第十一章重积分
§ 1二重积分的概念
1•把重积分. .xydxdy作为积分和的极限，计算这个积分值，其中D=l0,1】0,1】,并用直线D
「i j
网x= ,y= (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形，每一小正方形取其右上顶点为n n
其界点•
2•证明：若函数f在矩形式域上D可积，则f在D上有界•
3•证明定理(20.3):若f在矩形区域D上连续，则f在D上可积•
4•设D为矩形区域，试证明二重积分性质2、4和7.
性质2若f、g都在D上可积，则f+g在D上也可积，且° f g = f °g •
性质4若f、g在D上可积，且f _ g ,则岂D g ,
性质7(中值定理)若f为闭域D上连续函数，则存在, D，使得
D f =f , D
5. 设D o、D1和D2均为矩形区域，且
D o = D1 D 2, intD j int D j = •一，试证二重积分性质 3.
性质3(区域可加性)若D o =D1 D2且int D1int D j —一，则f在D o上可积的充
要条件是f在D2上都可积，且
6. 设f在可求面积的区域D上连续，证明：
(1) 若在D 上f x,y - 0,f x,y - 0则D f 0 ；
(2) 若在D内任一子区域D D上都有
D f 二0,则在D 上f x,y . = 0。
7・证明：若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号，则存在一点
, D，使得
f x,y
g x,y dxdy=f , gx,y dxdy.
D D
8.应用中值定理估计积分
r r dxdy
2 2-
凶砒o1OO cos x cos y
的值
§ 2二重积分的计算
1.计算下列二重积分：
⑴y -2x dxdy,其中D= 3,5】1,2】；
D
⑵xy2dxdy,其中(i )D= 0,2〕0,3 1( ii )D= 0,3】0,2】；
D
2.设f(x,y)= f l x f2 y为定义在D= a i, bj ^2, bj上的函数若f l在la i,b」上可积,f2在a2,b21上可积，则f在D上可积,且
3. 设f在区域D上连续试将二重积分 f x,y dxdy化为不同顺序的累次积分
D
(1)D由不等式y-x,y-a,x-b 0-a-b所确的区域
⑶!! cosx y dxdy,其中D=
D
⑷..
D
x
1 xy
dxdy，其中D= 0,1 0,11.
2 2 2
⑵D 由不等式x y _a 与x y 0)所确定的区域
(3)D=如,y )x + y
4. 在下列积分中改变累次积分的顺序
5. 计算下列二重积分
2
(1) i ixy dxdy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线
D
⑵ 11 ix 2 y 2 dxdy ,其中 D= ：x,y 0 _ x _1, . x 乞 y 乞 2 一 x [
D
卄 dxdy
(3) .. ------------- (a>0),其中D 为图(20— 7)中的阴影部分;
D
2a -x
⑷ I l -xdxdy ,其中 D='x,y x 2 y 2 乞 x j
D
(5) Il xydxdy ,其中为圆域 x 2 ya 2.
D
6.写出积分11 f x,y dxdy 在极坐标变换后不同顺序的累次积分
d
2 2
(1)D 由不等式x y 乞1,y^x ,y-0所确定的区域
x
(1) 0 dx x f (x,y dy ；
1
1 ^x 2
⑵ j d ^_1^2f
x,y dy ；
⑶ 0dy 0 f x,y dy + dx
X 专(p >0)所围的区域；
3
dy .
⑵D由不等式a2 _x2• y2 _b2所确定的区域
(3)D= ：x,y x2y2zy,x _0「
7•用极坐标计算二重积分：
⑴Il si n x2y2dxdy,其中D= ' x, y 二2乞x2y2<4~2'；
D
(2) x y dxdy,其中D^ x,y x2y2_x y』；
曽F r
D
(3) II「X2• y2dxdy,其中D为圆域x2R2.
D
8•在下列符号分中引入新变量后，试将它化为累次积分：
2 2丄
(1) 0 dx f (x, y )dy ,其中u=x+y,v=x-y;
(2) i if x,y dxdy ,其中D=，x,y . x y 乞.a , x _ 0 , y _ 0』，若x= U cos4 v ,
D
4
y 二U sin v .
(3) i if x,y dxdy，其中D=，x,y x y — a ,x — 0, y — Of,若x+y=u,y=uv.
9•求由下列曲面所围立体V的体积：
(1) v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体；
2 2 | 一 ,
(2) v由z= x * y 和z=x+y围的立体；
