2412垂直于弦的直径精选练习题及答案

24．1.2 垂直于弦的直径1．下列命题错误的是( B )A ．平分弧的直径平分这条弧所对的弦B ．平分弦的弦垂直于这条弦C ．垂直于弦的直径平分这条弦D ．弦的中垂线经过圆心2．如图24－1－13，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ，若CD ＝8，OP ＝3，则⊙O 的半径为( C )图24－1－13A ．10B ．8C ．5D ．33．如图24－1－14，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不成立的是( D )图24－1－14 A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MD【解析】∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，∴M 为CD 的中点，即CM ＝DM ，选项A 成立；B 为CD ︵的中点，即CB ︵＝DB ︵，选项B 成立；在△ACM 和△ADM 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AM ，∠AMC ＝∠AMD ＝90°，CM ＝DM ，∴△ACM ≌△ADM (SAS)，∴∠ACD ＝∠ADC ，选项C 成立；而OM 与MD 不一定相等，选项D 不成立． －1－15，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C .若AB ＝23，OC ＝1，则半径OB 的长为__2__．15【解析】 ∵AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，AB ＝23，∴BC ＝12AB ＝ 3.∵OC ＝1，∴在Rt △OBC 中，OB ＝OC 2＋BC 2＝12＋（3）2＝2.5．如图24－1－16，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点M ，AM ＝18，BM ＝8，则CD 的长为__24__．【解析】 如图，连接OD ，∵AM ＝18，BM ＝8，∴OD ＝AM ＋BM 2＝18＋82＝13，∴OM ＝13－8＝5. 在Rt △ODM 中，DM ＝OD 2－OM 2＝132－52＝12，∵直径AB 丄弦CD ，∴CD ＝2DM ＝2×12＝24.第56．如图24－1－17，在半径为13的⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点D ，交⊙O 于点C ，AB ＝24，则．图24－17第6题答图【解析】 如图，连接OA ，∵OC ⊥AB ，AB ＝24，∴AD ＝12AB ＝12. 在Rt △AOD 中，∵OA ＝13，AD ＝12，∴OD ＝OA 2－AD 2＝132－122＝5，∴CD ＝OC －OD ＝13－5＝8.7．如图24－1－18，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点(不与A ，B 重合)，过点O ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为__4__.【解析】 ∵OC ⊥AP ，OD ⊥PB ，∴由垂径定理得AC ＝PC ，PD ＝BD ，∴CD 是△APB 的中位线，∴CD ＝12AB ＝12×8＝4. 8．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠顶端离零件，如图24－1－19所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为__8__mm.第8题答图【解析】如图，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.∵钢珠的直径是10 mm，∴钢珠的半径是5 mm.∵钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，∴OD＝3 mm.在Rt△AOD中，∵AD＝OA2－OD2＝52－32＝4(mm)，∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)．9．如图24－1－20所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C，D是AB上的两点，并且AC＝BD.求证：OC＝OD.图24－1－20第9题答图证明：如图，过O作OE⊥AB于E，则AE＝BE，又∵AC＝BD，∴CE＝DE，∴OE是CD的中垂线，∴OC＝OD.10．绍兴是著名的桥乡，如图24－1－21，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC 为5 m，则水面宽AB为(D)图24－1－21A．4 m B．5 mC．6 m D．8 m11．如图24－1－22，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为(B)图24－1－22A．2 B．3C．4 D．5【解析】连接OD.∵直径AB⊥CD于H，∴DH＝12CD＝12×22＝ 2.在Rt△BDH中，BH＝BD2－DH2＝（3）2－（2）2＝1.设⊙O的半径为R，则在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2，∴(R －1)2＋(2)2＝R 2，∴2R ＝3，故选B.12．[2013·吉林]如图24－1－23，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，连接OA ，OB .点P 是半径OB 上任意一点，连接AP .若OA ＝5 cm ，OC ＝3 cm ，则AP 的长度可能是__答案不唯一，5≤AP ≤8__cm(写出一个符合条件的数值即可)．图24－1－2313．如图24－1－24，两个圆都以点O 为圆心．求证：AC ＝BD .图24－1－24第13题答图证明：过点O 作OE ⊥AB 于E ，在小⊙O 中，∵OE ⊥AB ，∴EC ＝ED ，在大⊙O 中，∵OE ⊥AB ，∴EA ＝EB ，∴AC ＝BD .14．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为了更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，图24－1－25是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16 cm ，水面最深地方的高度为4 cm ，求这个圆形截面的半径．图24－1－25第14题答图解：(1)作出图形，如图所示；(2)如图，过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ，连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴BD ＝12AB ＝12×16＝8(cm)． 由题意可知CD ＝4 cm.设这个圆形截面的半径为x cm，则OD＝(x－4)cm.在Rt△BOD中，由勾股定理得OD2＋BD2＝OB2，即(x－4)2＋82＝x2，解得x＝10，∴这个圆形截面的半径为10 cm.15．如图24－1－26，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A，B和C，D，连接OA，此时有OA∥PE.(1)求证：AP＝AO；(2)若弦AB＝102，求点O到直线PF的距离；(3)若以图中已标明的点(即P，A，B，C，D，O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为第15题答图解：(1)∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠BPO.∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO.(2)如图，过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝HB，∵AB＝102，∴AH＝52∵OA＝10，∴OH＝OA2－AH2＝102－（52）2＝5 2.(3)P，A，O，C A，B，D，C或P，A，O，D或P，C，O，B。

前言：
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基础导练
1.半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）
A．3 B．4 C．5 D．
7
2.如图，AB为圆O的弦，圆O的半径为5，OC⊥AB于点D，交圆
O于点C，
且CD=2，则AB的长是 .
能力提升
3.绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）
A.4m
B.5m
C.6m
D.8m
4.已知⊙O的半径为5cm，AB和CD是⊙O的弦，AB//CD, AB=6cm，CD=8cm，求AB与CD之间的距离是多少？
1。

人教版九年级数学上册第24章 24.1.2垂直于弦的直径 同步练习题一、选择题1．下列说法中，不正确的是(D)A ．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合C ．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D ．圆的每一条直径都是它的对称轴2．下列说法正确的是(D)A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C ．过弦的中点的直径垂直于弦D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的是(D)A ．CM ＝DM B.CB ︵＝DB ︵C ．∠ACD ＝∠ADC D ．OM ＝MB4．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则OE ＝(C)A ．4 cmB ．5 cmC ．3 cmD ．2 cm5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是(B)A.7 B．27 C．6 D．86．如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于(D)A．8 B．10 C．12 D．167．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D.现测得AB＝8 dm，DC＝2 dm，则圆形标志牌的半径为(B)A．6 dm B．5 dm C．4 dm D．3 dm8．已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB 与CD的距离为(D)A．1 B．7 C．4或3 D．7或1二、填空题9.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5．10.如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那四边形OEAD的周长为14cm．11．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝23，则⊙O 的半径是2．13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺(1尺＝10寸)，则该圆材的直径为26寸．14.如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为1 2．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为(2，6)．三、解答题16．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，则圆拱形门所在圆的半径是多少米？解：连接OA.∵CD⊥AB，且CD过圆心O，∴AD＝12AB＝1米，∠CDA＝90°.设⊙O的半径为R，则OA＝OC＝R，OD＝5－R.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.故圆拱形门所在圆的半径为2.6米．17．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.又∵AB∥CD，∴OF⊥CD.①当AB，CD在点O两侧时，如图1.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 cm，即AB与CD之间的距离为22 cm；图1 图2②当AB，CD在点O同侧时，如图2.连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝AO2－AE2＝15 cm，OF＝CO2－CF2＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 cm，即AB与CD之间的距离为8 cm.综上所述，AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.。

24.1.2垂直于弦的直径一、单选题 1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）A ．4√3B ．6√3C ．2√3D ．82．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，连接AB ，用尺规按①到③的步骤操作，下列结论正确的有（ ）①在⊙O 上任取一点C （不与A ，B 重合），连接AC ；②作AB 的垂线平分线交⊙O 于点M ，N ；③作AC 的垂直平分线交⊙O 于点E ，F结论Ⅰ：直线MN 与直线EF 的交点一定与点O 重合；结论Ⅱ：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论Ⅲ：⊙O 上存在唯一的点C ，使得MF⌢=2AE ⌢A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．√41cm4．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若∠A =30°，AC =2，则CD 的长是（ ）5．如图，在⊙O中，AE是直径，连接BE，若AB=8，OC⊥AB于点D，CD=2，则BE 的长是（）A．5B．6C．7D．86．下列命题：①对角线垂直且相等的四边形是正方形；②垂直弦的直径平分这条弦；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④各边相等的多边形是正多边形；⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．其中真命题有（）个．A．1B．2C．3D．47．如图是一个圆柱形输水管横截面的示意图，阴影部分为有水部分，如果水面AB的宽为8cm，水面最深的地方高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm8．在半径为5cm的⊙O中，若弦AB与弦CD平行，且AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD 之间的距离为（）A．1cm B．7cm C．8cm D．1cm或7cm9．若⊙O的半径为10 cm，且两平行弦AC，BD的长分别为12 cm，16 cm，则两弦间的距离是()A．2 cm B．14 cm C．2 cm或14 cm D．6 cm或8 cm 10．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4√3，F是线段AC上一点，过点A的⊙F交AB于点D，E是线段BC上一点，且ED=EB，则EF的最小值为（）A．3√3B．2√3C．√3D．2二、填空题11．如图，AB，BC是⊙O的弦，∠B=60°，点O在∠B内，点D为AC⌢上的动点，点M，N，P别是AD，DC，CB的中点，若⊙O的半径为2，则PN+MN的长度的最大值是 .12．如图所示是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的直径为．13．一个圆柱体容器内装入一些水，截面如图所示，若⊙O中的直径为52cm，水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为cm．14．如图，已知⊙O的半径为5，点P是弦AB上的一动点，且弦AB的长为8．则OP 的取值范围为．15．如图4，点P在半径为3的⊙O内，OP=√3，点A为⊙O上一动点，弦AB过点P，则AB最长为，AB最短为．三、解答题16．凰仪桥始建于嘉泰以前，是绍兴市区的一座古桥，此桥可以看成是一种特殊的圆拱桥，已知此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长）为18.2m，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为6.2m．求此桥拱圆弧的半径（精确到0.1m）17．如图，在平行四边行ABCD中，AB=5，BC=8，BC边上的高AH=3，点P是边BC 上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F（点E在点F的左侧）．（1）当⊙C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP//CE时，求⊙C的半径及弦EF的长．18．在直径为1米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=0.8米，求油的最大深度．19．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD=52∘，求∠DEB的度数；(2)若OC=3，BC=3√3，求弧AB^的长．20．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．(1)证明：∠BCO=∠ACD；(2)若AE=2，BE=8，求弦CD的长．⌢的中点，在直径CD 21．如图：已知⊙O的直径CD为2，AC⌢的度数为60°，点B是AC上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为多少？。

课后巩固1．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是（ ）A．3B．6C．4D．8【分析】先根据垂径定理求出AM=AB，再根据勾股定理求出AD的值．【解答】解：连接OA，∵⊙O的直径为10，∴OA=5，∵圆心O到弦AB的距离OM的长为4，由垂径定理知，点M是AB的中点，AM=AB，由勾股定理可得，AM=3，所以AB=6．故选B．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，解题的关键是正确的构造直角三角形．2．CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，若CM=12，DM=8，则AB等于（ ）A．4B．8C．8D．4【分析】根据题意画出图形，先由CM=12，DM=8求出⊙O的半径及OM的长，再由垂径定理得出AB=2AM，在Rt△AOM内利用勾股定理求出AM的长，进而可得出AB的长．【解答】解：如图所示：∵CM=12，DM=8，∴OA=OD=（CM+DM）=×20=10，∴OM=OD﹣DM=10﹣8=2，∵弦AB⊥CD于M，∴AB=2AM，在Rt△AOM中，∵AM2=OA2﹣OM2，即AM2=102﹣22，解得AM=4，∴AB=2AM=8．故选C．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，利用勾股定理求解是解答此题的关键．3．如图，BC为⊙O直径，交弦AD于点E，若B点为中点，则说法错误的是（ ）A．AD⊥BC B．=C．AE=DE D．OE=BE【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵BC为⊙O直径，交弦AD于点E，B点为中点∴AD⊥BC，故A选项正确；∵BC为⊙O直径，B点为中点，∴=，AE=DE，故B、C选项正确，D选项错误．故选D．【点评】本题考查的是垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．4．已知如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上一个动点，则OP长的取值范围为（ ）A．OP＜5B．8＜OP＜10C．3＜OP＜5D．3≤OP≤5【分析】首先明确OP最长时，应该与A或B重合，OP最短时，应该是OP⊥AB时，然后根据垂径定理即可求出．【解答】解：OP最长时，应该与A或B重合，此时OP=5；OP最短时，应该是OP⊥AB时，此时OP==3．故选D．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BAC等于（ ）A．15°B．20°C．30°D．45°【分析】连接OC，在直角△OCE中，即可求得∠COE的度数，根据等腰三角形的性质，即可求解．【解答】解：连接OC，∵OE=OB=OC，∴∠OCD=30°，∴∠COB=60°，∵OA=OC，∴∠BAC=30°．故选C．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确解直角三角形，求得∠COE的度数是关键．6．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，则“图上”太阳升起的速度为（ ）A．0.4厘米/分B．0.6厘米/分C．1.0厘米/分D．1.6厘米/分【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【解答】解：过⊙O的圆心O作CD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，∴AC=AB=×16=8（厘米），在Rt△AOC中，OC===6（厘米），∴CD=OC+OD=16（厘米），∵从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，∴16÷10=1.6（厘米/分）．∴“图上”太阳升起的速度为1.6厘米/分．故选D．【点评】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．7．已知⊙O的半径是5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD的距离是（ ）A．1 cm B．7 cm C．1 cm或7 cm D．无法判断【分析】根据题意画出符合条件的两种情况，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，根据垂径定理求出AE、CF、根据勾股定理求出OE、OF，结合图形求出EF即可．【解答】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴由垂径定理得：AE=AB=3cm，CF=CD=4cm，在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE===4（cm）同理求出OF=3cm，EF=4cm﹣3cm=1cm；②当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE=4cm，OF=3cm，则EF=4cm+3cm=7cm；即AB与CD的距离是1cm或7cm，故选C．【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理得应用，关键是能正确求出符合条件的两种情况，题目比较典型，是一道比较好的题目．二．填空题（共7小题）　8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为　5　．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，熟练掌握并应用定理是解题的关键．9．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=　5　cm．【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R﹣2）2，计算求出R即可．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD=AB=4cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，∴R2=42+（R﹣2）2，解得R=5∴OC=5cm．故答案为5．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．10．如图，⊙O的半径为2，弦AB=，点C在弦AB上，AC=AB，则OC的长为　　．【分析】过O作OD⊥AB于D，根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：过O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过O，AB=，∴AD=BD=AB=，∵AB=，点C在弦AB上，AC=AB，∴AC=，CD=AD﹣AC=，在Rt△OBD中，由勾股定理得：OD==1，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OC===，故答案为：．【点评】本题考查了初级定理和勾股定理的应用，关键是构造直角三角形，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．11．如图，⊙O的半径为5，弦BC=8，点A在⊙O上，AO⊥BC，垂足为D、E为BC延长线上一点，AE=10，则CE的长为　2　．【分析】连接OC，根据垂径定理得到BD=DC=BC=4，根据勾股定理求出OD，根据勾股定理求出DE，计算即可．【解答】解：连接OC，∵AO⊥BC，∴BD=DC=BC=4，∴OD==3，则AD=AO+OD=8，∴DE==6，∴CE=DE﹣DC=2，故答案为：2．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．三．解答题（共8小题）12．如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l，求⊙O的半径．【分析】根据垂径定理得到直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理计算出半径的长．【解答】解：如图：连接OA，由OC⊥AB于D，得：AD=DB=AB=4．设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2∴r2=（r﹣1）2+42整理得：2r=17∴r=．所以圆的半径是．【点评】本题考查的是垂径定理，根据垂径定理求出AD的长，连接OA，得到直角三角形，然后在直角三角形中计算出半径的长．13．如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径．【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接OB，设OB=OA=R，则OE=16﹣R，∵AD⊥BC，BC=16，∴∠OEB=90°，BE=BC=8，由勾股定理得：OB2=OE2+BE2，R2=（16﹣R）2+82，解得：R=10，即⊙O的直径为20．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，能根据垂径定理求出BE的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦．14．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【分析】过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD=2DF即可求出CD的长．【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．15．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB 和CD间的距离．【分析】过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．【解答】解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=30cm，CD=16cm，∴AE=AB=×16=8cm，CF=CD=×12=6cm，在Rt△AOE中，OE===6cm，在Rt△OCF中，OF===8cm，∴EF=OF﹣OE=8﹣6=2cm．答：AB和CD的距离为2cm．【点评】本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2，解得，r=34；（2）连结OA′，∵OE=OP﹣PE=30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302，解得：A′E=16．∴A′B′=32．∵A′B′=32＞30，∴不需要采取紧急措施．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．课堂测试一．选择题（共2小题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，AE=2，则弦CD的长是（ ）A．4B．6C．8D．10【分析】连接OC，根据题意得出OC=5，再由垂径定理知，点E是CD的中点，CE=CD，在直角△OCE 中，由勾股定理得出CE，从而得出CD的长．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∵AE=2，AB=10，∴OC=5，OE=3，∴CE=4，∴CD=8，【点评】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理的内容是解题的关键．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥AC交BC于点E．若BC=8，ED=2，则AC的长为（ ）A．5B．5.5C．6D．6.5【分析】根据垂径定理得出OB，进而利用比例关系解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，∵OD∥AC，∴OD⊥BC，∵BC=8，ED=2，∴OB2=BE2+OE2，即OB2=42+（OB﹣2）2，解得：OB=5，∴，即，解得；AC=6，【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出OB ．二．填空题（共2小题）3．已知⊙O 的弦AB=8cm ，圆心O 到弦AB 的距离为3cm ，则⊙O 的直径为　10　cm ．【分析】连结OA ，先根据垂径定理得到AC=4，然后根据勾股定理计算出OA ，从而得到圆的直径．【解答】解：连结OA ，∵OC ⊥AB ，∴AC=BC=AB=×8=4，在Rt △AOC 中，OC=3，OA==5，∴⊙O 的直径为10cm ．故答案为10．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4．如图，⊙O 的半径为5，弦AB=8，动点M 在弦AB 上运动（可运动至A 和B ），设OM=x ，则x 的取值范围是　3≤x≤5　．【分析】当M与A或B重合时，OM最长，当OM垂直于AB时，OM最短，即可求出x的范围．【解答】解：当M与A（B）重合时，OM=x=5；当OM垂直于AB时，可得出M为AB的中点，连接OA，在Rt△AOM中，OA=5，AM=AB=4，根据勾股定理得：OM=x==3，则x的范围为3≤x≤5．故答案为：3≤x≤5【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．三．解答题（共1小题）5．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，联结AO并延长交⊙O于点E，联结EC．已知AB=8，CD=2．（1）求OA的长度；（2）求CE的长度．【分析】（1）根据垂径定理得出AC=BC=AB，根据勾股定理得出方程，求出即可；（2）连接BE，求出OC∥BE且OC=BE，求出BE的长度，根据勾股定理求出CE的长度即可．【解答】（1）解：∵在⊙O中，OD⊥弦AB，∴AC=BC==4，设OA为x，则OD=OA=x，∵CD=2，∴OC=x﹣2在Rt△ACO中，AC2+OC2=AO2∴42+（x﹣2）2=x2，解得x=5，∴OA=5；（2）解：连接BE，∵OA=OE，AC=BC，∴OC∥BE且OC=，∴∠EBA=∠OCA=90°，∵OC=OD﹣CD=5﹣2=3，∴BE=6，在Rt△ECB中，BC2+EB2=EC2∴42+62=EC2，∴CE=2．【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形中位线的应用，用了方程思想，题目比较典型，难度适中．。

、课前预习(5 分钟训练)1. __________________________________________________________________________________________如图24-1-2-1 ，AB 是⊙ O的弦，CD是⊙ O的直径，CD ⊥ AB ，垂足为E，则可推出的相等关系是___________图24-1-2-1 图24-1-2-2 图24 -1-2-32. __________________________________________________________________________ 圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为____________________________________ .3. 判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2) 平分弦的直径垂直于弦.4. __________________________________________________________________________ 圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B、C,那么弦BC 的长等于________________________________ .二、课中强化(10 分钟训练)1. _________________________________________ 圆是轴对称图形，它的对称轴是.2. ________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-2，在⊙ O中，直径MN 垂直于弦AB ，垂足为C，图中相等的线段有 ___________________________ ，相等的劣弧有 ________________ .3. ____________________________________________________________________________ 在图24-1-2-3 中，弦AB 的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙ O的半径R= ___________________________________ cm.三、课后巩固(30 分钟训练)1. 如图24-1-2-5,⊙ O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙ O于B、C,则BC等于( )33 D.垂直于弦的直径4.如图24-1-2-4 所示，直径为10 cm 的圆中，圆心到弦B.3 3C.3 2AB 的距离为图24-1-2-5 图24-1-2-62图24-1-2-5 图24-1-2-6A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm6.如图 24-1-2-9 ，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点 A 、 B 、C.3.⊙O 半径为 10，弦 AB=12 ， CD=16 ，且 AB ∥CD.求 AB 与 CD 之间的距离 .4. 如图 24-1-2-7 所示，秋千链子的长度为 3 m ，静止时的秋千踏板 (大小忽略不计 )距地面 0.5 m. 秋千向两边 摆动时，若最大摆角 (摆角指秋千链子与铅垂线的夹角 )约为 60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图 24-1-2-75. “五段彩虹展翅飞 ”，我省利用国债资金修建的， 横跨南渡江的琼州大桥如图 24-1-2-8(1)已于今年 5月 12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图22 米，如图 (2), 那么这个圆拱所在圆的直径为 __24-1-2-8(1). 最高 的圆拱的跨度为 110 米，拱高为___ 米.图 24-1-2-8(1) 用尺规作图法，找出弧BAC 所在圆的圆心O；( 保留作图痕迹，不写作法(2)设△ ABC 为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm ，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n<R<m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.4．(开放题) AB 是⊙O 的直径，AC、AD 是⊙O 的两弦，已知AB=16 ，AC=8 ，AD=8 ，求∠ DAC 的度数．.4. 如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长图24-1-2-2 图24 -1-2-3参考答案一、课前预习（5 分钟训练）1. __________________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-1 ，AB 是⊙ O的弦，CD是⊙ O的直径，CD ⊥ AB ，垂足为E，则可推出的相等关系是___________思路解析：根据垂径定理可得.答案：OC=OD 、AE=BE 、弧AC=弧BC、弧AD=弧BD2. _________________________________________________________________________ 圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm 和4 cm 两部分，则这条弦弦长为____________________________________ .思路解析：根据垂径定理和勾股定理计算.答案：4 3 cm3. 判断正误.（1）直径是圆的对称轴; （2）平分弦的直径垂直于弦.思路解析：（1）圆的对称轴是直线，而不是线段；（2）这里的弦是直径，结论就不成立.由于对概念或定理理解不透，造成判断错误.答案：两个命题都错误.4. ___________________________________________________________________________ 圆O 的半径OA=6,OA 的垂直平分线交圆O 于B、C,那么弦BC 的长等于_ __________________________________ .思路解析：由垂径定理及勾股定理可得或可证△ BCO 是等边三角形.答案:6二、课中强化（10 分钟训练）1. _________________________________________ 圆是轴对称图形，它的对称轴是.思路解析：根据圆的轴对称性回答. 答案：直径所在的直线2. ________________________________________________________________________________ 如图24-1-2-2，在⊙ O中，直径MN垂直于弦AB ，垂足为C，图中相等的线段有 ___________________________ ，相等的劣弧有 ________________ .图24-1-2-2 图24 -1-2-3思路解析：由垂径定理回答 .答案： OM=ON ， AC=BC 弧 AM= 弧 BM3. ____________________________________________________________________________ 在图 24-1-2-3 中，弦 AB 的长为 24 cm ，弦心距 OC=5 cm ，则⊙ O 的半径 R= __________________________________ cm.思路解析：连结 AO ，得 Rt △ AOC ，然后由勾股定理得出 . 答案： 134.如图 24-1-2-4 所示，直径为 10 cm 的圆中，圆心到弦 AB 的距离为 4 cm.求弦 AB 的长 .图 24-1-2-4思路分析：利用 “圆的对称性 ”：垂直于弦的直径平分这条弦 .1由 OM ⊥AB 可得 OM 平分 AB ，即 AM= AB. 连结半径 OA 后可构造 Rt △，利用勾股定理求解2解：连结 OA. ∵OM ⊥AB ， ∴ AM= 1 AB.2∵OA= 1 ×10=5， OM =4，2∴ AM= OA 2OM 2=3.∴ AB=2AM=6(cm).三、课后巩固 (30 分钟训练 )1.如图 24-1-2-5,⊙ O 的半径 OA=3,以点 A 为圆心 ,OA 的长为半径画弧交⊙ O 于 B 、C,则BC 等于( )思路解析：连结 AB 、BO ，由题意知： AB=AO=OB ，所以△ AOB 为等边三角形 .AO 垂直平分 BC, 所以BC=2× 3 3=3 3.2答案： BB.3 332 C.2图 24-1-2-52. 如图24-1-2-6，AB 是⊙ O的弦，半径OC⊥AB 于点D，且AB=8 cm ，OC=5 cm，则OD 的长是( )思路解析：因为AB 是⊙ O的弦，半径OC⊥AB 于点D，且AB=8 cm ，OC=5 cm，连结OA，在Rt△ODA 中，由勾股定理得OD=3 cm.答案：A3. ⊙ O半径为10，弦AB=12 ，CD=16 ，且AB∥CD.求AB 与CD之间的距离. 思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.解：(1)当弦AB 与CD 在圆心O的两侧时，如图(1)所示. 作OG⊥AB，垂足为G，延长GO交CD于H，连结OA 、OC.∵AB∥CD，GH⊥AB ，∴GH⊥ CD.∵ OG⊥ AB ，AB=12 ，∴ AG= 1 AB=6.21同理,CH= CD=8.2∴Rt△AOG 中，OG= OA2AG2=8.Rt△COH中，OH= OC2CH2=6.∴ GH=OG ＋OH=14.(2) 当弦AB 与CD 位于圆心O 的同侧时，如图(2)所示.GH=OG - OH=8-6=2.4. 如图24-1-2-7 所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m. 秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？图24-1-2-2 图24 -1-2-3思路分析： 设秋千链子的上端固定于 A 处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B 处.过点 A 、B 的铅垂线分别为 AD 、BE ，点D 、E 在地面上，过 B 作BC ⊥AD 于点 C.解直角三角形即可 . 解：设秋千链子的上端固定于 A 处， 秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于 别为 AD 、BE ，点 D 、E 在地面上，过 B 作BC ⊥AD 于点 C.如图.在 Rt △ABC 中，∵ AB=3 ，∠ CAB=60° ，1∴ AC=3× =（ m ）2∴ CD=3+ （ m ） . ∴ BE=CD=2 （ m ）答：秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为 2 m.日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图 24-1-2-8（1）. 最高 的圆拱的跨度为 110 米，拱高为22 米，如图 （2）, 那么这个圆拱所在圆的直径为 __________ 米.思路解析：本题考查垂径定理的应用，用列方程的方法解决几何问题，会带来许多方便 连结 OC.设圆拱的半径为 R 米，则 OF=（R － 22）（米） .11∵OE ⊥CD ，∴ CF= CD= ×110=55（米） .22根据勾股定理，得 OC 2=CF 2＋ OF 2，即 R 2=552＋（ R － 22） 2. 解这个方程，得 R=（米） .所以这个圆拱所在圆的直径是 ×2=（米） . 答案:6.如图 24-1-2-9 ，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点B 处 .过点 A 、B 的铅垂线分5. “五段彩虹展翅飞 ”，我省利用国债资金修建的， 横跨南渡江的琼州大桥如图 24-1-2-8（1）已于今年 5月12A 、B 、 C.图 24-1-2-8（1）用尺规作图法，找出弧 BAC 所在圆的圆心 O ；（ 保留作图痕迹，不写作法 ）（2）设△ ABC 为等腰三角形，底边 BC=10 cm ，腰 AB=6 cm ，求圆片的半径 R ；（结果保留根号 ） （3）若在（2）题中的 R 满足 n <R <m （m 、n 为正整数 ），试估算 m 和 n 的值.思路分析：（1）作 AB 、AC 的中垂线即得圆片圆心 O ；（2）已知 BC 和 AB 的长度，所以可以构造直 角三角形利用勾股定理可求得半径R ；（ 3）根据半径的值确定 m 、n 的值 .（1）作法：作 AB 、AC 的垂直平分线，标出圆心 O.12）解 :连结 AO 交 BC 于 E ，再连结 BO.∵AB=AC ，∴ AB=AC. ∴AE ⊥BC.∴BE= BC=5.2在 Rt △ABE 中，AE= AB 2BE 2= 36 25= 11 .∴ 5< R < 6.∵ n <R <m ，∴ m=6， n=5.7.⊙ O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，P 是弦AB 上的一个动点，求 OP 长的取值范围 . 思路分析：求出 OP 长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理 .该题创新点在于把线段 OP 看作是一个变量，在动态中确定 OP 的最大值和最小值 .事实上只需作 OM ⊥AB ，求得 OM 即 可.在 Rt △OBE 中， R 2=52＋（R- 11 ） 2，解得18R=（ cm ）113）解 :∵ 5<18189 =6，11 解：如图，作OM ⊥AB 于M，连结OB，则BM= AB= ×8=4.22在Rt△OMB 中，OM OB2BM2= 5242=3.当P与M 重合时，OP为最短；当P与A（或B）重合时，OP为最长.所以OP的取值范围是3≤OP≤5.。

2018-2019学年度人教版数学九年级上册同步练习24.1.2垂直于弦的直径一•选择题（共15小题）1 .下列说法中正确的是（）A. 平分弦的直径一定垂直于弦B. 长度相等的弧是等弧C•平行弦所夹的两条弧相等D.相等的圆心角所对的弦相等2. 如图O的半径为6,直径CD过弦EF的中点G,若/ EOD=60,则弦CF的长等于（）A. 6B. 6 —C. 3 —D. 93. 如图，在。

O中，直径AB丄弦CD,垂足为M，则下列结论一定正确的是（）ABA. AC=CDB. OM=BMC.Z A= . / ACDD.Z A=. / BOD4 .如图，AB是。

O 的直径，AB丄CD于E, AB=10, CD=8,则BE%( )A. 2B. 3C. 4D. 3.55. 如图，在O O中，弦AB的长为16cm,圆心O到AB的距离为6cm,则O O截面圆心O 到水面的距离OC 是（10.《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一B . 10cm C. 8cm D . 20cm6. 在半径为25cm 的。

O 中，弦AB=40cm,则弦AB 所对的弧的中点到 AB 的距 离是（ ）A . 10cmB . 15cmC. 40cm 7.下列说法中正确的个数有（）① 相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径一定垂直于弦；③ 圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴； ④ 直径是弦；⑤ 长度相等的弧是等弧.D . 10cm 或 40cmD . 4个8 .如图，O O 过点B C,圆心O 在等腰Rt A ABC 的内部，/ BAC=90, OA=2 BC=8则O O 的半径为（B . 5C.下 D . 69.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB=1O,水面宽 AB=16,则B . 5 D . 6的半径是（A . 6cm A . 4千多年，其中有这样一个问题：今有圆材埋在壁中，不知大小•以锯锯之，深一寸，锯道长一尺•问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺.如图，已知弦AB=1 尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A. 13 寸B. 6.5 寸C. 26 寸D. 20 寸11•如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A. 10 cmB. 16 cmC. 24 cmD. 26 cm 12 .把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm则球的半径长是（）;I\ /\ /* _* I8 CA. 2 cmB. 2.5 cmC. 3 cmD. 4 cm13.如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m,拱高CD=4m,则圆弧形桥拱所在圆的半径为（）疋—L_____ 卫A D BA. 6 mB. 8 mC. 10 mD. 12 m14.如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块咼为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（)15.圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，今有圆材，埋在壁中,不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？ ”用现代的数学语言表示是： 如图，CD 为O O 的直径，弦 AB 丄CD,垂足为E, CE=1寸，AB=10 寸，求直径CD 的长”依题意，CD 长为( )二.填空题(共10小题)16.如图，在O O 中，半径0C 丄弦AB,垂足为点D ，AB=12, CD=2则O O 半 径的长为 ___________ .17 .如图，AB 是O O 的弦，OC 丄AB 于点C ,且AB > OC,若OC 和AB 是方程x 2 -11x+24=0的两个根，则O O 的半径OA= _______ .19.在平面直角坐标系中，过三点 A (0, 0), B (2, 2), C (4, 0)的圆的圆 心坐标为 _____________ .B . 12cm C. 16cm D . 20cm △ 寸 A .寸 B. 13 寸 C. 25 寸 D. 26 寸 DA . 8cm320.如图，AB是。

人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径(153) 1.如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围是．2.如图,点A，B，C，D在⊙O上,AB是⊙O的直径,BE=CE．(1)请写出四个不同类型的正确结论;(2)若BE=4,AC=6,求DE的长．3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB⌢.(1)用直尺和圆规作出AB⌢所在圆的圆心O(要求保留作图痕迹，不写作法)；(2)若AB⌢的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求AB⌢所在圆的半径．4.某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?5.如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC=BD．6.如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE=OF．求证：AB=CD．7.下列说法正确的是（）A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦C.垂直于直径的弦平分这条直径D.弦的垂直平分线经过圆心8.如图所示，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AM=BM，OM∶OC=3∶5，则AB的长为（）A.8cmB.√91cmC.6cmD.2cm9.如图所示，AB是⊙O的直径，∠BAC=42∘，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是度．10.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D．若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是（）A.6√2B.9−√2C.√7D.25−3√211.已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（）A.17cmB.7cmC.12cmD.17cm或7cm12.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为．13.下列说法中，不正确的是（）A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个D.圆的每一条直径都是它的对称轴14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A.CM=DMB.CB⌢=DB⌢C.∠ACD=∠ADCD.OM=MB15.如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON的长度为（）A.5B.7C.9D.1116.如图，⊙O的直径CD⊥AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.817.如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为．18.如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA=10，水面宽AB=16，则水的深度CD=．19.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130∘，∠BAC=20∘，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．参考答案1.【答案】:3cm≤OP≤5cm【解析】:作直径MN⊥弦AB，交AB于点D．由垂径定理，得AD=DB=12AB=4cm．又⊙O的直径为10cm，连接OA，则OA=5cm．由勾股定理，得OD=√OA2−AD2= 3cm．∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm2(1)【答案】不同类型的正确结论有:BE=12BC,BD=CD,BD=CD,OD⊥BC，△BOD是等腰三角形,△BDE≌△CDE,OB2=OE2+BE2等(2)【答案】∵AB是⊙O的直径,∴OA=OB．∵BE=CE,∴OD⊥BC，OE为△ABC的中位线,∴OE=12AC=12×6=3.在Rt△OBE中,由勾股定理，得OB=√OE2+BE2=√32+42=5,∴OD=OB=5,∴DE=OD−OE=5−3=23(1)【答案】如图①，连接AC,BC，作线段AC,BC的垂直平分线交于点O，点O即为所求．(2)【答案】如图②，连接OA，AB，OC，OC交AB于点D．∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=12AB=40m．设⊙O的半径为rm，则OA=rm，OD=OC−CD=(r−20)m．在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，∴r2=(r−20)2+402，解得r=50.即AB所在圆的半径是50m．4.【答案】:如图，设弧形拱桥AB所在圆的圆心为O，连接OA,OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H．由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA=r米，AB=3.6米．在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即则OD=OC−DC=(r−2.4)米，AD=12r2=3.62+(r−2.4)2，解得r=3.9. 在Rt△OHN中，OH=√ON2−NH2=√3.92−1.52=3.6(米)，所以FN=DH=OH−OD=3.6−(3.9−2.4)=2.1(米)．因为2.1米>2米,所以此货船能顺利通过这座拱桥【解析】:如图，设弧形拱桥AB所在圆的圆心为O，连接OA,OB，作OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，交MN于点H．由垂径定理可知，D为AB的中点．设OA=r米，AB=3.6米．在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即则OD=OC−DC=(r−2.4)米，AD=12r2=3.62+(r−2.4)2，解得r=3.9. 在Rt△OHN中，OH=√ON2−NH2=√3.92−1.52=3.6(米)，所以FN=DH=OH−OD=3.6−(3.9−2.4)=2.1(米)．因为2.1米>2米,所以此货船能顺利通过这座拱桥5.【答案】:过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH=BH，CH=DH，∴AH−CH=BH−DH，即AC=BD【解析】:过点O作OH⊥AB于点H，如图，则AH=BH，CH=DH，∴AH−CH=BH−DH，即AC=BD6.【答案】:∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=BE，CF=DF．在Rt△OBE与Rt△ODF中，{OB=OD,OE=OF∴Rt△OBE≌Rt△ODF(HL)，∴BE=DF，∴2BE=2DF，即AB=CD【解析】:略7.【答案】:D【解析】:A选项中没有说直线过圆心，故得不到这条直线平分弦所对的两条弧；B选项中被平分的弦必须不是直径；C选项中垂直于直径的弦可能平分直径也可能不平分直径；D选项正确．故选D8.【答案】:A【解析】:如图所示，连接OA．∵⊙O的直径CD=10cm，∴⊙O的半径为5cm，即OA=OC=5cm．∵OM∶OC=3∶5，∴OM=3cm．∵AM=BM,∴AB⊥CD．在Rt△AOM中，AM=√52−32=4(cm)，∴AB=2AM=2×4=8(cm)．故选A．9.【答案】:48【解析】:∵AD=CD，∴OD⊥AC，∴∠CDO=90∘，∴∠DOC+∠ACO=90∘.∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=42∘，∴∠DOC=90∘−∠ACO=48∘10.【答案】:C【解析】:如图，过点O作OG⊥AB于点G．根据垂径定理，得AG=BG．设AC=2a，则CB=4a，CG=a，GB=3a．在Rt△OCG中，OC2=OG2+CG2=OG2+a2.①在Rt△OBG 中，OB2=OG2+GB2=OG2+9a2.②又OC=3，OB=5，将其分别代入①②中，解方程得a2=2，OG2=7. 所以圆心O到弦AB的距离为√711.【答案】:D【解析】:①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，则OF⊥CD．∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm．∵OA=OC=13cm，∴OE=5cm，OF=12cm，∴EF=12−5=7(cm)．②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，则OF⊥CD．∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm．∵OA=OC=13cm，∴OE=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17(cm)．∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm12.【答案】:4【解析】:∵OC⊥AP，OD⊥PB，∴AC=PC，PD=BD，∴CD是△ABP的中位线．∵AB=4AB的长为8，∴CD=1213.【答案】:D14.【答案】:D【解析】:∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立．由已知得B为CD⌢的中点，即CB⌢=DB⌢，选项B成立．在△ACM和△ADM中，∵AM=AM，∠AMC=∠AMD=90∘，CM=DM，∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD=∠ADC，选项C成立．而OM与MB不一定相等，选项D不成立．故选 D15.【答案】:A【解析】:因为ON⊥AB，所以AN=12AB=12×24=12，∠ANO=90∘.在Rt△AON中，由勾股定理得ON=√OA2−AN2=√132−122=5.故选A16.【答案】:D【解析】:如图，连接OB.∵CE=2，DE=8，∴CD=CE＋DE=10，则OC=OB=5，∴OE=OC−CE=3.在Rt△OBE中，由勾股定理，得BE=√OB2−OE2=√52−32=4.∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，∴AB=2BE=8.故选D.17.【答案】:√13【解析】:∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，∴AC=BC=3，∠ACO=90∘.在Rt△AOC中，由勾股定理，得OA=√AC2+OC2=√32+22=√1318.【答案】:4【解析】:∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，AB=16，∴AC=12AB=8.∵AO=10，∴在Rt△OAC中，OC=√OA2−AC2=√102−82=6，人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径(153)第 11 页,共11 页 ∴CD =OD −OC =10−6=419.【答案】:2√3 【解析】:如图，作CE ⊥AB 于点E ． ∠B =180∘−∠A −∠ACB =180∘−20∘−130∘=30∘. 在Rt △BCE 中，∵∠CEB =90∘，∠B =30∘，BC =2， ∴CE =12BC =1，BE =√BC 2−CE 2=√3． ∵CE ⊥BD ，∴BD =2EB =2√3．。

2020-2021学年人教版数学九年级上学期《24.1.2 垂直于弦的直径》测试卷一．填空题（共1小题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为二．解答题（共48小题）2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．3．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？4．往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB和油的最大深度都为80cm．（1）求油槽的半径OA；（2）从油槽中放出一部分油，当剩下的油面宽度为60cm时，求油面下降的高度．5．已知：如图⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为H，OG⊥BC，垂足为G，求证：弦AD＝2OG．6．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．7．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB＝8cm，CD＝2cm（1）求⊙O的面积；（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长．8．如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB＝CD＝8．（1）求证：AC＝BD；（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形．9．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．10．如图，已知OC是⊙O半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，P A＝6．求：（1）⊙O的半径；（2）求弦CD的长．11．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．13．如图，AB为圆O的直径，CD为弦，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N．（1）求证：CM＝DN．（2）若AB＝10，CD＝8，求BN﹣AM的值．14．如图，在半径为5的四分之一圆中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝6时，求线段OD的长；（2）连接AB，求DE的长．15．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，求BD的长．16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，AE＝BF，请找出线段OE 与OF的数量关系，并给予证明．17．已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC＝CD＝DB，求证：∠AOC＝∠DOB．18．已知：如图，OA＝OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC＝BD．19．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．20．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AE＝，ON＝1，求⊙O的半径．21．如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O 交△ABC于D、E、F、G．（1）求证：CD＝EF；（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AC于点E，连接CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数；（2）设BC＝a，AC＝b．①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？为什么？②若AD＝EC，求的值．24．如图，⊙O的两条弦AB∥CD（AB不是直径），点E为AB中点，连结EC，ED （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；（2）求证：EC＝ED．25．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝24，求OP的长．26．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．27．如图，某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，污水水面宽度为30cm，污水深度为50cm，则修理人员应准备的新管道内径为多大？28．如图，矩形ABCD的四个顶点在⊙O上，过O作OE⊥AD于F，交⊙O于E点，连AE、DE（1）求证：AE＝DE；（2）若AB＝AE＝2，求⊙O的半径．29．已知⊙O中ABC为等边三角形，点O在AB上，点A在弦CD上；（1）如图（1）连接OD，OC，在BC上取一点M，使MB＝OB，连接OM，求证：OB+BC ＝CD；（2）如图（2），在（1）的条件下，过O作OE⊥AC于E，若CD＝4OB，OE＝2，求⊙O半径．30．如图，在⊙O中，直径AB交弦CD于点E，OF⊥CD，垂足为F，AE＝1，OE＝2，OF ＝1．求ED，EC的长．31．如图，已知⊙O的半径长为4，弦AB垂直平分半径OC，弦DE∥AB，过点B作AD的平行线交直线DE于点F．（1）当点E，F不重合时，试说明△BEF是等腰三角形．（2）填空：当AD＝时，四边形ABFD是菱形．32．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．33．如图，A、B、C为⊙O上的点，PC过O点，交⊙O于D点，PD＝OD，若OB⊥AC于E点．（1）判断A是否是PB的中点，并说明理由；（2）若⊙O半径为8，试求BC的长．34．如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长35．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD＝x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．36．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，O），C（，O）．（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH＝FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，求线段OE 的长．38．如图，AB是⊙O的直径，延长BA到D，使DA＝AO，AE垂直于弦AC，垂足为点A，点E在DC上，求S△AEC：S△AOC．39．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC于E，CF⊥AB于F，交AD于G，BE＝3，CE ＝2，且tan∠OBC＝1，求四边ABDC的面积．40．如图，⊙O的半径为10cm，G是直径AB上一点，弦CD经过点G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE﹣BF的值．41．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，求AB的长．42．已知：如图，点O是∠EPF的平分线的一点，以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A、B和C、D．试探究∠OBA与∠OCD的关系，并说明理由．43．如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB＝4，AD＝12．求线段EF的长．44．如图，AB是圆O的直径，作半径OA的垂直平分线，交圆O于C、D两点，垂足为H，连接BC、BD．（1）求证：BC＝BD；（2）已知CD＝6，求圆O的半径长．45．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD、BC，AB＝5，AC ＝4，求：BD的长．46．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，求证：OE ＝OF．47．如图，点A，B是⊙O上两点，点P是⊙O0上的动点（P与A，B不重合），连接AP，BP，过点O分别作OE⊥AP，OF⊥BP，点E、F分别是垂足．（1）求证：∠OEF+∠OFE＝∠P；（2）EF＝5，点O到AB的距离为2，求⊙O的半径的长．48．如图，在Rt△A0B中，∠O＝90°，OA＝6，OB＝8，以点O为圆心，OA为半径作圆交AB于点C，求BC的长．49．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长．2020-2021学年人教版数学九年级上学期《24.1.2 垂直于弦的直径》测试卷参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH＝DH，DM＝EM，BN＝CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角形函数求得DG，因为MN＝DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE．【解答】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴DG＝MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH＝DH＝CD＝3，∴OH＝＝＝4，∴BH＝9，∴BC＝＝3，∴BN＝BC＝，∴ON＝＝，∵sin∠BCH＝＝，即＝，∴DG＝，∴MN＝DG＝，∴OM＝MN﹣ON＝，∴DM＝＝，∴DE＝2DM＝．故答案为．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．二．解答题（共48小题）2．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．【分析】过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB 求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD＝2DF即可求出CD的长．【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF＝DF，∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，∴OA＝4，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，∴OF＝OE＝1，在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，根据勾股定理得：DF＝＝，则CD＝2DF＝2．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握定理是解本题的关键．3．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34；（2）连结OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16．∴A′B′＝32．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4．往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB和油的最大深度都为80cm．（1）求油槽的半径OA；（2）从油槽中放出一部分油，当剩下的油面宽度为60cm时，求油面下降的高度．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理进行解答即可；（2）利用垂径定理和勾股定理进行解答即可．【解答】解：（1）设OA为xcm，根据勾股定理可得：x2＝402+（80﹣x）2，解得：x＝50，答：油槽的半径OA为50cm，（2）设油面下降的高度为y，根据勾股定理可得：502＝302+（80﹣50﹣y）2，解得：y＝70或y＝﹣10（舍去），答：油面下降的高度为70cm．【点评】此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．5．已知：如图⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为H，OG⊥BC，垂足为G，求证：弦AD＝2OG．【分析】作直径CM，连接BM，DM，AM，根据垂径定理求出CG＝BG，根据三角形中位线的性质求出BM＝2OG，求出AB∥DM，求出∠BAM＝∠AMD即可．【解答】证明：作直径CM，连接BM，DM，AM，∵OG⊥BC，OG过O，∴CG＝BG，∵CO＝OM，∴BM＝2OG，∵CM为⊙O直径，∴∠CDM＝90°，∵AB⊥CD，∴∠CHB＝90°，∴∠CHB＝∠CDM，∴AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD，∴AD＝BM，∴AD＝2OG．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的中位线的性质，平行线的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．6．如图，为一圆洞门．工匠在建造过程中需要一根横梁AB和两根对称的立柱CE、DF来支撑，点A、B、C、D在⊙O上，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AB＝2，EF＝，＝120°．（1）求出圆洞门⊙O的半径；（2）求立柱CE的长度．【分析】（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．在Rt△BOH中，解直角三角形即可解决问题；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．在Rt△OMC中，解直角三角形即可；【解答】解：（1）作OH⊥AB于H，连接OB、OA．∵的度数为120°，AO＝BO，∴∠BOH＝×120°＝60°，∴AH＝BH＝，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，∴OB＝2，即圆洞门⊙O的半径为2；（2）作OM⊥EC于M，连接OC．∵Rt△BOH中，OH＝1，∵EH＝，易证四边形OMEH是矩形，∴OM＝EH＝，ME＝OH＝1，在Rt△OMC中，CM＝＝，∴CE＝ME+CM＝1+＝，∴立柱CE的长度为．【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．7．如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上．已知AB＝8cm，CD＝2cm（1）求⊙O的面积；（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长．【分析】（1）连接OA，根据AB＝8cm，CD＝2cm，C为AB的中点，设半径为r，由勾股定理列式即可求出r，进而求出面积．（2）在Rt△ACE中，已知AC、EC的长度，可求得AE的长，根据垂径定理可知：OF ⊥AE，FE＝F A，利用勾股定理求出OF的长．【解答】解：（1）连接OA，如图1所示∵C为AB的中点，AB＝8cm，∴AC＝4cm又∵CD＝2cm设⊙O的半径为r，则（r﹣2）2+42＝r2解得：r＝5∴S＝πr2＝π×25＝25π（2）OC＝OD﹣CD＝5﹣2＝3EC＝EO+OC＝5+3＝8∴EA＝＝＝4∴EF＝＝＝2∴OF＝＝＝【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，作出辅助线是解题的关键．8．如图，⊙O的半径为5，弦AB⊥CD于E，AB＝CD＝8．（1）求证：AC＝BD；（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，试说明四边形OFEG是正方形．【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系先由AB＝CD判断＝，再得到＝，从而判断AC＝BD；（2）先证明四边形OFEG为矩形，连结OA、OD，如图，再根据垂径定理得到CF＝DF，AG＝BG，则利用CD＝AB得到AG＝DF，然后根据正方形的判定方法可判断四边形OFEG 是正方形；【解答】（1）证明：∵AB＝CD，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AC＝BD（2）四边形OFEG是正方形理由如下：如图，连接OA、OD．∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，∴∠GEF＝∠OFE＝∠OGE＝90°∴四边形OFEG是矩形，，．∵AB＝CD，∴DF＝AG．∵OD＝OA，∴在Rt△OFD与Rt△OGA中，∴Rt△OFD≌Rt△OGA（HL），∴OF＝OG．∴矩形OFEG是正方形．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系；掌握正方形的判定方法．9．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD及圆O的半径长．【分析】过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，根据垂径定理解答即可．【解答】解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°，在Rt△OEM中，∵OE＝4，∴，，∵，∴，∵OM过圆心，OM⊥CD，∴CD＝2DM，∴，∵，∴在Rt△DOM中，，∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．【点评】此题考查了垂径定理和直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．10．如图，已知OC是⊙O半径，点P在⊙O的直径BA的延长线上，且OC⊥PC，垂足为C．弦CD垂直平分半径AO，垂足为E，P A＝6．求：（1）⊙O的半径；（2）求弦CD的长．【分析】（1）设OC＝x，证明△CEO∽△PCO，得，代入x可得结论；（2）由勾股定理得CE的长，根据垂径定理可得CD的长．【解答】解：（1）设OC＝x，∵弦CD垂直平分半径AO，∴OE＝OA＝x，∵PC⊥OC，CD⊥OP，∴∠PCO＝∠CEO＝90°，∴∠P+∠COP＝90°，∠ECO+∠COP＝90°，∴∠P＝∠ECO，∴△CEO∽△PCO，∴，∴＝，x＝6则⊙O的半径为6；（2）由（1）得：OC＝6，OE＝3，由勾股定理得：CE＝＝3，∵CD⊥OA，∴CD＝2CE＝6．【点评】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．11．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．【分析】作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，根据垂径定理得出PB ＝DQ，PC＝QE，根据HL证得RT△OPB≌RT△OQD，RT△OP A≌RT△OQA，得出AP ＝AQ，进而即可证得结论．【解答】证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，则PB＝BC，DQ＝DE，∵BC＝DE，∴PB＝DQ，PC＝QE，在RT△OPB和RT△OQD中，，∴RT△OPB≌RT△OQD（HL），∴OP＝OQ，在RT△OP A和RT△OQA中，，∴RT△OP A≌RT△OQA（HL），∴AP＝AQ，∴AP+PC＝AQ+QE，即AC＝AE．【点评】本题考查了垂径定理和三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F（1）求证：FC＝FB；（2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．【分析】（1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到＝，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB．（2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径．【解答】（1）证明：∵PD∥CB，∴＝，∴∠FBC＝∠FCB，∴FC＝FB．（2）解：如图：连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OCE中，OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12，∴r2＝（r﹣8）2+122，解方程得：r＝13．所以⊙O的直径为26．【点评】本题考查的是垂径定理，（1）题根据平行弦所夹的弧相等，等弧所对的圆周角相等，等角对等边，可以证明两条线段相等．（2）题根据垂径定理得到CE＝12，然后在直角三角形中用勾股定理求出半径，再确定圆的直径．13．如图，AB为圆O的直径，CD为弦，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N．（1）求证：CM＝DN．（2）若AB＝10，CD＝8，求BN﹣AM的值．【分析】（1）过O作OF⊥CD于F，根据平行线分线段成比例定理得到MF＝NF，根据垂径定理得到CF＝FD，结合图形计算即可；（2）连结OD，根据勾股定理求出OF，设OE＝x，根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】（1）证明：过O作OF⊥CD于F，∵AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，∴AM∥FO∥NB，∵OA＝OB，∴MF＝NF，∵OF⊥CD，O为圆心，∴CF＝FD，∴CF﹣MF＝FD﹣FN，即MC＝ND；（2）解：连结OD，∵AB＝10，CD＝8，∴OD＝5，FD＝4，∴OF＝3，设OE＝x，则EB＝x+5，AE＝5﹣x，∵NB∥FO，∴△EBN∽△EOF，∴＝，即BN：3＝（5+x）：x，∴BN＝，①∵MA∥FO，∴△AME∽△OFE，∴AM：3＝（5﹣x）：x，∴AM＝②两式相减即可得到，BN﹣AM＝6．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键．14．如图，在半径为5的四分之一圆中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC＝6时，求线段OD的长；（2）连接AB，求DE的长．【分析】（1）如图（1），根据垂径定理可得BD＝BC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长；（2）如图（2），用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC 和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE＝AB，可得DE的长．【解答】解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝3，∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，∴OD＝＝4，即线段OD的长为4．（2）如图（2），∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，∴AB＝＝5，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE＝AB＝．【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（2）小题的关键．15．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB 为半径的圆交AB于点D，求BD的长．【分析】连接DC，过点C作CE⊥BD交BD于点E，根据三角形内角和定理求出∠B，根据直角三角形的性质求出CE，根据勾股定理求出BE，根据垂径定理计算．【解答】解：连接DC，过点C作CE⊥BD交BD于点E，则DE＝EB，∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣130°﹣20°＝30°，∴CE＝BC＝1，由勾股定理得，BE＝＝，∴BD＝2BE＝2．【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，AE＝BF，请找出线段OE 与OF的数量关系，并给予证明．【分析】过点O作OH⊥AB于点H，根据垂径定理得到OE＝OF即可．【解答】解：OE＝OF理由如下：过点O作OH⊥AB于点H，∵OH过圆心，OH⊥AB∴AH＝BH，又∵AE＝BF∴AH﹣AE＝BH﹣BE即EH＝FH，∵EH＝FH，OH⊥EF∴OH垂直平分EF，∴OE＝OF．【点评】本题主要考查了垂径定理，关键是根据圆的性质，垂径定理等知识的综合应用及推理论证能力．17．已知AB为⊙O的弦，C、D在AB上，且AC＝CD＝DB，求证：∠AOC＝∠DOB．【分析】先根据等腰三角形的性质由OA＝OB得到∠A＝∠B，再利用“SAS”证明△OAC ≌△OBD，然后根据全等三角形的性质得到结论．【解答】证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，在△OAC和△OBD中，，∴△OAC≌△OBD（SAS），∴∠AOC＝∠DOB【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了全等三角形的判定与性质．18．已知：如图，OA＝OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC＝BD．【分析】过点O作OE⊥AB，由等腰三角形的性质可知AE＝BE，再由垂径定理可知CE ＝DE，故可得出结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AB，∵OA＝OB，∴AE＝BE，又∵在⊙O中，∴CE＝DE，∴AC＝BD．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理求解是解答此题的关键．19．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE＝BE，CE＝DE，从而得到AC＝BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC＝AE﹣CE即可得出结论．【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE＝DE，AE＝BE，∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AE＝，ON＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD＝∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE ＝∠CNM，故可得出∠BCD＝∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；（2）先根据AE的长，设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1，连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论；【解答】（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD，∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°，∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝BAD，在△ANE与△ADE中，，∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN；（2）∵AE＝2，AE⊥CD，又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，∴r＝2x﹣1＝3；【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．21．如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可；（2）根据平行四边形的判定和勾股定理解答即可．【解答】证明：（1）在⊙O中，OD⊥BC于E，∴CE＝BE，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠B，在△DCE与△OBE中，∴△DCE≌△OBE（ASA），∴DE＝OE，∴E是OD的中点；（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC，∴∠CED═90°＝∠ACB，∴AC∥OD，∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC＝CD，∵OC＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠D＝30°，∴在Rt△CDE中，CD＝2DE，∵BC＝6，∴CE＝BE＝3，∵CE2+DE2＝CD2＝4DE2，∴DE＝，CD＝2，∴OD＝CD＝2，∴四边形CAOD的面积＝OD•CE＝6．【点评】本题考查了垂径定理，关键是根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理解答．22．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O 交△ABC于D、E、F、G．（1）求证：CD＝EF；（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．【分析】（1）作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，根据角的平分线的性质得出OE＝OD＝OC，进而根据HL证得RT△OME≌RT△OND得出ME ＝ND，然后根据垂径定理即可证得结论；（2）根据角平分线的性质，得出OM＝ON＝OH，进一步证得四边形ONCH是正方形，证得OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，进而证得OH＝CD＝2，EF＝CD＝CG＝4，AC＝6，设BM＝BH＝x，则BC＝x+2，AB＝x+4，然后根据勾股定理列出方程，求得即可．【解答】（1）证明：作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，OH⊥CG于G，连接OE、OD，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON，∵OE＝OD＝OC，∴RT△OME≌RT△OND（HL），∴ME＝ND，∵EF＝2ME，CD＝2ND，∴CD＝EF；（2）解：由（1）可知CD＝EF＝CG，∵点O为△ABC的角平分线交点，∴OM＝ON＝OH，∵∠ACB＝90°，∴四边形ONCH是正方形，∴OM＝ON＝OH＝CD＝EF＝CG，∵OC＝4，∴OH＝OC＝4，∴EF＝CD＝CG＝8，易证得AM＝AN＝6，BM＝BH，∴AC＝10，设BM＝BH＝x，则BC＝x+4，AB＝x+6，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，即（6+x）2＝102+（4+x）2，解得x＝20，∴BM＝20，∴AB＝AM+BM＝20+6＝26．【点评】本题考查了角平分线的性质和垂径定理，熟练掌握垂径定理和角平分线的性质是解题的关键．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，以A为圆心，AD长为半径画弧，交边AC于点E，连接CD．（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数；（2）设BC＝a，AC＝b．①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根吗？为什么？②若AD＝EC，求的值．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；（2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，∴∠B＝62°，∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝59°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝31°；（2）①由勾股定理得，AB＝，∴，解方程x2+2ax﹣b2＝0得，x＝，∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根；②∵AD＝AE，∴AE＝EC＝，由勾股定理得，a2+b2＝，整理得，．【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．24．如图，⊙O的两条弦AB∥CD（AB不是直径），点E为AB中点，连结EC，ED （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；（2）求证：EC＝ED．【分析】（1）连接EO，根据垂径定理得出即可；（2）根据垂径定理求出CF＝DF，根据线段垂直平分线性质得出即可．））【解答】（1）解：直线EO与AB垂直，理由是：连接OE，并延长交CD于F，∵EO过O，E为AB的中点，∴EO⊥AB；（2）证明：∵EO⊥AB，AB∥CD，∴EF⊥CD，∵EF过O，∴CF＝DF，∴EC＝ED．【点评】本题考查了垂径定理和线段垂直平分线的性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．25．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE．（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝24，求OP的长．【分析】（1）由PG平分∠EPF可得∠CPO＝∠APO，由AO∥PD可得∠CPO＝∠AOP，从而有∠APO＝∠AOP，则有AP＝AO．（2）过点O作OH⊥AB于H，如图．根据垂径定理可得AH＝BH＝12，从而可求出PH，在Rt△AHO中，运用勾股定理可求出OH的长，从而进一步可得OP的长．【解答】（1）证明：如图，∵PG平分∠EPF，∴∠CPO＝∠APO．∵AO∥PE，∴∠CPO＝∠AOP，∴∠APO＝∠AOP，∴AP＝AO．（2）解：过点O作OH⊥AB于H，如图．根据垂径定理可得AH＝BH＝AB＝12，∴PH＝P A+AH＝AO+AH＝13+12＝25．在Rt△AHO中，OH＝＝＝5，由勾股定理得：OP＝＝＝＝5．则OP的长为5．【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，综合性比较强．26．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．【分析】（1）想办法证明∠A＝∠G即可解决问题．（2）设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，在Rt△OEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G，∴AC＝CG．（2）解：设⊙O的半径为r．则AG＝OA+OG＝r+10，∵CA＝CG，CD⊥AB，∴AE＝EG＝，EC＝ED＝4，∴OE＝AE﹣OA＝，在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，∴r2＝（）2+42，解得r＝或（舍弃），∴⊙O的半径为．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．27．如图，某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，污水水面宽度为30cm，污水深度为50cm，则修理人员应准备的新管道内径为多大？【分析】连接OC，OA，根据C为AB中点可知OC⊥AB，AC＝AB，设圆形管道的半径为r，则OC＝50﹣r，再根据勾股定理求出r的值即可．【解答】解：连接OC，OA，∵污水面宽AB＝30m，C为AB中点，∴OC⊥AB，AC＝AB＝15cm．∵C点距管道底部的距离为50cm，∴OC＝50﹣r，在Rt△OAC中，∵AC2+OC2＝OA2，即152+（50﹣r）2＝r2，解得r＝27.25（cm），∴圆形管道的直径＝2r＝54.5cm．答：圆形管道的直径为54.5cm．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．28．如图，矩形ABCD的四个顶点在⊙O上，过O作OE⊥AD于F，交⊙O于E点，连AE、DE（1）求证：AE＝DE；（2）若AB＝AE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）根据垂径定理即可证得；（2）延长EO交⊙O于H，连接BH，从而证得四边形ABHE是等腰梯形，根据直径所对的圆周角是直角证得∠EAH＝90°，然后通过等腰三角形和平行线的性质即可证得∠AHE＝30°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半即可求得直径，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵OE是⊙O的半径，OE⊥AD，∴OE平分AD，∴AE＝DE；（2）解：如图，延长EO交⊙O于H，连接BH∵AB⊥AD，OE⊥AD，∴AB∥EH，∴BH＝AE，∠BAH＝∠AHE，∵AB＝AE＝2，∴AB＝AE＝BH＝2，∴四边形ABHE是等腰梯形，∴∠AEH＝∠BHE，连接AH，∵EH是直径，∴∠EAH＝90°，∵AB＝BH，∴∠BAH＝∠AHE，∴∠BHA＝∠AHE，设∠BHA＝∠AHE＝∠BAH＝x，∴∠AEH＝2x，∵∠EAB+∠AEH＝180°，∴x+90°+2x＝180°，解得x＝30°，∴∠AHE＝30°，∴EH＝2AE＝2×2＝4，∴⊙O的半径＝2．【点评】本题考查了垂径定理、直径所对的圆周角的性质，等腰梯形的判定和性质，平行线的性质以及30°所对的直角边等于斜边的一半的性质等，作出辅助线构建等腰梯形以及直角三角形是关键．29．已知⊙O中ABC为等边三角形，点O在AB上，点A在弦CD上；。

2023-2024学年人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径同步练习（含答案）24.1.2 垂直于弦的直径一、单选题1．如图，⊙O的直径为10，AB为弦，OC⊙AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．102．如图是某高速公路的一个隧道的横截面，若它的形状是以点O为圆心，线段OA的长为半径的圆的一部分，路面AB=12米，隧道高CD=9米，则⊙O的半径OA= ()A．6米B．米C．7米D．米3．在中，直径，弦于点，若，则的周长为（）A．13 B．14 C．15 D．164．如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，⊙A＝⊙B＝60°，则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．205．如下图：⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点，使线段OP的长度为整数的点P有（）A．3 个B．4个C．5个D．6个6．已知⊙O的半径为3，⊙ABC内接于⊙O，AB=3 ，AC=3 ，D是⊙O 上一点，且AD=3，则CD的长应是（）A．3 B．6 C．D．3或6二、填空题7．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸.8．如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为厘米．9．如图，是的直径，弦，垂足为点H.若，，则的半径长为.10．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶的距离为10 cm，则修理人员准备更换的新管道的内径为．11．等腰⊙ABC的三个顶点都在⊙O上，底边BC=8cm，⊙O的半径为5cm，则⊙ABC的面积为．12．如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为.13．已知的半径为2，中有两条平行的弦和，，，则两条弦之间的距离为．三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，求线段OE的长．15．已知排水管的截面为如图所示的⊙O，半径为10，圆心O到水面的距离是6，求水面宽AB.16．已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长17．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，书中记载：“今有中，不知大小.以锯锯之，深1寸，锯道长1尺，问经几何？“其意思为：“如图，今有一圆形木材在墙中，不知其大小用锯子去锯这个木材，锯口深DE=1寸，锯道长AB=10寸，问这块圆形木材的直径是多少？”18．如图所示，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F．若CF⊙AD，AB＝2，求CD的长．19．如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB⊙CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF20．如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD 的中点，证明：OE=OF．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】D7．【答案】268．【答案】9．【答案】1310．【答案】100 cm11．【答案】32或812．【答案】613．【答案】或14．【答案】解：连接OC，⊙弦CD⊙AB，⊙CE= CD=8，在Rt⊙OCE中，OE= =6．15．【答案】解：如图，过O点作OC⊙AB，连接OB，根据垂径定理得出AB=2BC，再根据勾股定理求出BC== =8，从而求得AB=2BC=2×8=16.16．【答案】解：连接OA，那么在直角三角形OAC中据垂径定理可以得到AC=5，根据勾引股定理可以求的OC=.17．【答案】解：连接OA，⊙AB⊙CD，且AB=10，⊙AE=BE=AB =5（寸），设圆O的半径OA的长为x，则OC=OD=x⊙DE=1，⊙OE=x-1，在Rt⊙AOE 中，根据勾股定理得：OA2-OE2=AE2，解得：x=13所以CD=26（寸）.故答案为CD=26寸.18．【答案】解：连接AC⊙AB⊙CD⊙CE＝DE（垂径分弦）⊙AB垂直平分CD⊙AC＝AD，⊙CF⊙AD，⊙AF＝DF（垂径分弦），⊙CF垂直平分AD，⊙AC ＝CD，⊙AC＝AD＝CD，⊙⊙ACD为等边三角形，⊙⊙DCF＝⊙ACD＝30°，⊙CO＝AO＝AB＝1，⊙DE=CE＝CO× ＝；⊙CD＝2DE＝19．【答案】证明：⊙E为AB中点，MN过圆心O，⊙MN⊙AB ，⊙⊙MEB＝90°，⊙AB⊙CD ，⊙⊙MFD＝⊙MEB＝90°，即MN⊙CD ，⊙CF＝DF.20．【答案】证明：连结OA、OC，如图，⊙E、F分别为弦AB、CD的中点，⊙OE⊙AB，AE=BE，OF⊙CD，CF=DF，⊙AB=CD，⊙AE=CF，在Rt⊙AEO和Rt⊙COF中，，⊙Rt⊙AEO⊙Rt⊙COF（HL），⊙OE=OF。

人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》同步测试题含答案一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列说法正确的是( )A. 垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B. 平分弦的直径垂直于弦C. 垂直于直径的弦平分这条直径D. 弦的垂直平分线经过圆心2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不一定成立的是 ( )A. CM =DMB. CB ⌢=DB ⌢C. AC ⌢=AD ⌢D. OM =MB3.如图，A 是⊙O 上一点，连接OA ，弦BC ⊥OA 于点D.若OD =2，AD =1则BC 的长为 ( )A. 2√ 5B. 4C. 2√ 3D. 2√ 24.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC =5 cm ，CD =8 cm 则AE 的长为 ( )A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm5.已知⊙O 的直径CD =100cm ，AB 是⊙O 的弦AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB =96cm ，则AC 的长为( )A. 36cm 或64cmB. 60cm 或80cmC. 80cmD. 60cm6.如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 长的取值范围是 ( )A. 4≤OM ≤5B. 3≤OM <5C. 3<OM ≤5D. 3≤OM ≤57.如图，AB，CD是⊙O的两条平行弦，且AB=4，CD=6，AB，CD之间的距离为5，则⊙O的直径是( )A. √ 13B. 2√ 13C. 8D. 108.如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( )A. 10cmB. 16cmC. 24cmD. 26cm9.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB=10dm，水面宽AB是16dm，则截面水深CD 是( )（9题）（10题）A. 3dmB. 4dmC. 5dmD. 6dm10.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB=8，OC=3，则EC的长为( )A. 2√ 15B. 8C. 2√ 10D. 2√ 13二、填空题：11.在⊙O中，弦AB的长为6，圆心O到AB的距离为4，则⊙O的半径为．12.下列说法：①经过圆心的直线是圆的对称轴；②直径是圆的对称轴；③圆的对称轴有无数条；④当圆绕它的圆心旋转180∘时，仍会与原来的圆重合.其中正确的有.(填序号)13.如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm．（13题）（14题）14.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1则⊙O的半径为．15.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15∘，半径为2，则弦CD的长为．（15题）（16题）（17题）16.如图，在半径为10cm的⊙O中AB=16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于cm．17.如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，且PA=1，PB=5，∠DPB=30∘则CD的长为．18.赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为m.(保留整数)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

24.1.2垂直于弦的直径同步练习一．选择题1．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则BE的长为（）A．2 B．4 C．6 D．82．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（）A．5 B．4 C．D．23．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm4．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）A．13 B．24 C．26 D．285．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，∠AOB＝60°，点C是的中点，且CD＝5m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．（20﹣10）m B．20m C．30m D．（20+10）m 6．如图，已知⊙O的半径为6，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB 与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．3D．67．小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为（）mm．A．350 B．700 C．800 D．4008．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD＝9，BC＝12，则⊙O的半径为（）A．5.5 B．6 C．7.5 D．89．如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB＝8，CD＝2，则线段CE 的长为（）A．B．8 C．D．10．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O 的半径为（）A．B．2 C．2D．4二．填空题11．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．12．在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝．13．如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为．14．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF：FC＝5：1，若AB＝8，AE＝2，则AD的长为．15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为m．三．解答题16．如图，点A，D，B，C在⊙O上，AB⊥BC，DE⊥AB于点E．若BC＝3，AE＝DE＝1，求⊙O半径的长．17．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．18．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．参考答案1．解：∵CE＝2，DE＝8，∴CD＝10，∴OB＝5，∴OE＝3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，BE＝＝＝4，故选：B．2．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，∴AD＝AB＝5，根据垂径定理，得DE＝BE，∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，解得DE＝，∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．故选：C．3．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB＝48cm，∴BD＝AB＝×48＝24（cm），∵⊙O的直径为52cm，∴OB＝OC＝26cm，在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），故选：C．4．解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，如图所示：∴AC＝AB＝×10＝5，设⊙O的半径为r寸，在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．5．解：∵点O是这段弧所在圆的圆心，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB，设AB＝OB＝OA＝rm，∵点C是的中点，∴OC⊥AB，∴C，D，O三点共线，∴AD＝DB＝rm，在Rt△AOD中，∴OD＝r，∵OD+CD＝OC，∴r+5＝r，解得：r＝（20+10）m，∴这段弯路的半径为（20+10）m故选：D．6．解：作OE⊥AB于点E，∵⊙O的半径为6，弦CD＝6，∴OC＝OD＝CD，∴△DOC是等边三角形，∴∠DOC＝60°，∵∠AOB与∠COD互补，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵OA＝6，OE⊥AB，∴AE＝OA•cos30°＝6×＝3，∴AB＝2AE＝6，故选：D．7．解：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D．设⊙O半径为xmm，在Rt△OCD中，由勾股定理得方程，（x﹣160）2+3202＝x2，解得，x＝400，∴2x＝800，答：车轱辘的直径为800mm．故选：C．8．解：连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，∵∠DAE＝∠DFB，∠AED＝∠FBD＝90°，∴∠ADC＝∠FDB，∴∠ADF＝∠CDB，∴，∴AF＝BC＝12，∵∠DAF＝90°，∴DF＝，∴⊙O的半径为7.5．故选：C．9．解：连结BE，如图，∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝AB＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，∴AE＝2r＝10；∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3，∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．故选：D．10．解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45°又∵OC＝OD，∴∠ODP＝∠OCP，∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODB＝45°+∠ODC，∴∠NDO＝∠COM，在Rt△ODN与Rt△COM中，，∴Rt△ODN≌Rt△COM，∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝8∴OC2＝4，∴OC＝2，故选：B．11．解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．12．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，如图1，在Rt△OBE中，∵OB＝，BE＝2，∴OE＝＝1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∴PE＝PF＝1，∴P A＝PC＝1，∴S△APC＝＝；如图2，同理：S△APC＝＝；如图3，同理：S△APC＝＝；故答案为：或或．13．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，∵AB＝CD，∴OE＝OF，而OE⊥AB，OF⊥CD，∴PO平分∠BPD，∴∠APO＝∠OPC，∵OA∥PC，∴∠AOP＝∠OPC，∴∠APO＝∠AOP，∴P A＝AO＝5，∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△AOE中，OE＝＝3，在Rt△POE中，PO＝＝3．故答案为3．14．解：连接BE．∵BC是直径．∴∠AEB＝∠BEC＝90°在直角△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2﹣AE2＝82﹣22＝60．∵＝5∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x．又∵BE2＝BF•BC即：30x2＝60解得：x＝，∴EC2＝FC•BC＝6x2＝12∴EC＝2，∴AC＝AE+EC＝2+2，∵AD•AB＝AE•AC∴AD＝＝＝．故答案为．15．解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m．故答案为：25．16．解：如图，连接AD，AC，连接CD与AB交于点F，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴AC为直径．∴∠ADC＝90°．∵AE＝DE，DE⊥AB，∴∠DAB＝∠ADE＝45°．∴∠BCF＝∠DAB＝45°．∴BC＝BF＝3．在△ADF中，∠DAB＝∠AFD＝45°，∴EF＝ED＝1．∴AB＝5．∴AC＝＝．∴⊙O半径的长．17．解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N＝＝＝16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．18．解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴∠CEF＝∠BFO＝90°∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得（舍弃）或，∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．。

人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》同步练习卷一、选择题1.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.82.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠OAC=22.5°,OC=4,则CD的长为( )A.22B.4C.42D.83.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm4.已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（）A．6 B．8 C．10 D．125.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是( )A.OC∥BDB.AD⊥OCC.△CEF≌△BEDD.AF=FD6.如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB=10，AC=8，则BD的长为( )A．2 B．4 C．2 D．4.87.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8 cm，AE=2 cm，则OF的长是（）A.3 cmB. 6 cmC.2.5 cmD. 5 cm8.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为( ).A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm9.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是( ).A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm210.如图所示，将一个半径为5cm的半圆O折叠，使经过点O，则折痕AF的长度为( ).A.5cmB.52cmC.53cmD.103cm11.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A.1.6B.2C.2.4D.2.812.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A．2 B．4 C．4 D．8二、填空题13.如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，则⊙O的半径等于．14.如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB=8 cm，AC=6 cm，那么⊙O的半径OA长为 .15.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为 cm．16.在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm.17.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=18.如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为．三、解答题19.如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)求证：点E是OB的中点；(2)若AB=8，求CD的长．20.如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6.求：弦CD的长．21.如图所示，⊙O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长.22.如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O 又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．23.如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC=120°，弦AC=2，弦BM平分∠ABC交AC 于点D，连接MA，MC．(1)求⊙O半径的长；(2)求证：AB+BC=BM．参考答案1.D ．2.C3.B4.C5.C.6.C.7.D ；8.C.9.A.10.C.11.C ．12.C13.答案为：5．14.答案为：5cm.15.答案为：24.16.答案为：3cm17.答案为：318.答案为：4；19.解：(1)证明：连接AC.∵OB ⊥CD ，∴CE=ED ，即OB 是CD 的垂直平分线．∴AC=AD.同理AC=CD.∴△ACD 是等边三角形．∴∠ACD=60°，∠DCF=30°.在Rt △COE 中，OE=12OC=12OB. ∴点E 是OB 的中点．(2)∵AB=8，∴OC=12AB=4. 又∵BE=OE ，∴OE=2.∴CE=OC 2－OE 2=16－4=2 3.∴CD=2CE=4 3.20.答案为：8.21.（1）证明：连接OD ，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD=45°，由圆周角定理得，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴DA=DB，即△ABD是等腰三角形；（2）解：作AE⊥CD于E，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD=AB=5，∵AE⊥CD，∠ACE=45°，∴AE=CE=AC=3，在Rt△AED中，DE==4，∴CD=CE+DE=3+4=7.22.解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5；答：所在⊙O的半径DO为5m．23.解：(1)连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC=120°，∴∠AMC=180°﹣∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠AMC=120°，∴∠AOH=∠AOC=60°，∵AH=AC=，∴OA=2，故⊙O的半径为2．(2)证明：在BM上截取BE=BC，连接CE，如图2，∵∠MBC=60°，BE=BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE=CB=BE，∠BCE=60°，∴∠BCD+∠DCE=60°，∵∠∠ACM=60°，∴∠ECM+∠DCE=60°，∴∠ECM=∠BCD，∵∠ABC=120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM=60°，∴∠CAM=∠CBM=60°，∠ACM=∠ABM=60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC=CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB=ME，∵ME+EB=BM，∴AB+BC=BM．。