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24.1.2垂直于弦的直径

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义务教育课标实验教科书数学九年级（上）
24.1.2垂直于弦的直径

学 校 郯城镇中学 主备人 黄继坤 时 间
备课审核 育才 刘华丽 港中 刘孝宗

教
学
目
标

知识与能力
（1）知道圆是一个轴对称图形；
（2）理解垂径定理及其结论，并能灵活运用解决有关问题。
过程与方法
（1）利用操作几何的方法，了解圆是轴对称图形，提高学生的动手操作能力；
（2）由圆是轴对称图形，通过操作、观察来得出并验证垂径定理及其结论，从而提高学生
应用定理解决问题的能力。
情感态度价值观
通过本节课的学习，培养了学生的动手能力，让学生体验到探索结论的成就感，在相
互交流中，增强了学生的学习合作能力。

重 点
（1）垂径定理及其结论；
（2）垂径定理及其结论的应用。
难 点
垂径定理及其结论的灵活应用。

方 法 小组合作学习 课 型
新 授

教 学 过 程
教学 环节 教 学 内 容 师生活动 设计
意图

一、自
主
探
究

问题1： 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次。 （1）你认为圆是轴对称图形吗？ （2）如果是的话，对称轴是谁？ （3）它有多少条对称轴？ 问题2、 如下图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD学生拿出课前剪好的圆，按要求对折，至少折三次，小组讨论交流 完成后教师请几位学生回答 教师要注意学生语言的准确性，尤其是圆的对称轴不少学生会说成是直径，要注意纠正 总结：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 要求学生在所剪得的圆上按左图画出直径CD，弦AB，沿CD所在的直线对折，验证左图是否是轴对称图形。 学生小组讨论交流 在已知左图是轴对称图形的前本环节
让学生
明白圆
是轴对
称图
形.

为下面
的弦和
直径的
关系做
⊥AB，垂足为E。 EODCAB （1）上图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能找出图中有哪些相等的线段和弧吗？为什么？ 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧． 结论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧． 问题3： 在问题2的图中 ，△OAE是什么三角形？ OE、OA、AE三者有何关系？ （1）如果OA=5，AB=8则OE= ; (2) AB=8,OE=3则OA= ; （3）如果OA=5，DE=2则AB= ; (4) 如果OA=5，CE=8，AB= ; 问题4：(课本80页问题)赵州桥主拱桥是圆弧形，它的跨度为37.4米，拱高为7.2米，求赵州桥主拱桥的半径。 如图： 提下，请几位学生指出折叠后能够完全重叠的线段和弧。 （ADBD ACBC AE=BE） 师生共同总结垂径定理。 ∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB ∴ADBD ACBC AE=BE 思考这条弦为何不能是直径 学生讨论 教师画图演示 教师提出问题，学生思考后回答 请几位学生回答 学生独立解答，小组讨论交流 教师指导，并请学生讲解。 提醒学生注意：（1）计算过程中用的是AE，即AB的一半。（2）充分利用勾股定理解题。 引导学生分析，题意落实到图上。 AB=37.4 CD=7.2 则OD=R-7.2 利用勾股定理列方程 指导学生独立完成，一生板演 师生共同评析 总结：与垂径定理有关的计算题，一定要把它转化为直角三角形的问题，用勾股定理来解决。 铺垫.
师生归
纳垂径
定理.
并让学
生简单
说明理
由.

运用转
化的思
想，可
以把此
类问题
转化为
解直角
三角形
的问
题.
二、尝
试
应
用

1、下列命题中，不正确的是（ ） A圆是轴对称图形 B圆的对称轴是直径 C圆的对称轴有无数条 D经过圆心的直线都是圆的对称轴 1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．如图2，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的是（ ） A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．ADBD D．PO=PD BAOMBACDPO （1） （2） 课本82页练习1、2题 学生独立完成 教师巡视指导，对学生在解题过程中出现的问题及时给与点拨。 学生完成后小组讨论交流 教师应参与到小组讨论中，及时回收信息 对共性问题，师生一起探讨 （1）（2）请两位学生回答，课本上两题两生板演 练习让
学生掌
握知
识.

并达到
灵活运
用的目
的.

三、补
偿
提
高

1、学生回忆一下垂径定理及其结论的内容，并说一下与垂径定理有关的计算题的解决办法和注意的问题。 2、如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，OC⊥AB于C，则OC的长等于 OABC 3、如图，已知⊙O的半径为13，弦AB=24，P是弦AB上的任意一点，则OP的取值范围是 教师提出问题 学生归纳总结 学生独立完成 答案：2、3 3、5≤OP≤13 4、分两种情况：如图 提升学
生的能
力.

4题较
难，必
须进行
分类讨
论.锻
炼学生
的能
力.考
虑问题
要全
O
BAP

4、⊙O的半径为5，两条弦AB=8，CD=6,则两条
弦AB，CD间的距离是多少？

CD
A
B

C
D

A
B

距离为1 距离为
7

面.

四、小
结
作
业

1、小结与反思: 本节课你有何收获？ 2、作业：P87第一题 选做题： 1．如图1，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（ ） A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm 2．如图，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论） BACEDOF （1） （2） 3、如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。 OABP 4、如图，⊙O的半径是13，CD=18,CD⊥AB于D,试求AB的长度。 教师提出问题，学生回顾本节
课内容，总结交流，教师重点
强调
学生独立完成

答案：
1、C
2、AB=CD AE=BE=CF=DF

3、过O作OD⊥AB于D，连接OA,如图 OABPD 易知DP=1，Rt△ODP中求得OD2=24 OA2=AD2+OD2 代入求得OA=7 4、连接OA,OD=18-13=5 OA2=AD2+OD2 AD=12 AB=24 5、过O作OF⊥CD于F，如下图所示 学生学会自己
总结所
学的内
容以及
得失.
O
A
B
C
D

5、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，
EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．

B
A
C

E

D
O

∵AE=2，EB=6，∴OE=2，
∴OF=1，连结OD，
在Rt△ODF中，42=12+DF2，

DF=15，∴CD=2
15

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九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径教学反思 人教新课标版

九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径教学反思 人教新课标版

24.1.2垂直于弦的直径教学反思
本节课是本章的一个重点内容，为达到良好的教学效果，我采用多媒体辅助教学，这样能使知识点更直观形象的展示，让学生的积极、主动的参与课堂，提高课堂效率。

首先，我以求赵州桥主桥拱的半径引入课题，以展示本节内容的实用性。

怎么解决这个问题呢？接下来开始探究本节课的内容。

经过活动：从学生自己动手做实验得到圆是轴对称图形，结合轴对称图形的性质推出垂径定理是再顺理成章不过的了，使学生得到一个直接且易懂的知识信息。

再加上课件展示折叠体会重合的边，重合的弧，使同学们更能理解和掌握垂径定理。

在教学过程中，由学生发现，大胆的猜想，使学生懂得研究的常用方法：从特殊到一般，由猜测到论证。

接下来通过几个练习巩固本堂课的主要内容。

但由于部分学生的思想思维跟不上，并不能真正理解垂径定理，在练习中我发现学生的理解和应用能力有待在以后的学习中加强。

但总的来说，本堂课学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动建构。

这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以，充分地调动学生学习的热情，让学生学会学习，学会研究的方法，培养学生的能力。

对于本课我做了充分的准备，但教学效果达不到我的理想，所以我反思总结：以后的教学不光准备课件教具充分，还要加强自身把握课堂的能力，学会调动学生学习的气氛，那样将会达到更好的效果。

用心爱心专心 1。

垂径定理

垂径定理

到AB的距离OD=3㎝，求⊙O的半径。
【分析】连OA,构造直角三角形，运用勾股定
理来解决。B
例2、你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
24.1.2垂直于弦的直径（1）
教
学
目
标
知识技能
研究圆的轴对称性，掌握垂径定理及其简单应用。
过程方法
经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的
思维品质，学习证明的方法。
情感态度
在学生通过观察、操作、变换、探究出的图形性质后，还要求
学生对发现的性质进行证明，培养学生的创新意识、良好的应用数学意识。
轴，圆有无数条对称轴。A
2、垂定理：
思考：如图：AB是⊙O的一条弦，C D
作直径CD使CD⊥AB，垂足为E。
（1）、这个图形是轴对称图形吗？
若是，那么它的对称轴是什么？B
（2）、你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说
明理由。
【分析】连接OA、OB，则OA=OB，即△AOB为等腰三角形，
∵CD⊥AB
∴AE=BE(三线合一)，即A、B关于直线CD轴对称。
∵CD为⊙O的对称轴，
⌒⌒⌒⌒
∴AC=BC , AD=BD
垂径定理：垂直于弦的直径平分于弦并且平分于弦所对的两条弧。
符号语言：∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦且CD⊥AB，
O D
⌒⌒⌒⌒
∴AE=BE，AC=BC , AD=BD。
例1、在⊙O中，弦AB的长为8㎝，圆心O
【分析】首先要把这样一个实际问题转化为一个数学问题，把这个问题中的已知什么和欲求什么转化为数学问题的已知和求解，因此要画出图形，并结合图形写出已知、求解；其次再讨论如何解决这个问题；最后才写出解题过程。
24.1.2垂径定理(2)

24.1.2垂径定理(2)


并修改为真命题为“ ” （2 ） “将平分弦（不是直径）的直径垂直于于弦，并且平分弦所对的两条 弧”
1Hale Waihona Puke 写成符号语言为： A O C N M
∵AC= ∴
,MN 为⊙O 的直径 ， ， ，
B （3）将“弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧”写成成符 号语言为： （用上图）
（ 4 ）将“平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对 的 ” 写成成符号语言为： （用上图）
课后 反思 学生 纠错
图 ∴CE=DE, BC= ,AC= 1 2.已知在⊙O 中， 弦 AB 的长为 16， 圆心 O 到 AB 的距离为 6， 求⊙O 的半径。
目标二：掌握垂径定理的推论 题组二、 1. 如果一条直线具有：①过圆心 ②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优 弧 ⑤平分弦所对的劣弧中的任意两个条件，都，可以得出其他的三个 结论，这样“由二得三” （五选二推三）可以得出 个结论，但有 一个命题是错误的， 其他的 9 个都是真命题， 可作为垂径定理的推论一： （1）如果已知①③可得出②④⑤文字叙述为“平分弦的直径垂直于于弦， 并且 平分弦所对的两条弧” ，这个命题正确吗？答： （ ） 画出反例图，
C
O B
4.如图所示，是以 O 为圆心的同心圆，大圆的弦 AB 交小圆于 C,D (1)线段 AC 与 BD 的关系是 ， （2）如果 AB=8 cm, CD=4cm,那么圆环面积是 多少？
O A C D B
4
目标三、会应用垂径定理的推论解决实际问题。 题组三、 A 1：垂径定理的推论二 求证：圆的两条平行弦所夹的弧相等 C 已知：在⊙O 中，AB,CD 是弦，AB∥CD 求证：AC= BD
B ·O D
垂径定理

垂径定理


情感态度与价值观
通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进 行辩证唯物主义观点及美育教育。
三、教学重难点
教学重点
垂径定理及其应用。
教学难点
对垂径定理题设与结论的区分及定理的证 明方法。
四、教法与学法
教学方法
情境式教学法
启发式教学法 尝试性教学法
演示教学法
四、教法与学法
课堂组织策略：
【设计意图: 探索发现
揭示新知】
（三）巩固训练，形成技能
垂径定理的变式
文字语言
一条直线（1）过圆心（2）垂直于弦，则（a）平
分弦（b）平分弦所对的劣弧（c）平分弦所对的优弧。
符号语言
已知：（1）CD 过圆心（2）CD⊥ AB 于E，则： ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （a）AE=BE ，（b） AC=BC，（c） AD=BD。
新人教版义务教育课程标准教科书数学九年级(上)
§24. 1. 2 垂直于弦的直径
运用新课标的理念，从以下几个 方面加以说明：
教材分析 教学目标 教学重难点 教法与学法 教学程序设计 板书设计
一、教材分析
《垂直于弦的直径》选自新人教版义务教 育课程标准教科书数学九年级上册第二十四章 第一节《圆》的第二节，它是圆的性质的重要 体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证 明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重 要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供 了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要 的位置。
巩固训练，形成技能 （5分钟）
应用新知，解决问题 （7分钟） 归纳小结，分层作业 （2分钟）
（一）创设情境，激趣质疑
小游戏：对折等腰三角形纸片。 回忆：轴对称图形的概念。 问题：圆是否是轴对称图形呢？