2412垂直于弦的直径(2)-课件【PPT】

若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O
┌E
D
D
600
C
B
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽 AB = 600mm，求油的最大深度.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
一、判断是非：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这 条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
OD
(1) B
•O
A
Байду номын сангаас
B
(2) D
•O
A
B
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ｃ
Ｅ
Ｏ
Ｄ
Ａ
Ｂ
1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.
（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 （7）平分弦的直径垂直于弦
•O ACB
(4)
B
•O D
C
A
(5)
C
•O A EB
D (6)
填空：
1、如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 _______A_B__⊥__C_D__（__或__A_C__=_A_D__，__或__B_C_=__B_D_）_________________， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件）

（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）

C E A
O
D
B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE

C
A r
D

B O

例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是 弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.

解:连接OC.
设弯路的半径为 Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 CF CD 600 300 (m). 2 2 2 2 2 OC CF OF ,即 根据勾股定理 ,得
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB 的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
2 2
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 1㎝或9㎝ 那么C到AB的距离等于 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
E
B
A
M
B
（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4 米。
C
A
·
O
D
B
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水 面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的 货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？

如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径.
O
C.
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
C D C D 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ A A 理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
C
2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三”
AD＝BC AC＝BD
O O
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE＝BE，
AC＝BC，AD＝BD.
垂径定理 垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧.
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
B 延长AO交BC于点D，连接OB，
2、什么是垂径定理？它的推论是什么？
B
B
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
AO=BO=CO=DO，
1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
O O O 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？ 理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
AE－CE＝BE－DE. 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？ 能初步应用垂径定理进行计算和证明. （安徽·中考）如图，⊙O过点B，C. 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
结论吗？ 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？

（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
只要具备上述五个条件中任两个,就可以推出其余三个14.
练习 1.如图所示:
C
A M└
B
(1)若CD⊥AB, CD是直径,
●O
则 AM=BM 、A⌒D=B⌒D
⌒⌒ 、 AC=BC
.
(2)若AM=MB, CD是直径,
D
则 CD⊥AB 、 A⌒D=B⌒D 、A⌒C=B⌒C .
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
E
BA
D
CD过圆心 CD⊥AB于E
A
O
D
B
D
B
O
A
C
C
AE=BE
AC= BC AD= BD
O
C
B
17
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦， CD⊥AB于E，则下列结论中不成C 立的是（ ）
A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE
⌒⌒
D、BD=BC
A
C
D
C
·O
AE D
知二推三
∵ CD是直径， CD⊥AB ∴ AE=BE,A⌒C ⌒ A⌒D ⌒ =BC, =BD.
• 老师提示:
B • 垂径定理是圆中一个重要的定理
,三种语言要相互转化,形成整体,
才能运用自如.
9
问题 & 探究3 问题：把垂径定理中的题设垂直于弦的 直径换为平分弦的直径。你会得到什么结论？
• 学习难点：垂径定理及其推论。
3
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？