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2412垂直于弦的直径精品PPT课件 (2)

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垂直于弦的直径课件(共21张PPT)

垂直于弦的直径课件(共21张PPT)

C E A
O
D
B
三 垂径定理的有关计算 例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据 勾股定理，得 x2=42+(x-2)2， 解得 x=5， 即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入 中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C， 则D是AB的中点，C是弧AB的 中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结： 一条直线只需满足： （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述条件中的任意两个条件，就能推 出其它三个.
五 学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今 约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它 的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果 保留小数点后一位).
一 三 垂径定理的有关计算 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的 半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则 半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE

人教版数学九级上册 2412垂直于弦的直径(共21张PPT)

人教版数学九级上册 2412垂直于弦的直径(共21张PPT)
如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径.
O
C.
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
C D C D 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ A A 理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
C
2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三”
AD＝BC AC＝BD
O O
【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE＝BE，
AC＝BC，AD＝BD.
垂径定理 垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧.
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
B 延长AO交BC于点D，连接OB，
2、什么是垂径定理？它的推论是什么？
B
B
（绍兴·中考）已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是( )
AO=BO=CO=DO，
1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
O O O 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？ 理解圆的轴对称性及垂径定理及其它的推证过程；
AE－CE＝BE－DE. 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现了什么？你得到什么结论？你会证明你的结论吗？ 能初步应用垂径定理进行计算和证明. （安徽·中考）如图，⊙O过点B，C. 能初步应用垂径定理进行计算和证明.
结论吗？ 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？

课件《垂直于弦的直径》优质PPT课件_人教版2

课件《垂直于弦的直径》优质PPT课件_人教版2

B
O·
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.
2m,求桥拱的半径(精确到0. 做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况. 2m,求桥拱的半径(精确到0.
A
C
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为B M, M
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
5．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形．
8cm
小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；
做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
O
E
AB
O
E
A
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E

24.1.2《垂直于弦的直径》ppt课件

24.1.2《垂直于弦的直径》ppt课件

1
1.在直径是20cm的⊙O中，AB的度数是
⌒
60°，那么弦AB的弦心距是 5 3cm 。
O D A B
2.弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，
13 cm 则这弓形所在的圆的半径为 4
C A D O B
.
小结:
通过本节课的学习，你掌握了哪些 知识？ 本节课学习的数学知识是圆的轴对 称性和垂径定理及其推论。
AB
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中 ⌒ 的中点，CD 就是拱高． 点，C是AB
在图中 AB=37.4，CD=7.2， 1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2
A R O
AB=37.4m CD=7.2m
OE AB
1 1 AE AB 8 4 2 2 在 Rt △AOE中
A
E
B
O
ห้องสมุดไป่ตู้
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
B
图１
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论。
解决求赵州桥拱半径的问题 ⌒表示主桥拱，设AB ⌒ 所在圆的圆心为O， 如图，用AB
证明： OE AC OD AB AB AC

人教版数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径.ppt(共21张PPT)

人教版数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径.ppt(共21张PPT)
通过本课时的学习，需要我们： 1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明. 2．掌握垂径定理的推论,明确理解“知二推三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.
六、家庭作业
• 1、必做 • 2、选作
p89页 2题 90页 9题 p89页 1题
• 学习难点：垂径定理及其推论。
自学指导
• 认真看书81-83页，独立完成以下问题，看 谁做得又对又快？
• 1、结合81探究，同学们动手操作，你发现 了什么？你得到什么结论？你会证明你的 结论吗？
• 2、什么是垂径定理？它的推论是什么？ • 3、你知道解例2的每步依据吗？
一、 情境导入
问题：你知道赵州桥吗？它是1 300多年前我国隋代 建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶， 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
AD＝BC AC【证明猜想】
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足
为E.求证：AE＝BE， AC＝BC，AD＝BD.
A
垂径定理 垂直于弦的直径平
分弦，并且平分弦所对的两条 C
O
ED
弧.
B
【定理辨析】
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C
DC
DC
【跟踪训练】 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5， 求⊙O的半径.
【解析】提示作OM 垂直
B
MA
P
于PB ，连接OA.
O
答案： 1 7
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条

2412垂直于弦的直径(第一课时)精品PPT课件

2412垂直于弦的直径(第一课时)精品PPT课件

2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O
到AB的距离是A____2_______cm，AB=___4______cm.
C
D
E
。
O
B 第1题图
。
O
A
H
B
第2题图
巩固练习：
3、半径为4 cm的⊙O中，弦AB=4 cm,
O
那么圆心O 到弦AB 的距离是 2 3cm.
A EB
4、⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的 距离OE=3 cm，则弦AB的长是 8cm .
O A EB
提高练习：
5、如图，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴 交于C，D两点，若M(2,0)，B(5,0)，
则C点的坐标是 y (0, 5.)
C
AOM
Bx
D
6、如图， ⊙ O的半径OC＝10㎝, DC＝2㎝，直 径CE⊥AB于D， 求弦AB的长.
E
O
D
A
B
C
小结
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
C
·O
E B
问题：此定理的条件和结论分别是什么？
题设
结论
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
(1)过圆心 (2)垂直于弦
讨论
(3)平分弦 (4)平分弦所对优弧 (5)平分弦所对的劣弧
思考：

2412垂直于弦的直径2 ppt课件

2412垂直于弦的直径2 ppt课件

∵ CD是直径， AE=BE
∴ CD⊥ABA,⌒C ⌒ A⌒D ⌒
B
=BC, =BD.
5
垂径定理的本质是
满足其中任两条，必 定同时满足另三条
（1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧 （5）这条直线平分弦所对的劣弧
2020/12/2
6
1、两条辅助线：
O
D
A
B
2020/12/2
C
8
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A 圆心到弦的距离d、弦长a中， 任意知道两个量，可根据
B
定理D求出第三个量：
2020/12/2
9
2.如图，CD为圆O的直径，弦
A
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
F
D
E C
O
B
3.如图，AB是⊙O的弦，∠OCA=300，OB=5cm，
OC=8cm，则AB=
；
O
45
┌
A
D
8
30°
B
C
2020/12/2
10
巩固训练
一弓形弦长为4 6 cm，弓形所在的圆的半径为 7cm，则弓形的高为＿＿＿＿.
C
C
A
D
B
O
O
202图，点A、B是⊙O上两点，AB=8, 点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）, 连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”

人教版九级数学上册教学课件 2412 垂直于弦的 直径 ——垂径定理及其推论(共36张PPT)

人教版九级数学上册教学课件 2412 垂直于弦的 直径 ——垂径定理及其推论(共36张PPT)
解得r =272.5m. 因此，这段弯路的半径为272.5m.
8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB, 则AE=BE，CE=DE， ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
综合应用
9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另 一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦 和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平 分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
推进新课
知识点1 圆的轴对称性
回顾
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
等腰三角形
圆
归纳
用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径所在的直 线对折, 重复做几次, 你发现了什么? 由此你能得到什 么结论?
称图形呢？ 则AE=BE，CE=DE，
如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
C 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.
完成练习册本课时的习题.
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半

九年级数学上册 2412 垂直于弦的直径 人教新课标版2PPT课件

九年级数学上册 2412 垂直于弦的直径 人教新课标版2PPT课件

则CD=
4cm15
C
8
E
A
O2
M
B
4 D
26
活动四：顺利闯二关
• 1、（1）⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD, AB=6 cm, CD=8 cm,
①请画出图形
②是根据7cm图或1形cm。，求出AB与CD之间的距离
(2)你能直接写出此题的答案么：
⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD, AB=6 cm,
弧。
O
• 即：如果CD过圆心，且垂直 A
于AB，则AE=BE，弧AD=弧
BD，弧AC=弧BC
E
B
D
• 注意:过圆心和垂直于弦两个
条件缺一不可。
13
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O
A
E
B
D
D
B
O A
O
E
BA
O EB D
是
不是 是
不是
14
垂径定理的几个基本图形。
C
A
D
B
O
A
O
A
E
B
D
B
O
若OA=10cm,OE=6cm,
求弦AB的长。即右图中的OE叫弦心距.
O
若圆心到弦的距离用d表 示，半径用r表示，弦长
A
E
B
用a表示，这三者之间有 若下面的弓形高为h，
怎样的关系？
r2 d2
a
2
2
则r、d、h之间有怎样 的关系? r=d+h
17
Ramming foundation
变式1：AC、BD有什么关系？
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（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对优弧 （（4） （5）
（2） （3）
（1） （4） （5）
（1） （4）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
必平分此弦所对的弧
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
求证：AC＝BD。
O.
A
E C
DB
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
⌒AC＝⌒BC，A⌒D＝B⌒D。
C
●O A M┐ B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
C
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
●O A M┐ B
D
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AM=BM,
⌒⌒
AC =BC,
A⌒D=B⌒D.
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论
例1 ：如图，已知在⊙O
中，弦AB的长为8厘米，
A
圆心O到AB的距离为3厘米，
求⊙O的半径。
E
∟
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
例2：已知：如图，在 以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点。
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所 在直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴．
看一看
C
C
.O
A E B D
AE≠BE
.O
A
E
B
D
AE＝BE
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为M。 求证：AM＝BM，