2412垂直于弦的直径(1)

、课前预习(5 分钟训练)1. __________________________________________________________________________________________如图24-1-2-1 ，AB 是⊙ O的弦，CD是⊙ O的直径，CD ⊥ AB ，垂足为E，则可推出的相等关系是___________图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24 -1-2-32. __________________________________________________________________________ 圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为____________________________________ .3. 判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2) 平分弦的直径垂直于弦.4. __________________________________________________________________________ 圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B、C,那么弦BC 的长等于________________________________ .二、课中强化(10 分钟训练)1. _________________________________________ 圆是轴对称图形，它的对称轴是.2. ________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-2，在⊙ O中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C，图中相等的线段有 ___________________________ ，相等的劣弧有 ________________ .3. ____________________________________________________________________________ 在图24-1-2-3 中，弦AB 的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙ O的半径R= ___________________________________ cm.三、课后巩固(30 分钟训练)1. 如图24-1-2-5,⊙ O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙ O于B、C,则BC等于( )33 D.垂直于弦的直径4.如图24-1-2-4 所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦B.3 3C.3 2AB 的距离为图24-1-2-5 图24-1-2-62图24-1-2-5 图24-1-2-6A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm6.如图 24-1-2-9 ，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点 A 、 B 、C.3.⊙O 半径为 10，弦 AB=12 ， CD=16 ，且 AB ∥CD.求 AB 与 CD 之间的距离 .4. 如图 24-1-2-7 所示，秋千链子的长度为 3 m ，静止时的秋千踏板 (大小忽略不计 )距地面 0.5 m. 秋千向两边 摆动时，若最大摆角 (摆角指秋千链子与铅垂线的夹角 )约为 60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图 24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞 ”，我省利用国债资金修建的， 横跨南渡江的琼州大桥如图 24-1-2-8(1)已于今年 5月 12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图22 米，如图 (2), 那么这个圆拱所在圆的直径为 __24-1-2-8(1). 最高 的圆拱的跨度为 110 米，拱高为___ 米.图 24-1-2-8(1) 用尺规作图法，找出弧BAC 所在圆的圆心O；( 保留作图痕迹，不写作法(2)设△ ABC 为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm ，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n<R<m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.4．(开放题) AB 是⊙O 的直径，AC、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16 ，AC=8 ，AD=8 ，求∠ DAC 的度数．.4. 如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长图24-1-2-2 图24 -1-2-3参考答案一、课前预习（5 分钟训练）1. __________________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-1 ，AB 是⊙ O的弦，CD是⊙ O的直径，CD ⊥ AB ，垂足为E，则可推出的相等关系是___________思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD 、AE=BE 、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2. _________________________________________________________________________ 圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为____________________________________ .思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：4 3 cm3. 判断正误.（1）直径是圆的对称轴; （2）平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4. ___________________________________________________________________________ 圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B、C,那么弦BC 的长等于_ __________________________________ .思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△ BCO 是等边三角形.答案:6二、课中强化（10 分钟训练）1. _________________________________________ 圆是轴对称图形，它的对称轴是.思路解析：根据圆的轴对称性回答. 答案：直径所在的直线2. ________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-2，在⊙ O中，直径MN垂直于弦AB ，垂足为C，图中相等的线段有 ___________________________ ，相等的劣弧有 ________________ .图24-1-2-2 图24 -1-2-3思路解析：由垂径定理回答 .答案： OM=ON ， AC=BC 弧 AM= 弧 BM3. ____________________________________________________________________________ 在图 24-1-2-3 中，弦 AB 的长为 24 cm ，弦心距 OC=5 cm ，则⊙ O 的半径 R= __________________________________ cm.思路解析：连结 AO ，得 Rt △ AOC ，然后由勾股定理得出 . 答案： 134.如图 24-1-2-4 所示，直径为 10 cm 的圆中，圆心到弦 AB 的距离为 4 cm.求弦 AB 的长 .图 24-1-2-4思路分析：利用 “圆的对称性 ”：垂直于弦的直径平分这条弦 .1由 OM ⊥AB 可得 OM 平分 AB ，即 AM= AB. 连结半径 OA 后可构造 Rt △，利用勾股定理求解2解：连结 OA. ∵OM ⊥AB ， ∴ AM= 1 AB.2∵OA= 1 ×10=5， OM =4，2∴ AM= OA 2OM 2=3.∴ AB=2AM=6(cm).三、课后巩固 (30 分钟训练 )1.如图 24-1-2-5,⊙ O 的半径 OA=3,以点 A 为圆心 ,OA 的长为半径画弧交⊙ O 于 B 、C,则BC 等于( )思路解析：连结 AB 、BO ，由题意知： AB=AO=OB ，所以△ AOB 为等边三角形 .AO 垂直平分 BC, 所以BC=2× 3 3=3 3.2答案： BB.3 332 C.2图 24-1-2-52. 如图24-1-2-6，AB 是⊙ O的弦，半径OC⊥AB 于点D，且AB=8 cm ，OC=5 cm，则OD 的长是( )思路解析：因为AB 是⊙ O的弦，半径OC⊥AB 于点D，且AB=8 cm ，OC=5 cm，连结OA，在Rt△ODA 中，由勾股定理得OD=3 cm.答案：A3. ⊙ O半径为10，弦AB=12 ，CD=16 ，且AB∥CD.求AB 与CD之间的距离. 思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB 与CD 在圆心O的两侧时，如图(1)所示. 作OG⊥AB，垂足为G，延长GO交CD于H，连结OA 、OC.∵AB∥CD，GH⊥AB ，∴GH⊥ CD.∵ OG⊥ AB ，AB=12 ，∴ AG= 1 AB=6.21同理,CH= CD=8.2∴Rt△AOG 中，OG= OA2AG2=8.Rt△COH中，OH= OC2CH2=6.∴ GH=OG ＋OH=14.(2) 当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示.GH=OG - OH=8-6=2.4. 如图24-1-2-7 所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m. 秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-2 图24 -1-2-3思路分析： 设秋千链子的上端固定于 A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点 A 、B 的铅垂线分别为 AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过 B 作BC ⊥AD 于点 C.解直角三角形即可 . 解：设秋千链子的上端固定于 A 处， 秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于 别为 AD 、BE ，点 D 、E 在地面上，过 B 作BC ⊥AD 于点 C.如图.在 Rt △ABC 中，∵ AB=3 ，∠ CAB=60° ，1∴ AC=3× =（ m ）2∴ CD=3+ （ m ） . ∴ BE=CD=2 （ m ）答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为 2 m.日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图 24-1-2-8（1）. 最高 的圆拱的跨度为 110 米，拱高为22 米，如图 （2）, 那么这个圆拱所在圆的直径为 __________ 米.思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便 连结 OC.设圆拱的半径为 R 米，则 OF=（R － 22）（米） .11∵OE ⊥CD ，∴ CF= CD= ×110=55（米） .22根据勾股定理，得 OC 2=CF 2＋ OF 2，即 R 2=552＋（ R － 22） 2. 解这个方程，得 R=（米） .所以这个圆拱所在圆的直径是 ×2=（米） . 答案:6.如图 24-1-2-9 ，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点B 处 .过点 A 、B 的铅垂线分5. “五段彩虹展翅飞 ”，我省利用国债资金修建的， 横跨南渡江的琼州大桥如图 24-1-2-8（1）已于今年 5月12A 、B 、 C.图 24-1-2-8（1）用尺规作图法，找出弧 BAC 所在圆的圆心 O ；（ 保留作图痕迹，不写作法 ）（2）设△ ABC 为等腰三角形，底边 BC=10 cm ，腰 AB=6 cm ，求圆片的半径 R ；（结果保留根号 ） （3）若在（2）题中的 R 满足 n <R <m （m 、n 为正整数 ），试估算 m 和 n 的值.思路分析：（1）作 AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心 O ；（2）已知 BC 和 AB 的长度，所以可以构造直 角三角形利用勾股定理可求得半径R ；（ 3）根据半径的值确定 m 、n 的值 .（1）作法：作 AB 、AC 的垂直平分线，标出圆心 O.12）解 :连结 AO 交 BC 于 E ，再连结 BO.∵AB=AC ，∴ AB=AC. ∴AE ⊥BC.∴BE= BC=5.2在 Rt △ABE 中，AE= AB 2BE 2= 36 25= 11 .∴ 5< R < 6.∵ n <R <m ，∴ m=6， n=5.7.⊙ O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，P 是弦AB 上的一个动点，求 OP 长的取值范围 . 思路分析：求出 OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理 .该题创新点在于把线段 OP 看作是一个变量，在动态中确定 OP 的最大值和最小值 .事实上只需作 OM ⊥AB ，求得 OM 即 可.在 Rt △OBE 中， R 2=52＋（R- 11 ） 2，解得18R=（ cm ）113）解 :∵ 5<18189 =6，11 解：如图，作OM ⊥AB 于M，连结OB，则BM= AB= ×8=4.22在Rt△OMB 中，OM OB2BM2= 5242=3.当P与M 重合时，OP为最短；当P与A（或B）重合时，OP为最长.所以OP的取值范围是3≤OP≤5.。