高中数学必修四 三角函数综合测试题

必修四三角函数与解三角形综合测试题（本试卷满分150分，考试时间120分）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若点P 在32π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ） A ．)3,1( B ．)1,3(- C ．)3,1(-- D ．)3,1(-2.已知=-=-ααααcos sin ,45cos sin 则（ ）A ．47 B ．169- C ．329- D ．3293.下列函数中，最小正周期为2π的是（ ） A ．)32sin(π-=x y B ．)32tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)64tan(π+=x y4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=（ ）A ．924-B ．924C ．97- D ．97 5．函数y ＝sin （π4 －2x )的单调增区间是 （ ）A.［kπ－3π8 ，kπ＋π8 ］(k ∈Z )B.［kπ＋π8 ，kπ＋5π8 ］(k ∈Z )C.［kπ－π8 ，kπ＋3π8 ］(k ∈Z )D.［kπ＋3π8 ，kπ＋7π8 ］(k ∈Z )6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于( )A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π7. 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( )A ．3B ．33C ．33-D ．3-8．在△ABC 中，sinA ＞sinB 是A ＞B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.ABC ∆中，π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBC ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBD ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB10．已知0≤x ≤π，且－12 ＜a ＜0，那么函数f (x )＝cos 2x －2a sin x －1的最小值是 （ ）A.2a ＋1B.2a －1C.－2a －1D.2a11．已知函数)sin(φϖ+=x A y 在同一周期内，当3π=x 时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为 （ ）A ．x y 23sin 2=B ．)23sin(2π+=x y C ．)23sin(2π-=x y D ．x y 3sin 21=12．求使函数y ＝sin(2x ＋θ)＋ 3 cos(2x ＋θ)为奇函数，且在［0，π4 ］上是增函数的θ的一个值为 （ ） A. 5π3B. 4π3C. 2π3D. π3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 13.在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________14.已知,1)cos(,31sin -=+=βαα则=+)2sin(βα _______．15.ΔABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为 _．16.函数x x y 2cos )23cos(--=π的最小值为_____．三．解答题（本大题共6小题，共70分。

一、选择题1．若函数()sin 2f x x =与()2cos g x x =都在区间(),a b 上单调递减，则b a -的最大值是（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π32．函数()()sin cos y x =的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧AB 长为83π，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）(3 1.73≈)A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米4．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ） A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增 D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减5．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于直线π12x =对称 D ．关于直线π12x =-对称 6．将函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），然后向左平移3π个单位，所得函数记为()g x .若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，且()()12g x g x =，则()12g x x +=（ ） A ．12-B ．3-C ．12D ．327．已知函数y =f (x )的部分图象如图所示，则其解析式可能是（ ）A ．()sin 2f x x x =B ．()||sin 2f x x x =C ．()cos 2f x x x =D ．()||cos2f x x x =8．设函数()tan 3f x x π=-，()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是（ ） A ．4B ．5C ．12D ．139．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解 10．已知函数()()()()2sin 0,0,f x x ωϕωϕπ=+>∈的部分图像如图所示，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图像对应的函数()g x 解析式为（ ）A ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个12．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象（如图所示），则下列有关函数()f x 的结论错误的是（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是π C ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3二、填空题13．已知函数273(0)()323(0)x xf x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()3sin cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.14．若函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是___________. 15．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是－2，则ω的最小值等于__________.16．函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下说法： （1）其中最小正周期为23π； （2）图象关于点(,0)4π对称；（3）由2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度可以得到图象C ； （4）直线4πx =-是其图象的其中一条对称轴． 其中正确命题的序号是__________．17．如图，从气球A 上测得正前方的B ，C 两点的俯角分别为75︒，30，此时气球的高是60m ，则BC 的距离等于__________m .18．给出下列4个命题：①函数2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数；②函数y =sin (2x +3π)的图象关于点(12π，0)成中心对称；③x =8π是函数y =sin (2x +54π)的一条对称轴方程；④存在实数α，使得32sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.把你认为正确命题的序号都填在横线上____.19．函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______. 20．已知定义在R 上的函数()f x 满足3()2f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，且(2)3f -=，则(2020)f =________.三、解答题21．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变），最后向下平移2个单位得到()y g x =图象，求函数()y g x =的解析式及在R 上的对称中心坐标． 22．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π，且________.在①函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数；②33f π⎛⎫=⎪⎝⎭③x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间. 23．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -⋅-=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．24．游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光.据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P 与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口(人口在摩天轮距地面的最低处)处等待，当座舱到达最低处P 时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟.以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系.（1）试将游客甲离地面的距离()h t (单位：米)表示为其坐上摩天轮的时间t (单位：分钟)的函数；（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P 处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大.25．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，()f x 的图象过点(3，且在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值.26．如图，有一矩形空地ABCD ，240AB BC ==米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB 边中点O 处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是60EOF ∠=︒，其中E 、F 分别在边BC ，CD 上．（1）若30BOE ∠=︒，求四边形OECF 的面积； （2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π4b =，min π4a =，相减即可. 【详解】 解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减， 所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=. 故选：C. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.2．A解析：A 【分析】先确定奇偶性，再取特殊值确定函数值可能为负，排除三个选项后得出结论． 【详解】记()()sin cos f x x =，则()()()sin cos()sin cos ()f x x x f x -=-==，为偶函数，排除D ，当23x π=时，21()sin cos sin 032f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，排除B ，C ． 故选：A ． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性等排除一些选项，再由特殊的函数值，函数值的正负，变化趋势等排除一些选项后得出正确结论．3．B解析：B 【分析】根据已知求出矢2=，弦2AD ==. 【详解】由题意可得：823=43AOB ππ∠=，4OA =，在Rt AOD 中，可得：3AOD π∠=，6DAO π∠=，114222OD AO ==⨯=， 可得：矢422=-=，由sin43AD AO π===可得：弦2AD ==所以：弧田面积12=（弦⨯矢+矢221)22)292=+=≈平方米．故选：B 【点睛】方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式l r α=、扇形面积公式12S lr =及直角三角函数求解.4．A解析：ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误； 对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确； 对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误.故选：ABD. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.5．B解析：B 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π，可知22T π=，从而可求出2ω=，再由()y f x =的图像向左平移6π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，可得sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，从而可求出ϕ的值，然后逐个分析各个选项即可 【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=. 设将()f x 的图像向左平移6π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故(0)1g =±，所以sin 13πϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以,6k k Z πϕπ=+∈， 因||2ϕπ<，所以6π=ϕ. 又()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ+=+∈，故对称轴为直线,26k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k ππ+=∈Z ，故,212k x k Z ππ=-∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，所以A 错误，B 正确. 故选：B 【点睛】此题考查了三角函数的图像变换和三角函数的图像和性质，属于基础题.6．D解析：D 【分析】先利用函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的图像的对称性，求得12x x +的值，可得()12g x x +的值. 【详解】将函数()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再向左平移3π个单位，所得函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若1x ，20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12x x ≠，则142,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ()()12g x g x =，12223322x x πππ+++∴=，126x x π∴+=，则()122sin 2sin 633g x x πππ⎛⎫+=⨯+==⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题.7．B解析：B 【分析】利用函数()0f π=排除两个选项，再由奇偶性排除一个后可得正确选项． 【详解】由图象知()0f π=，经验证只有AB 满足，C 中()cos 2f ππππ==，D 中()f ππ=，排除CD ，A 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--==为偶函数，B 中函数满足()sin(2)sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-为奇函数，而图象关于原点对称，函数为奇函数，排除A ，选B ． 故选：B ． 【点睛】思路点睛：由函数图象选择解析式可从以下方面入手：(1)从图象的左右位置，观察函数的定义域；从图象的上下位置，观察函数的值域； (2)从图象的变化趋势观察函数的单调性； (3)从图象的对称性观察函数的奇偶性； (4)从图象的特殊点，排除不合要求的解析式．.8．A解析：A 【分析】由题意知函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数，作出两个函数图象，数形结合即可求解. 【详解】令()()()0h x f x g x =-=可得()()f x g x =，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数等价于 函数()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象在区间[]2,2ππ-上交点的个数. 分别作出()tan 3f x x π=-与()sin 3g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象，由图知两个函数图象在区间[]2,2ππ-上有4个交点，所以函数()()()h x f x g x =-在区间[]2,2ππ-上的零点个数是4， 故选：A 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接法：令()0f x =，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点； （2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[],a b 上是连续不断的曲线，并且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（3）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()()()0f x h x g x =⇔=，则函数()f x 的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点个数；（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的零点个数.9．C解析：C 【分析】可得()()2f x f x π+=，得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可.【详解】()()sin cos cos sin 222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴是以2π为周期的函数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin cos sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，41x π⎛⎫+ ⎝∴≤⎪⎭≤根据函数的周期性可得()f x 的最小值为1，故AB 错误，∴1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解，故D 错误， ()()sin cos cos sin222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的应用，解题的关键是得出()f x 是以2π为周期的函数，故只需考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可. 10．B解析：B 【分析】 由32341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可求出T π=，进而可得2ω=，令 ()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈结合()0,ϕπ∈即可求得ϕ的值，再根据三角函数图象的伸缩变换即可求()g x 的解析式. 【详解】 由图知32934123124T ππππ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭， 所以T π=，可得2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 令()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以()23k k Z πϕπ=+∈，因为()0,ϕπ∈，所以令0k =，可得3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变）， 可得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：B11．B解析：B 【分析】根据函数在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，可得周期的范围，进而得到关于ω的方程与不等式，结合n *∈N 可求ω的值，从而可得答案. 【详解】因为()g x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=， 所以()()7,62,4422121,442T T n n T n N πππωπππωπππω*⎧-≤=⎪⎪⎪-≥=⎨⎪⎪---==∈⎪⎩得263ω≤≤，423n ω-=，n *∈N ， 所以242633n -≤≤， 解得15n ≤≤.即1,2,3,4,5n =，可得23ω=，102,3，143，6，经检验均符合题意，所以ω的取值共有5个. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查余弦函数的几何性质，解题的关键是利用单调区间以及对称点、最值点与周期的关系列出不等式.12．C解析：C 【分析】首先根据题中所给的函数图象，从最值、周期和特殊点着手将解析式确定，之后结合函数的性质对选项逐一分析，得到结果. 【详解】根据图象得到：2A =，311341264T πππ=-=，所以T π=， 所以2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+．将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得到2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()232k k Z ππϕπ+=+∈，得()26k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 对于A ，20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()f x 关于,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故A 正确； 对于B ，函数的周期22T ππ==，故B 正确； 对于C ，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()f x 为增函数，故C 错误； 对于D ，当0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 262x π⎡⎛⎫+∈⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 26x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭，故()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 正确．故选：C ． 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有根据图象确定函数解析式，正弦型函数的相关性质，属于简单题目.二、填空题13．【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域根据存在性和恒成立问题转化为求出a 的范围【详解】对于函数f （x ）当x≤0时f （x ）单调递增由﹣3≤t≤0可得f （t ）∈﹣43当x ＞0时f （x ）＝﹣x2+2x+3＝ 解析：(],2-∞【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为()()()maxmaxf t ag s +≤求出a 的范围．对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]， ∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]，对于函数g （x ）=x +cos x +4＝2sin （x 6π+）+4， ∵s ∈[0，2π]，∴s 6π+∈[6π，23π]， ∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，2π]，使得g （s ）∈[5，6]，∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，2π]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()max maxf t ag s +≤∴a +4≤6，解得a ≤2， 故答案为：(],2-∞ 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．14．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通解析：4或-4. 【分析】 由题意可得()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π，求得=3ω；在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π， ∴22=3ππω，所以=3ω. ∴()()4sin 3f x x ϕ=+. 在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ. 则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫+==±⎪⎝⎭. 故答案为： 4或-4. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.15．【分析】先根据函数在区间上的最小值是确定的取值范围进而可得到或求出的范围得到答案【详解】函数在区间上的最小值是则的取值范围是当时函数有最小值或或的最小值等于故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的最解析：32【分析】先根据函数在区间[,]34ππ-上的最小值是2-确定x ω的取值范围，进而可得到32ωππ--或342ωππ，求出ω的范围得到答案． 【详解】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-， 则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，32ωππ∴--，或342ωππ，k Z ∈，∴32ω≥，或6ω，k Z ∈， 0ω>，ω∴的最小值等于32．故答案为：32． 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习．16．（1）（2）（4）【分析】根据正弦型函数周期公式正弦型函数对称中心坐标正弦型函数对称轴等知识逐项验证即可求得答案【详解】对于（1）根据正弦型函数周期公式：可得：函数最小正周期为：故（1）正确；对于（解析：（1）（2）（4） 【分析】根据正弦型函数周期公式，正弦型函数对称中心坐标，正弦型函数对称轴等知识，逐项验证，即可求得答案． 【详解】对于（1），根据正弦型函数周期公式：2T ωπ=可得：函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为：2233T ππ==，故（1）正确； 对于（2），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称中心为(0),k π 正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令334,k Z x k ππ=∈-，解得4,3k k Z x ππ=+∈ ∴其对称中心坐标为(,0),34k k Z ππ+∈当0k =时，对称中心坐标为(,0)4π，故（2）正确；对于（3），将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度 可得：392sin 32sin 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭92sin 322sin 344x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度不能得到图象C ，故（3）错误；对于（4），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴令,2334Z x k k πππ=+∈-，解得51,32k k x Z ππ=+∈ 当2k =-时，512342x πππ=+=--， ∴3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭一条对称轴4πx =-，故（4）正确； 故答案为：（1）（2）（4）．【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．17．【分析】由题意画出图形由两角差的正切求出的正切值然后通过求解两个直角三角形得到和的长度作差后可得答案【详解】由图可知在中在中河流的宽度等于故答案为：【点睛】本题给出实际应用问题求河流在两地的宽度着重解析：1)【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15︒的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案．【详解】由图可知，15DAB ∠=︒()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒在Rt ADB 中，60AD =(tan15602120DB AD ∴=⋅︒=⨯=-在Rt ADC 中，60,60DAC AD ∠=︒=tan 60DC AD ∴=⋅︒=()()1201201BC DC DB m ∴=-=-=∴河流的宽度BC 等于)1201m故答案为：1) 【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在,B C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．18．①③【分析】根据三角函数的奇偶性对称中心对称轴和最值对四个命题逐一分析由此确定正确命题的序号【详解】①为奇函数所以①正确②由于所以②错误③由于所以③正确④由于的最大值为所以④错误故答案为：①③【点睛解析：①③ 【分析】根据三角函数的奇偶性、对称中心、对称轴和最值对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号. 【详解】①，22cos sin 323y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为奇函数，所以①正确.②，由于sin 2sin 11232πππ⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭，所以②错误. ③，由于53sin 2sin 1842πππ⎛⎫⨯+==- ⎪⎝⎭，所以③正确.④4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭32<，所以④错误. 故答案为：①③ 【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、最值以及诱导公式，属于中档题.19．【分析】可拆分理解构造由对勾函数可得时取得最小值又当时也取到最小值即可求解【详解】令由对勾函数性质可知当时；因为当时所以当时取到最小值所以故答案为：【点睛】本题考查函数最值的求解拆分构造函数是解题关解析：52【分析】可拆分理解，构造251616()5x x g x x x x-+==+-，由对勾函数可得4x =时取得最小值，又当4x =时，12sin 236x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭也取到最小值，即可求解 【详解】令251616()5x x g x x x x-+==+-，由对勾函数性质可知当4x =时，min ()3g x =；因为121sin 2362x ππ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，当4x =时，121sin 2362x ππ⎛⎫--=-⎪⎝⎭，所以当4x =时，()f x 取到最小值，5(4)2f =，所以min 5()2f x =.故答案为：52【点睛】本题考查函数最值的求解，拆分构造函数是解题关键，属于中档题20．3【分析】由已知可得是函数的一个周期所以再由可求得可得答案【详解】由已知可得则有则是函数的一个周期所以又所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用准确理解周期性的定义是解题的关键属于解析：3 【分析】由已知可得，3是函数()f x 的一个周期，所以(2020)(1)f f =，再由(2)3f -=， 可求得()13f =，可得答案. 【详解】由已知可得，3()2f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则有333(3)++()222f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+==-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3是函数()f x 的一个周期， 所以(2020)(67331)(1)f f f =⨯+=， 又(2)3f -=，所以()()123f f =-=， 所以(2020)3f =， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了函数的周期性及其应用，准确理解周期性的定义是解题的关键,属于中档题.三、解答题21．（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）()4sin 423g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，,2()412k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z ． 【分析】（1）结合图象求出A ，ϕ，代入点的坐标，求出ϕ，从而求出函数()f x 的解析式； （2）通过图象变换，求出函数()g x 的解析式，根据三角函数的性质求出()g x 的对称中心即可． 【详解】（1）由图象知：3532,41234A T πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭， 解得：T π=，故22πωπ==，故()2sin(2)f x x ϕ=+， 将点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭代入解析式得：2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，故()223k k ϕππ=+∈Z ， 而2πϕ<，故3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； （2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍， 解析式转化为2sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 再将图象上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍（横坐标不变）， 解析式转化为4sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 最后向下平移2个单位得到()y g x =图象， 则()4sin 423y g x x π⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，令()4sin 43h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 令4()3x k k ππ-=∈Z ，解得：()412k x k ππ=+∈Z ， 故()h x 的对称中心是,0()412k k ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ， 故()g x 的对称中心是,2()412k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z ． 【点睛】方法点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）五点法，由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；（2）代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 22．（1）()()2sin f x x ϕ=+；（2）答案见解析. 【分析】由已知得周期从而求得ω， 选①：（1）得出()6f x π+，根据偶函数与诱导公式求得ϕ；（2）求出()f x 的增区间，再与[0,]π求交集可得；选②：（1）解方程3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ； （2）同选①选③：（1）由6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭是最大值可得ϕ； （2）同选① 【详解】解：∵()f x 的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离为2π， ∴2T π=，即22ππω=，∴1ω=，∴()()2sin f x x ϕ=+. 方案一：选条件① （1）∵2sin 66f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数， ∴62k ππϕπ+=+，即3k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）令22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得：52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，令0k =，得566x ππ-≤≤， ∴函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（写成开区间也可得分） 方案二：选条件②（1）方法1：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2k 33ππϕπ+=+或2233k ππϕπ+=+，k Z ∈， ∴2k ϕ=π或23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；方法2：∵2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴sin 32πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵02πϕ<<，∴5336πππϕ<+<， ∴233ππϕ+=即3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）同方案一. 方案三：选条件③ ∵x R ∀∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴6f π⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 的最大值， ∴262k ππϕπ+=+，k Z ∈，即23k πϕπ=+，k Z ∈，∵02πϕ<<，∴3πϕ=，∴()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）同方案一. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的图象与性质，掌握正弦函数的性质是解题关键．()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>，只要把x ωϕ+作为一个整体，用它替换sin y x =中的x 可确定函数的性质如单调性、对称中心、对称轴，最值，也可由()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>中x 的范围求出t x ωϕ=+的范围M ，然后考虑sin y x =在x M ∈时的性质得出结论． 23．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析.【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式. （2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，故22πωπ==， 又26312f ππ⎛⎫+ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，故5cos 2+112πϕ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭， 所以526k πϕππ+=+即2,6k k Z πϕπ=+∈，因为02πϕ<<，故6π=ϕ，所以()cos(2)6f x x π=+. （2）()cos(2)cos 266g x x x ππ=-+=， 故()3()cos(2)3cos 26f xg x m x x m π-⋅-=+--cos 2cossin 2sin3cos 2cos 2666x x x m m x πππ⎛⎫=---=--- ⎪⎝⎭ 故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象交点的个数，cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，由图象可得： 当1m -=-31m <-<即1m =或31m -<<时，方程有2个不同的解； 当31m -<-≤31m ≤<时，方程有4个不同的解； 当33m <-≤33m ≤<时，方程有3个不同的解； 【点睛】 方法点睛：（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x 做加减．（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.24．（1）()50sin 707050cos ,010210h t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭；（2）52分钟. 【分析】（1）根据题意分析游客甲绕原点作匀速圆周运动，根据三角函数定义可把他离地面的距离()h t 表示出来；（2）先求出游客乙离地面距离的函数()g t ，则()()h h t g t =-△即为甲乙的离地面距离之差，利用函数求最值. 【详解】（1）法1：据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为22010ππ=弧度/分钟的匀速圆周运动，设经过t 分钟后甲到达Q ，则以OP 为始边，OQ 为终边的角的大小是10t π， 因为圆的半径为50r =米，由三角函数定义知点Q 的纵坐标为50sin 102y t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其离地面的距离为：()()205050sin 7050cos 010210h t t t t πππ⎛⎫=++-=-≥⎪⎝⎭. 法2：因为摩天轮是作匀速圆周运动，故可设()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，据题意有12050,2070,A b A A b b ⎧+==⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩又周期20T =，所以10πω=，由在最低点入舱得01022πππϕϕ⋅+=-⇒=-，故得()50sin 707050cos ,010210h t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥⎪⎝⎭. （2）由（1）可知游客乙离地面的距离：()()7050cos 57050sin 1010g t t t ππ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦，其中时间t 表示游客甲坐上摩天轮的时间，则甲乙的离地面距离之差为：()()50sin cos 1010104h h t g t t t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，当()21042t k k ππππ-=+∈Z ，即()15202t k k =+∈Z 时，甲乙离地面距离之差达到最大，所以152t =，即游客乙坐上摩天轮552t -=分钟后，甲乙的离地面距离之差首次达到最大. 【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2) 数学模型（解析式）建立后，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题确定自变量的取值范围．25．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）296【分析】（1）根据条件先求ω，再根据()0f =ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】 （1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，即22πωπω=⇒=，()02sin f ϕ==，且0ϕπ<<，3πϕ∴=或23π， 当3πϕ=时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足条件； 当23ϕπ=时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223,334x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以舍去， 所以函数()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； （2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 32x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 72,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：52,6x k k Z =+∈， 或112,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：32,2x k k Z =+∈， 函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，∴这四个零点应是56，32，176，72，那么b 的最大值应是第5个零点，即296， 所以b 的最大值是296. 【点睛】关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.26．（1）400平方米；（2）200平方米． 【分析】（1）四边形OECF 的面积OBCF BOE S S S =-△；（2）设[0BOE α∠=∈︒，45]︒，过点F 作FM AB ⊥于点M ，利用三角函数的知识可得EOF S △；设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m ，该空地产生的经济价值为y ，可用含α的式子表示出y ；令()cos sin(120)f ααα=⋅︒-，结合三角恒等变换公式和余弦函数的图象与性质求出()f α取得最小值时，α的值，再将其代入EOF S △的表达式中即可得解． 【详解】解：（1）由60EOF ∠=︒，30BOE ∠=︒，可知⊥OF OB ，O 为AB 中点，2AB BC =，OB BC ∴=，∴四边形FOBC 为正方形．在Rt BOE △中，30BOE ∠=︒，20OB =米，BE ∴=，∴四边形OECF 的面积为12020204002OBCF BOE S S -=⨯-⨯=△平方米．（2）设[0BOE α∠=∈︒，45]︒，则120AOF α∠=︒-，过点F 作FM AB ⊥于点M ，在Rt OBE △中，cos OB BOE OE ∠=，20cos cos OB OE BOE α∴==∠，在Rt OMF △中，sin FMAOF OF∠=，20sin sin(120)FM OF AOF α∴==∠︒-．112020·sin sin 6022cos sin(120)EOF S OE OF EOF αα∴=∠=⨯⨯⨯︒=︒-△，设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m ，该空地产生的经济价值为y ，则()3EOF EOF ABCD y mS m S S =+-△△矩形3(2040)cos sin(120)cos sin(120)m m αααα=⨯+⨯-⋅︒-⋅︒-[800]cos sin(120)m αα=+⋅︒-．令21()cos sin(120)sin cos 2f αααααα=⋅︒-=-cos 2111sin 2cos(230)242ααα+=-⨯=+︒+．[0α∈︒，45]︒，230[30α∴+︒∈︒，120]︒，1cos(230)[2α∴+︒∈-．若该空地产生的经济价值y 最大，则()f α应取得最小值，为12-，此时0α=︒，200EOF S ∴====△平方米． 故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为200平方米． 【点睛】本题考查函数的实际应用，还涉及三角恒等变换与三角函数的图象与性质，选择适当的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

必修4三角函数综合测试题及答案详解一、选择题1 •下列说法中，正确的是（）A. 第二象限的角是钝角B. 第三象限的角必大于第二象限的角C. —831 °是第二象限角D. —95° 20', 984° 40', 264° 40'是终边相同的角a n2.若点（a, 9）在函数y = 3x的图象上，贝U tang的值为（）A. 0B. -3 C . 1 D. 33g3 .若|cos g | = cos g , |tan g | = —tan B ,则㊁的终边在（）A. 第一、三象限B. 第二、四象限C•第一、三象限或x轴上D.第二、四象限或x轴上4 .如果函数f（x）= sin（n x + B ）（0< B <2n ）的最小正周期是T,且当x = 2时取得最大值，那么（）A. T= 2, n 十g= ~ B . T= 1, g = nC. T= 2,n g = n D . T= 1, g=5 .若sin—x =—于，且n<xv2n,则x 等于（）4 A.§n7 B・6nc.)小11 D.§n6 .已知a是实数，而函数f （x）= 1 + asin ax的图象不可能是（）7.将函数y = sin x的图象向左平移© (0 < © <2n )个单位长度后，得到yn=sin x-~6的图象，贝U ©=( )7n 11 n8.若tan 9 = 2,则2sin B —cosBsin 9 + 2cos 9的值为(A. 0B. 1D.5tan x9.函数f(x)= 的奇偶性是()1 + cosx ' /A. 奇函数B. 偶函数C•既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数10.函数f(x) = x —cosx 在(0,+x)内()A.没有零点B•有且仅有一个零点C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点11 _ cosA = n 贝U igsin A 的值是( B. m- n 1D ・2(m- n)n12. 函数f (x) = 3sin 2x -空 的图象为C,n 5 n② 函数f (x )在区间—12,刁2内是增函数;n③由y 二3sin2x 的图象向右平移 ㊁个单位长度可以得到图象C,其中正确命 题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.将答案填在题中横线上)- n 1 n ,13. ___________________________________________________ 已知 sin a +~2 = 3， a € —-^, 0，则 tan a = ________________________________ .14. 函数y = 3cosx(0 <x <n )的图象与直线y = — 3及y 轴围成的图形的面 积为 ________ .15 .已知函数f (x) = sin( 3x + © )( 3 >0)的图象如图所示，贝U 3 =16. 给出下列命题:① 函数y = cos / +专 是奇函数;11.已知 A 为锐角,lg(1 + cosA) = m ig 1A. RH-①图象C 关于直线x =11n 12 对称;②存在实数x,使sinx + cosx = 2；③若a , B是第一象限角且a <B ,贝U tan a <tan B ;④ X = nn 是函数y = sin 2X + 5n 的一条对称轴;nn⑤ 函数y = sin 2X + -3的图象关于点12， 0成中心对称.其中正确命题的序号为 __________ . 三、解答题17. (10 分)已知方程 sin( a -3n ) = 2cos( a -4n ),n 32sinn —a 3n+ 5cos 2 n — a的18.a — sin（12 分）在^ ABC 中, sin A + cosA = _22求tan A 的值.19. （12 分）已知f（x）= sin 2X+6 + 2, x€ R.(1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)的单调减区间；(3) 函数f (x)的图象可以由函数y= sin2x(x € R的图象经过怎样变换得到？n20. (12 分)已知函数y = Asi n( ”+© )( A>0, co >0)的图象过点P^, 0 ,n图象与P点最近的一个最高点坐标为nn, 5 .(1)求函数解析式；⑵求函数的最大值，并写出相应的x的值;(3)求使y W0时，x的取值范围.21. （12 分）已知cos nn —a = 2cos 3 n+B , 3sin —an=—• 2s in — + B，且0< a <n, 0< B <n,求a , B 的值.22. (12 分)已知函数f(x) = x2+ 2xtan 9 —1, x € ［—1, 3］，其中n n-T , y.n(1)当9 =——时，求函数的最大值和最小值；⑵求9的取值范围，使y = f(x)在区间［—1, .3］上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数).必修4三角函数综合测试题答案可知 COS aM 0. sin a + 5cos a•原式—一2C0S a + Sin a—2cos a + 5cos a 3COS a——2cos a — 2cos a — — 4COS a — x/2 18 .解 I sin A + cosA =-^，①1两边平方，得2sinAcosA = — 2,n 从而知 cosAvO,'./ A € —, n••• si nA — cosA = ,： sin A + cosA 2— 4s in AcosA 由①②，得 sinA -cosA — — 6+，2,sin A厂、 选择题1. D;2.；3. D;4. A ;5.6.D 7. D ;8.C ; 9.A ; 10.11. D; 12. C二_ 填空题13. —2.2 1 4. 33n; 15.2；三、 解答题17. 解 T sin( a — 3 n ) — 2cos( a — 4• — sin(3 n 一 a ) — 2cos(4 n —a•• — sin( n- —a)—2cos( — a ).①④3 4. BB 16.n )• • sin a —•tanA二cosA—2- 3.小n21.解cos ——a = 2cos 3n+ B ,即sin a = 2sin B ①3sin 3n— a=—2sin ,即，3cos a = 2cos B ②22 2 2n19. 解(1)T=_y 二n.n n 3 n(2)由2k n + — <2x + — <2 k 冗+, k € Z,n , 2 n ,得k n + x < k n + , k € Z.6 3所以所求的单调减区间为, n , 2 nk 冗+石,k n+~^(k€ Z).n3⑶把y二sin2x的图象上所有点向左平移厉个单位，再向上平移3个单位，即得n3函数f (x) = sin 2x +石+ 2的图象.T n n n20. 解(1)由题意知4="3—12="4，••• T=n.2 n . n /口n —"•①=~T = 2，由3 • 12+ © = 0，得© = —"6，又A= 5，n•y = 5sin 2x —百.n n⑵函数的最大值为5,此时2x —石=2k n+ y(k € Z).・ n .•x = k n+"3(k € Z).n ■n . .(3) - 5sin 2x —< 0,・• 2k n — n<2 x —<2 k n( k € Z)., 5 n , n ,• k n-在 < x< k n+/(k € Z).9=-_6 时， 2 2 ； 3 , 3 2 4 =x -亍-1= x -§ - v x € [ - 1, .3],二当 x = f 时，f(x)的最小值为一3 ,⑵f (x) = (x + tan 9 )2-1-tan 2 9是关于x 的二次函数.它的图象的对称轴为x =—tan 9 .又 v a € (0 ,n ) , — a n、 =N , 或 a 3 =—n 4n ■n f, 当 a ==时，COS a 4€ (0 ,n ), 5 n ，宀「 :B = -y.综上， ~6，或a 3n ， 5 n B =〒 22. f(x) 当x =- 1时，f(x)的最大值为 2,3 3 . ¥，COS ⑵ cos B COS a =当v y= f(x)在区间［-1, 3］上是单调函数,/• —tan 9 <—1,或一tan 9 > _ 3,即卩tan 9 > 1,或tan 9<-,3.nnn，二9的取值范围是n n 2，一3。

一、选择题1．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图像如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．函数()2cos 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πf x x 在[]0,π的单调递增区间是（ ） A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2π,π33．将函数sin()y x ϕ=+的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移12π个单位后得到的函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=( )A ．12-B ．12C ．3D 34．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()0,1A -，()3,1B 是其图象上的两点，那么|(2sin 1)|1f x +≤ 的解集为（ ） A ．,33x k x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ B ．722,66x k x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ C ．,63xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ D ．722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣5．如图，一半径为4.8m 的筒车按逆时针方向转动，已知筒车圆心O 距离水面2.4m ，筒车每60s 转动一圈，如果当筒车上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（ ）A ．点P 第一次到达最高点需要10sB ．点P 距离水面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数解析式为4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C ．在筒车转动的一圈内，点P 距离水面的高度不低于4.8m 共有10s 的时间 D ．当筒车转动50s 时，点P 在水面下方，距离水面1.2m 6．设函数()3cos22sin cos f x x x x =+，给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为π ②()y f x =的图像关于直线12x π=对称③()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减 ④把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①④B ．②④C ．①②④D ．①②③7．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．1ω=，6π=ϕ B ．1ω=，6πϕ=-C ．2ω=，6π=ϕ D ．2ω=，6πϕ=-8．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积12=(弦×矢+矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)及圆弧两端点的弦(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于8米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为128平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为（ ） A ．60169B ．120169C ．119169D ．591699．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．π2π33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 的一个周期是πD ．()f x 的最小值小于010．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最大值为2 C ．()()2f x f x π-=D ．1()2f x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解11．若函数)22()sin 2cos sin f x x x x =-的图像为E ，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π B ．对任意的x ∈R ，都有()()3f x f x π=-C ．()f x 在7(,)1212ππ上是减函数 D ．由2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位长度可以得到图像E 12．函数22y cos x sinx ＝－ 的最大值与最小值分别为( ) A ．3，－1 B ．3，－2 C ．2，－1D ．2，－2二、填空题13．关于1()sin sin f x x x=-，有如下四个结论： ①()f x 是奇函数. ②()f x 图像关于y 轴对称.③2x π=是()f x 的一条对称轴.④()f x 有最大值和最小值. 其中说法正确的序号是________． 14．对任意0,4πϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()sin()f x x ωϕ=+在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数ω的取值范围是________.15．若函数π()sin()cos()3f x x x ωω=++的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为__________.16．如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.17．sin 75=______．18．已知函数()()()sin 0,πf x x ωϕωϕ=+><的图像如图所示，则ϕ=__________．19．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，有下列命题： ①函数()y f x =的表达式可以改写为4cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ②函数()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ④函数()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确的序号是______.20．如图是函数()2sin(),(0,)2f x x πωφωφ=+><的图象上的一段，则ω=_________φ =____三、解答题21．已知()442sin cos cossin f x x x x x ωωωω=+-（其中ω>0）．（1）若()f x 的最小正周期是π，求ω的值及此时()f x 的对称中心； （2）若将()y f x =的图像向左平移4π个单位，再将所得的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得到()g x 的图像，若yg x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求ω的取值范围．22．在①()f x 的图象关于直线3x π=对称，②()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，③()f x 的图象上最高点中，有一个点的横坐标为6π这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的振幅为2，初相为3π，最小正周期不小于．．．π，且______. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0π-上的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时自变量x 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 23．已知函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R . （1）用“五点法”画出函数()f x 一个周期内的图象； （2）求函数()f x 在[],ππ-内的值域； （3）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[],ππ-内的单调增区间.24．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，02πϕ<<)的部分图象如图所示，其中最高点以及与x 轴的一个交点的坐标分别为,16π⎛⎫⎪⎝⎭，5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的解析式；（2）设M ，N 为函数y t =的图象与()f x 的图象的两个交点(点M 在点N 左侧)，且3MN π=，求t 的值.25．已知函数()2sin(2)(0)6f x x πωω=+>.（1）若点5(,0)8π是函数()f x 图像的一个对称中心，且(0,1)ω∈，求函数()f x 在3[0,]4π上的值域； （2）若函数()f x 在(,)33π2π上单调递增，求实数ω的取值范围.26．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 水深 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 时刻 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 水深5.0003.7542.8352.5002.8353.754（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数（，）近似描述，试求出这个函数解析式；（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能呆多久？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 本题首先可根据33π44T 求出ω，然后根据当43x π=时函数()f x 取最大值求出ϕ，最后代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可求出A 的值. 【详解】因为4π7π3π3124，所以33π44T ，T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()sin(2)f x A x ϕ=+，因为当43x π=时函数()sin(2)f x A x ϕ=+取最大值， 所以()42232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()26k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，()sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，3sin 26A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3A =，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数图像求函数解析式，对于()sin()f x A x ωϕ=+，可通过周期求出ω，通过最值求出A ，通过代入点坐标求出ϕ，考查数形结合思想，是中档题.2．C解析：C 【分析】先求出函数的单调增区间，再给k 取值即得解.【详解】令22223+<+<+ππk πx πk π(k ∈Z ) ∴42233+<<+ππk πx k π(k ∈Z )， 所以函数的单调递增区间为4[2,2]33ππk πk π++(k ∈Z )， 当1k =-时，5233ππx -<<- 当0k =时，433x ππ<<又∵[]0,x π∈， 故选：C 【点睛】方法点睛：求三角函数()cos()f x A wx ϕ=+的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.3．C解析：C 【分析】先根据条件写出图像变换后的函数解析式，然后根据图像关于原点中心对称可知函数为奇函数，由此得到ϕ的表示并计算出sin 2ϕ的结果. 【详解】因为变换平移后得到函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由条件可知sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，所以6k πϕπ+=，sin 2sin 2sin 33k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ． 【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及根据函数奇偶性判断参数值，难度一般.正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ为奇函数时,k k Z ϕπ=∈，为偶函数时,2k k Z πϕπ=+∈.4．D解析：D 【分析】由题意可得()01f =-，()31f =，所要解的不等式等价于()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤，再利用单调性脱掉f ，可得02sin 13x ≤+≤，再结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】由|(2sin 1)|1f x +≤可得1(2sin 1)1f x -≤+≤， 因为()0,1A -，()3,1B 是函数()f x 图象上的两点，所以()01f =-，()31f =，所以()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤， 因为()f x 是定义在R 上的增函数， 可得02sin 13x ≤+≤，解得：1sin 12x -≤≤， 由正弦函数的性质可得722,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以原不等式的解集为722,66xk x k k ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将要解得不等式转化为()()0(2sin 1)3f f x f ≤+≤利用单调性可得02sin 13x ≤+≤.5．B解析：B 【分析】先建立坐标系，从点0P 开始计时，建立三角函数模型()0sin h A t b ωϕ=++，通过题中条件求出参数0,,,A b ωϕ，再利用函数解析式对选项依次判断正误即可. 【详解】以水面所在直线为t 轴，过O 作OO t '⊥轴，建立坐标系如图：设点P 距离水面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数解析式为()0sin h A t b ωϕ=++.依题意可知， 2.4OO '=， 2.41sin 4.82OPO '∠==，6OPO π'∠=. 高度h 最大值为2.4 4.87.2+=，最小值为2.4 4.8 2.4-=-，故()()7.2 2.47.2 2.44.8, 2.422A b --+-====，周期60T =s ，则230T ππω==， 0t =时，06πϕ=-，故函数解析式为 4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，故B 正确；点P 到达最高点时 4.8sin 2.47.2306h t ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，即sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故2,3062t k k Z ππππ-=+∈，即2060,t k k Z =+∈，又0t ≥，故第一次到达最高点时，0,20k t ==s ，故A 错误；在筒车转动的一圈内，点P 距离水面的高度不低于4.8m ，即4.8sin 2.4 4.8306h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，得1sin 3062t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故563066t ππππ≤-≤，解得1030t ≤≤，故共有20 s 时间，C 错误；当筒车转动50s 时，即50t =代入 4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得，34.8sin 50 2.4 4.8sin 2.4 2.43062h πππ⎛⎫=⨯-+=+=- ⎪⎝⎭，故点P 在水面下方，距离水面2.4m ，故D 错误. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于按照题意，建立三角函数模型()0sin h A t b ωϕ=++，并解出解析式，才能解决选项中的实际问题，突破难点.6．C解析：C 【分析】根据题意，利用辅助角公式和两角和的正弦公式化简得()2sin(2)3f x x π=+，根据2T ωπ=求出最小正周期即可判断①；利用整体代入法求出()y f x =的对称轴，即可判断②；利用整体代入法求出()y f x =的单调减区间，从而可得在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先减后增，即可判断③；根据三角函数的平移伸缩的性质和诱导公式化简，即可求出平移后函数，从而可判断④. 【详解】解：函数()2sin cos sin 22sin(2)3f x x x x x x x π++=+，即：()2sin(2)3f x x π=+，所以()f x 的最小正周期为222T πππω===，故①正确； 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得：,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，则直线12x π=为()y f x =的对称轴，故②正确； 令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ， 所以()f x 的单调递减区间为：7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则区间7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故在区间2121,3228,6ππππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上先减后增，故③错误； 把函数2cos2y x =的图象上所有点向右平移12π个单位长度， 得到s 2)2cos 22co 22cos 2126332sin(2y x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦+⎝⎭⎣ 即平移后得到函数()y f x =的图象，故④正确.所以所有正确结论的编号是：①②④.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的图象和性质，熟练掌握正弦型函数的周期、对称轴、单调区间的求法，以及三角函数的平移伸缩是解题的关键，还考查辅助角公式、两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，考查学生化简运算能力.7．D解析：D【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出ω，通过函数经过的最大值点求出ϕ值，即可得到结果.【详解】由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫=-⨯=⎪⎝⎭，22T πω∴==. 当3x π=，函数取得最大值1，所以sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2232k k Z ππϕπ+=+∈，，||,02k πϕ<∴=，6πϕ∴=-， 故选：D.【点睛】 本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求ω的值，通过最值点求ϕ的值是解题的关键，属于基础题.8．B解析：B【分析】求出弦长，再求出圆的半径，然后利用三角形面积求解．【详解】如图，由题意8CD =，弓琖ACB 的面积为128，1(8)81282AB ⨯+⨯=，24AB =， 设所在圆半径为R ，即OA OB R ==，则22224(8)2R R ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得13R =， 5OD =，由211sin 22AB OD OA AOB ⨯=∠得 2245120sin 13169AOB ⨯∠==． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查扇形与弓形的的有关计算问题，解题关键是读懂题意，在读懂题意基础上求出弦长AB ，然后求得半径R ，从而可解决扇形中的所有问题．9．D解析：D【分析】利用奇函数的性质判断A ，分别求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭和23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭判断大小，取特殊值验证的方法判断C ，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D 。

一、选择题1．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图像如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．函数()2cos 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πf x x 在[]0,π的单调递增区间是（ ） A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2π,π33．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为（ ）A ．30sin 30122t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭B ．30sin 3062t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭C ．30sin 3262t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭D ．30sin 62t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 4．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A ．35B ．45-C ．D ．5．将函数()sin 25f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度后得到函数()y g x =的图象，对于函数()y g x =有以下四个判断： ①该函数的解析式为2sin 210y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③该函数在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④该函数在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中，正确判断的序号是（ ） A ．②③B ．①②C ．②④D ．③④6．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且其相邻对称轴间的距离为23π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期23T π= B ．58πϕ=-C ．()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．假设在水流量稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O 的半径为4米，盛水筒M 从点0P 处开始运动，0OP 与水平面的所成角为30，且每分钟恰好转动1圈，则盛水筒M 距离水面的高度H （单位；m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列结论正确的是（ ） A ．sin1cos1< B ．2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()tan 52tan 47->-D ．sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．使函数()3)cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 10．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．π2π33f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 的一个周期是πD ．()f x 的最小值小于011．如图，摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m ，转盘直径为110m 设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20min .游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min 后距离地面的高度为H m ，则在转动一周的过程中，高度H 关于时间t 的函数解析式是（ ）A ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭B ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=-+≤≤ ⎪⎝⎭C ．()55cos 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭D ．()55sin 65020102H t t ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭12．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个二、填空题13．已知3()tan 1f x a x x =+（a ，b 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____________．14．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则实数m 的取值范围是______. 15．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .16．若函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为________. 17．设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x ∈D ，总存在2x ∈D ，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ．下列结论：①函数3y x x =-具有性质M ； ②函数35x x y =+具有性质M ；③若函数()[]8log 2,0,y x x t =+∈具有性质M ，则510t =； ④若3sin y x a =+具有性质M ，则5a =． 其中正确结论的序号是____________．18．函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的最小值为_______. 19．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________.20．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =是偶函数，则ω的最小值为________．三、解答题21．已知函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R .（1）用“五点法”画出函数()f x 一个周期内的图象； （2）求函数()f x 在[],ππ-内的值域； （3）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[],ππ-内的单调增区间.22．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）()f x 向左平移12π个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；（3）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()32f x ≥，求x 的取值范围．23．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围 24．已知函数()()()f x g x h x =，其()22g x x =，()h x =_____. （1）写出函数()f x 的一个周期（不用说明理由）； （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值. 从①cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭，②2sin 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答， 注：如果选择多个条件分别解答.按第一个解答计分. 25．已知sin(3)(),cos x f x x R xπ-=∈（1）若α为第三象限角，且3sin 5α=-，求()f α的值． （2）若,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且21()2()1cos g x f x x =++，求函数()g x 的最小值，并求出此时对应的x 的值．26．函数()cos()(0)f x x ωφω=+>的部分图像如图所示.（1）求()f x 的表达式； （2）若[1,2]x ∈，求()f x 的值域；（3）将()f x 的图像向右平移112个单位后，再将所得图像横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 本题首先可根据33π44T 求出ω，然后根据当43x π=时函数()f x 取最大值求出ϕ，最后代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可求出A 的值. 【详解】因为4π7π3π3124，所以33π44T ，T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()sin(2)f x A x ϕ=+，因为当43x π=时函数()sin(2)f x A x ϕ=+取最大值，所以()42232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，()26k k Z πϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，()sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，3sin 26A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3A =，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数图像求函数解析式，对于()sin()f x A x ωϕ=+，可通过周期求出ω，通过最值求出A ，通过代入点坐标求出ϕ，考查数形结合思想，是中档题.2．C解析：C 【分析】先求出函数的单调增区间，再给k 取值即得解. 【详解】 令22223+<+<+ππk πx πk π(k ∈Z ) ∴42233+<<+ππk πx k π(k ∈Z )， 所以函数的单调递增区间为4[2,2]33ππk πk π++(k ∈Z )， 当1k =-时，5233ππx -<<- 当0k =时，433x ππ<<又∵[]0,x π∈， 故选：C 【点睛】方法点睛：求三角函数()cos()f x A wx ϕ=+的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.3．B解析：B 【分析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B 的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B 的纵坐标减2. 【详解】如图所示，以点M 为坐标原点，以水平方向为x 轴，以OM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6π每分钟， 经过t 分钟之后，转过的角度为6BOA t π∠=，所以，在转动的过程中，点B 的纵坐标满足：3230sin 30sin 322662y t t ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 306262h t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B ． 【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.4．B解析：B 【分析】求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223x x π+=，这样12sin()x x -化为2222sin(2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭，而已知条件为23sin(2)65x π-=，再由正弦函数性质确定226x π-的范围，从而由平方关系求得结论．【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈，即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=，结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：0πx <<，则112666x πππ-<-<，23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．5．A解析：A 【分析】根据函数平移变换得sin 2y x =，再根据正弦函数的性质依次讨论即可得答案. 【详解】解：由函数sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知： 将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后 解析式为sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，选项①错误； 令2x k =π，k Z ∈，求得2k x =π，k Z ∈， 故函数的图象关于点,02k ⎛⎫⎪⎝⎭π对称， 令1k =，故函数的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项②正确； 则函数的单调递增区间满足：222()22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项③正确，④错误.故选:A. 【点睛】本题考查三角函数平移变换，正弦型函数的单调区间，对称中心等，考查运算求解能力，解题的易错点在于平移变换时，当1ω≠时，须将ω提出，平移只针对x 进行平移，具体的在本题中，sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后得sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而不是sin 2sin 251010y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是中档题. 6．D解析：D 【分析】首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是43π，故A 不正确； 243T ππω==，解得：32ω=，()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，解得：5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-，故B 不正确； ()311cos 216f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故C 不正确； 当02x π≤≤时，3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，即 ,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求33216x π-的范围，再确定函数的单调递减区间. 7．D解析：D 【分析】先根据题意建立坐标系，写出盛水筒M 距离水面的高度H 与时间t 之间的函数关系式，再根据关系式即可判断. 【详解】解：以O 为圆心，过点O 的水平直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系：0306xOP π∠==，OP ∴在()t s 内转过的角为：26030t t ππ=， ∴以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角为：306t ππ-，P ∴点的纵坐标为：4sin 306t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭， H ∴与t 之间的函数关系式为：4sin 2306H t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 当sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max 426H =+=， 当sin 1306t ππ⎛⎫-=-⎪⎝⎭时，max 422H =-+=-， 对A ，B ，由图像易知max min H H =-，故A ，B 错误； 对C ，max min H H <-，故C 错误； 对D ，max min H H >-，故D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解题意，根据题意写出H 与t 之间的函数关系式.8．D解析：D 【分析】利用正弦函数的单调性可判断AD 选项的正误；利用正切函数的单调性可判断C 选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为正弦函数sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 且01122ππ<-<<，则sin1sin 1cos12π⎛⎫>-=⎪⎝⎭，A 选项错误； 对于B 选项，因为余弦函数cos y x =在()0,π上为减函数，23233cos cos cos 555πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，1717cos cos cos 444πππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 3045πππ<<<，则3cos cos 54ππ<，即2317cos cos 54ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误； 对于C 选项，当900x -<<时，正切函数tan y x =单调递增， 因为9052470-<-<-<，所以，()()tan 52tan 47-<-，C 选项错误；对于D 选项，因为正弦函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，因为021018πππ-<-<-<，所以，sin sin 1810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答.9．B解析：B 【解析】1())cos(2))cos(2))2sin(2)26f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.10．D解析：D 【分析】利用奇函数的性质判断A ，分别求3f π⎛⎫⎪⎝⎭和23f π⎛⎫⎪⎝⎭判断大小，取特殊值验证的方法判断C ，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D 。

高一必修 4 三角函数练习题一、选择题（每题 4 分，计 48 分）1. sin(1560 o) 的值为（）A 1B1C3D3 22222.如果 cos(A)1A) =（），那么 sin(22A 1B1C3D3 22223.函数 y cos(32x) 的最小正周期是（）5A B 5C2D5524.轴截面是等边三角形的圆锥的侧面展开图的中心角是（）A3B2C D4 335.已知 tan100 o k ，则 sin80 o的值等于（）AkBkC1k 2 1 k 2 1k 21k2kDk6.若 sin cos 2 ，则tan cot的值为（）A1B2C1D27.下列四个函数中，既是(0,) 上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）2A y sin xB y |sin x |C y cosxD y | cos x |8.已知 a tan1 ， b tan 2， c tan3 ，则（）A a b cB c b aC b c aD b a c9.已知 sin(1，则 cos() 的值为（）)633A1B1C1D1 223310.是第二象限角，且满足cossin2(sincos )2 ，那么 是 （ ）象限角22 2 2A 第一B 第二C 第三D 可能是第一，也可能是第三11. 已知 f ( x) 是以 为周期的偶函数，且x [0, ] 时， f ( x) 1 sin x ，则当 x [5,3 ] 时，22f ( x) 等于 （）A 1 sin xB 1 sin xC 1 sin xD 1 sin x12. 函数 f ( x) M sin( x)(0) 在区间 [ a, b] 上是增函数，且 f ( a)M , f (b)M ，则 g( x) M cos( x ) 在 [ a,b] 上（）A 是增函数B 是减函数C可以取得最大值 MD可以取得最小值M二、填空题（每题 4 分，计 16 分）13. 函数 ytan( x) 的定义域为 ___________ 。

一、选择题1．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 2．已知函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的值为（ ）A ．56πB ．56π-C ．6π D ．6π-3．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02πϕ<≤)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 4．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．85．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()()23f f ππ=，则ω=（ ） A ．6 B ．3 C ．2D ．16．设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线3x π=对称，则下列说法正确是（ ）A ．()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭； D ．将()f x 的图象向左平移12ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象. 7．己知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且图象向右平移12π个单位后得到的函数为偶函数，则下列说法错误的有（ ） A ．()f x 关于点5(,0)12π对称 B ．()f x 关于直线6x π=对称C ．()f x 在,]1212π5π[-单调递增 D ．()f x 在7[,]1212ππ单调递减8．已知函数()sin 0,2y x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．1ω=，6π=ϕ B ．1ω=，6πϕ=-C ．2ω=，6π=ϕ D ．2ω=，6πϕ=-9．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C10．已知1sin 34x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22sin sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1B C ．1916D ．3411．已知函数2()[sin()])cos()f x x x x ωωω=+(0)>ω在[0,]π上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．5[,2]3B ．5(,2)3C ．5[,2)3D ．5(,2]312．已知函数11()sin sin sin sin f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，现有命题：①()f x 的最大值为0； ②()f x 是偶函数； ③()f x 的周期为π； ④()f x 的图象关于直线2x π=对称.其中真命题的个数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．下列判断正确的是___________(将你认为所有正确的情况的代号填入横线上). ①函数1tan 21tan 2xy x+=-的最小正周期为π；②若函数()lg f x x =，且()()f a f b =，则1ab =； ③若22tan 3tan 2αβ=+，则223sin sin 2αβ-=；④若函数()2221sin 41x xy x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则2M N +=.14．已知()tan 1f x a x =+（a ，b 为实数），且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =____________．15．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数，则实数ω的取值范围是__________.16．若函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是___________. 17．若函数π()sin()cos()3f x x x ωω=++的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为__________.18．已知函数()()π5sin 24f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，对于下列说法：①要得到()5sin 2g x x =的图象，只需将()f x 的图象向左平移4π个单位长度即可；②()y f x =的图象关于直线3π8x =对称：③()y f x =在[]π,π-内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④5π8y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数.则上述说法正确的是________（填入所有正确说法的序号）. 19．已知()()sin 03f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是___________.20．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的部分图象如下图所示，则ϕ=________.三、解答题21．已知函数27()sin cos 2sin 632x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）求使()0f x <成立的实数x 的取值集合.22．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）写出()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程()3()0f x g x m -=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数．23．已知()442sin cos cossin f x x x x x ωωωω=+-（其中ω>0）．（1）若()f x 的最小正周期是π，求ω的值及此时()f x 的对称中心； （2）若将()y f x =的图像向左平移4π个单位，再将所得的图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12，得到()g x 的图像，若y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，求ω的取值范围．24．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，()f x 的图象过点(3，且在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值. 25．已知函数()231cos 2f x x x =-+. （1）当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数()f x 的取值范围；（2）将()f x 的图象向左平移π6个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间. 26．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式，并写出函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的14(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移02m m π⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象.若函数()g x 的图象关于直线512x π=对称，求函数()g x 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-=+∈，即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.2．A解析：A 【分析】根据三角函数的平移变换得到cos(2)y x ϕπ=+-后，再根据诱导公式变为sin(2)2y x πϕ=+-，然后利用图象重合列式可得结果.【详解】函数()cos 2y x ϕ=+()πϕπ-≤<的图象向右平移2π个单位后,得到cos[2()]cos(2)2y x x πϕϕπ=-+=+-sin(2)2x πϕπ=+-+sin(2)2x πϕ=+-，依题意可得223k ππϕπ-=+()k ∈Z ，所以526k πϕπ=+()k ∈Z 因为πϕπ-≤≤，所以0k =，56πϕ=. 故选：A. 【点睛】关键点点睛；经过平移变换后，利用诱导公式化为同名函数是解题关键，属于中档题. 3．C解析：C 【分析】由图可知，17248g f ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 224242g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324k ππ+，k Z ∈，再结合02πϕ<≤，解之即可得ϕ的值.【详解】由图可知，17sin 224882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x ϕ=-，所以171717sin 2sin 22424122g πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1722124k ππϕπ-=+或17322124k ππϕπ-=+，k Z ∈， 解得712k πϕπ=-或3k πϕπ=-，k Z ∈，因为02πϕ<≤，所以3πϕ=.故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出.【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--， 令()0f x =，则12cos 1x x π=-， 则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标， 可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称， 画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点， 即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.5．B解析：B 【分析】 由2()()23f f ππ=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32ππ上具有单调性，且()()23f f ππ=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．【详解】解：由2()()23f f ππ=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212x πππ+==， 则2x π=离最近对称轴距离为712212πππ-=． 又()()23f f ππ=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭， 由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性， 则1232T ππ-，所以3T π≥，从而7512124T ππ-=，所以23T π=，因为2T πω=，所以3ω=．故选：B【点睛】本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．6．D解析：D 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A ，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π 所以22πωπ==，则()()3sin 21f x x ϕ=++，()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3x π=对称,对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈,代入可得2,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=-+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以当0k =时, 6πϕ=-， 则()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对于A,当0x =时,()3103sin 11622f π=-+=-+=- ，所以错误； 对于B,()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤， 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为123ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数,所以错误； 对于C ，773sin 213sin 11012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，所以错误； 对于D ，1212πϕ=，将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度得到可得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D. 【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.7．A解析：ABD 【分析】由周期可求出ω，再由平移后为偶函数求出ϕ，即得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求出512f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断A ；求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断B ；令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈求出单调递增区间可判断C ；由C 选项可判断D. 【详解】()f x 的最小正周期为π，22πωπ∴==，()sin(2)f x x ϕ=+，向右平移12π个单位后得到sin 26y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数， ,62k k Z ππϕπ∴-=+∈，即2,3k k Z πϕπ=+∈， ||2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭， 对于A ，55sin 2sin 10121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 不关于点5(,0)12π对称，故A 错误； 对于B ，sin 2sin 001663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，51212x ππ-≤≤，故()f x 在,]1212π5π[-单调递增，故C 正确； 对于D ，由C 选项可知，()f x 在5[,]1212ππ单调递增，故D 错误.故选：ABD.本题考查正弦型函数的性质，可通过代入验证的方法判断对称轴和对称中心，利用整体换元可求单调区间.8．D解析：D 【分析】根据函数的图象求出函数的周期，然后可以求出ω，通过函数经过的最大值点求出ϕ值，即可得到结果. 【详解】由函数的图象可知:74123T πππ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，22T πω∴==. 当3x π=，函数取得最大值1，所以sin 213πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2232k k Z ππϕπ+=+∈，， ||,02k πϕ<∴=，6πϕ∴=-，故选：D. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式，通过周期求ω的值，通过最值点求ϕ的值是解题的关键，属于基础题.9．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．10．C【分析】由诱导公式求得cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再由平方关系和诱导公式计算． 【详解】 由已知1cos cos sin 62334x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 222115sin 1cos 166416x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin sin cos 32664x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2211519sin sin 3641616x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，选用适当的公式进行变形求值．本题中首先利用诱导公式得出cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后再用诱导公式得出2sin 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，用平方关系得出2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，这样求解比较方便．11．C解析：C 【分析】先化简函数的解析式，然后利用x 的范围求出26x πω⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，根据题意列不等式求解ω.【详解】221cos 21()[sin()])cos()2sin(2)2262ωπωωωωω-=+=+=-+x f x x x x x x ，因为[0,]x π∈，得2,2666πππωωπ⎛⎫⎡⎤-∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，因为函数在[0,]π有且只有四个零点，则19232666πππωπ≤-<，解得523ω≤<. 故选：C. 【点睛】关于三角函数中求解ω的取值范围问题，一般要先求解出整体的范围，即x ωϕ+的范围，然后根据题意，分析x ωϕ+范围所在的区间，列不等式求解，即可求出ω.12．A【分析】先求函数的定义域，再根据函数奇偶性定义，周期函数的定义可判断②③的正误，再根据函数解析的特征可判断④的正误，最后利用换元法可求判断①的正误. 【详解】22111()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 由sin 0x ≠可得,x k k Z π≠∈，故函数的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈， 所以函数的定义域关于原点对称.又()()()222211()sin sin sin sin f x x x f x x x-=--=-=-，故()f x 为偶函数， 故②正确.又()()()221()sin sin f x x f x x πππ+=+-=+， 故()f x 是周期函数且周期为π，故③正确.又()()()221()sin sin f x x f x x πππ-=--=-，故()f x 的图象关于直线2x π=对称，故④正确.令2sin t x =，则(]0,1t ∈且()1f x t t=-，因为1y t t=-为(]0,1上的增函数，故()max 0f x =，故①正确. 故选：A. 【点睛】思路点睛：对于复杂函数的性质的研究，注意先研究函数的定义域，再研究函数的奇偶性或周期性，最后再研究函数的单调性，讨论函数图象的对称性，注意根据()()f a x f x -=来讨论. 二、填空题13．③④【分析】①化简可得即可求出；②由可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得利用奇函数的性质可得【详解】对①则最小正周期为故①错误；对②若则可能相等故②错误；对③若则即即即即故③解析：③④ 【分析】①，化简可得tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可求出；②由,a b 可能相等可判断；③利用同角三角函数关系可化简求出；④化简可得24sin 141x xy x +=++，利用奇函数的性质可得.【详解】对①，tantan 21tan 24tan 21tan 241tan tan 24xx y x x x πππ++⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭-⋅，则最小正周期为2π，故①错误；对②，若()()f a f b =，则,a b 可能相等，故②错误；对③，若22tan 3tan 2αβ=+，则2222sin 3sin 2cos cos αβαβ=+，即222222sin cos 3cos sin 2cos cos αβαβαβ=+，即22222222sin cos cos cos 3cos sin 3cos cos αβαβαβαβ+=+，即22cos 3cos βα=，即223sin sin 2αβ-=，故③正确；对④，()22221sin 4sin 14141x xx x y x x +++==+++，令()24sin 41x x g x x =++，则()()g x g x -=，故()g x 是奇函数，()()max min 0g x g x ∴+=，()()max min 112M N g x g x ∴+=+++=，故④正确.故答案为：③④. 【点睛】本题考查正切型函数的周期，考查同角三角函数的关系，考查奇函数的应用，解题的关键是正确利用三角函数的关键进行化简.14．【分析】令可知为奇函数根据与为相反数即可求解【详解】令定义域关于原点对称且所以为奇函数则所以由奇函数性质可得所以故答案为：【点睛】关键点点睛：首先要观察出中的部分为奇函数其次要能利用换底公式对数的运 解析：3-【分析】令tan ()a x g x =+，可知()g x 为奇函数，根据3lg log 10与lg lg3为相反数即可求解. 【详解】令tan ()a x g x =+，,2x k k Z ππ≠+∈，定义域关于原点对称，且()tan ()g x a x g x -=--=-， 所以()g x 为奇函数，则31(lg log 10)(lg)(lg lg 3)(lg lg 3)15lg 3f f fg ==-=-+=， 所以(lg lg3)514g -=-=， 由奇函数性质可得(lg lg3)4g =-， 所以(lglg3)(lglg3)1413f g =+=-+=-， 故答案为：3- 【点睛】关键点点睛：首先要观察出()f x中的部分tan ()a x g x =+为奇函数，其次要能利用换底公式，对数的运算性质找到3lg log 10与lg lg3为相反数，借助奇函数的性质求解.15．【分析】先求出由可求出利用单调性可得结合即可求解【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数因为所以因为函数在区间上是单调递增函数所以解得：因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是解析：60,5⎛⎤⎥⎝⎦【分析】先求出()sin 12g x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求出5121212x πππωωω⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，利用单调性可得1225122ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，结合0>ω即可求解.【详解】将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()sin 12g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因为02x π≤≤，所以5121212x πππωωω⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭， 因为函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增函数， 所以1225122ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：665ωω≤⎧⎪⎨≤⎪⎩，因为0>ω，所以605ω<≤， 故答案为：60,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由x 的范围求出12x πω⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，将12x πω⎛⎫-⎪⎝⎭看成一个整体让其满足正弦函数的单调递增区间，即可得其满足的条件.16．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通解析：4或-4. 【分析】 由题意可得()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π，求得=3ω；在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴()23f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故函数()f x 的周期为23π， ∴22=3ππω，所以=3ω. ∴()()4sin 3f x x ϕ=+. 在()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ. 则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫+==±⎪⎝⎭. 故答案为： 4或-4. 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.17．2（答案不唯一）【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式然后利用正弦函数的周期求解注意题中已知条件是函数的一个周期是并没有说是最小正周期因此只要函数的最小正周期是除以一个正整数都可满足题意【详解】解析：2（答案不唯一） 【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期求解，注意题中已知条件是函数的一个周期是π，并没有说π是最小正周期．因此只要函数的最小正周期是π除以一个正整数，都可满足题意． 【详解】1()sin cos cossin sin(1cos 332f x x x x x x ππωωωωω=+-=-+，令cosϕ=sin ϕ=，且ϕ为锐角，则()sin()f x x ωϕ=+，由2T ππω==，得2ω=，实际上，由2T ππω==得2ω=±，或者2kππω=（k Z ∈且0k ≠），2k ω=（k Z ∈且0k ≠），ω可为任意一个非零点的偶数． 故答案为：2．（填任一非0的偶数都可以）． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，求解三角函数周期，一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期性求解．而我们一般说周期通常是求最值正周期，若题中强调某个数是函数的一个周期，则这个周期不一定是最小正周期．18．②④【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案【详解】①要得到的图象应将的图象向左平移个单位长度所以①错误；②令解得所以直线是的一条对称轴故②正确；③令解得因为所以在定义域内的单解析：②④ 【分析】结合三角函数的图象与性质对四个结论逐个分析即可得出答案. 【详解】①要得到()5sin 2g x x =的图象，应将()ππ5sin 25sin 248f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象向左平移π8个单位长度，所以①错误；②令ππ2π42x k -=+，k ∈Z ，解得3ππ82k x =+，k ∈Z ，所以直线3π8x =是()y f x =的一条对称轴，故②正确；③令ππ3π22π42π22k k x ≤+≤-+，k ∈Z ，解得3π7πππ88k x k +≤≤+，k ∈Z ，因为[]π,πx ∈-，所以()f x 在定义域内的单调递减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5ππ,88⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，所以③错误；④5π5ππ5sin 25sin 2884y f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是奇函数，所以该说法正确. 【点睛】本题考查了正弦型函数的对称轴、单调性、奇偶性与平移变换，考查了学生对()sin y A ωx φ=+的图象与性质的掌握，属于中档题.19．【分析】由周期公式可得由三角函数的中心对称可得结合即可得为奇数即可得由可得进而可得即可得解【详解】由可得由是奇函数可得函数的图象关于中心对称所以即又所以所以为奇数由可得因为在上没有最小值所以即故答案解析：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由周期公式可得ω，由三角函数的中心对称可得,3k k Z πϕπ=+∈，结合()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭即可得k 为奇数，即可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由[)0,x t ∈可得2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭，进而可得432332t πππ<-≤，即可得解. 【详解】 由T π=可得22T πω==，()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数可得函数()f x 的图象关于,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称， 所以2,33k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++=∈ ⎪⎝⎭，即,3k k Z πϕπ=+∈， 又()06f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以2sin sin 33ππϕϕ⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以,3k k πϕπ=+为奇数，()sin 2sin 2333f x x k x ππππ⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由[)0,x t ∈可得2,2333x t πππ⎡⎫-∈--⎪⎢⎣⎭， 因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，所以432332t πππ<-≤即511,612t ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故答案为：511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.20．【分析】根据图象得出函数的最小正周期可得出的值再将点代入函数解析式结合的取值范围可求出的值【详解】由图象可知函数的最小正周期则将点代入函数解析式得即因为函数在附近单调递减则得故答案为：【点睛】本题考 解析：6π【分析】根据图象得出函数()y f x =的最小正周期T ，可得出ω的值，再将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，222T ππωπ∴===， 则()()sin 2f x A x ϕ=+， 将点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式得55sin 201212f A ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5sin 06πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为函数()y f x =在512x π=附近单调递减，则()526k k Z πϕππ+=+∈， 得()26k k Z πϕπ=+∈，πϕπ-<<，0k ∴=，6π=ϕ. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用图象求三角函数解析式中的参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.三、解答题21．（1）22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）422,3x k x k k Z πππ⎧⎫-+<<∈⎨⎬⎩⎭∣.【分析】（1）化简()f x ，应用整体思想，结合正弦函数的递增区间，即可得出结论； （2）应用整体思想，运用正弦函数图像，建立不等式，即可求解. 【详解】()sin cos cos sincoscos sinsin cos 16633f x x x x x x ππππ=-+++-11cos cos cos 1cos 122x x x x x x x =-++-=+-12cos 12sin 126x x x π⎫⎛⎫=+-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （1）由22,262k x k k Z πππππ-+++∈，解得222,33k x k k Z ππππ-++∈， 所以()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.因为()0f x <，即2sin 106x π⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.所以1sin 62x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 所以7+2++2,666k x k k Z πππππ-<<∈. 所以422,3k x k k Z πππ-+<<∈， 所以使()0f x <成立的x 的取值集合为422,3xk x k k Z πππ⎧⎫-+<<∈⎨⎬⎩⎭∣. 【点睛】方法点睛：解决正弦型函数的单调性和不等式的相关问题，运用整体思想，先由三角函数恒等变换，化简解析式为同一角同一三角函数的形式，再运用三角函数的性质以及建立三角不等式求解.22．（1）()cos(2)6f x x π=+；（2）见解析.【分析】（1）根据图象求出周期，再根据最低点可求ϕ，从而得到函数解析式. （2）求出()g x 的解析式，故方程可化为cos 206m x π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，可通过直线y m =-与cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的图象的交点的个数解决方程的解的个数.【详解】（1）由函数的图象可得()f x 的周期为2236πππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，故22πωπ==，又26312fππ⎛⎫+⎪=- ⎪⎪⎝⎭，故5cos2+112πϕ⎛⎫⨯=-⎪⎝⎭，所以526kπϕππ+=+即2,6k k Zπϕπ=+∈，因为02πϕ<<，故6π=ϕ，所以()cos(2)6f x xπ=+.（2）()cos(2)cos266g x x xππ=-+=，故()3()cos(2)3cos26f xg x m x x mπ-⋅-=+--cos2cos sin2sin3cos2cos2666x x x m m xπππ⎛⎫=---=---⎪⎝⎭故方程在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的实数解的个数即为y m=-与cos26y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭图象交点的个数，cos26y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，由图象可得：当1m-=-31m<-<即1m=或31m-<<时，方程有2个不同的解；当31m-<-≤31m≤<时，方程有4个不同的解；当3322m-<-≤即3322m-≤<时，方程有3个不同的解；【点睛】方法点睛：（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x做加减．（2）与余弦型函数有关的方程的解的个数的讨论，一般可转化为动直线与确定函数的图象的交点个数来讨论.23．（1）=1ω，对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈，（2）1524ω≤≤【分析】（1）先对函数化简变形得(2+4f x x πω（），由函数的周期为π，得=1ω，再由2+=4x k ππ，可求出对称中心的横坐标，进而可得对称中心；（2）由题意得到())24g x x ωππω=++，由0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，而y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围 【详解】解：（1）()sin 2+cos 22+4f x x x x πωωω=（），()f x 的最小正周期是π，2==12ππωω∴∴，此时()2+4f x x π=（），令2+=4x k ππ，得,82k x k Z ππ=-+∈ ()f x ∴的对称中心是(,0),82k k Z ππ-+∈. （2）由题知())24g x x ωππω=++， 0,4824244x x πωππωπππωωπ⎡⎤⎡⎤∈∴++∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，又()y g x =在08π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤∴++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，即32154242,242242k k k k Z k ππωππωωππππ⎧+≤+⎪⎪⇒+≤≤+∈⎨⎪+≥+⎪⎩， 150,24ωω>∴≤≤【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的图像和性质，第2问解题的关键是求出424244x ωππωπππωωπ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，，再由y g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得322,24422k k k Z ωπππππωπππ⎡⎤⎡⎤++⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，从而可求出ω的取值范围，属于中档题 24．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）296【分析】（1）根据条件先求ω，再根据()0f =ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】 （1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，即22πωπω=⇒=，()02sin f ϕ==，且0ϕπ<<，3πϕ∴=或23π， 当3πϕ=时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足条件； 当23ϕπ=时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223,334x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以舍去， 所以函数()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得1sin 32x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 72,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：52,6x k k Z =+∈， 或112,36x k k Z ππππ+=+∈，解得：32,2x k k Z =+∈， 函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，∴这四个零点应是56，32，176，72，那么b 的最大值应是第5个零点，即296，所以b 的最大值是296. 【点睛】关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.25．（1）112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（2）ππππ36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈. 【分析】（1）根据余弦的二倍角公式、辅助角公式化简()f x ，得到()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质确定当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的取值范围； （2）根据图象的平移得到()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质可求得()g x 得单调递增区间. 【详解】（1）()211πcos cos2sin 2226f x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭，π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，ππ5π2666x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，， π1sin 2162x ⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，.∴函数()f x 的取值范围为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.(2)由题意知：()ππππsin 2sin 26666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令πππ2π22π262k x k -≤+≤+，k Z ∈， 解得πππ2π.36k k k Z -≤≤+∈， ∴()g x 的单调递增区间为ππππ36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，根据二倍角的余弦公式、辅助角公式化简函数，并求函数在区间上的最值，及函数的单调区间，考查学生的运算能力，属于中档题. 26．（1）12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）[]1,2-. 【分析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.（2）由三角函数的图象变换，求得2()2sin 223g x x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据()g x 的图象关于直线512x π=对称，求得m 的值，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由图象可知2A =，422433T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以212T πω==，所以1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由图可求出最低点的坐标为,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 236f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以262k ππϕπ+=-+，所以22,3k k Z πϕπ=-+∈， 因为||ϕπ<，所以23πϕ=-，所以12()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1222,2232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得744,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 所以函数()f x 的单调递增区间为74,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）由题意知，函数22()2sin 2()2sin 2233g x x m x m ππ⎡⎤⎛⎫=+-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 因为()g x 的图象关于直线512x π=对称， 所以5222,1232m k k Z ππππ⨯-+=+∈，即,62k m k Z ππ=+∈， 因为02m π<<，所以6m π=，所以()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 当7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可得1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的值域为[]1,2-.【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.。

高一必修4三角函数部分综合测试卷（满分150分，时间120分钟）一、选择题：（每小题5分共计60分）1.sin α=错误！未找到引用源。

,α∈错误！未找到引用源。

,则cos α= ( )A.- 错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.-错误！未找到引用源。

2．在（0，2π）内，x x cos sin >成立的x 的取值范围（ ）A. )45;()2,4(ππππ B.),4(ππ C . )45,4(ππ D. )23,45(),4(ππππ3．已知角α的终边与单位圆交于点错误！未找到引用源。

,则sin2α的值为 ( ) A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.- 错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

4. sin89cos14sin1cos76-=（ ）A45．=+-)12sin12(cos)12sin12(cosππππ( )A. 23-B. 21-C. 21 D . 236.将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数 的图象，则ϕ的一个可能取值为 ( )(A) 34π (B) 4π (C) 0 (D) 4π-7、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为（ ）A B C D8．在ABC ∆中，2sin sin cos2AB C =，则ABC ∆一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形9．=-+0tan50tan703tan50tan70 （ ）A.3 B.33 C. 33- D. 3-10．要得到函数x y 2sin =的图象，可由函数)42cos(π-=x y （ ）A. 向左平移8π个长度单位 B. 向右平移8π个长度单位 C. 向左平移4π个长度单位 D. 向右平移4π个长度单位11．设tan α,tan β是方程x 2-3x+2=0的两个根,则tan(α+β)的值为( )A .-3 B.-1 C.1 D.312．若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ） A.552 B. 2552 C. 2552552或 D. 552-二、填空题：（每小题5分共计20分） 13.函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是________________________；14. 已知函数)52sin()(ππ+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值是____________；15．设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α的值是____________；16. 已知βα,为锐角, 的值为则βαβα+==,51cos ,101cos .三、解答题：（6道小题共计70分）17．（10分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点.已知A,B 的横坐标分别为错误！未找到引用源。

第一章《三角函数》综合练习一、选择题1.已知角α的终边经过点0p （-3，-4），则)2cos(απ+的值为（ ）A.54-B.53C.54D.53-2.半径为πcm ，圆心角为120︒所对的弧长为（）A .3πcmB .23πcmC .23πcm D .223πcm 3.函数12sin[()]34y x π=+的周期、振幅、初相分别是（ ）A .3π，2-，4πB .3π，2，12πC .6π，2，12πD .6π，2，4π4.sin y x =的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，然后把图象沿x 轴向右平移3π个单位，则表达式为（ ） A .1sin()26y x π=-B .2sin(2)3y x π=-C .sin(2)3y x π=-D .1sin()23y x π=-5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图像( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称6.如图，曲线对应的函数是 （ ） A ．y=|sin x | B ．y=sin|x |C ．y=－sin|x |D ．y=－|sin x |7．函数y=cos 2x –3cosx+2的最小值是（）A ．2B ．0C ．41 D ．68．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6(x ∈[0，π])的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，11π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，11π12 9.已知函数sin()y A x B ωϕ=++的一部分图象如右图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><，则（ ）A.4=AB.1ω=C.6πϕ= D.4=B10.已知1cos()63πα+=-，则sin()3πα-的值为（）A .13B .13-C .233D .233-11.已知α、β是第二象限的角，且βαcos cos >，则 （ ）A.βα<;B.βαsin sin >；C.βαtan tan >；D.以上都不对12.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于( )A. 1B.22C. 0D.22-二、填空题13．函数x x f cos 21)(-=的定义域是______________ 14．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin αcos α的值是_____________.15、函数])32,6[)(6cos(πππ∈+=x x y 的值域是 ． 16．函数f (x )=sin x +2|sin x |,x ∈[0,2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是__________.三、解答题17.已知α是第二象限角，sin()tan()()sin()cos(2)tan()f πααπαπαπαα---=+--．（1）化简()f α； （2）若31sin()23πα-=-，求()f α的值．18.已知tan 3α=，求下列各式的值： （1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ ；（2）212sin cos cos ααα+．19．（1）画出函数y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π － 2x 在一个周期的函数图像；（2）求出函数的对称中心和对称轴方程．20．已知y ＝a －b cos3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)判断其奇偶性．(2)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最大值，并求取得最大值时的x ；21．已知函数45)62sin(21++=πx y (1)求函数的单调递增区间； (2)写出y=sinx 图象如何变换到15sin(2)264y x π=++的图象第一章《三角函数》综合练习答案一、选择题1-5 CDCBB 6-10 CBBCA 11-12 BB 二、填空题13、5[2,2],33k k k Z ππππ++∈14、31015、1[]216、13k << 17. 解析：（1）sin (tan )1()sin cos (tan )cos f ααααααα-==---；（2）若31sin()23πα-=-，则有1cos 3α=-，所以()f α=3。

高中数学《必修四》三角函数测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 2.若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( ) A.(1)、(2)B.(2)、(3) C.(1)、(3)D.(2)、(4)4.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52B.-52C.51D.-515.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )A.-23B.23C.21D.±23 6.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( ) A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α>tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α>cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β7.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A.2B.1sin 2C.2sin1D.sin28.已知①1+cos α-sin β+sin αsin β=0,②1-cos α-cos β+sin αcos β=0.则sin α的值为( ) A.3101- B.351- C.212- D.221-二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9.tan300°+cot765°的值是_______.12.已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______. 14.若θ满足cos θ>-21,则角θ的取值集合是______. 16.(本小题满分16分)设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x ,5),且cos α=42x , 求sin α与tan α的值.17.(本小题满分16分)已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，求)(cos )2cos()2cos()2(tan )23sin()23sin(22απαπαπαπαππα-⋅+⋅--⋅-⋅--的值.18.(本小题满分16分) 已知sin α+cos α=-553,且|sin α|>|cos α|,求cos 3α-sin 3α的值.19.(本小题满分16分)已知sin(5π-α)=2 cos(27π+β)和3cos(-α)=-2cos(π+β), 且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.一、选择题（每题5分，共40分）1、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3102、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为（ ）A ．52B ．213C ．16D ．43、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ）A 090 B 060 C 0120 D 01504、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） A ．b = 10，A = 45°，B = 70°B ．a = 60，c = 48，B = 100° C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45°5、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( ) A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ． 1：3：2D ．3：1：26、设a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，对任意实数x ，222222()()f x b x b c a x c =++-+有（ ） A 、()0f x = B 、()0f x > C 、()0f x ≥ D 、()0f x <7、在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形8、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ ）9、在ABC ∆中，已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =___________ 10、在△ABC 中，A =60°,b =1,面积为3，则sin sin sin a b cA B C++++=11、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线27=AD ，那么BC= 12、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72c =，且60C ︒=，又ABC △的面积为332，则a b +=________________三．解答题（2小题，共40分） 13、（本题满分20分） 在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13. （I ）求sinA 的值；(II)设AC=6，求∆ABC 的面积. 14、（本题满分20分）在ABC ∆中，(2)cos cos a c B b C -= （1） 求角B 的大小;（2） 求22cos cos()A A C +-的取值范围.三角函数训练题（2）参考答案：1．解析：“钝角”用集合表示为{α|90°<α<180°},令集合为A ；“第二象限角”用集合表示为{α|k ·360°+90°<α<k ·360°+180°,k ∈Z },令集合为B .显然A B . 答案：B 2．解析：由sin αcos α<0知sin α与cos α异号；当cos α-sin α<0,知sin α>cos α.故sin α>0,cos α<0.∴α在第二象限.答案：B3．解法一：通过对k 的取值，找出M 与N 中角x 的所有的终边进行判断.解法二：∵M ={x |x =4π·(2k ±1),k ∈Z },而2k ±1为奇数，∴M N . 答案：A4．解析：787°=2×360°+67°,-957°=-3×360°+123°. -289°=-1×360°+71°,1711°=4×360°+271°. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 答案：C5．解析：∵r=a a a 5)4()3(22-=+-.α为第四象限. ∴53cos ,54sin ==-==r x r y αα.故sin α+2cos α=52.答案：A6．解析：∵cos(π+α)=-21,∴cos α=21,又∵23π<α<2π. ∴sin α=-23cos 12-=-α.故sin(2π-α)=-sin α=23. 答案：B7．答案：D8．解析：∵圆的半径r =1sin 2,α=2 ∴弧度l=r ·α=1sin 2. 答案：B9．分析：若把sin x 、cos x 看成两个未知数，仅有sin x +cos x =51是不够的，还要利用sin 2x +cos 2x =1这一恒等式.解析：∵0<x <π,且2sin x cos x =(sin x +cos x )2-1=-2524. ∴cos x <0.故sin x -cos x =57cos sin 4)cos (sin 2=-+x x x x ,结合sin x +cos x =51,可得sin x =54,cos x =-53,故co t x =-43.解析：由已知可得：sin β=ααsin 1cos 1-+,cos β=ααsin 1cos 1--.以上两式平方相加得：2(1+cos 2α)=1-2sin α+sin 2α. 即：3sin 2α-2sin α-3=0.故sin α=3101-或sin α=3101+ (舍). 答案：A11．解析：原式=tan(360°-60°)+cot (2×360°+45°)=-tan60°+cot45°=1-3. 答案：1-312．分析：将条件式化为含sin α和cos α的式子，或者将待求式化为仅含tan α的式子.解法一：由tan α=3得sin α=3cos α,∴1-cos 2α=9cos 2α. ∴cos 2α=101. 故原式=(1-cos 2α)-9cos 2α+4cos 2α=1-6cos 2α=52. 解法二：∵sin 2α+cos 2α=1.∴原式=52194991tan 4tan 3tan cos sin cos 4cos sin 3sin 222222=++-=++-=++-ααααααααα 答案：5213．分析：扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆. 解析：设扇形的圆半径为R ，其内切圆的半径为r ,则由扇形中心角为3π知：2r +r =R ,即R =3r .∴S 扇=21αR 2=6πR 2,S 圆=9πR 2.故S 扇∶S 圆=23.答案：2314．分析：对于简单的三角不等式，用三角函数线写出它们的解集，是一种直观有效的方法.其过程是：一定终边，二定区域；三写表达式.解析：先作出余弦线OM =-21，过M 作垂直于x 轴的直线交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是cos θ=21时θ的终边.要cos θ>-21,M 点该沿x 轴向哪个方向移动？这是确定区域的关键.当M 点向右移动最后到达单位圆与x 轴正向的交点时，OP 1、OP 2也随之运动，它们扫过的区域就是角θ终边所在区域.从而可写出角θ的集合是{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }. 答案：{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }∴16)4()2(212122C C r r r C lr S +--=⋅-==.故当r =4C时，S max =162C ,此时：α=.2422=-=-=CCC rr C r l∴当α=2时，S max =162C .16．解：由三角函数的定义得：cos α=52+x x ,又cos α=42x , ∴34252±=⇒=+x x x x . 由已知可得：x <0,∴x =-3.故cos α=-46,sin α=410,ta n α=-315.17．解：∵sin α是方程5x 2-7x -6=0的根.∴sin α=-53或sin α=2(舍). 故sin 2α=259,cos 2α=⇒2516tan 2α=169.∴原式=169tan cot )sin (sin tan )cos (cos 222==⋅-⋅⋅-⋅ααααααα.18．分析：对于sin α+cos α,sin α-cos α及sin αcos α三个式子，只要已知其中一个就可以求出另外两个，因此本题可先求出sin αcos α,进而求出sin α-cos α,最后得到所求值.解：∵sin α+cos α=-553, ∴两边平方得：1+2sin αcos α=⇒59sin αcos α=52. 故(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1.∴cos α-sin α=55. 因此，cos 3α-sin 3α=(cos α-sin α)(1+sin αcos α)=55×(1+52)=2557.评注：本题也可将已知式与sin 2α+cos 2α=1联解，分别求出sin α与cos α的值，然后再代入计算.19．分析：运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法.在三角关系式中，一般都是利用平方关系进行消元.解：由已知得sin α=2sin β①3cos α=2cos β②由①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2.即：sin 2α+3(1-sin 2α)=2. ∴sin 2α=⇒21sin α=±22,由于0<α<π,所以sin α=22.故α=4π或43π. 当α=4π时，cos β=23,又0<β<π,∴β=6π,当α=43π时，cos β=-23,又0<β<π,∴β=65π. 综上可得：α=4π,β=6π或α=43π,β=65π.高二数学必修5第一章《解三角形》考试答案一、选择题（每题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBCDABBC二、填空题（每题5分,共20分）9、18___ 10、2393三、解答题（共两小题，共40分） 16、解：（Ⅰ）由2C A π-=，且C A B π+=-， ∴42B A π=-， ∴2sin sin()(cos sin )42222B B B A π=-=-， ∴211sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >， ∴3sin 3A =（Ⅱ）由正弦定理得sin sin AC BCB A =∴36sin 3321sin 3AC ABC B•===，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+32261633333=⨯+⨯= ∴116sin 63232223ABC S AC BC C ∆=••=⨯⨯⨯=17、解:（1）由已知得：(2sin sin )sin cos A C B C -=，即2sin cos sin()A B B C =+ ∴1cos 2B =∴3B π=（2）由（1）得：23A C π+=，故2222cos cos()2cos cos(2)313(cos 21)(cos 2sin 2)2231sin 2cos 2122sin(2)16A A C A A A A A A A A ππ+-=+-=++-+=++=++又203A π<<∴32662A πππ<+< ()22cos cos A A C +-的取值范围是(0,2]。