09-10年微积分(高数(三))（下）期末复习指导
第六章定积分
一．本章重点
定积分的基本性质，定积分的计算，
变上限定积分的求导法。
二．复习要求
1. 理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。
函数()
f x的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。函数()
f x在[],a b上的定积分是
一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数()
f x及积分区间[],a b有关。
2. 理解并记住定积分的基本性质。
3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上限定积分的导数的方法：
4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。
牛—莱公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只需求出被积函数()
f x的一个原函数
()
F x，再应用牛—莱公式即可。因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。
5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。
注意：用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。
定积分适用分部积分的类型及u、dv的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计
算出a
uv
b
的值。
6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。三．例题选解
例1.求极限
lim
x+
→
4
6
arcsin
x
x
?
解: 这是
型不定式，应用罗彼塔法则及变上限定积分求导法，有
原式＝
3
5
(arcsin
lim
6
x
x
x
+
→
＝
23
5
24
lim
6
x
x x
x
+
→
?
（无穷小代换）＝
4
3
例2. 求定积分：
⑴
1
1
x
-
?⑵dx
x
x
?
+
4
1
1
（3
）
2
1
e
xdx
?.
解: ⑴根据奇函数在对称区间积分的性质，
有：
1
1
x
-
=
?
⑵．本题被积函数含一次函数的根式，且不能用直接积分法和凑微分求解，适用第二类换元法。
令t=则2,2
x t dx tdt
==；
当1
=
x时，1
=
t，当4
x=时2
t=.
dx
x
x
?
+
4
1
1
=tdt
t
t
2
1
2
1
2
?
+
?=dt
t
t
?
+
2
1
2
2
1
2
=dt
t
t
?
+
-
+
2
1
2
2
1
2
2
2
=dt
t
?
+
-
2
1
21
2
2
=2
1
)
arctan
2
2(t
t-
（3
）显然本题积分2
1
e xdx ? 属适用分
步积分的类型.,根据)1
1(
1
++=αααx d dx x ，可得
25552444
(41)52525
1e e x e =-=+. 例3. 求1y x -=、y x =、2x =围成的平面图形的面积以及该平面图形绕X 轴旋转一周形
成的旋转体的体积。
解：由所给曲线方程解得交点：（1，1），
（2，1
2
），(2，2) .画出平面图形如下:
（1）求平面图形的面积. 视平面图形为X 形区域，得平面图形面积为：
＝2
23(ln )ln 212
2x
x -=-
（2）求旋转体的体积.
视平面图形为X 形区域，有： 四．练习题及参考答案
1、求极限
3
4
lim
x x x
→?
2、求积分
⑴3
5-?
⑵3
?
（3）4
cos 2x xdx π?.
3、求由曲线sin y x =，直线2y x =以及2
x π
=
围成的平面区域D 的面积，及区域D 绕X 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
参考答案：1、3
.4 2、⑴ 0；⑵ 11615；（3）1
.84
π-
3、⑴
2
1;4
π-⑵
4
2
6
4
ππ-
.
自我复习
习题六 (A) 4. (3)、(5). 5.(3)、（6）、(8)、(10) .6.（1）、(3) . 12.(1) 、(3)、 (5) . 14.(1)、(2) .21. (2)、(5). 25.(1)、(2).
第七章 无穷级数
一．本章重点
数项级数收敛性的判定(包括正项级数的收敛性判定；交错级数的绝对收敛与条件收敛的判定)。幂级数的收敛域的确定。利用幂级数的性质求幂级数的和函数。 二．复习要求
1. 理解级数的基本概念； 记住级数的基本性质，特别是：若级数1n n u ∞
=∑收敛，则必有
lim 0n n u →∞
=，但lim 0n n u →∞
=时，级数1
n n u ∞
=∑未必
收敛。
2. 熟记等比级数
1
n
n aq
∞
=∑ 的敛散性：
当|q|<1时，等比级数1
n n aq ∞
=∑收敛到
1aq
q
-； 当|q|≥1时，等比级数1
n n aq ∞
=∑发散。
3. 熟记p 级数
1
1
p n n ∞
=∑ 的敛散性： 当p>1时，p 级数11
p
n n
∞
=∑
收敛； 当p ≤1时，p 级数1
1
p n n ∞=∑
发散。 4. 熟练掌握正项级数收敛性的判定。
(1)首先考察是否有lim 0n n u →∞
≠，若有则1
n
n u ∞
=∑必发散；
(2)通常可先考虑用比值判别法判定正项级数的
1
n
n u
∞
=∑收敛性，特别是n u 中含n !
n 或n
a 的情形。
(3)考虑用比较判别法时，应先对通项n u 作初步估计，再用适合的p 级数的通项与之比较作出判定。
5.熟练掌握交错级数1(1)(0)n
n
n n u u ∞
=->∑
绝对收敛还是条件收敛的判定。 (1)先考查1
n n u ∞
=∑是否收敛，若1
n n u ∞
=∑收敛，
则
1
(1)n
n
n u
∞
=-∑ 是绝对收敛；
(2)若
1
n
n u
∞
=∑ 发散，则用莱布尼兹判别法判
定1
(1)n n n u ∞
=-∑ 是否收敛，若收敛，则为条件收敛。
6. 会求幂级数的收敛域。
(1) 对不缺项的幂级数0n
n n a x ∞
=∑（允许缺有
限项），取其后项与前项系数之比的绝对值取极限：1
lim
n n n
a l a +→∞
= 确定收敛半径1R l
=及收敛区间(,)R R -。
对有缺项的幂级数（指缺无限多项），
则直接取其后项与前项之比的绝对值取极限：1()
lim
()
n n n u x l u x +→∞
=
然后根据定理确定收敛半径R 及收敛区间
(,)R R -。
(2) 讨论(-R , R )的端点x R =- 及x R =处级数0n n n a x ∞
=∑的收敛性，并写出收敛域(收敛
区间加收敛的端点)。
7. 熟记幂级数的性质，特别是幂级数在收敛区间内可以逐项微分、逐项积分的性质，并能应用它们及如下公式求幂级数的和函数。 (1)01111n n x x x
∞
==
-<<-∑ (2)
1
1(1)
111n n n x x x
∞
-=-=-<<+∑
三.例题选讲
例1．判定下列级数的敛散性，对交错级数需说明是绝对收敛还是条件收敛 (1).
1
1
(1cos )n n ∞
=-∑ (2)
1
1(1)n n ∞
-=-∑
(3)
1
(1)
(1)3n
n
n n n ∞
=+-∑ 解：(1)令11cos
n u n
=- 当n →+∞时，2
)1(21~
n
u n ， 显然
2
1
12n n
∞
=∑收敛，故原级数收敛。 小结：利用p 级数作比较标准，用比较判别法来判别正项级数的敛散性时，用等价
无穷小代换是一个简便实用的方法，常用的等价无穷小代换还有：
n →+∞时， n n 1~1sin ，n
n 1
~)11ln(+
……（参见教材P79）。
(2) 1
321
32)
1(1
1
1
+∑
=+-∑∞
=-∞
=n n n n n ，
事实上 ，根据正项级数的比较判别法的极限形式，
因为
12
33lim 233lim 322
32
lim
=+=+=+∞→∞→∞
→n n n n n
n n n n 又因为n
n
n n 13
2321
1
∞
=∞
=∑
=∑
=发散，
所以
1
1
(1)
n n ∞
-=-∑发散；但有:
记1
32+=
n u n
1n n u u +=>=，
lim 0n n u →∞
=，
所以交错级数1
1
(1)n n ∞
-=-∑ (3). n n n n n n n n n 3
)1(3)
1()
1(11
1
+∑=+-∑∞=-∞
=， 根据正项级数的比值判别法，
由13
132lim 3)1(3)
2)(1(lim
1<=+=+++∞→+∞→n n n n n n n n
n n n
n n n 3)1(1+∑∴∞=收敛 ∴1
(1)
(1)3n
n
n n n ∞
=+-∑绝对收敛。 例2 求幂级数
21
112
n n
n x ∞
-=∑ 的收敛半径和收敛区间.
解：所给幂级数为缺项情形,由
2(1)1
121211()12lim lim 1()22n n n n n n n n
x u x x u x x
+-++→∞→∞-==
根据定理7-12,当21
12x <
即x <,所
给幂级数绝对收敛; 当21
12
x >
即x >时,所给幂级数发散.所以幂级数的收敛半
径R =
(. 例3.求0(2)n n n x ∞
=+∑的收敛半径,收敛区间
及和函数,
解: 记2n a n =+,则幂级数收敛半径为:
12
lim
lim 13
n n n n a n R a n →∞
→∞++===+,收敛区间为 (1,1)-.且当1x =±时,幂级数为
(2)(1)
n
n n ∞
=+±∑,其通项求极限
∴幂级数的收敛域也是(1,1).-
记幂级数和函数为()f x .即 (1) 当0x ≠时,
=)1(
1)(1)(12
2020'-='∑='∑+∞=+∞=x
x x x x x x n n n n
=222)1(2)1(21x x x x x x --=--? （2）当0=x 时，=)(x f 2 综上: 2
2()11(1)x
f x x x -=
-<<-
四．练习题及参考答案
1. 判定下列级数的敛散性。
(1) 1
1
1(1)
3n n n n ∞
--=-∑
(2)
1
1
1(1)
)n n n ∞
-=-+∑
(3) 1
1(1)31
n n n -∞
=-+∑
(4)
1
1
1
(1)
41
n n n n ∞
-=--+∑ 2. 求幂级数21
(1)5n
n
n n x ∞
=-∑的收敛半径和收
敛区间. 3. 求2
1n n nx
∞
+=∑的收敛半径,收敛区间及和函
数。
参考答案：1.(1).绝对收敛 ；(2).绝对收敛； (3)条件收敛 ; (4) 发散.
2.(R =-收敛区间
3 3
2
(1,1),
()(1)
x f x x -=-. 自我复习： 习题七(A)
4. (7) ,(8) ；5,(4); 7.(1),(3); 8. (1),(3); 9. (5),(12); 10. (2).
第八章 多元函数
一．本章重点
多元函数的偏导数及全微分；多元函数的极值与条件极值；二重积分在直角坐标系下的计算。 二．复习要求
1.理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；
2.熟练掌握二元函数一阶及二阶偏导数的计算，会求二元函数的全微分；
3.熟练掌握多元复合函数的链式求导法，特别是抽象复合函数的偏导数求导法；
4.熟练掌握利用多元复合函数求导法导出的隐函数求导公式：
若(,,)0F x y z =可确定隐函数(,)z f x y =
则
,y x z z F F z
z x F y F ''??=-=-
''
?? 求 ,,x y z F F F ''' 时，均视,
,x y z 为地
位平等的自变量。即求x F '时，视,y z 为常数，其余类似。
5.掌握二元函数极值的概念及判断法,能熟练 用拉格朗日乘数法求多元(二, 三元)函数的条件极值.
6. 理解二重积分的概念，掌握并理解二重积分的基本性质；
7.熟练掌握二重积分在直角坐标系下化为二次积分进行计算的方法，并能熟练把一种次序的二次积分交换为另一种次序的二次积分。
8.会用二重积分求平面区域的面积。 三．例题选解：
例1.求下列函数的全微分或偏导数. (1).22ln(1)z x y =+-,求dz ; (2).
arctan x y
z x
= 确定z 是,x y 的函数, 求
z x
??。 解: (1)
22
21z x x x y ?=?+-, 2221z y
y x y ?-=?+-
∴22
2()
1x y dz z dx z dy xdx ydy x y =+=
-+-(2).本题函数为隐函数.令
(,,)arctan x y
F x y z z x
=
-, 则有 ∴
2
2
22
()
()
x z F z z x y z x F x x y ?++=-=?+ 例2.设[]221
,()2
z f xy x y =-，其中f 具有二
阶连续偏导数，求
2.z
x y
???
分析：显然f 是一个复合函数，记
221
,()2
u xy v x y ==-,则),(v u f z =
其中
,x y 为自变量，,u v 为中间变量，
由复合函数链式求导法，
注意到,u v f f ''要看成是),(),,(v u f v u f v u '
'，所以有：
例3
将二次积分1
00
(,)dy f x y dx ? 交换积
分次序.
解：由已知,原积分区域为Y 型区域：
01
0y x ≤≤???≤≤??
， 画出积分区域D 的略图如下所示：
视D 为X 型区域：301
1
x x y ≤≤??≤≤? ，得
原式3
1
10
(,)x dx f x y dy =
?
?
例4 计算 (4)D
x y dxdy --??,其中区域D 由曲
线2y x =,直线3y x =及1x =所围成.
解：画出区域D 略图如下：
视区域D 为X 型,则:201
3x x y x
≤≤??≤≤?
14320123(12)22x x x x dx =+-+?31260
=. 例5.要造一个容积等于定数(0)a a >的长方
体无盖水池应如何选择水池的尺寸,方可使它的表面积最小.
分析与解:设长方体的长, 宽, 高分别为
,
,x y z 则水池表面积22s xy yz xz =++
本问题归结为求三元函数22s xy yz xz =++在约束条件xyz a =下的最小值点.有两种解法:
法1. 用拉格朗日乘数法. 令22()F xy yz xz xyz a λ=+++-
解方程组:2020220F
y z yz x F x z xz x F
y x xy x xyz a λλλ??=++=???
??=++=?
????=++=????=?
得唯一可疑点
:2x y z ===
因本问题存在最小值点,故唯一的可疑点即所求.即当水池长,
时,水池表面积最小.
法2 由约束方程xyz a =解得:a
z xy =
代入22s xy yz xz =++得:22a a s xy x y
=+
+
于是求条件极值转化为求上面得到的二元函数的无条件极值.解方程组:
得x y ==,经检验(自己可用极值的充分条件检验
)就是唯一的极小值点,也就是最小值点,即当水池长,
高
a
z xy
==
=时, 水池表面积最小.
四．练习题及参考答案
1. 求下列函数的全微分或偏导数.
(1).z x y =+,求dz ;
(2). 2222y z y x z += 确定z 是,x y 的函数 ,求
z y
??. 2. 求例2所示函数的二阶导数22z
x
??.
3.
交换二次积分
1
(,)dx f x y dy ?
的积分
次序。
4. 计算2()D
x y dxdy +?? , 其中D 是由曲线
2y x =与2y x =围成的平面区域.
5. 求三元函数8V xyz =在约束条件
2222x y z a ++=下的最大值.
参考答案：
1.
(1(1dz dx dy =-
+
2. 222
2
2v uu uv vv z f y f xyf x f x
?'''''''=+++? 3. 2
110
(,)y dy f x y dx ?
?
4.
33
;140
5.x y z ===
, 3max V =
自我复习： 习题八(A)
8.(3),(5), 14.(2). 16.(2), (3). 19.(3), 27.(2). 29. (3),(4),(5).30.(1).
第九章 常微分方程简介
一．本章重点
求解一阶线性微分方程。 二．复习要求
1. 知道微分方程的定义、阶、通解、特解等
概念；
2. 熟练掌握可分离变量的微分方程的解法；
3. 知道可化为形如()dy y
f dx x
=的齐次微分方
程的解法:
4. 掌握一阶线性微分方程的特点(齐次、非
齐次)，熟练掌握用常数变易法或公式法求解一阶线性非齐次微分方程。 三．例题选解
例.求微分方程2
x y xy xe -'+=的通解。 解：（直接用公式）
由于原方程已是标准式,其中
()p x x =， 2
()x q x xe -=
利用非齐次方程通解公式： 四.练习题及参考答案 1.求x
xy y e '+=的通解
2.求111y y x x
'-
=+的通解 答案：1.1()x
y e c x
=+
2. (ln
)1x
y x c x
=++ 自我复习： 习题九(A)
2.(3), (6) . 4.(1), (3),(5).
第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求 ∞∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章 导数与微分 一、本章提要
瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数． 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线． 2.基本方法 ⑴用洛必达法则求未定型的极限； ⑵函数单调性的判定； ⑶单调区间的求法； ⑷可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； ⑸连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺曲线的凹向及拐点的求法； ⑻曲线的渐近线的求法； ⑼一元函数图像的描绘方法． 3. 定理 柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则． 第五章不定积分 一、本章提要 1. 基本概念 原函数，不定积分．
大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在
二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。
微积分（下）知识点 第 1 页 共 18 页 微积分下册知识点 第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、 共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ， ),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 222z y x r ++= ； 2） 两 点 间 的 距 离公式： 212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?=
微积分（下）知识点 第 1 页 共 18 页 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(2 2=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 3、 柱面： ),(=y x F 表示母线平行于 z 轴，准线为 ?????==0 ),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面（不考） 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：122 222 2=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 4） 双叶双曲面：122 22 2 2 =--c z b y a x
中南民族大学06、07微积分（下）试卷 及参考答案 06年A 卷 评分 阅卷人 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 0 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则= ')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 评分 阅卷人 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与?-e p x x dx 1 1 ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >
7 数???? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 2 2223 11 1x y I x y dxdy +≤= --?? ,22223212 1x y I x y dxdy ≤+≤=--??, 2 2223 324 1x y I x y dxdy ≤+≤=--?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分) 评分 评分 评阅人 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.
一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A
1、已知22 (,)f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数 ?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( b ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若2 211 x y I +≤= ?? ,2 2 212x y I ≤+≤= ?? , 2 2 324x y I ≤+≤= ?? ,则下列关 系式成立的是( a). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( d ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、2(1)1x y y -+. 2 3、) 32 ,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解： 32 y x =的函数为
微积分下册主要知识点
4.1不定积分 *基本积分表 *基本积分法：利用基本积分表。 4.2换元积分法 一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 )(arcsin .11) (arctan )(arctan 11 )(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4) (ln )(ln 1 )(ln .3) 0()()(1 )(.2)0()()(1 )(.12 2 221==========+=-=-=+-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +??????????????????????-μμμμμμμ 法 分 积元换 一第换元公式积分类型
中南民族大学06、07微积分（下）试 卷及参考答案 06年A 卷 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与 ? -e p x x dx 1 1ln 均收敛,
则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8 、若 2211 x y I +≤= ?? , 22212 x y I ≤+≤= ?? , 22324 x y I ≤+≤= ?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分)
序 中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。 古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。 17世纪，许多着名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。 19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 1874年，德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。外尔斯特拉斯最终完成了对实数系更深刻的性质的理解，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。 人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着，人类认识微积分的水平在不断深化。 ※ 微积分学(Calculus,拉丁语意为用来计数的小石头)是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如几何学是研究空间的科学一样。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。在更深的数学领域中，微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学。 ※ 在高二上学期的数学学习过程中，我们认识了导数和定积分，并开始了对其应用的理解和练习。其实，早在高中物理开始不久后的学习中，我们就接触到了微积分的原型——微元法。同当年的科学家一样，我们也因物理上的应用需要，开始了对微积分学的认识之旅。 借着这次研究性学习的契机，我们就了解一下微积分学的发展历史，认识数学研究对社会发展的重要意义，本着“以史为镜”的态度了解其中波折而有趣的发展历程；并由此拓展自己的知识面，
4.1不定积分 *基本积分表 *基本积分法：利用基本积分表。 4.2换元积分法 一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 )(arcsin .11)(arctan )(arctan 11 ) (arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4) (ln )(ln 1 )(ln .3) 0()()(1 )(.2) 0()()(1 )(.12 2221==========+=-=-=+-==-=?=?=?=?=?≠=≠++=+??????????????????????-μμμμμμμ 法 分 积元换 一第换元公式积分类型
2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答 案） 一、解答题 1．建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为R == 设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14 即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2．求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解： πd 11(1)sin ,1d x y y x y x x x =+== ; 解： 11d d 11sin e sin d [cos ]e d x x x x x y x x c c x x c x x x -??????==+=-+?????? ?? 以π,1x y ==代入上式得π1c =-， 故所求特解为 1(π1cos )y x x =--. 2311(2)(23)1,0x y x y y x ='+-== . 解：2 2323d 3ln x x x x c x --=--+? 2 2 223323d 23 +3ln d 3ln e e e d e d x x x x x x x x x x y x c x c -------??????∴==++???????? 2223311e .e e 22x x x x x c c ----????=?=++ ? ????? 以x =1,y =0代入上式，得12e c =-. 故所求特解为 2311e 22e x y x -??=- ??? . 3．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功． 解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t =??=?，t ：0→π2
第一换元积分法(凑微分法) g[ (X)]「(x)dx = g(u)du = F(U) C = FL (x)] C J f (x)dx= J f［毋(t)］"(t)dt = F(t)+C = F［寧(X)PC , 注：以上几例所使用的均为三角代换,三角代换的目的是化掉根式，其一般规律如下当被积函数中含有 a).a2-x2,可令X =as int; b)x2a2,可令x =ata nt; C).X22 -a ,可令x =asect. 当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换X=1 . t 四、积分表续 4.3分部积分法
UdV=UV- VdU (或微分)的逆运算.一般地，下列类型的被 n 都是正整数). n . X SInmX n X cosmx nx ? e SIn mx nx e cosmx 分部积分公式: UVdX=UV- U VdX (3.2) n mx X e n X arcsInmX X n (In x) X n arccosmx X n arcta nmx 等. 5.1定积分的概念 5.2定积分的性质 两点补充规定: 性质 性质 性质 性质 性质 推论 推论 b ⑻当 a=b 时， f(x)dx=0; (b)当 a b 时， f(x)dx - - f (x)dx . b [f (x)二g(x)]dx f (X )dx g (X )dx. a a a b b kf (x)dx =k f (x)dx, (k 为常数). a IJ a b Cb f (x)dx f(x)dx 亠 I f (x)dx . a ?a ?c 若在区间 若在区间 b dx 二b -a. a [a,b]上有 f(x)_g(x),则 f(χ)dx g(x)dx, (a ：：：b). ■a *a b [a,b]上 f(x)_0,贝 U f(x)dx_O, (a ：：b). a b I L f(X)dx 兰『I f (X)IdX (a cb). a L - 性质6 (估值定理)设M 及m 分别是函数f(x)在区间［a,b ］上的最大值及最小值，则 b m(b —a) _ f (x)dx _ M (b —a). a 性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，则在［a,b ］上至少存在 个点，使 b f(x)dx = f( )(b-a), (a _ -b). a 5.3微积分的基本公式 一、引例 X 二、积分上限的函数及其导数 ：：?：J (X^ f(t)dt L a 定理2若函数f(x)在区间［a,b ］上连续，则函数 (3.1) 分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数 积函数常考虑应用分部积分法 (其中m,
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为：2 3 0,1≤ ≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面
Chapter1 Functions(函数) 1.Definition 1)A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f (x ), in a set B. 2)The set A is called the domain(定义域) of the function. 3)The range(值域) of f is the set of all possible values of f (x ) as x varies through out the domain. ? =)()(x g x f :N ote 1)(,1 1)(2 +=--= x x g x x x f Example )()(x g x f ≠? 2.Basic Elementary Functions(基本初等函数) 1) constant functions f (x )=c 2) power functions 0,)(≠=a x x f a 3) exponential functions 1,0,)(≠>=a a a x f x domain: R range: ),0(∞ 4) logarithmic functions 1,0,log )(≠>=a a x x f a domain: ),0(∞ range: R 5) trigonometric functions f (x )=sin x f (x )=cos x f (x )=tan x f (x )=cot x f (x )=sec x f (x )=csc x Given two functions f and g , the composite function(复合函数) g f is defined by )) (())((x g f x g f = Note )))((())((x h g f x h g f =
一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1 =. 四、积分表续 4.3分部积分法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 ) (arcsin .11) (arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1 )(ln .3)0()()(1)(.2) 0()()(1 )(.1法 分 积元换一第换元公式 积分类型2 2 2 2 1==========+=-=-= +-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +?????? ????????????????-μμ μμμμμ
期末复习题 一、填空题 1、=?→x t t x x 0 20 d cos lim . 2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=?b x x x f x 2d )(d d . 3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则?>+x x t a t f t )0( d )(1 等于 . 4、若2 e x -是)(x f 的一个原函数，则 ='? 10 d )(x x f . 5、 =++?-112d 1| |x x x x . 6、已知2 1)(x x x f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 . 7、设 ? =+π0 ),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续， 则=)(x f . 8、设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为3 1 ，则=k . 9、设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=，则 =??) 1,0(y f . 10、设y x z 2e =，则 =???y x z 2 . 11、交换积分次序 =? ?x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =? ? ---x x y y x f x 11 1 2 2d ),(d . 13、交换积分次序 ? ?-2 210 d ),(d y y x y x f y ＝ . 二、选择题 1、极限x t t x x cos 1d )1ln(lim 2sin 0 -+?→等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 2、设x x t t f x e d )(d d e 0=?-，则=)(x f （ ） (A) 2 1x (B) 21x - (C) x 2e - (D) x 2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=?)(d )(，则必有（ ）B （A ）)(d )(x F t t f x a =? （B ）)(]d )([x F t t F x a ='? （C ） )(d )(x f t t F x a ='? （D ）)()(]d )([a f x f t t F x a -=''?
微积分基本定理 编稿：赵雷 审稿：李霞 【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。 2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。 【要点梳理】 要点一、微积分基本定理的引入 我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 （1）导数和定积分的直观关系： 如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？ 一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。 另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d b a v t t ? , 即 s = ()d b a v t t ? 。 所以有： ()d b a v t t =? s （b ）－s （a ） （2）导数和定积分的直观关系的推证： 上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下： 如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间： [t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为
1i i b a t t t n --?=-= 。 当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移 111()'()'()i i i i i b a s h v t t s t t s t n ----?≈=?=?= 。 ② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是 1tan '()i i i s h DPC t s t t -?≈=∠??=??。 结合图，可得物体总位移 111 1 1 1 ()'()n n n n i i i i i i i i s s h v t t s t t --=====?≈=?=?∑∑∑∑。 显然，n 越大，即Δt 越小，区间[a ，b]的分划就越细，1 11 1 ()'()n n i i i i v t t s t t --==?=?∑∑与s 的近似程度就越好。由定积分的定义有 11lim ()n i n i b a s v t n -→∞=-=∑11 lim '()n i n i b a s t n -→∞=-=∑()d '()d b b a a v t t s t t ==??。 结合①有 ()d '()d ()()b b a a s v t t s t t s b s a ===-??。 上式表明，如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），那么v （t ）=s ＇（t ）在 区间[a ，b]上的定积分就是物体的位移s （b ）―s （a ）。 一般地，如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么 ()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理。 要点二、微积分基本定理的概念 微积分基本定理： 一般地，如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b]上可积，则()d ()()b a f x x F b F a =-? 。 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼兹公式。 其中，()F x 叫做()f x 的一个原函数。为了方便，我们常把()()F b F a -记作()b a F x ，即 ()d ()()()b b a a f x x F x F b F a ==-? 。
微积分基础形成性考核作业（一） ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 2．函数x x f -=51)(的定义域是 ． 3．函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ． 4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f ． 5．函数???>≤+=0 e 2 )(2x x x x f x ，则=)0(f ． 6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 7．函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 ． 8．=∞→x x x 1 sin lim ． 9．若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 10．若23sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数
3．函数2 22)(x x x x f -+=的图形是关于（ ）对称． A ．x y = B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点 4．下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．x ln C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x + 5．函数)5ln(4 1 +++= x x y 的定义域为（ ）． A ． 5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 6．函数) 1ln(1 )(-= x x f 的定义域是（ ）． A ． ),1(+∞ B ．),1()1,0(+∞? C ．),2()2,0(+∞? D ．),2()2,1(+∞? 7．设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 8．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =， x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= 9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x x