∵OA＝5 cm，AM＝

4 cm，CD⊥AB，∴OM＝OA2－AM2＝52－42＝3(cm)．∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)．

∴AC＝AM2＋CM2＝42＋82＝45(cm)．当点C的位置如答图②所示时，同理可得OM＝3 cm.∵OC＝5 cm，∴MC＝5－3＝2(cm)．∴在Rt△AMC中，AC＝AM2＋MC2＝42＋22＝

25(cm)．综上所述，AC的长为25 cm或45 cm.

例4答图

针对训练7 (2018，张家界)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE的长为(A)

训练7题图

A. 8 cm B. 5 cm C. 3 cm D. 2 cm

【解析】 ∵CD⊥AB，CD＝8

cm，∴CE＝12CD＝4 cm.在Rt△OCE中，OC＝5 cm，CE＝4 cm，∴OE＝OC2－CE2＝3 cm.∴AE＝AO＋OE＝5＋3＝8(cm)．

一、 选择题

1. (2018，聊城)如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC. 若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(D)

第1题图

A. 25° B. 27.5° C. 30° D. 35°

【解析】 ∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝85°－60°＝25°，∠CDO＝95°.

∴∠AOC＝2∠B＝50°.∴∠C＝180°－95°－50°＝35°. 小初高K12教育学习资料

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2. (2018，威海)如图，⊙O的半径为5，AB为弦，C为弧AB的中点．若∠ABC＝30°，则弦AB的长为(D)

第2题图

A. 12 B. 5 C. 532 D. 53

【解析】 如答图，连接OA，OC，OC与AB相交于点E.∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝

60°.由AB为弦，C为弧AB的中点，易知OC⊥AB，AE＝BE.在Rt△OAE中，AE＝OA·

sin∠AOC＝5×32＝532，∴AB＝2AE＝53.

第2题答图

3. (2018，白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)

第3题图

A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

【解析】 如答图，连接DC.∵C(3，0)，D(0，1)，∴∠DOC＝90°，OD＝1，OC＝3.∴∠DCO＝30°.∴∠OBD＝∠DCO＝30°.

第3题答图

4. (2018，南充)如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是(A)

第4题图

A. 58° B. 60° C. 64° D. 68°

【解析】 ∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC＝32°.∵BC是直径，∴∠CAB＝90°.∴∠B＝