北京大学数学物理方法经典课件第一章——复变函数

博学笃行 自强不息

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数学物理方法第四版课后答案

《数学物理方法第四版课后答案》

第一章：复变函数

1.1 复数与复平面

题目1：将以下复数写成极坐标形式：

a) z = 3 + 4i

b) z = -2 - 5i

c) z = 5i

解答：

a) r = √(3^2 + 4^2) = 5, θ = arctan(4/3)

∴ z = 5(cos(arctan(4/3)) + i*sin(arctan(4/3)))

b) r = √((-2)^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29, θ = arctan((-5)/(-2)) = arctan(5/2) 博学笃行 自强不息

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∴ z = -√29(cos(arctan(5/2)) + i*sin(arctan(5/2)))

c) r = √(0^2 + 5^2) = 5, θ = arctan(0/5) = 0

∴ z = 5(cos(0) + i*sin(0)) = 5i

题目2：计算以下复数的共轭：

a) z = 3 + 4i

b) z = -2 - 5i

c) z = 5i

解答：

a) z* = 3 - 4i

b) z* = -2 + 5i

c) z* = -5i

...

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第二章：常微分方程

2.1 一阶微分方程

题目1：求解以下一阶线性非齐次微分方程：

a) \\frac{dy}{dx} + 2y = e^x

b) \\frac{dy}{dx} - y = 3x^2

解答：

a) 首先求齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} + 2y = 0

观察到该方程的解为 y = Ce^{-2x}，其中 C 为任意常数

然后考虑非齐次方程的解，即 \\frac{dy}{dx} + 2y = e^x

令 y = A e^{-2x}，其中 A 为待定常数

《数学物理方法》 （Methods of Mathematical Physics）

《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。

课程内容： 复变函数（18学时），付氏变换（20学时），

数理方程（26学时）

第一篇 复变函数（38学时）

绪 论

第一章 复变函数基本知识4学时

第二章 复变函数微分4学时

第三章 复变函数积分4学时

第四章 幂级数4学时

第五章 留数定理及应用简介2学时

第六章 付里叶级数

第七章 付里叶变换

第八章 拉普拉斯变换

第二篇 数学物理方程 （26学时）

第九章 数理方程的预备知识

第十章 偏微分方程常见形式

第十一章 偏微分方程的应用

绪 论

含 义

使用数学的物理——（数学）物理

物理学中的数学——（应用）数学

Mathematical Physics

方 程

1x

222111cybxacybxa

tadtdx

)(taxdt

常微分方程

0222xdtxd

CtAxcos

偏微分方程——数学物理方程

0222222zyx

zyx,,

12xzyxUzyxmhthi,,22222222

tzyx,,,

复 数

1. 数的概念的扩充

正整数（自然数） 1，2，„

运算规则 ＋，－，×，÷，2，

－ 121

负 数 0，-1，-2，„

整 数 „，-2，-1，0，1，2，„

÷ 5.021 333.031

有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数

1Review

Complex functions?

A complex function is a map f: CC, and we write

f(z)=w, where both zand w are complex numbers

How to define a function f to be continuous?

A function f is continuous at z=aif

)()(limafzf

az=

→Questions：

计算ii.

复变函数f(z)(f(z)=u(z)+iv(z))的连续性与实变函数u(z),

v(z)的连续性之间有何种关系？

下面哪些图形表示区域？

球极射影:

我们称如图的映射为球极射影：

1、(x,y,0), (x’,y’,u’),(0,0,2)三点共线

2、x:y:2=x’:y’:2-u’;无穷远点:

关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，

模等于：+∞=∞||

它和有限复数的基本运算为：

∞=±∞=∞±aa

)0( ≠∞=⋅∞=∞⋅aaa

)(0 );0(

0∞≠=

∞≠∞=aa

aa

这些运算无意义：.0/0,/,0,∞∞∞⋅∞±∞

F(z)=Sin(z)§1.3 导数（derivative）

可导的条件：

（1）单值函数（针对区域中的每一个点）

（2）存在极限：

（3）任意曲线逼近零，极限值相等。与Δz 0的方式无关。

（4）可导是函数解析（analytic）的重要条件

2Example 6

Let us examine the derivative of

at z=1+i .222)(iyxzf+=

df−−−22

yixiyix

zifzif

dz

yxzizΔ+ΔΔ++Δ+

=

Δ+Δ++

=

→Δ→Δ→Δ+=21)1(2)1(

lim)1()1(

lim|

0001

Let us approach z=1+i along the line y-1=m(x-1).

Then Δy=mΔx, and the limit yields

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第一章 复变函数

1.1 复数与复数运算

【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？

5，arg,Re,zazb（,,a和b为实常数）

解：射线与，直线xa与xb所围成的梯形。

7，111zz

解：11111zzzz，令zxiy，则11zz即

2222110xyxyx。即复数平面的右半平面0x。

【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。

3， 13i

解：代数式即：13zi；2，且z的辐角主值arg 3z，因此

三角式：2cos2sin33zi；指数式：232ikizee，k。

7，1i1i

解：21i(1i)2ii1i(1i)(1i)2，因此，其代数式：iz，

三角式：33cossin22zi；指数式：322ikizee，k。

【3】计算下列数值。（a，b和为实常数）

2，3i

解：将被开方的i用指数式表示：22eiki，k。

那么23232ieexp63ikki，k。 2

7，coscos2cos3cosn

解：因为，cosRe(1)ikkekn，因此

2323coscos2cos3cosReReReRe(1)ReRe1coscos(1)sinsin(1)Re1cossin222sinsincos222Re2sinsin2iiiiniiniiiinineeeeeeeeeeenininnni222(1)2sin2Resincos2221(1)sinsinsinsincos22222Resinsin2sin222niinineiennnne