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广东肇庆高要区金利镇朝阳实验学校苏版初三数学上册教案：垂直于弦的直径课程名称九年级数学教师姓名罗伟龙授课班级九〔1〕〔2〕班[来源:学*科*网Z*X*X*K]所在科组初中数学组2019-2019 学年第一学期九年级«数学»上册教案执教者：罗伟龙上课时间：第7周/10月17日上课班级：9 01/902课时总时数：1课题：24.1.2 垂直于弦的直径教学目标：知识与技能：1、理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明2、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力过程与方法：在探索问题的过程中培养学生动手操作的能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，历经探索圆的对称及相关性质的过程，进一步体会和理解学习几何图形的各种方法。
〔三〕情感态度与价值观：使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
教学重点：垂径定理及其应用[来源:1]教学难点：垂径定理的证明教学方法：引导法，点拔法，合作交流法教具准备：课本、PPT、三角板教学时数：1教学过程：第2课时导入新课温故：1、∆ABC中，∠C=900。
求证：A、B、C三点在同一个圆上新课导入：1．实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性等特征．2．探究：剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？[来源:1]出示目标，自主学习理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力创设情景，构建新知情景：1．垂径定理及证明．请同学们回答下面两个问题：〔1〕圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？〔2〕你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．分析：〔1〕圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．〔2〕我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．如右图，AA′是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AA′，垂足为M．〔1〕右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？[来源:]〔2〕你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．点评：〔1〕是轴对称图形，其对称轴是CD、〔2〕AM＝A′M，＝，＝．即直径CD平分弦AA′，并且平分．这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．下面我们用逻辑思维来证明它．：直径CD、弦A A′且CD⊥A A′垂足为M．求证：AM＝A′M，＝，＝．分析：要证AM＝A′M，，只要证AM、A′M构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OA′或AD、A′D或AC、A′C即可．证明：如图，连结OA 、OA ′，那么OA ＝OA ′，在Rt △OAM 和Rt △OA ′M 中，OA ＝OA ′，OM ＝O M ，∴Rt △OAM ≌Rt △O A ′M ．∴AM ＝A ′M ．∴点A 和点A ′关于CD 对称．∵⊙O 关于直径CD 对称，∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点A ′重合，与重合，与重合．进一步，我们还可以得到推论：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．[来源:学#科#网]2．实例探究．例 赵州桥〔下左图〕是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度〔弧所对的弦的长〕为37 m ，拱高〔弧的中点到弦的距离〕为7.23 m ，求赵州桥主桥拱的半径〔结果保留小数点后一位〕．[来源:1] 分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形． 解：如上右图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O ，半径为R ．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与相交于点C ，连接OA ，根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是的中点，CD 就是拱高． 由题设可知AB ＝37 m ，CD ＝7.23 m ，所以AD ＝21AB ＝21×37＝18.5〔m 〕，OD ＝OC －CD ＝R －7.23．在Rt △OAD 中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，[来源:1]即R2＝18.52＋(R －7.23)2．解得R≈27.3 m．因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m．联系生活，巩固应用如图，EM经过圆心O，EM⊥CD于M，假设CD=4，EM=6，求⊙O 半径.如图，⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，那么线段OM的长可能是〔〕A 5B 7C 9D 11强化练习，拓展深化如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，求OP的长。
四川省南充市高坪区高坪中学2018-2029年度第二学期七年级数学下册期中测试题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是(D)A) B) C) D)22，14，π，38，－227，0.32··中，无理数有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，将线段AB沿箭头方向平移2 cm得到线段CD.若AB＝3 cm，则四边形ABDC的周长为(C)A．20 cm B．12 cmC．10 cm D．8 cm4．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能判定a∥b的是(B)A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠4C．∠3＋∠4＝180°D．∠2＝30°，∠4＝35°5．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC∶∠EOD＝1∶2，则∠BOD等于(A)A．30°B．36°C．45°D．72°6．下列说法不正确的是(D)A．±0.3是0.09的平方根，即±0.09＝±0.3 B．存在立方根和平方根相等的数C．正数的两个平方根的积为负数D.64的平方根是±87．已知点P(0，m)在y轴的负半轴上，则点M(－m，－m＋1)在(A)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．下列语句中真命题有(D)①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离；②内错角相等；③两点之间线段最短；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行．A．5个B．4个C．3个D．2个9．已知点A(－1，－2)，B(3，4)，将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点C在x轴上，点B的对应点D在y轴上，则点C的坐标是(A)A．(－4，0) B．(1，－5) C．(2，－4) D．(－3，1)10．如图，已知BC∥DE，BF平分∠ABC，DC平分∠ADE，则下列结论：①∠ACB＝∠E；②DF 平分∠ADC；③∠BFD＝∠BDF；④∠ABF＝∠BCD，其中正确的有(C)A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题(每小题3分，共15分)11．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是两条平行线被第三条直线所截，结论是内错角相等．12．将点A(－5，－4)先向右平移3个单位长度，再向上平移8个单位长度得到点B，则点B 在第二象限．13．已知a，b为两个连续的整数，且a<28<b，则a＋b＝11.14．如图，a∥b，c∥d，b⊥e，则∠1与∠2的关系是互余．15．同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色五子先成一条直线就算胜．如图是两人玩的一盘棋，若白①的位置是(1，－5)，黑②的位置是(2，－4)，现在轮到黑棋走，你认为黑棋放在(2，0)或(7，－5)位置就可获胜．三、解答题(共75分) 16．(10分)计算：(1)3－27＋|3－5|－(9－38)2＋35；解：原式＝－3＋3－5－(3－2)2＋3 5 5－1＋3 5＝25－1. (2)16－3－8－31＋1＋916.解：原式＝4－(－2)－1＋5 4＝61 4 .17．(8分)如图，已知火车站的坐标为(2，1)，文化馆的坐标为(－1，2)．(1)请你根据题目条件，画出平面直角坐标系；(2)写出体育场、市场、超市、医院的坐标．解：(1)如图所示．(2)体育场(－2，4)、市场(6，4)、超市(4，－2)、医院(0，－1)．18．(9分)如图，在三角形ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，∠AED ＝80°，求∠EDC 的度数．解：∵DE ∥BC ，∠AED ＝80°， ∴∠ACB ＝∠AED ＝80°. ∵CD 平分∠ACB ， ∴∠BCD ＝12∠ACB ＝40°.∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠BCD ＝40°.19．(8分)某小区有一块面积为196 m 2的正方形空地，开发商计划在此空地上建一个面积为100 m 2的长方形花坛，使长方形的长是宽的2倍．请你通过计算说明开发商能否实现这个计划？(2≈1.414，50≈7.071)解：设长方形花坛的宽为x m ，则长为2x m ．依题意，得 2x ·x ＝100，∴x 2＝50. ∵x ＞0，∴x ＝50，2x ＝250. ∵正方形的面积为196 m 2， ∴正方形的边长为14 m .∵250≈14.142＞14，∴开发商不能实现这个计划．20．(9分)如图，已知DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．解：BF⊥AC.理由：∵∠AGF＝∠ABC，∴BC∥GF.∴∠1＝∠3.又∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＋∠3＝180°.∴BF∥DE.∵DE⊥AC，∴BF⊥AC.21．(9分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，2)，B(3，4)．(1)画出三角形ABO向上平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度后所得的三角形A′B′O′；(2)写出A，B，O的对应点A′，B′，O′的坐标；(3)求两次平移过程中OB共扫过的面积．解：(1)三角形A′B′O′如图所示．(2)A′(－5，4)，B′(－1，6)，O′(－4，2)．(3)OB向上平移2个单位长度扫过的面积为2×3＝6，接着向左平移4个单位长度扫过的面积为4×4＝16，∴平移过程中OB扫过的面积一共为6＋16＝22.22.(10分)在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝30°时，∠BOD的度数是多少？解：①如图1，当OC，OD在AB同一侧时，∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°.∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝180°－∠COD－∠AOC＝60°；②如图2，当OC，OD在AB两侧时，∵OC⊥OD，∠AOC＝30°，∴∠AOD＝60°.∴∠BOD＝180°－∠AOD＝120°.23．(12分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A，B的对应点C，D.连接AC，BD.(1)写出点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；(2)在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S三角形PAB ＝S四边形ABDC？若存在，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由；(3)点Q是线段BD上的动点，连接QC，QO，当点Q在BD上移动时(不与B，D重合)，给出下列结论：①∠DCQ＋∠BOQ∠CQO的值不变；②∠DCQ＋∠CQO∠BOQ的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求值．解：(1)C(0，2)，D(4，2)，S四边形ABCD＝4×2＝8.(2)设点P的坐标为(0，y)，根据题意，得12×4×|y|＝8.解得y＝4或y＝－4.∴点P的坐标为(0，4)或(0，－4)．(3)结论①正确．过点Q作QE∥AB，交CO于点E.∵AB∥CD，∴QE∥CD.∴∠DCQ＝∠EQC，∠BOQ＝∠EQO. ∵∠EQC＋∠EQO＝∠CQO，∴∠DCQ＋∠BOQ＝∠CQO.∴∠DCQ＋∠BOQ∠CQO＝1.。
《24.1.2 垂直于弦的直径》学案学习目标：垂径定理、推论及其应用 一、自主学习 （一）温故知新1、如图，AB 是⊙O 的直径，C 点在⊙O 上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？2、下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）（二）探索新知圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？ 二、学习过程问题1：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？请你证明．问题2：垂径定理是什么？问题3：垂径定理的推论的内容.:问题4：．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=•60m ，水面到拱顶距离CD=18m ，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m 时是否需要采取紧急措施？（当水面距拱第1题顶3米以内时需采取紧急措施）请说明理由．三．达标巩固课本82页 练习 1、2 四．学后记（1）圆的轴对称性 （2）垂径定理及推论 五．课时训练 基础过关 1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（ ）．A ．CE=DEB ．弧BC= 弧BDC ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD、2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8 3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（ ）A ．AB ⊥CD B ．∠AOB= 4∠ACDC ．AD BD D ．PO=PD4．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是弧BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____．BA(4) (5)5．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．6．如图5，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）能力提升1．如图24-11，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB 于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由．2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．3．（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16，AC=8，AD=•8，•求∠DAC 的度数．。
教案课题24.1.2垂直于弦的直径（2）教学目标1.进一步探索和掌握垂径定理及推论,明确理解“知二得三”的意义.2.在探索垂径定理中“黄金三角形”解题规律的过程中，培养学生观察、归纳、概括的能力3.通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。
重点利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题难点利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题教学过程一、情境设计，导入新课1、复习垂径定理及其推论，得出“知二推三”2、以轻松活泼的形式与学生交流，用一段小相声设计一道题目，引出练习题——利用垂径定理作图题。
激发学生学习热情，让我们走进垂径定理，接着感受它的神奇二、合作交流，深入探究新名词：弦心距：圆心到弦的垂线段的长度称为这条教法、时间激趣导入法5分10分弦的弦心距。
如：OE拱高（弓形高）：DE已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E（1）若半径为R=2，AB=32，求OE、DE的长（2）若半径为R=2，OE=1，5分求AB、DE的长（3）由（1）（2）两题启发，你还能编出其他问题？学生回答：如①AB=32，OE=1，求半径DE②AB=32，DE=1，求半径、OE③半径R=2 ,DE=1,求AB、OE让学生归纳总结出弦心距、拱高、弦长和半径这四个量在垂径定理应用时之间的关系（1）牢记基本图形及变式图形（2）半径、弦长、弦心距和弓形高h四者的关系是：①d+h=r；②r2=d2+()2三、实际应用1、如图，两个圆都以点O为圆心．求证：AC=BD2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB，CD的距离是______．3、如图：一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD，点O是CD的圆心），其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径4.有一座圆弧形拱桥，桥下水面AB宽24m，拱顶高出水面8m.。
现有一艘高出水面部分的截面为长方形的船要经过这里，长方形的长为8m、高为7m。
《24.1.2垂直于弦的直径》学习目标：1. 理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论2. 学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题3. 了解拱高、弦心距等概念 新知引入一、复习巩固 判断：1. 直径是弦，弦是直径。
（ ）2. 半圆是弧，弧是半圆。
（ ）3. 周长相等的两个圆是等圆。
（ ）4. 长度相等的两条弧是等弧。
（ ）5. 同一条弦所对的两条弧是等弧。
（ ）6. 在同圆中，优弧一定比劣弧长。
（ ）7. 圆是轴对称图形。
（ ） 二、请按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． ⑴如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？圆是____________对称图形，其对称轴是任意一条过___________的直线． ⑵你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？相等的线段：相等的弧：垂径定理：垂直于_______的直径平分弦，并且平分弦所对的两条__________． 表达式：下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM =BM ，弧AC =BC ，弧AD =BD .分析：要证AM =BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA =OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ( ) ∴AM =∴点 和点 关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称BAC OM∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，弧AC与BC重合，AD与CD重合．∴，，进一步，我们还可以得到结论：平分弦（_____________）的直径垂直于________，并且平分弦所对的两条__________．表达式：新知要点圆是图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．1.垂径定理推论新知应用例1如图，两圆都以点O为圆心，求证AC=BD例2赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？REA B新知检测1. P 为⊙O 内一点，OP =3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；最长弦长为_______．2. 如图2，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE =OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）3. 如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =2，EB =6，∠DEB =30°，则弦CD 长4. 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．5.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
