总分：1202022-2023长郡教育集团初三年级入学测试数学科目分时间：120分钟天体温的（一、选择题（每题3分，共36分）1.流行病例需在定点医院观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需要了解这位病人7）A.中位数B.平均数C.方差D.众数2.对于函数43y x =-+，下列结论正确的是（）A.它的图象必经过点(1,1)-B.它的图象不经过第三象限C.当0x >时，0y > D.y 随x 的增大而增大3.下列配方中，变形正确的是（）A.()2221x x x +=+ B.()224321x x x --=-+C.()22243211x x x ++=++ D.()22211x x x -+=-+-4.下列叙述错误的是（）A.菱形的四条边都相等B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.矩形的对角线相等D.一个角是直角的四边形是矩形5.已知点A （1，1y ），B （2，2y ）在抛物线()212y x =++上，则下列结论正确的是（）A.122y y >> B.212y >> C.122y y >> D.212y y >>6.如图，在Rt ABC △中，D 、E 分别是直角边BC 、AC 的中点，若10DE =，则AB 边上的中线CP 的长为（）A.5B.6C. D.107.一元二次方程（a -2）x 2-2x +a 2-4=0的一个根是0，则a 的值是（）A.2B.1C.2或﹣2D.﹣28.将一组数据中的每一个数据都加上3，那么所得的新数据组与原数据组相比，没有改变大小的统计量是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差9.在同一直角坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y bx a =+的大致图象可以是（）A.B.C.D.10.已知二次函数y ＝kx 2﹣6x ﹣9的图象与x 轴有两个不同的交点，则k 的取值范围为（）A.k ＞﹣1B.k ＞﹣1且k ≠0C.k ≥﹣1D.k ≥﹣1且k ≠011.若实数x ，y 满足()()12x y x y ++-=，则x y +的值为（）A .－1B.2C.－1或2D.－2或112.如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA OC =，则下列结论：①0abc >；②2404b aca-<；③10ac b -+=；④c OA OB a ⋅=-．其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6题图12题图二、填空题（每题3分，共18分）13.小张同学的射击成绩为5，7，9，10，7，则这组数据的众数是______．14.将二次函数23y x =-的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是_____．15.一张长方形照片长21cm ，宽10cm ，配一个镜框，镜框的四条边宽度都相等，且镜框的面积是照片本身面积的四分之一，求镜框的边的宽度．设镜框的边的宽度为x cm ，依题意可列方程为________．（化为一般式）16.如图，四边形纸片ABCD 中，90C D ∠=∠=︒，3AD =，9BC =，8CD =，点E 在BC 上，且AE BC ⊥．将四边形纸片ABCD 沿AE 折叠，点C 、D 分别落在点C '、D ¢处，C D ''与AB 交于点F ，则BF 长为______．17.如图，直线y x m =-+与()40y nx n n =+≠交点的横坐标为2-．则关于x 的不等式40x m nx n -+>+>的解集为______．15题图16题图17题图18.如图，已知直线1:l y kx b =+与直线21:2l y x m =-+都经过68,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线1l 交y 轴于点()0,4B ，交x轴于点A ，直线2l 为y 轴交于点D ，P 为y 轴上任意一点，连接PA 、PC ，有以下说法：①方程组12y kx b y x m =+⎧⎪⎨=+⎪⎩的解为6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；②BCD △为直角三角形；③6ABD S = ；④当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()0,1．其中正确的说法是______．三、解答题（共66分）19.用适当的方法解下列方程．（1）x 2+4x ＝2；（2）2x （x ﹣3）＝7（3﹣x ）．20.某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如条形图所示．下面是根据5名选手的决赛成绩的条形图绘制的关于平均数、中位数、方差的统计表．平均数/分中位数/分方差/2分初中代表队a 852s 初高中代表队85b160（1）根据条形图计算出a ，b 的值：a=________，b=________．（2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？（3）计算初中代表队决赛成绩的方差2s 初，并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．21.如图，BD 是ABC 的角平分线，过点作//DE BC 交AB 于点E ，//DF AB 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形；（2）若60ABC ∠=︒，45ACB ∠=︒，CD =求菱形BEDF 的面积．22.已知抛物线228y ax ax =--（0a ≠）经过点（2-，0）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l 交抛物线于点A （4-，m ），B （n ，7），n 为正数．若点P 在抛物线上且在直线l 下方（不与点A ，B 重合），求出点P 纵坐标的取值范围．23.已知关于x 的方程（x -3）(x -2)-p 2=0．（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3x 1x 2，求实数p 的值．24.某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系202600y x =-+．（1）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（2）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？25.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和点Q （a ，b '），给出如下定义：若,1,1b a b b a ≥⎧=⎨-<'⎩，则称点Q 为点P 的段变点，例如：点（2，3）的段变点的坐标是（2，3），点（2-，5）的段变点的坐标是（2-，5-）．（1，1）的段变点的坐标是________；②在点A （1-，2-），B （1-，2）中有一个点是函数2y x =图象上某一个点的段变点，这个点是________；30b '-≤≤，求k 的取值范围（2）若点P 在函数y =-x +1（-2≤x ≤k ，k >1）的图象上，其段变点Q 的纵坐标b '的取值范围是．（3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其段变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b m '≥或b n '<，其中m n >，令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．26.抛物线2y ax ax b =-+交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边），交y 轴于C ，直线4y x =-+经过B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，以点A 、C 、M 、N 为顶点，AC 为边的的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N 的坐标．（3）如图2，P 为直线BC 上方的抛物线上一点，PD ∥y 轴交BC 于D 点，过点D 作DE AC ⊥于E 点．设521m PD DE =+，求m 的最大值；参考答案一、选择题（每题3分，共36分）1.C2.B3.C4.D5.D6.D7.D8.D9.D10.B11.C12.B二、填空题（每题3分，共18分）13.714.2(3)2y x =-+15.281241050x x +-=16.517.42x -<<-18.①②④三、解答题（共66分）19.解：（1）∵x 2+4x ＝2，∴x 2+4x +4＝2+4，即（x +2）2＝6，∴x +2＝，∴1222x x =-=-；（2）∵2x （x ﹣3）＝7（3﹣x ），∴2x （x ﹣3）+7（x ﹣3）＝0，则（x ﹣3）（2x +7）＝0，∴x ﹣3＝0或2x +7＝0，∴1273,2x x ==-．20.（1）解：初中5名选手的平均分75808585100855a ++++==，高中5名选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数b=80故答案为：85，80；（2）由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数更高，故初中部决赛成绩较好；（3）2222221[(7585)(8085)(8585)(8585)(10085)]705s =⨯-+-+-+-+-=初，∵2S 初＜2S 高，∴初中代表队选手的成绩较为稳定．21.（1）//DE BC ，//DF AB∴四边形BEDF 是平行四边形//DE BCEDB DBF∴∠=∠BD Q 平分ABC∠12ABD DBF ABC∴∠=∠=∠ABD EDB ∴∠=∠，即EBD EDB ∠=∠DE BE∴=∴四边形BEDF 是菱形；（2）如图，过点D 作DH BC ⊥于H ，//DF AB ，60ABC DFC ∴∠=∠=︒，DH BC ⊥ ，30FDH ∴∠=︒，12FH DF ∴=，∴2DH DF ===，45C ∠=︒ ，DH BC ⊥，45C HDC ∴∠=∠=︒，CD ∴=，CD =，6DH ∴=，DF ∴=四边形BEDF 是菱形BF DF ∴==∴菱形BEDF 的面积BF DH =⨯=．22.（1）解：把（-2，0）代入228y ax ax =--，可得0448a a =+-，解得1a =，∴抛物线的函数表达式为228y x x =--，∵2228(1)9y x x x =--=--，∴抛物线顶点坐标为(1,9)-；（2）把4x =-代入228y x x =--，可得2(4)2(4)816y =--⨯--=，∴16m =，把7y =代入函数解析式得2728x x =--，解得5x =或3x =-，∴5n =或3n =-，∵n 为正数，∴5n =，∴点A 坐标为(4,16)-，点B 坐标为(5,7)，∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1,9)-，∴抛物线顶点在AB 下方，∴45P x -<<，916P y -≤<．23.证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2，x 2﹣5x +6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0，∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2，∴52=5（6﹣p 2），∴p =±1．24.（1）解：(50)(202600)24000x x --+=，解得，170x =，2110x =，尽量给客户优惠，∴这种衬衫定价为70元；（2）由题意可得，2(50)(202600)20(90)32000w x x x =--+=--+，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，每件售价不低于进货价，50x ∴ ，()505030%x -÷ ，解得，5065x ，∴当65x =时，w 取得最大值，此时19500w =，答：售价定为65元可获得最大利润，最大利润是19500元．25.（1）①∵点，1)1>，故该点的限变点的坐标1)，故答案为：，1)；②设点B 是符合条件的点，则在直线上的点坐标为：(1,2)--，该点限变点为(1,2)-，即为点B ，同理验证点A 不符合条件，故答案为：点B ；（2）由题意得：函数3(2,2)y x x k k =-+->- 图象上的点P 的限变点Q 必在函数()313(21)x x y x x ⎧-+=⎨--<⎩ 的图象上（如图1)．当5b '=-时，53x -=-或53x -=-+，2x ∴=-或8x =；当2b '=-时，23x -=-+，5x ∴=．（此时1x 应该舍）∴由图象可知，k 的取值范围是58k ；（3）()2222y x tx t t x t t =-++=-+ ，∴顶点坐标为(,)t t ．若1t <，如图2所示，b '的取值范围是'b m 或'b n ，与题意不符．若1t ，如图3所示，当1x 时，y 的最小值为t ，即m t =；当1x <时，y 的值小于()21t t ⎡⎤--+⎣⎦，即()21n t t ⎡⎤=--+⎣⎦．()2211s m n t t t t ∴=-=+-+=+，s ∴关于t 的函数解析式为()211s t t =+ ，当1t =时，s 取最小值2，s ∴的取值范围是2s ．26.（1）解：当0x =时，4y =；当0y =时，40x -+=，4x =；(4,0)B ∴，(0,4)C ，点B ，C 在抛物线上，∴16404a a b b -+=⎧⎨=⎩，解得：134a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，211433y x x ∴=-++；（2）当以AC 为边时，点N 的坐标为（12，3-）；当以AC 为对角线时，点N 的坐标为（12，163）；∵抛物先线的函数表达式：221111494()333212y x x x ∴=-++=--+，∴抛物线的对称轴为：x =12，当y =0时，2110433x x =-++，解得：x =-3或x =4，∴点A （-3，0），设点N （12，n ），点M （m ，211433m m -++），①当AN 为平行四边形的边时，AM 和CN 为对角线，2132110(4)433m m m n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+-++=+⎪⎩，解得：723512m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴N （12，3512-）②当AM 为平行四边形的边时，AN 和CM 为对角线，2132114(4)33m m m n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+-++=⎪⎩，解得：526112m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴N （12，6112），综上：点N 的坐标为：（12，3512-）或（12，6112）．（3）如图1，连接AD ，延长PD 交x 轴于H ，PD ∥y 轴，PH x ∴⊥轴，设(,4)D t t -+，211(,4)33P t t t -++，2211144(4)3333PD t t t t t =-++--+=-+ ，ABC ADC ADB S S S ∆∆∆=+ ，且(3,0)A -，(4,0)B ，(0,4)C ，∴111747(4)222AC DE t ⨯⨯=⋅+⨯⨯-+，5AC == ，75DE t ∴=，∵521m PD DE =+，∴()2222145715115255332153333212m t t t t t t t t ⎛⎫=-++⨯=-+=--=--+ ⎪⎝⎭，22214107112(3)33321533m t t t t t t ∴=-++⨯=-+=--+∴当52t =时，m 有最大值是2512，。
长郡外国语实验中学初三作业检查练习一．选择题（共10小题，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题， 每小题3分，共 30分)） 1( ) A ．10B．C．D ．202．二次函数2(1)3y x =−+图象的顶点坐标是( )A ．(1,3)B ．(1,3)−C ．(1,3)−D ．(1,3)−− 3．下列各组数中，以a 、b 、c 为边的三角形不是直角三角形的是( ) A ． 1.5a =，2b =，3c = B ．7a =，24b =，25c = C ．6a =，8b =，10c = D ．3a =，4b =，5c = 4．一次函数35y x =−+的图象不经过的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5x 的取值范围是( ) A ．0x >B ．2x −C ．2xD ．2x（第6题图） （第8题图） （第9题图）6．如图，为测量位于一水塘旁的两点A ，B 间的距离，在地面上确定点O ，分别取OA ，OB 的中点C ，D ，量得20m CD =，则A ，B 之间的距离是( )A ．5mB ．10mC ．20mD ．40m 7．一组数据：5、4、3、4、6、8，这组数据的中位数、众数分别是( )A ．4.5，4B ．3.5，4C ．4，4D ．5，48．如图，在平面直角坐标系中、四边形OABC 为菱形，O 为原点，A 点坐标为(8,0)，60AOC ∠=︒，则对角线交点E 的坐标为( ) A ．(4，B．4)C．6)D ．(6，9．如图，一次函数1y x b =+与一次函数24y kx =+的图象交于点(1,3)P ，则关于x 的不等式4x b kx +>+的解集是( )A ．3x >B ．3x <C ．1x >D ．1x <10．如图，△ABC 为等边三角形，点P 从点A 出发沿A B C →→路径匀速运动到点C ，到达点C 时停止运动，过点P 作PQ AC ⊥于点Q ．若△APQ 的面积为y ，AQ 的长为x ，则下列能反映y 与x 之间的大致图象OD CBAy 2是( )A ．B ．C ．D ．二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．若1x =，则221x x ++的值为 ．12．如图所示，在平行四边形ABCD 中，4AB cm =，7AD cm =，ABC ∠的平分线BF 交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF = cm ．（第12题图） （第14题图） （第16题图）13．二次函数2245y x x =−+，当34x −时，y 的最大值是 ，最小值是 ．14．如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为(3,9)A −，(1,1)B ，则方程20ax bx c −−=的解是 ．15．设a ，b 是方程220240x x +−=的两个实数根，则22a a b ++= ．16．如图，在平面直角坐标系中，点(2,4)A 在抛物线2y ax =上，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ，点C 、D 在线段AB 上，分别过点C 、D 作x 轴的垂线交抛物线于E 、F 两点．当四边形CDFE 为正方形时，线段CD 的长为 ．三．解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小題8分，第19、20、21、22 题每小题9分，第23、24题每小题10分，共72分。
2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．（3分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A．B．C．D．2．（3分）2024的相反数是（）A．2024B．﹣2024C．D．3．（3分）元旦假期哈尔滨旅游总收入达59.14亿元，南泥北搓成了新时尚．将数据59.14亿用科学记数法表示为（）A．5.914×108B．5.914×109C．5.914×1010D．59.14×1084．（3分）下列计算正确的是（）A．（﹣2x3）2＝4x6B．x2+x3＝x5C．x8÷x2＝x4D．（a+b）2＝a2+b25．（3分）古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（）A．中位数为4.5B．平均数为C．众数是1D．极差是46．（3分）下列命题正确的是（）A．方程x2﹣x﹣1＝0没有实数根B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．平分弦的直径垂直于弦D．“对角线互相平分”是矩形、菱形、正方形都具有的性质7．（3分）如图，△ABC和△ABD内接于⊙O，∠ABC＝80°，∠D＝50°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°8．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1（k≠0）和y＝（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△AB′C′．若点B′恰好在线段BC的延长线上，且∠AB′C′＝40°，则旋转角α的度数为（）A．60°B．70°C．100°D．110°10．（3分）如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（）A．3B．C．D．5二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）因式分解：3x2﹣9x＝．12．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．13．（3分）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG＝65°，则∠2＝．14．（3分）一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是．15．（3分）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有个．16．（3分）若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+2b﹣ab的值是．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：|﹣|+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°．18．（6分）解不等式组：19．（6分）育才中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走7米到C处再测得B 点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上．（1）求∠ABC的度数；（2）求新教学楼OB的高度．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，结果精确到0.1m）．20．（8分）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题；（1）条形图中的m＝，n＝，文学类书籍对应扇形圆心角等于_____度；（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．21．（8分）如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，交⊙O 于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝，求图中阴影部分的面积．22．（9分）某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A 型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A 型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？23．（9分）如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE＝AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．（1）求的值．（2）若AB：AC＝：2，①求证：∠AEF＝∠ACB．②求证：DF2＝DG•DA．24．（10分）我们不妨约定，如果点（x，y）满足2x+y＝2024，那么称这个点（x，y）为“郡系点”．如果一个函数的图象经过一个“郡系点”，那么称这个函数为“郡系函数”．（1）对下面的结论进行判断，请在正确结论的后面的括号中打“√”，错误结论后面的括号中打“×”．①点（1，2022）为“郡系点”（）；②已知y＝（m为常数，且m≠0），它的图象经过的“郡系点”的坐标为（﹣1，n），则m＝2025，n＝2026（）．（2）已知点A（1，c）和B（2，c+2），那么线段AB上是否存在“郡系点”？如果存在，请表示出来；如果不存在，请说明理由．（3）已知关于x的二次函数y＝ax2+（b﹣2024）x+a﹣2（a，b均为正整数）为“郡系函数”，其图象满足下面两个条件：（Ⅰ）图象经过四个象限；（Ⅱ）M，N是图象上的两个“郡系点”，且MN＝90，试求该二次函数的解析式和它的“郡系点”M，N的坐标．25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标；（3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围．2023-2024学年湖南省长沙市长郡教育集团九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项）1．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称图形的概念，熟知：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．2．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．【解答】解：2024的相反数是﹣2024，故选：B．【点评】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．3．【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：59.14亿＝5914000000＝5.914×109．故选：B．【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．4．【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2；对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、（﹣2x3）2＝4x6，故A正确；B、x2、x3不是同类项不能合并，故B错误；C、x8÷x2＝x6，故C错误；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D错误．故选：A．【点评】本题考查积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．5．【分析】A．根据中位数定义，将这一组数重新排序后得到1，1，1，4，4，5，则中位数应该为2.5，而不是4.5，故A错误；B．根据平均数定义，平均数为，故B正确；C．根据众数定义，众数为1，故C均正确；D．根据极差定义，极差为5﹣1＝4，故D均正确．【解答】解：将这一组数按照由小到大重新排序1，1，1，4，4，5，∴中位数应该，故A错误；平均数为，故B正确；众数为1，极差为5﹣1＝4，故C，D均正确；故选：A．【点评】本题考查了统计量定义及求法，涉及中位数、平均数、众数、极差的定义及求法，掌握相关统计量的定义及求法是解决问题的关键．6．【分析】分别根据一元二次方程的根与Δ的关系，全等三角形的判定定理，垂径定理及矩形、菱形、正方形的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程x2﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根，原说法错误，不符合题意；B、有两边及夹角对应相等的两个三角形全等，原说法错误，不符合题意；C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意；D、“对角线互相平分”是矩形、菱形、正方形都具有的性质，正确，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是命题与定理，熟知一元二次方程的根与Δ的关系，全等三角形的判定定理，垂径定理及矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．7．【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝∠D＝50°，根据三角形内角和定理即可得出答案．【解答】解：∵∠D＝50°，∴∠ACB＝∠D＝50°，∵∠ABC＝80°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．8．【分析】分k＞0或k＜0，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．【解答】解：当k＞0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、三象限，反比例函数y＝位于第一、三象限；当k＜0时，一次函数y＝kx+1经过第一、二、四象限，反比例函数y＝位于第二、四象限；故选：D．【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握k＞0，图象经过第一、三象限，k＜0，图象经过第二、四象限是解题的关键．9．【分析】旋转得全等，即角等和边等，得出等腰三角形，直接代值求解即可．【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转α，得到△AB′C′，∴△ABC≌△AB′C′，∠BAB′＝α，∴AB＝AB′，∠AB′B＝∠ABB′，∵∠AB′C′＝40°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝40°，∴∠BAB′＝α＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故选：C．【点评】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，以及等腰三角形的性质和判定，解题关键是推出等腰三角形．10．【分析】解方程x2﹣8x+15＝0得A（3，0），利用抛物线的性质得到C点为AB的中点，再根据圆周角定理得到点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（﹣4，0），接着计算出AQ＝5，⊙Q的半径为2，延长AQ交⊙Q于F，此时AF的最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线性质得到CM＝AP，从而得到CM的最大值．【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，∴C点为AB的中点，∵∠DPE＝90°，∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（﹣4，0），AQ＝＝5，⊙Q的半径为2，延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2+5＝7，连接AP，∵M是线段PB的中点，∴CM为△ABP为中位线，∴CM＝AP，∴CM的最大值为．故选：C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．【分析】直接提取公因式3x，进而分解因式得出答案．【解答】解：原式＝3x（x﹣3）．故答案为：3x（x﹣3）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．12．【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，进行求解即可．【解答】解：由题意，得：x+1≥0且x﹣2≠0，∴x≥﹣1且x≠2；∴x的取值范围是x≥﹣1且x≠2；故答案为：x≥﹣1且x≠2．【点评】本题考查代数式有意义．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，是解题的关键．13．【分析】由折叠的性质可得：∠DEF＝∠GEF，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得：∠DEF＝∠EFG，从而得到∠GEF，根据平角的定义即可求得∠1，再由平行线的性质求得∠2．【解答】解：∵AD∥BC，∠EFG＝65°，∴∠DEF＝∠EFG＝65°（两直线平行，内错角相等），∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），由折叠的性质可得：∠GEF＝∠DEF＝65°，∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∴∠2＝180°﹣∠1＝130°．故答案为：130°．【点评】此题主要考查折叠的性质，平行线的性质和平角的定义，根据折叠的方法找准对应角是解决问题的关键．14．【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，解得：n＝10，∴这个多边形的边数是10．故答案为：10．【点评】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是根据多边形内角和公式得出方程（n﹣2）×180°＝360°×4．15．【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案．【解答】解：由题意可得，口袋中红球的个数约为：12×＝3（个）．故答案为：3．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数．16．【分析】利用一元二次方程的解，可得出a2﹣2a＝1，利用根与系数的关系，可得出a+b ＝2，ab＝﹣1，再将其代入a2+2b﹣ab＝（a2﹣2a）+2（a+b）﹣ab中，即可求出结论．【解答】解：∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的实数根，∴a2﹣2a﹣1＝0，∴a2﹣2a＝1．∵a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，∴a+b＝2，ab＝﹣1，∴a2+2b﹣ab＝（a2﹣2a）+2（a+b）﹣ab＝1+2×2﹣（﹣1）＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出a2﹣2a＝1，a+b＝2，ab＝﹣1是解题的关键．三、解答题（本大题共有9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值对原式进行化简，然后再合并即可．【解答】解：|﹣|+（）﹣1+（π+1）0﹣tan60°＝＝3．【点评】本题主要考查了实数的运算，能够灵活使用各种运算法则是解题的关键．18．【分析】分别解出两不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x＞﹣4，所以不等式组的解集为：﹣4＜x＜1．【点评】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．【分析】（1）根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据等腰直角三角形的性质得到OA＝OB，根据正切的定义列出方程，解方程求出OB．【解答】解：（1）∵∠BCO是△ABC的外角，∴∠ABC＝∠BCO﹣∠A＝55°﹣45°＝10°；（2）在Rt△AOB中，∠A＝45°，则OA＝OB，∵AC＝7米，∴OC＝（OB﹣7）米，在Rt△COB中，∠BCO＝55°，∵tan∠BCO＝，∴＝1.43，解得：OB≈23.3，答：新教学楼OB的高度约为23.3米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．20．【分析】（1）由喜欢E的人数除以所占百分比得出调查的学生人数，即可解决问题；（2）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读政史类书籍的学生人数所占的比例即可；（3）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）调查的学生人数为：4÷8%＝50（人），∴m＝50×36%＝18，∴n＝50﹣18﹣10﹣12﹣4＝6，文学类书籍对应扇形圆心角＝360°×＝72°，故答案为：18，6，72；（2）2000×＝480（人），答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人；（3）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即BB、CC，∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【分析】（1）连接OB，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠OBA，∠CPB＝∠CBP，求出∠AOC＝∠OBC＝90°，再根据切线的判定得出即可；（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AP，求出AO，求出∠COB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出OC＝2BC，求出BC，再求出答案即可．【解答】解：（1）直线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OB，∵CP＝CB，OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∠CPB＝∠CBP，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∴∠A+∠APO＝∠CBP+∠OBA，∵OC⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠CBP+∠OBA＝∠A+∠APO＝180°﹣90°＝90°，即∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∵OB过O，∴直线BC与⊙O的位置关系是相切；（2）∵∠AOP＝90°，∠A＝30°，OP＝，∴AP＝2OP＝2，AO＝＝＝3，即OB＝3，∵∠A＝∠OBA＝30°，∴∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠OBA＝120°，∵∠AOC＝90°，∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣90°＝30°，∴OC＝2BC，由勾股定理得：OC2＝CB2+OB2，即BC2＝（2BC）2+32，解得：BC＝，﹣S扇形OBD＝3×﹣＝﹣π．∴阴影部分的面积S＝S△OBC【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，扇形的面积计算和三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．22．【分析】（1）根据“用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同”列方程求解；（2）先根据“购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍”求出取值范围，再根据一次函数的性质求解．【解答】解：（1）设A型编程机器人模型单价是x元，B型编程机器人模型单价是（x ﹣200）元．根据题意：，解这个方程，得：x＝500，经检验，x＝500是原方程的根，∴x﹣200＝300，答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元；（2）设购买A型编程机器人模型m台，购买B型编程机器人模型（40﹣m）台，购买A型和B型编程机器人模型共花费w元，由题意得：40﹣m≤3m，解得：m≥10，w＝500×0.8•m+300×0.8（40﹣m），即：w＝160m+9600，∵160＞0∴w随m的减小而减小．当m＝10时，w取得最小值11200，∴40﹣m＝30答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．【点评】本题考查了分式方程的应、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，找到相等关系是解题的关键．23．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，证明△AFE∽△CFD，根据相似三角形的性质得到即可；（2）①设AC＝2a，根据题意用a表示出AE、AF，证明△FAE∽△BAC，根据相似三角形的对应角相等证明即可；②证明△GDF∽△FDA，根据相似三角形的性质列式计算即可证明结论．【解答】（1）解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，又∵∠DFC＝∠AFE，∴△AFE∽△CFD，∴；（2）①证明：∵，可设AC＝2a，则，由（1）知：，∴，∴，，∴，又∵∠BAC＝∠FAE，∴△FAE∽△BAC，∴∠AEF＝∠ACB；②证明：∵FG∥AB，∴∠GFD＝∠AED＝∠ACB，又∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠FAD，∴∠FAD＝∠GFD，又∵∠GDF＝∠FDA，∴△GDF∽△FDA，∴，∴DF2＝DG•DA．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理的和性质定理是解题的关键．24．【分析】（1）①由题意可知郡系点”在直线y＝﹣2x+2024上，判断所给的点是否在该直线上即可；②先求出点的坐标，再将点的坐标代入反比例函数的解析式求m即可；（2）先求直线AB的解析式为y＝2x+c﹣2，当2x+c﹣2＝﹣2x+2024时，x＝，再由1≤x≤2，2018≤c≤2022，可知线段AB上存在“郡系点”且点为（，c+1011）；（3）根据a的取值和二次函数的图象特点确定a＝1，当x2+（b﹣2024）x﹣1＝﹣2x+2024时，x1+x2＝2022﹣b，x1•x2＝﹣2025，从而得到90＝，解得b＝0（舍）或b＝2022，即可确定二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣1，再求点M、N 的坐标即可．【解答】解：（1）∵2x+y＝2024，∴y＝﹣2x+2024，∴郡系点”在直线y＝﹣2x+2024上，①∵﹣2×1＝2022，∴点（1，2022）在直线y＝﹣2x+2024上，∴点（1，2022）为“郡系点”，故答案为：√；②∵“郡系点”的坐标为（﹣1，n），∴n＝2+2024＝2026，∴点为（1，2026），∴m＝2026，故答案为：×，√；（2）线段AB上存在“郡系点”，理由如下：设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+c﹣2，当2x+c﹣2＝﹣2x+2024时，x＝，∵1≤x≤2，2018≤c≤2022，∴线段AB上存在“郡系点”为（，c+1011）；（3）∵a是正整数，∴a＞0，当a≥2时，a﹣2≥0，即抛物线与y轴的交点在x轴上方或经过原点，此时二次函数的图象不能经过四个象限，∴0＜a＜2，∴a＝1，∴函数的解析式为y＝x2+（b﹣2024）x﹣1，当x2+（b﹣2024）x﹣1＝﹣2x+2024时，x1+x2＝2022﹣b，x1•x2＝﹣2025，∵MN＝90，∴90＝，解得b＝0（舍）或b＝2022，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣1，当x2﹣2x﹣1＝﹣2x+2024时，解得x＝±45，∴M（45，2114），N（﹣45，2114）或M（﹣45，2114），N（45，2114）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清定义是解题的关键．25．【分析】（1）运用待定系数法将点B、点C坐标代入解析式可求解；（2）用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+12，可证△BGE是等腰直角三角形，设D（t，8），通过证明△AFD∽△GDE，相似三角形的性质得出m﹣t＝4，则DG＝AF，可证△AFD≌△GDE，由面积关系列出方程可求解；（3）通过证明△OGH∽△BPG，可得，由待定系数法可求BS的解析式，联立方程组可求点P坐标，由勾股定理可求BP的长，由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；（2）∵抛物线y＝﹣x2+x+8与y轴交于点A，当x＝0时，y＝8，∴A（0，8），则OA＝8，∵B（4，8），∴AB∥x轴，AB＝4，∵点F是OA的中点，∴F（0，4），∴AB＝AF＝4，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B（4，8），C（8，4），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+12，设E（m，﹣m+12）（4＜m＜8），如图1，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G，则∠G＝90°，∴G（m，8），∴GE＝8﹣（﹣m+12）＝m﹣4，BG＝m﹣4，∴BG＝GE，∴△BGE是等腰直角三角形，设D（t，8），则AD＝t，DG＝m﹣t，∵DE⊥FD，∴∠FDE＝90°，∵∠FAD＝∠G＝∠FDE＝90°，∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝∠GDE，∴△AFD∽△GDE，∴＝，即＝，∴t（m﹣t）＝4（m﹣4），即（t﹣4）m＝（t﹣4）（t+4），∵m＞4，∴m＝t+4，即m﹣t＝4，∴DG＝AF，∴△AFD≌△GDE（ASA），∴DF＝DE，又∵DE⊥DF，∴△DEF是等腰直角三角形，＝DF2，∴S△DEF＝AD•AF，∵S△ADF当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，即DF2＝3×AD•AF，∴DF2＝12AD，在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2＝t2+42，∴AD2+AF2＝12AD，∴t2+42＝12t，解得：t＝6﹣2或t＝2+6（舍去），∴D（6﹣2，8）；（3）∵∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，又∠OGH+∠HGP＝∠GBP+∠BPG，∴∠OGH＝∠BPG，∴△OGH∽△BPG，∴＝，设BP交x轴于点S，过点B作BT⊥x轴于点T，如图2，∵∠GBP＝∠BOH，∴SB＝SO，∵OT＝4，BT＝8，∴OB＝＝4，设BS＝k，则TS＝k﹣4，在Rt△TBS中，SB2＝ST2+BT2，∴k2＝（k﹣4）2+82，解得：k＝10，∴S（10，0），设直线BS的解析式为y＝ex+f，则，解得：，∴直线BS的解析式为y＝﹣x+，联立，解得：或，∴P（，﹣），∴PB＝＝，∵＝，设OG＝n，则BG＝OB﹣OG＝4﹣n，∴＝，整理得：m＝﹣＝﹣n2+n＝﹣（n﹣2）2+，∵点G在线段OB上（与点O，B不重合），∴0＜OG＜4，∴0＜n＜4，∴当n＝2时，m取得的最大值为，∴0＜m≤．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键。
2024年上学期九年级调研考试数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项、本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列实数中绝对值最小的是（ ）A ．2B ．C ．0D2．如图所示的几何体是由六个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）A ． B． C ． D ．3．下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．方程x （x +2）＝0的根是（ ）A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝﹣2D ．x 1＝0，x 2＝25．已知，将一块直角三角板如图放置，使直角顶点位于直线和之间，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，直线y1=mx 经过P （2，1）和Q （-4，-2）两点，且与直线y2=kx+b 交于点P ，则不等式kx+b ＞mx 的解集为（ ）3-2-=()2211a a +=+()325a a =2322a a a ⋅=AB CD ∥AB CD 1∠=α2∠=90α︒-180α︒-α45a -︒A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＞-4D ．x ＜-47．如图，O 为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（ ）AB ．C ．D ．8．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）A ．15B．12πC ．15πD ．30π9．我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之，”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马天可以追上慢马，可列方程是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为4的圆与y 轴交于点B ，点A （8，4）是圆外一点，直线AC 与⊙O 切于点C ，与x 轴交于点D ，则点C 的坐标为（ ）A ．（）B ．（，）ABCD AC ACE △2AB =OE x 24015012240x x +=⨯24015012240x x -=⨯24015012150x x +=⨯24015012150x x -=⨯-12585-C ．（，）D ．（-2）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：a 2﹣16b 2＝ ．12．计算： ．13．低空经济作为战略性新兴产业，中商产业研究院分析师预测，2024年市场规模将达5035亿元．请将5035亿元用科学记数法表示为 元．14．以下命题：（1）如果，那么（2）等弧所对的圆周角相等（3）对应角相等的两个四边形是相似四边形（4）方程有两个不相等的实数根（5）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形．真命题共有 个．15．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是米．16．如图：在平面直角坐标系中，的顶点，，对角线与相交于点，函数经过点，则 ．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算： .18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．165125-()()()a a b a b a b ab +-+--=22a b =a b =2310x x +-=y x 20.51038y x x =-+-OABC (5,0)A (1,3)C AC OB D k y x=D k =()1013tan 3032π-⎛⎫+︒+- ⎪⎝⎭31432x x x ->-⎧⎨<+⎩19．先化简，再求值：，其中．20．如图，在中，，是通过如图的作图痕迹作图而得，，交于点．(1)求证：．(2)若，求的度数．21．某校举办以2022年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：a ：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．（数据分成5组，，，，，）b ：七年级抽取成绩在7这一组的是：70，72，73，73，75，75，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．c ：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下：年级平均数中位数七年级76.5m 八年级78.279请结合以上信息完成下列问题：2221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭2023x =ABC AB AC =CD DE BC ∥AC E DE CE =32CDE ∠=︒A ∠5060x ≤<6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤080x ≤<(1)七年级抽取成绩在的人数是_______，并补全频数分布直方图；(2)表中m 的值为______；(3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是78，则______（填“甲”或“乙”）的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；(4)七年级的学生共有400人，请你估计七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数．22．为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？23．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸：①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平．②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．③可得到．老师请同学们讨论说明理由．三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证．(1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率．(2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由．24．如图，锐角内接于，，射线经过圆心并交于点，连接，，与的延长线交于点．6090x ≤<30︒ABCD AD BC EF A EF B BM BN l 2330∠∠∠===︒AN ABN MN NH =EBN △12330∠=∠=∠=︒ABC O AB AC =BE O O D AD CD BC AD F(1)求证：平分．(2)若，的长．(3)若，半径为4，直接写出阴影部分的面积．25．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB 的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB 面积是△PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；(3)如图，OP 交AB 于点C ，交AB 于点D ．记△CDP ，△CPB ，△CBO 的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．DF CDE ∠1tan 2ACD ∠=O DF 30F ∠=︒O 2y ax bx =+PD BO ∥1S 2S 3S 1223S S S S +参考答案与解析1．C 【分析】本题主要考查了绝对值、实数比较大小等知识，熟练掌握实数比较大小的方法是解题关键．首先确定各数的绝对值，比较大小即可获得答案．【解答】解：∵，，又∵，∴绝对值最小的是0．故选：C ．2．D【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是两个小正方形，故选:D．【点拨】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3．D【分析】根据二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式逐项分析判断即可求解．【解答】解：A.B. ，故该选项不正确，不符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意；D. ，故该选项正确，符合题意；故选：D.【点拨】本题考查了二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，正确地计算是解题的关键．4．C【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：x （x +2）＝0，∴x ＝0或x +2＝0，解得x 1＝0，x 2＝﹣2．故选：C ．21=33-=00=012<<<()22112a a a +=++()326a a =2322a a a ⋅=【点拨】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键．5．A【分析】设直角三角板的三个顶点分别为E ，G ，H ，过点E 作，可得，根据平行线的性质可得，即可求解．【解答】解：如图，设直角三角板的三个顶点分别为E ，G ，H ，过点E 作，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故选：A【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．6．B【分析】从图象确定kx+b ＞mx 时，x 的取值范围即可．【解答】解：从图象可以看出，当x ＜2时，kx+b ＞mx ，故选B ．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x 的值，是解答本题的关键．7．A【分析】如图，，则；由等边三角形，得，，得．【解答】如图，，则∵是等边三角形，O 是中点EF AB ∥AB EF CD ∥∥1,2GEF FEH ∠=∠∠=∠EF AB ∥AB CD ∥AB EF CD ∥∥1,2GEF FEH ∠=∠∠=∠1290GEF HEF GEH ∠+∠=∠+∠=∠=︒1∠=α290α∠=︒-2AB =AC ==EO AC ⊥OA =Rt AOE △OE =2AB =AC ==ACE △AC∴， 中，故选A ．【点拨】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形；根据图形性质识别直角三角形，进而运用解直角三角形知识是解题的关键．8．C【分析】求出底面周长，即为侧面展开图的弧长，利用扇形面积公式即可求解．【解答】解：圆锥侧面积为，故选：C ．【点拨】本题考查求圆锥侧面积，掌握扇形面积公式是解题的关键．9．D【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设快马天可以追上慢马，根据“天快马行走路程天慢马行走路程慢马先走12天行走路程”，列出方程即可．【解答】解：设快马天可以追上慢马，可列方程为．故选：D ．10．C【解答】解：作 AE ⊥x 轴于 E ，CH ⊥x 轴于 H ，连接 OC ，如图，∵B （0，4），A （8，4），∴AB ＝8，AE ＝OB ＝4，AB ⊥y 轴，∴AB 为⊙O 的切线，EO AC ⊥OA =Rt AOE △tan 60OE OA =⋅︒==12S lr =1235152ππ⨯⨯⨯=12S lr =x x -x =x 24015012150x x -=⨯∵直线 AC 与⊙O 切于点 C ，∴OC ⊥AC ，AC ＝AB ＝8，在△OCD 和△AED 中，∴△OCD ≌△AED ，∴OD ＝AD ，设 OD ＝x ，则 AD ＝x ，DE ＝8﹣x ，在 Rt △ADE 中，（8﹣x ）2+42＝x 2，解得 x ＝5，∴OD ＝5，DE ＝CD ＝3，∵ CH •OD ＝OC •CD ，∴CH ＝＝，在 Rt △OCH中，OH ，∴C 点坐标为（，）．故选C ．【点拨】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了坐标与图形性质．11．（a +4b ）（a -4b ）【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（a +4b ）（a -4b ）．故答案为：（a +4b ）（a -4b ）．【点拨】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．12．【分析】本题主要考查了整式运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据单项式乘多项式法则、平方差公式进行运算，然后合并同类项即可．【解答】解：．==ODC ADE OCD AED OC AE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩1212345⨯125165165125-2b ()()()a a b a b a b ab+-+--222a ab a b ab=+-+-2b =故答案为：．13．【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此即可获得答案．【解答】解：5035亿．故答案为：．14．3【分析】本题主要考查了判断命题真假，熟练掌握相关知识是解题关键．根据平方根的性质、圆周角定理、相似多边形的判定条件、一元二次方程的根的判别式、菱形的判定条件，逐一分析判断即可．【解答】解：（1）如果，那么或，故原命题是假命题；（2））等弧所对的圆周角相等，是真命题；（3）对应角相等，且对应边成比例的两个四边形是相似四边形，故原命题是假命题；（4）对于方程，因为，所以该方程有两个不相等的实数根，该命题是真命题；（5）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，该命题是真命题．综上所述，真命题共有3个．故答案为：3．15．12【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键．将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图像与性质即可获得答案．【解答】解：∵，又∵，∴当（米）时，烟花可以达到的最大高度，最大高度为12米．故答案为：12．16．4.5【分析】本题主要考查了待定系数法则求反比例函数解析式、平行四边形的性质、坐标与图形等知识，确2b 115.03510⨯a n 10n a ⨯110a ≤<n n a n 10≥n 1<n 11503500000000 5.03510==⨯115.03510⨯22a b =a b =a b =-2310x x +-=()23411130∆⨯-=-=⨯>()220.510380.51012y x x x =-+-=--+0.50a =-<10x =定点的坐标是解题关键．根据平行四边形“对角线相互平分”的性质可得，进而可得，将点的坐标代入反比例函数解析式并求解即可．【解答】解：∵四边形为平行四边形，∴，∵，，∴，∵函数经过点，即有，解得．故答案为：4.5．17．【分析】将二次根式化为最简二次根式，再用幂的运算公式及特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：原式【点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则及特殊角的三角函数值是解题的关键．18．，见解答【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集，然后将其表示在数轴上即可．【解答】解：，解不等式①，得 ，解不等式②，得 ，∴该不等式的解集为 ，将解集在数轴上表示出来如下图：D OA OC =()3,1.5D D OABC OA OC =(5,0)A (1,3)C ()3,1.5D k y x =D 1.53k = 4.5k =3231=+-3=+-3=11x -<<31432x x x ->-⎧⎨<+⎩①②1x >-1x <11x -<<19．，．【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则计算即可．【解答】，当时，原式．20．(1)见解答(2)【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）由作图可知，为的平分线，易得，再根据“两直线平行，内错角相等”可得，进而可得，即可证明结论；（2）首先证明，结合为的平分线，易得，再根据可得，然后根据三角形内角和定理求解即可．【解答】（1）证明：由作图可知，为的平分线，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，11x +120242221111x x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭()()()2111111x x x x x x x +-⎛⎫=-÷ ⎪--+-⎝⎭()()()211111x x x x +-=⨯-+11x =+2023x =1111202312024x ===++52︒CD ACB ∠BCD ACD ∠=∠EDC BCD ∠=∠EDC ACD ∠=∠32BCD CDE ∠=∠=︒CD ACB ∠264ACB BCD ∠=∠=︒AB AC =64ABC ACB ∠=∠=︒CD ACB ∠BCD ACD ∠=∠DE BC ∥EDC BCD ∠=∠EDC ACD ∠=∠DE CE =32CDE ∠=︒32BCD CDE ∠=∠=︒∵为的平分线，∴，∵，∴，∴．21．(1)38，理由见解析(2)77(3)甲(4)七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人【分析】（1）根据题意及频数分布直方图即可得出结果；（2）根据中位数的计算方法求解即可；（3）由七八年级中位数与甲乙学生成绩的比较即可得出结果；（4）用总人数乘以七年级竞赛成绩90分及以上的学生人数占总的人数的比例求解即可．【解答】（1）解：由题意可得：70≤x <80这组的数据有16人，∴七年级抽取成绩在60≤x <90的人数是：12+16+10=38人，故答案为：38；补全频数分布直方图如图所示；（2）解：∵4+12=16<25，4+12+16>25，∴七年级中位数在70≤x <80这组数据中，∴第25、26的数据分别为77，77，∴m=，故答案为：77；CD ACB ∠264ACB BCD ∠=∠=︒AB AC =64ABC ACB ∠=∠=︒()18052A ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒7777772+=（3）解：∵七年级学生的中位数为77<78，八年级学生的中位数为79>78，∴甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前，故答案为：甲；（4）解：（人）答：七年级竞赛成绩90分及以上人数约为64人．【点拨】题目主要考查统计的相关应用，包括频数分布直方图及用部分估计总体、中位数的求法等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．22．（1）购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元；（2）这所中学最多可购买20副羽毛球拍．【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x 元，一副羽毛球拍y 元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，解出即可．（2）设可购买a 副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a ）副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．【解答】（1）设购买一副乒乓球拍x 元，一副羽毛球拍y 元，由题意得，，解得：．答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元．（2）设可购买a 副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a ）副，由题意得，60a+28（30﹣a ）≤1480，解得：a≤20，答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．23．(1)(2)选择小彤的方法说明，理由见解答【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案；（2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线84006450⨯=211632204x y x y +=⎧⎨+=⎩2860x y =⎧⎨=⎩13l 2330∠∠∠===︒、、A B C AN AE BE =90AEN BEN ∠=∠=︒BA BN =12∠=∠的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论．【解答】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下，由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种，∴小明和小峰选择同一种方法的概率为；（2）选择小彤的方法说明，理由如下：连接，如下图，由折叠的性质可得，，，，，∴垂直平分，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∵四边形为矩形，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形．24．(1)见解答(2)6AN BN =ABN 112302ABN ∠=∠=∠=︒90ABC ∠=︒330ABC ABN ∠=∠-∠=︒、、A B C 3193P ==l 2330∠∠∠===︒AN AE BE =90AEN BEN ∠=∠=︒BA BN =12∠=∠EN AB AN BN =BA BN AN ==ABN 60ABN ∠=︒112302ABN ∠=∠=∠=︒ABCD 90ABC ∠=︒330ABC ABN ∠=∠-∠=︒l 2330∠∠∠===︒ABN(3)【分析】（1）首先根据圆内接四边形的性质证明，再证明，易得，即可证明结论；（2）首先根据三角形函数定义以及“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，易得，在中，由勾股定理解得，，，证明，由相似三角形的性质解得，然后由求解即可；（3）连接，过点作于点，证明，进而可证明为等边三角形，然后由求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形为的内接四边形，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴平分；（2）∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∴，又∵83π-CDF ABC ∠=∠ADB CDF ∠=∠CDF EDF ∠=∠1tan tan 2AD ACD ABD AB ∠=∠==2AB AD =Rt △ABD 2AD =4AB =BAD FAB ∽8AF =DF AF AD =-OA O OH AD ⊥H 60AOD ∠=︒OAD △AOD OAD S S S =- 阴影扇形ABCD O 180ABC ADC ∠+∠=︒180CDF ADC ∠+∠=︒CDF ABC ∠=∠ AB AB =ACB ADB Ð=ÐAB AC =A ABC CB =∠∠ADB CDF ∠=∠ADB EDF ∠=∠CDF EDF ∠=∠DF CDE ∠BD O 90BAD ∠=︒ AD AD =ABD ACD ∠=∠1tan tan 2AD ACD ABD AB ∠=∠==2AB AD =O∴∴在中，，解得，∴，由 （1）可知，，，∴，∴，即，解得，∴；（3）如下图，连接，过点作于点，∵是的直径，，∴，即，∴由（1）可知，，又∵，∴，∴，又∵，半径为4，∴为等边三角形，∴，，∵，∴，BD =Rt △ABD ()(22222222520BD AD AB AD AD AD =+=+===2AD =24AB AD ==ADB ACB ABC ∠=∠=∠BAD FAB ∠=∠BAD FAB ∽AB AD AF AB=424AF =8AF =826DF AF AD =-=-=OA O OH AD ⊥H BD O 30F ∠=︒90BCD ∠=︒CD BF ⊥9060CDF F ∠=︒-∠=︒60ADB EDF CDF ∠=∠=∠=︒90BAD ∠=︒9030ABD ADB ∠=︒-∠=︒260AOD ABD ∠=∠=︒OA OD =O OAD △4OA OD AD ===60OAD ∠=︒OH AD ⊥sin 4sin 60OH OA OAD =⨯∠=⨯︒=∴，∴【点拨】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、扇形面积计算等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键．25．(1)(2)存在，或（3，4）(3)存在，【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）待定系数法求得直线AB 的解析式为，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂足为E ．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．【解答】（1）解：（1）将A （4，0），B （1，4）代入，得，解得．所以抛物线的解析式为．（2）设直线AB 的解析式为，11422OAD S AD OH =⋅=⨯⨯= 260843603AOD OAD S S S ππ︒=-=⨯⨯-=-︒ 阴影扇形241633y x x =-+162,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9841633y x =-+PAB PNB PNA S S S =+△△△32PN =()()2416,1433P m m m m -+<<()416,33N m m -+()()2416416833333PN m m m =-+--+=m OBC PDC ∽1223S S CD PC S S BC OC +=+2PD OB=,B P x ,F E PE AB Q D x PE G DPG OBF ∽()()2416,1433P m m m m -+<<()416,33D n n -+416,33G m n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭PD DG OB OF =244n m m =-+1223S S CD PC S S BC OC +=+2DG OF =2159228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2y ax bx =+16404a b a b +=⎧⎨+=⎩43163a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩241633y x x =-+()0y kx t k =+≠将A （4，0），B （1，4）代入，得，解得．所以直线AB 的解析式为．过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，PM 交AB 于点N ．过点B 作BE ⊥PM ，垂足为E ．所以．因为A （4，0），B （1，4），所以．因为△OAB 的面积是△PAB 面积的2倍，所以，．设，则．所以，即，解得，．y kx t =+404k t k t +=⎧⎨+=⎩43163k t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩41633y x =-+PAB PNB PNAS S S =+△△△1122PN BE PN AM =⨯+⨯()12PN BE AM =⨯+32PN =14482OAB S =⨯⨯=△3282PN ⨯=83PN =()()2416,1433P m m m m -+<<()416,33N m m -+()()2416416833333PN m m m =-+--+=24201683333m m -+-=12m =23m =所以点P 的坐标为或（3，4）．（3）记△CDP ，△CPB ，△CBO 的面积分别为，，．则如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，，设直线AB 的解析式为．设，则162,3⎛⎫ ⎪⎝⎭PD BO∥OBC PDC∴ ∽CD PD PC BC OB OC∴==1S 2S 3S 1223S S CD PC S S BC OC +=+2PD OB =,B P x ,F E PE AB Q D x PE G()1,4B ()1,0F ∴1OF ∴=,PD OB DG OF∥∥ DPG OBF∴ ∽PD PG DG OB BF OF∴==()()2416,1433P m m m m -+<< 41633y x =-+()416,33D n n -+416,33G m n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭24164163333PG m m n =-++-()24443m m n =--+整理得时，取得最大值，最大值为【点拨】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键．DG m n=-24(44)341m m n m n +∴---=244n m m =-+∴1223S S CD PC S S BC OC +=+2PD OB=2DGOF=()2m n =-2424m m m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭()21542m m =--+2159228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭52m ∴=1223S S S S +98。
