高一数学必修4三角函数的性质练习题

一、选择题1．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （51AB BC -=）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④2．已知关于x 的方程2cos ||2sin ||20(0)+-+=≠a x x a a 在(2,2)x ππ∈-有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,0)(2,)-∞+∞B ．(4,)+∞C ．(0,2)D ．(0,4)3．函数()()sin cos y x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知0>ω，2πϕ≤，在函数()()sin f x x ωϕ=+，()()cos g x x ωϕ=+的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 5．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且其相邻对称轴间的距离为23π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期23T π= B ．58πϕ=-C ．()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧AB 长为83π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）(3 1.73≈)A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米7．已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（ ）A ．76π B ．56π C ．2πD ．3π 8．已知函数()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列说法错误的是（ ） A ．3π是函数()f x 的一个周期B ．函数()f x 的图象关于,13π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C ．函数的一条对称轴为712x π= D ．函数图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称 9．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1B ．151+ C ．1916D ．3410．将函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，则以下说法正确的是（ ） A ．1ω=B ．函数()y f x =图象的一条对称轴为12x π=C ．()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增11．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 12．函数22y cos x sinx ＝－ 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2二、填空题13．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，且当(]0,1x ∈时，()21log f x x=，若函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点，则实数m 的取值范围是__________. 14．函数y ＝的定义域为________．15．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为106米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度约为50秒，升旗手应以__________（米 /秒）的速度匀速升旗．16．已知函数f （x ）＝A sin （3πx +φ），x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜2π．y ＝f （x ）的部分图象，如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为（1，A ），点R 的坐标为（1，0），∠PRQ ＝23π，则sin ∠PQR ＝_____．17．将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得到函数()y f x =图像，若函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心，则ω的取值范围为_______________．18．函数[]y x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=.则对于函数()[]f x x x =-，有下列说法:①()f x 的值域为[)0,1；②()f x 是1为周期的周期函数；③()f x 是偶函数；④()f x 在区间[)1,2上是单调递增函数.其中，正确的命题序号为___________. 19．给出下列命题： ①函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心为5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭； ②若α，β为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，则ABC ∆必有两解.④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是 _________（把你认为正确的序号都填上）．20．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的部分图象如下图所示，则ϕ=________.三、解答题21．如图，在扇形OMN 中，半径10OM =，圆心角6MON π∠=，D 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记DON θ∠=，矩形ABCD 的面积为S .（1）用含θ的式子表示线段DC ，OB 的长； （2）求S 的最大值.22．已知()442sin cos cossin f x x x x x ωωωω=+-（其中ω>0）．（1）若()f x 的最小正周期是π，求ω的值及此时()f x 的对称中心； （2）若将()y f x =的图像向左平移4π个单位，再将所得的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得到()g x 的图像，若y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求ω的取值范围．23．已知函数()sin(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为奇函数. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位，然后将所得的图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，证明：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22()()10g x g x --≤.24．长春某日气温()C y ︒是时间t (024t ≤≤，单位：小时)的函数，下面是某天不同时间的气温预报数据： t (时)3 6 9 12 15 18 21 24 ()C y ︒ 15.714.015.720.024.226.024.220.015.7cos()y A t b ωϕ=++的图象.（1）根据以上数据，试求cos()y A t b ωϕ=++(0A >，0>ω，0ϕπ<<)的表达式； （2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23C ︒.根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？(忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下哦，奥力给!) 25．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深5.0003.7542.8352.5002.8353.754（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数sin()y A x b ωϕ=++（0A >，0>ω）近似描述，试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能呆多久？26．函数()cos()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示.（1）求()f x 的表达式； （2）若[1,2]x ∈，求()f x 的值域；（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 设51AB =，则2BC =，再由14圆弧分别求出,,l m n ，再逐项判断即可得正确选项. 【详解】 不妨设51AB =，则2BC =，所以()512l BE π==⨯， ()25135ED =-=所以(352m EG π==⨯，(5135254CG =-=，所以())422n GI ππ==⨯=，所以(())341222m n l πππ⨯+⨯=⨯==+，故①正确；(22227342m π-⨯==，))271222l n ππ-⨯⨯=⋅=， 所以2m l n =⋅，故②正确；))51222l n πππ⨯++==，((22332m ππ=⨯⨯-=-，所以2m l n ≠+，故③不正确；11l n l n l n ++===⋅(113232m ππ+==⨯，所以211m l n ≠+， 故④不正确；所以①②正确， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，正确求出扇形的半径，利用弧长公式求出弧长即,,l m n 的值.2．D解析：D 【分析】令2()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，易知函数()f x 是偶函数，将问题转化为研究当(0,2)x π∈时，2()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点，令sin t x =，则转化为2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈-求解.【详解】当(2,2)x ππ∈-，2()cos ||2sin ||2(0)=+-+≠f x a x x a a ，则()()f x f x -=，函数()f x 是偶函数，由偶函数的对称性，只需研究当(0,2)x π∈时，2()cos 2sin 2=+-+f x a x x a 有两个零点，设sin t x =，则2()22(0)=--≠h t at t a 有一个根(1,1)t ∈- ①当0a <时，2()22=--h t at t 是开口向下，对称轴为10t a=<的二次函数， (0)20h =-<则(1)0->=h a ，这与0a <矛盾，舍去；②当0a >时，2()22=--h t at t 是开口向上，对称轴为10t a=>的二次函数， 因为(0)20h =-<，(1)220-=+->=h a a ，则存在(1,0)t ∈-，只需(1)220=--<h a ，解得4a <， 所以04a <<．综上，非零实数a 的取值范围为04a <<． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解3．A解析：A 【分析】先确定奇偶性，再取特殊值确定函数值可能为负，排除三个选项后得出结论． 【详解】记()()sin cos f x x =，则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==，为偶函数，排除D ， 当23x π=时，21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，排除B ，C ． 故选：A ． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项，再由特殊的函数值，函数值的正负，变化趋势等排除一些选项后得出正确结论．4．D解析：D 【分析】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=，可求得()4k x k Z ππϕω+-=∈，再利用，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2π，可得2x ππω∆==，即可得2ω=，再利用正弦函数图象的特点，可得032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即可求出ϕ的取值范围. 【详解】由()()f x g x =得()()sin cos x x ωϕωϕ+=+，所以()tan 1x ωϕ+=，可得：()4x k k Z πωϕπ+=+∈，所以因为相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为2x ππω∆==， 所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+， 当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，232x ππϕϕϕ-+<+<+，要满足函数()f x 的图象恒在x 轴的上方，需满足方程032πϕπϕπ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩ ，解得32ππϕ≤≤， 故选：D 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题.5．D解析：D 【分析】首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是43π，故A 不正确； 243T ππω==，解得：32ω=，()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，解得：5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-，故B 不正确； ()311cos 216f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故C 不正确； 当02x π≤≤时，3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，即,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求33216x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 6．B解析：B 【分析】根据已知求出矢2=，弦2AD ==. 【详解】由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=， 可得：矢422=-=，由sin43AD AO π===可得：弦2AD ==所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)22)292=+=≈平方米．故选：B 【点睛】方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式l r α=、扇形面积公式12S lr =及直角三角函数求解.7．A解析：A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭， 所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=， 所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭的情况. 8．D解析：D 【分析】根据正弦函数性质周期，对称性，图象变换判断各选项． 【详解】函数()f x 的最小正周期为π，故3π是函数()f x 的一个周期，A 正确； 当3x π=时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故B 正确；当712x π=时，函数()f x 取得最小值，712x π=为对称轴，C 正确；函数图象向左平移6π个单位后函数解析式为sin 2163y x ππ⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2sin 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，不是偶函数，图象不关于y 轴对称，D 错误． 故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，考查周期的概念，对称轴与对称中心、奇偶性等性质，属于基础题．9．C解析：C 【分析】由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算． 【详解】 由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便． 10．C解析：C 【分析】由周期求出ω，然后由正弦函数的性质判断． 【详解】函数()2sin (04)6f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的周期为π，所以22πωπ==，A 错；12x π=时，206x π-=，12x π=不是对称轴，B 错；3x π=时，226x ππ-=，即23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭为最大值，因此()3f f x π⎛⎫⎪⎝⎭正确，C 正确； 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52,666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而sin y x =在5,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，D 错； 故选：C ． 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的性质，对函数()sin()f x A x ωϕ=+，掌握五点法是解题关键．解题时可由x 的值或范围求得x ωϕ+的值或范围，然后结合正弦函数性质判断．11．C解析：C 【分析】 可得()()2f x f x π+=，得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 【详解】()()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴是以2π为周期的函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，41x π⎛⎫+ ⎝∴≤⎪⎭≤根据函数的周期性可得()f x 的最小值为1，故AB 错误，∴1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，故D 错误， ()()sin cos cos sin222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 12．D解析：D【解析】分析：将2cos x 化为21sin x -，令()sin 11x t t =-≤≤，可得关于t 的二次函数，根据t 的取值范围，求二次函数的最值即可.详解：利用同角三角函数关系化简，22cos 2sin sin 2sin 1y x x x x =-=--+ 设()sin 11x t t =-≤≤，则()()22211211y t t t t =--+=-++-≤≤，根据二次函数性质当1t =-时，y 取最大值2，当1t =时，y 取最小值2-. 故选D.点睛：本题考查三角函数有关的最值问题，此类问题一般分为两类，一种是解析式化为2sin sin y A x B x C =++的形式，用换元法求解；另一种是将解析式化为()sin y A x k ωϕ=++的形式，根据角的范围求解.二、填空题13．【分析】根据条件易得函数是关于对称以2为周期的奇函数再根据时在同一坐标系中作出函数的图象利用数形结合法求解【详解】因为是奇函数且所以即函数是关于对称以2为周期的奇函数又时在同一坐标系中作出函数的图象解析：742⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【分析】根据条件，易得函数()f x 是关于()1,0对称，以2为周期的奇函数，再根据(]0,1x ∈时，()21log f x x=，在同一坐标系中作出函数()y f x =，()sin y x π=的图象，利用数形结合法求解. 【详解】因为()f x 是奇函数，且()()20f x f x -+=，所以()()2f x f x -=-，即函数()f x 是关于()1,0对称，以2为周期的奇函数， 又(]0,1x ∈时，()21log f x x=， 在同一坐标系中作出函数()y f x =，()sin y x π=的图象如图所示：因为函数()()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有且仅有10个零点， 所以函数()y f x =，()sin y x π=在区间[]1,m -上有且仅有10个交点，由图知：实数m 的取值范围是742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，， 故答案为：742⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【点睛】方法点睛：函数零点求参数范围问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则构造两个函数，将问题转化为两个函数图象的交点问题求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．14．(k ∈Z)【分析】解不等式2cosx －1≥0即得函数的定义域【详解】∵2cosx －1≥0∴cosx≥由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)∴x ∈(k ∈Z)故答案为(k ∈Z)【点睛】（解析： (k ∈Z)【分析】解不等式2cos x －1≥0即得函数的定义域. 【详解】∵2cos x －1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．∴x ∈ (k ∈Z)． 故答案为 (k ∈Z)【点睛】（1）本题主要考查三角函数线和解三角不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)三角函数线是解三角不等式较好的工具，要理解掌握并灵活运用.15．6【分析】根据题意可求得然后利用正弦定理求得最后在中利用求得答案【详解】在中由正弦定理得；在中（米）所以升旗速度（米/秒）故答案为06【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用此类问题的解决关键是建立解析：6 【分析】根据题意可求得，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，106CD =BC ，最后在Rt ABC 中利用sin60AB BC =︒求得答案． 【详解】在BCD 中，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，106CD = 由正弦定理，得sin 45203sin 30CD BC ︒==︒在Rt ABC 中，3sin?603302AB BC =︒==（米）． 所以升旗速度300.650t AB v ===（米/秒）． 故答案为0.6. 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决，属于中档题.16．【分析】根据周期求出再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出最后由正弦定理求出【详解】过点作延长线的垂线垂足为连接如下图所示则由正弦定理可知则故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应 解析：2114【分析】根据周期求出32TDQ ==，再由直角三角形的边角关系以及勾股定理求出,PR PQ ，最后由正弦定理求出sin PQR ∠.【详解】过点Q 作PR 延长线的垂线，垂足为D ，连接PQ ，如下图所示263T ππ==，则32T DQ == 6xRQ RQD π∠=∠=3tan336DR DQ π∴=⋅=⨯= 223,23,12921PR DP PQ PD PQ ∴===+=+=由正弦定理可知sin sin PQ PRPRQ PQR=∠∠则33sin 212sin 1421PR PRQPQR PQ⋅⋅∠∠===故答案为：2114【点睛】本题主要考查了正弦型函数图象的性质的应用，涉及了正弦定理解三角形，属于中档题.17．【分析】根据图象变换求出解析式再结合正弦函数的性质建立不等式即可求出的取值范围【详解】将函数图像上所有点向左平移个单位得到的图象再将横坐标变为原来的倍纵坐标不变得函数在上有且仅有一条对称轴和一个对称解析：35,22⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据图象变换求出()f x 解析式，再结合正弦函数的性质建立不等式，即可求出ω的取值范围. 【详解】将函数sin y x =图像上所有点向左平移4π个单位，得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将横坐标变为原来的1ω倍(0)>ω，纵坐标不变，得()sin 4y f x x πω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴和一个对称中心， 由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得,4424x ，3242，解得3522. 故答案为：35,22⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，以及根据相关性质求参数，属于中档题.18．①②④【分析】当时即可判断①④；计算即可判断②也可以作图；计算即可判断③【详解】当时所以故①④正确；当时则故②正确；所以③错误故答案为：①②④【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质涉及到周解析：①②④ 【分析】当[,1)x n n ∈+时，()f x x n =-，即可判断①④；计算(1)f x +，()f x 即可判断②，也可以作图；计算12()33f -=，11()33f =即可判断③. 【详解】当[,1)x n n ∈+时，[]x n =，()||f x x n x n =-=-，所以()[0,1)f x ∈，故①④正确； 当[,1)x n n ∈+时，则1[1,2)x n n +∈++，[1]1x n +=+，(1)|1[1]|f x x x +=+-+|1(1)|||()x n x n f x =+-+=-=，故②正确；1112()|[]|3333f -=---=，1111()|[]|3333f =-=，所以③错误.故答案为：①②④. 【点睛】本题考查利用所学知识研究新定义函数的性质，涉及到周期性、单调性、奇偶性以及值域，是一道中档题.19．①③【分析】分别利用余弦函数的对称性正切函数的单调性正弦定理三角函数图象变换等知识对各个命题判断【详解】①令是函数的一个对称中心①正确；②若它们为第一象限角且但②错；③在中内角所对的边分别为若∵∴∴解析：①③ 【分析】分别利用余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识对各个命题判断． 【详解】 ①，令55()4cos()4cos()012632f ππππ-=-+=-=，5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心，①正确；②若136απ=，3πβ=，它们为第一象限角，且αβ>，但tan tan αβ=<=②错；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，sin sin 2sin 251a BA b==︒<，∵b a <，∴B A <，∴A 可能为锐角，也可能为钝角，则ABC ∆有两解，③正确；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2()sin(2)42y x x ππ=+=+的图象，④错． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握三角函数的图象与性质是解题关键．本题需要掌握余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识，属于中档题．20．【分析】根据图象得出函数的最小正周期可得出的值再将点代入函数解析式结合的取值范围可求出的值【详解】由图象可知函数的最小正周期则将点代入函数解析式得即因为函数在附近单调递减则得故答案为：【点睛】本题考 解析：6π【分析】根据图象得出函数()y f x =的最小正周期T ，可得出ω的值，再将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，222T ππωπ∴===， 则()()sin 2f x A x ϕ=+，将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式得55sin 201212f A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为函数()y f x =在512x π=附近单调递减，则()526k k Z πϕππ+=+∈， 得()26k k Z πϕπ=+∈，πϕπ-<<，0k ∴=，6π=ϕ. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式中的参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．（1）10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；OB θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）max 100S =-【分析】（1）在Rt DCO 和Rt ABO 中利用三角函数的定义可表示出,DC OB ；（2）求出BC 后可得矩形面积S ，利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最大值． 【详解】解：（1）在Rt DCO 中，10OD =，∴10sin DC θ=，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又Rt ABO 中，6AOB π∠=，10sin AB DC θ==，∴OB θ==，0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）在Rt DOC 中，10cos OC θ=，∴10(cos )BC OC OB θθ=-=，∴100sin (cos )S AB BC θθθ=⋅=-11cos 2100sin 2100sin 2223θπθθ-⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵06πθ<<，∴22333πππθ<+<，∴当232ππθ+=即12πθ=时，max 100S =-【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是用角表示出矩形面积，然后可利用三角函数的恒等变换公式如二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式、诱导公式等化函数为一个角的一个三角函数形式，即()sin()f x A x k ωϕ=++形式，最后利用正弦函数性质求得结论．22．（1）=1ω，对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈，（2）1524ω≤≤【分析】（1）先对函数化简变形得(2+4f x x πω（），由函数的周期为π，得=1ω，再由2+=4x k ππ，可求出对称中心的横坐标，进而可得对称中心；（2）由题意得到())24g x x ωππω=++，由0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，而y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围 【详解】解：（1）()sin 2+cos 22+4f x x x x πωωω=（），()f x 的最小正周期是π，2==12ππωω∴∴，此时()2+4f x x π=（），令2+=4x k ππ，得,82k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈. （2）由题知())24g x x ωππω=++， 0,4824244x x πωππωπππωωπ⎡⎤⎡⎤∈∴++∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，又()y g x =在08π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤∴++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，即32154242,242242k k k k Z k ππωππωωππππ⎧+≤+⎪⎪⇒+≤≤+∈⎨⎪+≥+⎪⎩，150,24ωω>∴≤≤【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的图像和性质，第2问解题的关键是求出424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，再由y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围，属于中档题 23．（1）,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）证明见解析.【分析】 （1）根据sin 2126f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数可得6π=ϕ，则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈可得答案；（2）根据三角函数图象的变换规律可得()sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出1(),12g x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，进而可得结论.【详解】（1）由题意知：sin 2126y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数 所以()6k k Z πϕπ-=∈，(Z)6k k πϕπ=+∈因为02πϕ<<，所以0k =，6π=ϕ 所以()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由222,Z 262k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得：,Z 36k x k k ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调递增区间为,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； （2）由题知：将()y f x =的图象向右平移6π个单位得sin 266y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,再将图象上各点的横坐标缩小到原来的12倍， 得()sin 46g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 因此1()sin 4,162g x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则2()10g x +≥且()10g x -≤，所以22()()1[2()1][()1]0g x g x g x g x --=+-≤ 【点睛】方法点睛：函数sin()y A x ωϕ=+()0,0A ω>>的单调区间的求法：,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间；2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间.24．（1）36cos 20124y t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[0,24]t ∈；（2）[11,19]t ∈，8小时. 【分析】（1）由表中数据列方程求出b 、A 的值，再求出T 、ω和ϕ的值即可； （2）令23y ，利用余弦函数的性质求出t 的取值范围，即可得出结论． 【详解】（1）根据以上数据知，2614A b A b +=⎧⎨-+=⎩，解得20b =，6A =；由153122T=-=，解得24T =，所以212T ππω==； 由3x =时14y =，即36cos()201412πϕ++=， 解得cos()14πϕ+=-，即24k πϕππ+=+，k Z ∈；所以324k πϕπ=+，k Z ∈； 由0ϕπ<<，解得34πϕ=； 所以36cos()20124y t ππ=++，[0t ∈，24]；（2）令36cos()2023124y t ππ=++，得31cos()1242t ππ+，即32231243k t k ππππππ-+++，k Z ∈；解得1324524k t k -+-+，k Z ∈； 当1k =时，1124t ，所以一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在[11t ∈，19]时间段将该种商品放在室外销售，且单日室外销售时间最长不能超过19118-=（小时）． 【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 25．（1） 2.5sin()56y x π=+；（2）该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时. 【分析】（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===，26T ππω==，取3x =代入可得2,k k Z ϕπ=∈，则解析式可得；（2）由（1）得计算2.5sin()5 6.256x π+≥解x 范围即可得结果.【详解】解：（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===. 因为0>ω，所以22126T πππω===. 因为3x =时y 取得最大值，所以32,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈.所以这个函数解析式为 2.5sin()56y x π=+（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米， 所以2.5sin()5 6.256x π+≥，即1sin()562x π+≥， 所以522,666m x m m N πππππ+≤≤+∈，解得112512,m x m m N +≤≤+∈.取0,1,m m ==得15,1317x x ≤≤≤≤.答：该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.26．（1）()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （3）154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭，得ωπ=，又314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求出函数表达式. （2）当[1,2]x ∈时，52444x πππππ≤+≤+，由余弦函数图像可得答案. （3）先根据图象变换求出()g x 的解析式，再根据余弦型函数的单调减区间求解即可. 【详解】（1）由题意可得251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭，得ωπ= 所以()()cos f x x πφ=+，又当1534424x +==时，314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即33cos 144f πφ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则324k k Z πφππ+=+∈， 所以124k k Z φππ=+∈，， 所以()cos 2cos 44f x x k x πππππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）当[1,2]x ∈时，52444x πππππ≤+≤+cos 124x ππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭所以当[1,2]x ∈时，()f x 的值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后可得：cos 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到：()1cos 26g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由122,26k x k k Z πππππ≤+≤+∈ 1544,33k x k k Z -≤≤+∈所以()g x 的单调递减区间为：154,4,33k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点睛：本题考查根据三角函数的图象求解析式以及根据解析式求值域和解决图象平移问题，解答本题的关键是读懂三角函数的图象，得到251244T πω⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭和314f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭从而求出解析式，在根据图象左右平移求解析式时，要注意将()f x 的图像向右平移112个单位后可得：1cos 124y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，属于中档题.。

高中数学学习材料唐玲出品高一数学必修4第一章三角函数单元测试班级 姓名 座号 评分一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（48分） 1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A CD ．A=B=C 2、将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）A ．3πB ．－3π C ．6π D ．－6π 3、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ）A ．－2B ．2C ．2316 D ．－23164、已知角α的余弦线是单位长度的有向线段;那么角α的终边 （ ） A ．在x 轴上 B ．在直线y x =上C ．在y 轴上D ．在直线y x =或y x =-上 5、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ︒等于 ( )A ．32-B ．32C ．12D ． 12-6、要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位7、如图，曲线对应的函数是 （ ）A ．y=|sin x |B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |8、化简1160-︒2sin 的结果是 ( )A ．cos160︒B ．cos160-︒C ．cos160±︒D ．cos160±︒ 9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 11、函数sin(),2y x x R π=+∈是 （ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数 12、函数2cos 1y x =+的定义域是 （ ） A ．2,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．22,2()33k k k Z ππππ++∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．222,2()33k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．（20分） 13、已知απβαππβαπ2,3,34则-<-<-<+<的取值范围是 . 14、)(x f 为奇函数，=<+=>)(0,cos 2sin )(,0x f x x x x f x 时则时 .15、函数])32,6[)(8cos(πππ∈-=x x y 的最小值是 ． 16、已知,24,81cos sin παπαα<<=⋅且则=-ααsin cos .三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（8分）求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18、（8分）已知3tan 3,2απαπ=<<,求sin cos αα-的值.19、（8分）绳子绕在半径为50cm 的轮圈上，绳子的下端B 处悬挂着物体W ，如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转4圈，那么需要多少秒钟才能把物体W 的位置向上提升100cm?20、（10分）已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+21、（10分）求函数21()tan 2tan 5f t x a x =++在[,]42x ππ∈时的值域(其中a 为常数)22、（8分）给出下列6种图像变换方法：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21； ②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移3π个单位； ④图像向左平移3π个单位；⑤图像向右平移32π个单位；⑥图像向左平移32π个单位。

1-2-0-1任意角的三角函数的定义一、选择题1．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或四象限，又tan α>0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．2．若角α的终边过点(－3，－2)，则( ) A ．sin αtan α>0 B ．cos αtan α>0 C ．sin αcos α>0 D ．sin αcos α<0 [答案] C[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)， ∴sin α<0，cos α<0，tan α>0， ∴sin αcos α>0，故选C. 3．cos1110°的值为( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32[答案] B[解析] cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝32. 4．已知P (2，－3)是角θ终边上一点，则tan(2π＋θ)等于( ) A.32B.23C ．－32D ．－23[答案] C[解析] tan(2π＋θ)＝tan θ＝－32＝－32.5.cos 2201.2°可化为( ) A ．cos201.2° B ．－cos201.2° C ．sin201.2° D ．tan201.2°[答案] B[解析] ∵201.2°是第三象限角，∴cos201.2°<0， ∴cos 2201.2°＝|cos201.2°|＝－cos201.2°.6．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B.114C ．－4 D ．4[答案] C[解析] 由题意得cos α＝mm 2＋9＝－45，解得m ＝±4.又cos α＝－45<0，则α的终边在第二或三象限，则点P 在第二或三象限，所以m <0，则m ＝－4.7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由于点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ<0，sin θcos θ>0，所以有sin θ<0，cos θ<0，所以θ是第三象限角． 8．α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α的值为( )A.104B.64C.24 D ．－104[答案] A[解析] ∵|OP |＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5＝24x 又因为α是第二象限角，∴x <0，得x ＝－ 3 ∴sin α＝5x 2＋5＝104，故选A.9．如果α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12C ．－32D ．－33[答案] C[解析] ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋(－3)2＝2， ∴sin α＝－32. 10．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是( )A ．{－1,1,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．R[答案] C[解析] ∵该函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π2，k ∈Z }，∴当x 是第一象限角时，y ＝3；当x 是第二象限角时，y ＝1－1－1＝－1； 当x 是第三象限角时，y ＝－1－1＋1＝－1； 当x 是第四象限角时，y ＝－1＋1－1＝－1. 综上，函数的值域是{－1,3}． 二、填空题11．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第________象限角． [答案] 一或二[解析] 要使原式有意义，必须cos θ·tan θ>0，即需cos θ、tan θ同号，∴θ是第一或第二象限角．12．已知角θ的终边经过点(－32，12)，那么tan θ的值是________．[答案] －3313．已知角α的终边在直线y ＝x 上，则sin α＋cos α的值为_____． [答案] ±2[解析] 在角α终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝x ， 当x >0时，r ＝x 2＋y 2＝2x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝22＋22＝2，当x <0时，r ＝x 2＋y 2＝－2x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－22－22＝－ 2.14．判断符号，填“>”或“<”： sin3·cos4·tan5________0. [答案] >[解析] π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3cos4tan5>0.三、解答题15．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α>0，求实数a 的取值范围．[解析] ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上， ∵α终边过(3a －9，a ＋2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0a ＋2＞0，∴－2<a ≤3. 16．求下列各式的值： (1)sin25π3＋tan(－23π4)； (2)sin 1170°＋cos360°－tan 125°.[分析] 此类问题的解答应先将角改写成2k π＋α或k ·360°＋α(k ∈Z )的形式，再运用诱导公式(一)求值．[解析] (1)sin 25π3＋tan(－23π4)＝sin(8π＋π3)＋tan(－6π＋π4)＝sinπ3＋tan π4＝32＋1＝3＋22.(2)sin1170°＋cos360°－tan1125°＝sin(3×360°＋90°)＋cos(0°＋360°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.17．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解析] (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角． 综上可知角α是第四象限的角． (2)∵|OM |＝1，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.18．(2011～2012·黑龙江五校联考)已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值． [分析] 此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m 的值，再求cos θ与tan θ的值．[解析] (1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；(2)当m＝5时，cosθ＝－64，tanθ＝－153；(3)当m＝－5时，cosθ＝－64，tanθ＝153.。

高一三角同步练习5（同角三角函数的基本关系式）一、选择题1、),0(,54cos παα∈=，则αcot 的值等于 （ ）A ．34B ．43C ．34±D ． 43±2、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 23 ,则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形 3、已知sin αcos α = 18,则cos α－sin α的值等于 （ ）A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－234、已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，则=θθcos sin （ ） A ．32 B ． 32- C ． 31 D ． 31- 5、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么θθcot tan +的值是 （ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．26、若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan（）A ．1B ． - 1C ．43D ．34-7、已知21cos sin 1-=+x x ，则1sin cos -x x的值是A ．21 B ． 21- C ．2 D ．－2 8、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+B ．51-C ．51±D ．51--二、填空题1、若15tan =α，则=αcos；=αsin．2、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________．3、已知2cos sin cos sin =-+αααα，则ααcos sin 的值为．4、已知524cos ,53sin +-=+-=m mm m θθ，则m=_________；=αtan ． 三、解答题1、：已知51sin =α，求ααtan ,cos 的值． 2、已知22cos sin =+αα，求αα22cos 1sin 1+的值． 3、已知51cos sin =+ββ，且πβ<<0． （1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值； （2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．*4、已知：m =αcot ，()0≠m ，求αsin ，αcos 的值．参考答案一、选择题ABBA DAAB 二、填空题1、41±；415±(α在一象限时取正号，在三象限时取负号)．2、2529． 3、103． 4、0=m 或8=m ；43tan -=α或125tan -=α． 三、解答题1、562cos ±=α；126tan ±=α(α在一象限时取正号，在二象限时取负号)． 2、由22c o s si n =+αα可得：21cos sin 21cos cos sin 2sin 22=+=++αααααα； 于是：41cos sin -=αα，∴16cos sin cos sin cos 1sin 1222222=+=+αααααα． 3、（1）由51cos sin =+ββ可得： 251cos sin 21cos cos sin 2sin22=+=++ββββββ； 于是：2512cos sin -=ββ，()2549cos sin 21cos sin 2=-=-ββββ； ∵0cos sin <ββ且πβ<<0，∴0sin >β，0cos <β． 于是：57cos sin =-ββ． （2）54sin =β；53cos -=β；34tan -=β． 4、 ∵ m ==αααsin cos cot ，∴ ααsin cos m =，代入：1cos sin 22=+αα可得： ()1sin 122=+αm ∴ 2211sin m +=α；当α在第一、第二象限时，211sin m+=α， 21cot sin cos mm +==ααα；当α在第三、第四象限时，211sin m+-=α，21cot sin cos mm +-==ααα．。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．简谐运动y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫5x －π3的相位与初相是( )A ．5x －π3，π3B ．5x －π3，4C ．5x －π3，－π3D ．4，π3解析： 相位是5x －π3，当x ＝0时的相位为初相即－π3.答案： C2．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6B ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6C ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6D ．y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6解析： 由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.答案： D3．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝－π6D ．x ＝π6解析： 由x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋5π6，k ∈Z ，令k ＝－1，得x ＝－π6.答案： C4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫4x －π3D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6解析： 设y ＝A sin(ωx ＋φ)，显然A ＝1，又图象过点⎝⎛⎭⎫－π6，0，⎝⎛⎭⎫π12，1，所以⎩⎨⎧ω×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，ω×π12＋φ＝π2.解得ω＝2，φ＝π3.所以函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6.答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5．y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的振幅为________，周期为________，初相φ＝________．解析： ∵y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫3x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋2π3，∴A ＝2，ω＝3，φ＝2π3，∴T ＝2πω＝23π.答案： 2 23π 23π6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________． 解析： 由题意设函数周期为T ， 则T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝4π3. ∴ω＝2πT ＝32.答案： 327．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)在一个周期内，当x ＝π12时，函数f (x )取得最大值2，当x ＝7π12时，函数f (x )取得最小值－2，则函数解析式为________．解析： 由题意可知A ＝2.T 2＝7π12－π12＝π2，∴T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.答案： f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3三、解答题(每小题10分，共20分) 8．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图；(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？ 解析： (1)列表．将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1在⎣⎡⎦⎤－π8，7π8上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位，即可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象．(2)y ＝sin x ―――――――――――――→向左平移π4个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎫x ＋π4―――――――――――――――→横坐标变为原来的12倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 ――――――――――――――――――――→纵坐标向上平移1个单位长度横坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间． 解析： (1)由图象，知T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2ππ＝2.∵点⎝⎛⎭⎫5π12，0在其图象上，∴0＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ， 又0＜φ＜π2，∴φ＝π6.又∵点(0，1)也在其图象上，∴1＝A sinπ6，∴A ＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，∴－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z .∴－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．能力测评10．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝π8对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称 C ．关于直线x ＝π4对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析： 依题意得T ＝2πω＝π，ω＝2，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sinπ2＝1，f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π4＝sin3π4＝22，因此该函数的图象关于直线x ＝π8对称，不关于点⎝⎛⎭⎫π4，0和点⎝⎛⎭⎫π8，0对称，也不关于直线x ＝π4对称，故选A.答案： A11．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫k 4x ＋π3－5的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值是________．解析： 由题意，得T ＝8πk ≤2，解得k ≥4π，又因为k 为正整数，故k 的最小值为13.答案： 1312．(2015·衡阳高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<⎫π2一个周期的图象如图所示．(1)求函数f (x )的最小正周期T 及最大值、最小值； (2)求函数f (x )的表达式、单调递增区间．解析： (1)由图知，函数f (x )的最小正周期为T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.(2)T ＝2πω，则ω＝2，又x ＝－π6时，y ＝0，所以sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0，而－π2<φ<π2，则φ＝π3，所以函数f (x )的表达式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .13．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ－π6)＋1(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2. (1)求f (π8)的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的单调递减区间．解析： (1)∵f (x )为偶函数， ∴φ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋2π3(k ∈Z )．又0＜φ＜π， ∴φ＝2π3，∴f (x )＝2sin(ωx ＋π2)＋1＝2cos ωx ＋1.又函数f (x )的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos 2x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π8＋1＝2＋1.(2)将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数f (x －π6)的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6的图象，所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 4－π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x 4－π6＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＋1.当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z )时，g (x )单调递减．∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z )．。

同角三角函数的根本关系【知识梳理】同角三角函数的根本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.即sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α⎝⎛⎭⎫其中α≠k π＋π2(k ∈Z ). 【常考题型】题型一、一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】 (1)sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α. (2)cos α＝－45，求sin α和tan α. [解] (1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125. (2)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352， 因为cos α＝－45<0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34. 【类题通法】三角函数值求其他三角函数值的方法(1)假设sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α，求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值． (2)假设cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值． (3)假设tan α＝m ，可以应用公式tan α＝sin αcos α＝m ⇒sin α＝m cos α及sin 2α＋cos 2α＝1，求得cos α＝±11＋m 2，sin α＝±m 1＋m 2的值． 【对点训练】tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值． 解：由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925. 又α是第三象限角，故cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45. 题型二、化切求值【例2】 tan α＝3，求以下各式的值．(1)4sin α－cos α3sin α＋5cos α； (2)sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； (3)34sin 2α＋12cos 2α. [解] (1)原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114； (2)原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223； (3)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940. 【类题通法】化切求值的方法技巧(1)tan α＝m ，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而到达求值的目的．(2)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．【对点训练】tan α＝2，求以下各式的值：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2 α.解：(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1. (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α， 这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．因为cos 2α≠0，所以分子和分母同除以cos 2α，那么4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1. 题型三、化简三角函数式【例3】 化简tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角． [解] 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α ＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.【类题通法】三角函数式化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，到达化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的局部化成完全平方式，然后去根号到达化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，到达化简的目的．【对点训练】化简：(1)sin θ－cos θtan θ－1； (2) sin 2θ－sin 4θ，θ是第二象限角．解：(1)sin θ－cos θtan θ－1＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝sin θ－cos θsin θ－cos θcos θ＝cos θ. (2)由于θ为第二象限角，所以sin θ>0，cos θ<0， 故sin 2θ－sin 4θ＝sin 2θ(1－sin 2θ)＝sin 2θcos 2θ＝|sin θcos θ|＝－sin θcos θ.题型四、证明简单的三角恒等式【例4】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α. [证明] 法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， ∴原等式成立．法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α， 右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α， ∴左边＝右边，原等式成立．【类题通法】简单的三角恒等式的证明思路(1)从一边开始，证明它等于另一边；(2)证明左、右两边等于同一个式子；(3)逐步寻找等式成立的条件，到达由繁到简．【对点训练】证明：1＋2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝1＋tan θ1－tan θ证明：∵左边＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝(sin θ＋cos θ)2(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θcos θcos θ－sin θcos θ＝1＋tan θ1－tan θ＝右边，∴原等式成立．【练习反应】1．α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，那么cos α等于( ) A.45B ．－45C ．－17 D.35解析：选B ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π且sin α＝35， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 2．假设α为第三象限角，那么cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3C ．1D ．－1 解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3. 3．cos α－sin α＝－12，那么sin αcos α的值为________． 解析：由得(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝38. 答案：384．假设tan α＝2，那么2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________． 解析：原式＝2sin α－cos αcos αsin α＋2cos αcos α＝2tan α－1tan α＋2＝2×2－12＋2＝34.答案：345．化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130°. 解：原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1.。

三角函数模型的简单应用(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.与图中曲线对应的函数是( )A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|2.如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮自点A开始旋转,15s旋转一圈.水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )A.ω=,A=3B.ω=,A=3C.ω=,A=5D.ω=,A=53.图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7sB.该质点的振幅为5cmC.该质点在0.1s和0.5s时速度最大D.该质点在0.3s和0.7s时加速度最大4.(2018·巢湖高一检测)商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[16,20]【延伸探究】本题条件不变,则在哪个时间段内人流量是减少的?5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的周期为,初相为,值域为[-1,3],则其函数式的最简形式为( )A.y=2sin+1B.y=2sin-1C.y=-2sin-1D.y=2sin+16.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示,则当t=秒时,电流强度是( )A.-5安B.5安C.5安D.10安7.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:s1=5sin,s2=10cos2t.当t=时,s1与s2的大小关系是( )A.s1>s2B.s1<s2C.s1=s2D.不能确定8.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( )二、填空题(每小题5分,共10分)9.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12s旋转一周.已知当t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的单调递增区间是.【补偿训练】如图,显示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天从0～24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为.10.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转.当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d= ,其中t∈[0,60].三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acosωt+B.(1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+B的最小正周期T、振幅A及函数解析式.(2)根据规定,当海浪高度等于或高于1m时才对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多长时间可供冲浪者进行活动?12.如图所示,某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这一天的最大用电量和最小用电量.(2)写出这段曲线的函数解析式.【能力挑战题】某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达到最高价格8元,7月份价格最低为4元,该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动,5月份销售价格最高为10元,9月份销售价最低为6元,假设商店每月购进这种商品m件,且当月销完,你估计哪个月份盈利最大?三角函数模型的简单应用(答案解析)(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.与图中曲线对应的函数是( )A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|【解析】选C.因为图象关于y轴对称,故排除A,D.又当∈(0,π)时y<0,故选C.2.如图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮自点A开始旋转,15s旋转一圈.水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )A.ω=,A=3B.ω=,A=3C.ω=,A=5D.ω=,A=5【解析】选A.因为T=15,故ω==,显然y max-y min的值等于圆O的直径,即y max-y min=6,故A===3.3.图为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7sB.该质点的振幅为5cmC.该质点在0.1s和0.5s时速度最大D.该质点在0.3s和0.7s时加速度最大【解析】选B.周期为2×(0.7-0.3)=0.8s,故A错;由题中图象可知,振幅为5cm,故B对;在最高点时,速度为零,加速度最大,故C、D错.4.(2018·巢湖高一检测)商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[16,20]【解析】选C.由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,得4kπ-π≤t≤4kπ+π,k∈Z.当k=1时,得t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故在[10,15]上是增加的.【延伸探究】本题条件不变,则在哪个时间段内人流量是减少的?【解析】选D.由2kπ+≤≤2kπ+,k∈Z得,4kπ+π≤t≤4kπ+3π,k∈Z,当k=1时,得t∈[5π,7π],而[16,20]⊆[5π,7π],故在[16,20]上是减少的.5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的周期为,初相为,值域为[-1,3],则其函数式的最简形式为( )A.y=2sin+1B.y=2sin-1C.y=-2sin-1D.y=2sin+1【解析】选A.A==2,B==1.又T=,所以ω==3.φ=,所以f(x)=2sin+1.6.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示,则当t=秒时,电流强度是( )A.-5安B.5安C.5安D.10安【解析】选A.由图知A=10,T=2==,所以ω=100π,则I=10sin(100πt+φ).因为点(0,5)在图象上,所以10sinφ=5,即sinφ=,φ=,所以I=10sin.当t=时,I=10sin=10sin=-5.7.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:s1=5sin,s2=10cos2t.当t=时,s1与s2的大小关系是( )A.s1>s2B.s1<s2C.s1=s2D.不能确定【解析】选C.当t=时,s1=5sin=5sin=-5.s2=10·cos=-5.所以s1=s2.8.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( )【解题指南】可借助弧长计算公式及圆中相应几何性质得出.【解析】选C.由l=αR可知α=,结合圆的几何性质可知=Rsin,所以d=2Rsin=2Rsin,又R=1,所以d=2sin,故结合正弦图象可知,选C.二、填空题(每小题5分,共10分)9.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12s旋转一周.已知当t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的单调递增区间是.【解析】由T=12,所以ω==,从而可设y关于t的函数为y=sin(t≥0),又t=0时,y=,所以φ=,所以y=sin所以当-+2kπ≤t+≤+2kπ,k∈Z,即-5+12k≤t≤1+12k,k∈Z,函数单调递增,因为0≤t≤12.所以增区间为[0,1]和[7,12].答案:[0,1],[7,12]【补偿训练】如图,显示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天从0～24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数关系式为.【解析】设h=Asin(ωt+φ),由图象知A=6,T=12,所以=12,得ω==,点(6,0)为“五点法”中的第一点,故×6+φ=0,得φ=-π,所以h=6sin=-6sin t,t∈[0,24].答案:h=-6sin t,0≤t≤2410.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转.当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d= ,其中t∈[0,60].【解析】经过ts秒针转了trad.由图知sin=,所以d=10sin,其中t∈[0,60].答案:10sin三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acosωt+B.(1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+B的最小正周期T、振幅A及函数解析式.(2)根据规定,当海浪高度等于或高于1m时才对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多长时间可供冲浪者进行活动?【解析】(1)由表中数据,知周期T=12,所以ω==.由t=0,y=1.5,得A+B=1.5,由t=3,y=1.0得B=1,所以A=0.5,所以y=cos t+1(0≤t≤24).(2)因为y≥1时,所以y=cos t+1≥1.所以cos t≥0,所以2kπ-≤t≤2kπ+(k∈Z),所以12k-3≤t≤12k+3(k∈Z).又因为8≤t≤20,所以k=1,即9≤t≤15.所以冲浪爱好者从上午9:00到下午15:00有6h可进行运动.12.如图所示,某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这一天的最大用电量和最小用电量.(2)写出这段曲线的函数解析式.【解析】(1)最大用电量为50万kW·h,最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象, 所以A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40.因为×=14-8,所以ω=.所以y=10sin+40.将x=8,y=30代入上式,解得φ=.所以所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].【能力挑战题】某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达到最高价格8元,7月份价格最低为4元,该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动,5月份销售价格最高为10元,9月份销售价最低为6元,假设商店每月购进这种商品m件,且当月销完,你估计哪个月份盈利最大?【解析】设出厂价波动函数为y1=6+Asin(ω1x+φ1),易知A=2,T1=8,ω1=,+φ1=⇒φ1=-,所以y1=6+2sin.设销售价波动函数为y2=8+Bsin(ω2x+φ2),易知B=2,T2=8,ω2=,+φ2=⇒φ2=-,所以y2=8+2sin.每件盈利y=y2-y1=-=2-2sin x,当sin x=-1时,x=2kπ-(k∈Z),x=8k-2(k∈Z),此时y取最大值.当k=1,即x=6时,y最大.所以估计6月份盈利最大.。

高一数学同步训练： 1.3 三角函数的诱导公式一．选择题1．下列各式不正确的是 （）A ． sin （α＋ 180°） =－ sin αB ． cos （－α＋ β） =－cos （α－ β）C ． sin （－α－ 360°） =－ sin αD ． cos （－α－ β） =cos （α＋ β ）2． sin 600 的值为（）1B ． 13 A ．2C ．2219的值等于（）3． sin61B ．13 A ．2C ．224． sin585 的°值为 ()2 B. 2C ．－ 33A ．－ 222D. 2235． sin( － 6 π)的值是 ()11 33A. 2B ．－ 2C. 2 D ．－ 26． cos(－225 °)＋ sin( － 225 °)等于 ()2 2 C ．0D. 2A. 2B ．－ 27． cos2010 °＝ ( )1313 A ．－2B ．－ 2 C.2D. 23D ．23D ．2π 1π)8．已知 sin(α－4)＝ ，则 cos( ＋α)的值为 (34A. 22B ．－22 1 D ．－ 1333C.339．若 cos,2 , 则 sin2 的值是（ ）35344B ．C ．D ．A ．55553πcos(－ 3π＋ α)()10．已知 cos( ＋α)＝－ 3，且 α是第四象限角，则25A. 4B ．－ 44D.3C ． ±11． sin 4 · cos25·tan5的值是（）3 64A ．－3 3 C ．－3 3 4B ．4D ．4412．若 sin(1，则 cos的值为（）)2A ．1；B ． 1；C ．3；D ．3 2222ππ )13．已知 cos(＋φ)＝ 3，且 |φ|< ，则 tan φ＝ (2 2 233A ．－ 3B. 3C ．－ 3 D. 314．设 tan(5 ＋πα)＝ m ，则 sinα－ 3π＋ cos π－ α的值等于 ( )sin － α－ cos π＋ αm ＋1 m － 1A.m －1B.m ＋1C ．－ 1D ．115． A 、B 、 C 为△ ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是(① cos(A ＋B)＝ cosC B ＋C② cos ＝ sin A2 2③ tan(A ＋ B) ＝－ tanC ④ sin(2A ＋B ＋ C)＝ sinAA ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 16．已知 sin()3 ，则 sin( 3) 值为（）424A.1B. — 1C.3 D. — 3222217． cos (+α )= — 1 ，3π<α < 2 , sin( 2 - α) 值为（）2 2A.3 B.13D. —322C.2218． tan110 ＝°k ，则 sin70 的°值为 ( ) AA ．－kB.kC.1＋ k 2 D ．－1＋ k 2k1＋ k 219．化简：1 2 sin(2) ? cos( 2) 得（ ）A. sin 2 cos2B. cos2 sin2C. sin 2 cos2)1＋ k2kD. ± cos2 sin 220．已知 tan3 ，3sin的值是（），那么 cos2A13 B1 31 31 322C2 D27π233321． (2011 年潍坊高一检测 )已知 a ＝ tan(－ 6 )， b ＝ cos 4 π，c ＝ sin( － 4 π)，则 a 、 b 、c 的大小关系是 ()A ．b>a>cB ． a>b>cC ． b>c>aD ． a>c>b22．（2009.济南高一检测）若 sincos2 ，则 sin( -5 ) sin(3) 等于（）sincos2A ．3 B ． 3C ．334D ．10101023. （ 2009·福州高一检测）已知 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30 °) 的值等于（）（A ） -1（ B ）1（C ）1（ D ）0二．填空题21、 tan2010°的值为．2． sin （-17π ） =.37π7π 13π－ cos(－3 )＋ sin(－ 6 )的值为 ________．3． tan 44． cos( -x)=3， x ∈（ - ， ），则 x 的值为．25．化简1－ 2sin200 cos160° °＝ ________.cos20 －°sin20 °cos(α－ 3π) ·tan(α－ 2π)的值为 ________．6．若 P(－4,3)是角 α终边上一点，则sin 2(π－ α)2π2π－ α＋α＝ ________. 17．式子 cos 4＋cos 45π 38．若 tan( －πα)＝2，则 2sin(3 ＋πα) ·cos 2 ＋ α＋ sin 2π－ α· sin(－πα)的值为 ________．cos(4 ) cos 2 () sin 2 ( 3 )___．9．化简：4 ) sin(5) cos 2 (＝ ______sin()3sincos2 ，则 tan=．10．已知cos 94sin11．若 tan a ，则 sin 5cos 3 ＝ ____ ____ ．12．如果 tansin0,且 0sincos 1, 那么 的终边在第 象限13．求值： 2sin( － 1110o) － sin960 o+2 cos(225 ) cos( 210 ) ＝．π 3 11π14．已知 cos( ＋θ)＝3 ，则 cos(－ θ)＝ ________.6615. 已知 cos1, 则 sin 34216，已知 cos1000m ，则 tan80 0 的值是三．解答题1、 求 cos （－ 2640°） +sin1665 °的值．2．化简（ 1） sin( )cos() tan(2)（ 2） sin(180) cos( )tan( )sin( 5 )cos() cos(8 )3．化简23) sin(4 )sin(2cos π－ α＋3π＋α·cos 2π－ α·sin 24．已知 f(α)＝ 23π. sin － π－ α·sin 2 ＋ α3π 1，求 f(α)的值． (1)化简 f( α)； (2)若 α是第三象限角，且 cos(α－ 2 )＝ 55．设f ( ) 2 cos3 sin 2 ( ) 2 cos( ) 1，求f ( ) 的值．2 2 cos2 (7 ) cos( ) 36．已知方程 sin(3 ) = 2cos(4 )，求sin() 5 cos(2)的值。

函数y= Asin(ωx+φ)的图象(二)(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的简图时,列表如下:则有( )A.A=0,ω=,φ=0B.A=2,ω=3,φ=C.A=2,ω=3,φ=-D.A=1,ω=3,φ=-2.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的振幅为,周期为,初相是,则该函数的解析式是( )A.y=B.y=C.y=D.y=3.(2018·厦门高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<)的图象如图所示,f(0)=-,则A的值是( )A.1B.C.D.2【补偿训练】(2018·长春高一检测)已知函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则点P(ω,φ)的坐标为( )A. B. C. D.4.(2018·北京高一检测)f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示.为了得到f(x)的图象,则只要将g(x)=sin2x的图象( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度5.(2018·普宁高一检测)设函数f(x)=sin,则下列结论正确的是( )A.f(x)的图象关于直线x=对称B.f(x)的图象关于点对称C.f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数D.把f(x)的图象向右平移个单位,得到一个偶函数的图象6.函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是( )A.x=-B.x=C.x=-D.x=【补偿训练】函数y=2sin图象的两相邻对称轴之间的距离是( )A. B.π C. D.7.(2018·石家庄高二检测)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)满足f(-x)=f(x),其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为分别为x1,x2,且|x1-x2|的最小值为π,则( )A.ω=,φ=B.ω=2,φ=C.ω=,φ=D.ω=2,φ=8.(2018·大庆高一检测)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014)+f(2015)+f(2016)的值为( )A. B.0 C.+2 D.不确定【延伸探究】本题条件不变,试求f(x)的对称轴及单调递增区间.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2018·淄博高二检测)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,那么f(-1)= .10.关于函数f(x)=2sin的结论:①f(x)的最小正周期是π;②f(x)在区间上单调递增;③函数f(x)的图象关于点成中心对称图形;④将函数f(x)的图象向左平移个单位后与y=-2sin2x的图象重合;其中成立的结论序号为.三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为,此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点,若φ∈.(1)试求这条曲线的函数解析式.(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象.12.(2018·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.【能力挑战题】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示.(1)求函数的解析式.(2)设0<x<π,且方程f(x)=m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围以及这两个根的和.函数y= Asin(ωx+φ)的图象(二)(答案解析)(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的简图时,列表如下:则有( )A.A=0,ω=,φ=0B.A=2,ω=3,φ=C.A=2,ω=3,φ=-D.A=1,ω=3,φ=-【解析】选C.由表可知A=2,又=-=,所以T=,故ω=3,又3×+φ=0,所以φ=-.2.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的振幅为,周期为,初相是,则该函数的解析式是( )A.y=B.y=C.y=D.y=【解析】选C.由T==,所以ω=3.A=,φ=,所以y=.3.(2018·厦门高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ<)的图象如图所示,f(0)=-,则A的值是( )A.1B.C.D.2【解析】选C.由T=2=π,所以ω===2,所以f(x)=Asin,将代入得Asin=0,即φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得φ=-,则f(x)=Asin,因为f(0)=-,所以f(0)=Asin=-A=-,所以A=.【补偿训练】(2018·长春高一检测)已知函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则点P(ω,φ)的坐标为( )A. B. C. D.【解析】选B.因为=-=,所以T=π,因此ω===2.又因为f=-1,即2×π+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=+2kπ(k∈Z).又因为0<φ≤,所以φ=,故P.4.(2018·北京高一检测)f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示.为了得到f(x)的图象,则只要将g(x)=sin2x的图象( )A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【解析】选C.由图象可知A=1,T=4×=π,所以ω=2.又f()=1,所以2×+φ=+2kπ,故φ=,因此f(x)=sin,g(x)=sin2x y=sin2=sin.故选C.【误区警示】解答本题易出现选D的错误,导致出现这种错误的原因是对平移规律掌握的不准确,即y=sin是y=sin2x图象向左平移个单位而不是个单位.5.(2018·普宁高一检测)设函数f(x)=sin,则下列结论正确的是( )A.f(x)的图象关于直线x=对称B.f(x)的图象关于点对称C.f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数D.把f(x)的图象向右平移个单位,得到一个偶函数的图象【解析】选C.A中f=sin≠±1,所以x=不是对称轴;B中f=sin=1,所以不是对称点;C中f(x)的周期T==π,x∈时,2x+∈,函数是增函数;D中把f(x)的图象向右平移个单位得y=f=sin=sin2x为奇函数.6.函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是( )A.x=-B.x=C.x=-D.x=【解析】选C.由x-=+kπ(k∈Z)得,x=+kπ(k∈Z).当k=-1时,x=-是其一条对称轴.【补偿训练】函数y=2sin图象的两相邻对称轴之间的距离是( ) A. B.π C. D.【解析】选D.函数图象的两相邻对称轴之间的距离等于,即=×=.7.(2018·石家庄高二检测)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)满足f(-x)=f(x),其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为分别为x1,x2,且|x1-x2|的最小值为π,则( )A.ω=,φ=B.ω=2,φ=C.ω=,φ=D.ω=2,φ=【解析】选D.因为已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),所以函数f(x)的最大值为2,又函数图象与直线y=2的某两个交点横坐标分别为x1,x2,且|x1-x2|的最小值为π,所以函数有周期T==π,所以ω=2,又因为f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,所以φ=,故选D.8.(2018·大庆高一检测)若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014)+f(2015)+f(2016)的值为( )A. B.0 C.+2 D.不确定【解析】选B.由图可知T=8,A=2,φ=0,所以ω==,所以f(x)=2sin x,经计算知f(1)+f(2)+…+f(8)=0,所以原式=252×0=0.【延伸探究】本题条件不变,试求f(x)的对称轴及单调递增区间.【解析】由例题解析可知f(x)=2sin x,令x=+kπ(k∈Z),得对称轴为x=2+4k(k∈Z).令-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),得-2+8k≤x≤2+8k(k∈Z),所以单调递增区间为[-2+8k,2+8k](k∈Z).二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2018·淄博高二检测)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,那么f(-1)= .【解析】由图象可得A=2,2sinφ=1,即sinφ=,再由0≤φ≤π,结合图象可得φ=,又A,B两点之间的距离为5,可得25=16+,所以,ω=.故函数f(x)=2sin,故f(-1)=2sin=2.答案:210.关于函数f(x)=2sin的结论:①f(x)的最小正周期是π;②f(x)在区间上单调递增;③函数f(x)的图象关于点成中心对称图形;④将函数f(x)的图象向左平移个单位后与y=-2sin2x的图象重合;其中成立的结论序号为.【解析】因为f(x)=2sin,所以①f(x)的最小正周期==π,正确;②因为x∈,所以∈,故函数f(x)在区间上单调递增,正确;③因为f=2sin≠0,所以函数f(x)的图象关于点不成中心对称图形,故不正确;④将函数f(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)=f=2sin(2x+π)=-2sin2x,故将函数f(x)的图象向左平移个单位后与y=-2sin2x的图象重合,正确.综上可知:正确的为①②④.答案:①②④三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一个最高点的坐标为,此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点,若φ∈.(1)试求这条曲线的函数解析式.(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图象.【解析】(1)由题意知A=,T=4×=π,ω==2,所以y=sin(2x+φ).又因为sin=1,所以+φ=2kπ+,k∈Z,所以φ=2k π+,k ∈Z, 又因为φ∈,所以φ=,所以y=sin.(2)列出x,y 的对应值表:-π ππ2x+0π y描点、连线,如图所示:12.(2018·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.【解题指南】(1)根据已知表格中的数据可得方程组解之可得函数f(x)的解析式,进而可补全其表格.(2)由(1)并结合函数图象平移的性质可得函数g(x)的解析式,进而求出其图象的对称中心坐标,取出其距离原点O最近的对称中心即可.【解析】(1)根据表中已知数据可得:A=5,ω+φ=,ω+φ=,解得ω=2,φ=-.函数解析式为f(x)=5sin.数据补全如表:π(2)由(1)知f(x)=5sin,因此g(x)=5sin=5sin.因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z.即y=g(x)图象的对称中心为,k∈Z,其中离原点O最近的对称中心为.【能力挑战题】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示.(1)求函数的解析式.(2)设0<x<π,且方程f(x)=m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围以及这两个根的和.【解析】(1)观察图象,得A=2,T=×=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ).因为函数经过点,2sin=2,即sin=1.又因为|φ|<,所以φ=,所以函数的解析式为f(x)=2sin.(2)因为0<x<π,所以f(x)=m的根的情况,相当于求f(x)=2sin与g(x)=m的交点个数情况,且0<x<π,所以在同一坐标系中画出y=2sin和y=m,m∈R的图象.由图可知,当-2<m<1或1<m<2时,直线y=m与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根,所以m的取值范围为-2<m<1或1<m<2;当-2<m<1时,此时两交点关于直线x=对称,两根和为,当1<m<2时,此时两交点关于直线x=对称,两根和为.。

高一数学同步训练： 1.3三角函数的诱导公式已知sin( a — n )=才，则 2 *2 A 3 cos (n+ a 的值为() 4 —2/2 —31. .选择题 下列各式不正确的是 A . sin (a+ 180 °) C . sin (— a — 360 (=—sin a)=—sin aB . COs (—a+ 3 ) = — COs ( D . cosa — 3 ) =COs (a + 3)3 )2. sin 600啲值为（ 13. 4. A . 2 B. 19si — —応啲值等于 6丿1A —B 2sin 585 的值为（ )A .a亚5. 23sin( — 6 n 的值是( 1 1 A.2 B . — 26. 7. C .cos( — 225 °+ sin( — 225 °等于( A.-^2B .D. .2cos2010 =(1A . — 2B .egD.9. 若 cos ■■ - ■: -■■ < 2 二，则 sin -「- 2 的值是 10.已知4 A .4cos(3^+ a = — 3，且a 是第四象限角，则 2 5 4 B. —4cos(— 3 n+ 0( 3 D .311. sin ・ • cos-^ • tan 冬 的值是( 36 4m — 1 B.m —1③ tan(A + B) =_ -t a n C ④ si n(2A + B + C) = si nAA .①②B . ③④C . ①④ T l3 二已知sin(— 4 ）二 2 ，则sin(—- 4 -）值为（）A 11.3 罷A. 一B一-CD.—- 2222cos (二 + a )=1n< a < 2二,sin(2二-a ）值为（2 2A. 0B .1C. -/込D.— 222 2tan 110 =k , 则 si n 70 的值为（)AkkC.1 + k 2 A . — 1 + 1 k 2B ..1 + k 2 k16.17.18.D ..②③ A 、B 、C ABC 的三个内角，下列关系式中不成立的是B +C A① cos （A + B ）= cosC ② cos -= sinA-.^-4 D.12.若 sin （；"二）=则cos ：•的值为（1--；B .2.3 213.已知cos(2 + 妨=于，且| ^|<2, 3则 tan （j ）D. 314. 设 tan(5a)= m , 贝廿 sin a — 3 n + cos sin( — a —COS ( n+ a )兀―15.)19.化简:,1 2sin(「：_2)?cos(「：_2) 得()A. sin 2 cos2B. cos2—sin2C. sin 2 - cos2D. ± cos2 - sin 220. 已知 tan ：• = 3，2-1 .32 3 二 ，那么cos.i21. (2011年潍坊高- 大小关系是( A . b>a>c B . )已知a =)a>b>c 22. (2009.济南高 检测)23. 的值是( )7 n 23 33 …. ,,tan(—石)，b = cos~4n c = sin( —-4 n)贝U a 、 b 、c 的 7n 23C . b>c>aD . a>c>b 3 10 C . sin’：亠cos ：2，则 sin(： -5 二)sin()等于()sin ：- cos 』 23 3D . 10 10 (2009 •福州高 (A ) -1 ( B ) 1 检测)已知 f(cosx)=cos3x,贝U f(sin30 ° )的值等于( )(C )- 2(D ) 0 1、 2. .填空题 tan2010 °的值为 17n、 sin (- )= 3 - 3. 7 n . 7 n 13 n , tan ；4 — cos(— ―) + sin(— —)的值为 4. cos"网，x …亠厂，则x 的值为 2 5. 化简 1 — 2sin200 cos160 =.cos20 —si n20 6.,t cos( a — 3 n tan( a — 2 n 厶厶 /+、了 若P( — 4,3)是角a 终边上一点，则2的值为sin 2( n — a7.式子cos 22 cos 2 sin3 n — a\- sin(— a )的值为 _________9.化简：cos (e +4兀)cos 2(0 +町 sin 2但 +3兀) sin(v -4二)sin(5 ■亠 J)cos 2(-二)&若 tan( — a) = 2，贝V 2sin(3 七a) cos3sin (^)+cos (—a )血丄10 .已知2，贝y tan 「= __________________ •4sin( — a )—COS (9JT +a )11.若 tana =a ，则 sin(一5兀一a )cos(3兀)= ____ __________ ____ .12 .如果tan ： sin ： ：：： 0,且0 ::: sin x Wos ：• ：： 1,那么〉的终边在第象限13 .求值：2sin( — 1110o) — sin960 o+V 2 cos(-225 °) + cos(-210 °) = ______________ 14. _________________________________________ 已知 cos(n+ 0)^33，贝y cos(11n— 9)= _______________________________________________ .15. 已知 cos 二-- -1,则 sin i 3— ■:-=4 12 丿 ------------------16. 已知 cos1000 =m ，则 tan80° 的值是_______________三.解答题1、 求 cos (— 2640 °) +si n1665 ° 的值.2.化简(1) sin(-： )cos(-二)tan(2二■)(2) sin(1800: )cos()tan (七)sin(v -5二)cos(- - v) cos(8「： - v)n .COS (?+ a)COs(2 n — a)sin( — a+sin — n — a sin ~2 + a3.化简3J [sin( —) sin(-)-4二)3n 74.已知3冗1 (1)化简f( a；⑵若a是第三象限角，且cos(a—y)=5,求f(a的值.2sin( ) - sin (Y )27.若si n a, cos a 是关于x 的方程3x 2 + 6mx + 2m + 1 = 0的两根，求实数 m 的值.tan(2 冗-寸 sin( -2 冗-寸 cos(6 n - ^1)cos (日一冗)sin(5 n + 日)已知 sin (二-：)— cos( ■亠：：£) =•JI（?：：：「：：二），求下列各式的值:3兀3兀(1) sin ： -cos ：(2) sin 3( ) cos 3( )2 25. 设f(R=2cos'T —sin 2(B +TI ) —2cos(—0 — JI )十1，求 f (工)的值. --'32 2cos 2(7二 v) cos(-v)6.已知方程 sin(a - 3n) = 2cos(a — 4n), sin (二-：)5cos(2二-匚)的值。