圆锥曲线的方程与性质
1.椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点 F i 、F 2的距离的和等于常数 2a （大于IF 1F 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆
表示焦点在y 轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
-y 代替y 方程不变，所以若点 （X, y ）在曲线上时，点（x,-y ）也在曲线上,
-X 代替X 方程不变，则曲线关于
y 轴对称。若同时以 -X 代替X ，-y 代替y
方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于X 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心;
③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与
X 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令
2 ①范围：由标准方程
X
2
a 2
+
：2 =1知I XI 兰a , I y I 兰b ,说明椭圆位于直线 X = ±a , y = ±b 所围成的矩形里;
的焦点，两焦点的距离
2c 叫椭圆的焦距。若 M 为椭圆上任意一点，则有
IMF " 1 + 1 MF 2 |=2a 。
上）。
椭圆的标准方程为:
2 2
X y
—=1 （ a >b 》0 ）（焦点在X 轴上）或
（焦点在y 轴
注：①以上方程中
a,b 的大小 a >b ：>0，其中 b 2 =a 2 -c 2 ；
y 2
X
2
分b^"两个方程中都有“b 〉0
的条件，要分清焦点的位置，只要看
X 2和y 2的分
2 2
母的大小。例如椭圆 一+仏=1 m n
（m >0， n>0，mHn ）当m 》n 时表示焦点在x 轴上的椭圆;
当 men 时
②对称性：在曲线方程里，若以 所以曲线关于X 轴对称，同理，以
2 2
②对称性：双曲线 务-乂〒=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点
a b
2 2
是双曲线
X
-y
2 =1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 a 2 b 2
2
2
冷亠 =1的方程里，对称轴是 X, y 轴，所
a 2
b 2
2 2
以令y =0得X = ±a ，因此双曲线和X 轴有两个交点 A （-a,0）A 2（a,0），他们是双曲线 =1的顶点。
a b
令X =0，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。
半轴长和短半轴
长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a;在R^OB 2F 2中，I OB 2 |= b , |OF 2 |=C , | B 2F 2 |= a , 且 |OF 2 I 2 =|B 2F 212 -|OB 2 I 2，即 C 2 =a 2 —b 2 ； c ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e=—叫椭圆的离心率。?.?a>c 〉0 ,??? Ocecl ，且e 越接近1, c 就 a 越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之， e 越接近于0 , c 就越接近于0 ,从而b 越接近于a ，这时椭 圆越接近于圆。当且仅当 a =b 时，c=0，两焦点重合，图形变为圆, 方程为 X 2
+ y
2
= a 2。
2.双曲线
（1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（ IIP F i I-1 PF 242a ）。 注意：①式中是差的绝对值，在0<:2&<|吒卩2|条件下； |PFi I — I PF21= 2a 时为双曲线的一支； |P F 21 TP F i I = 2a 时为双曲线的另一支（含 F i 的一支）；②当2a H F 1F 21时，II PR IT PF 2II=2a 表示两条射 线；③当2a >） F 1F 21时, IIP F i I T PF 2||=2a 不表示任何图形；④两定点 F i , F 2叫做双曲线的焦点，IF 1F 2I 叫做 焦距。
（2）双曲线的性
质
①范围：从标准方程
2 2
笃-与=1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线
a 2
b 2
X = ±a 的外侧。
即
X 2 >a 2， X >a 即双曲线在两条直线 X = ±a 的外
侧。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） 端点。
2）实轴：线段 A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于
2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 B B ?叫做双
曲线的虚轴，它的长等于 2b,b 叫做双曲线的虚半轴长。
④ 渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从
2 2
图上看，双曲线 务-上牙=1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
a b
⑤ 等轴双曲线:
2）等轴双曲线的性质：（1 ）渐近线方程为：y = ±x ； （2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其 他几个亦成立。
2 2
a=b ，则等轴双曲线可以设为：x -y =A @H 0），当＞0时交点在x 轴,
当几＜0时焦点在y 轴上。
x
2
-茴1
的区别：三个量
a
，b ，c 中a ，b
不同（
互换）c
相同，还有焦点所在的坐标
轴也变了。
平面内与一定点 F 和一条定直线I 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
（定点F 不在定直线I 上）。定点F 叫做
抛物线的焦点，定直线 I 叫做抛物线的准线。
方程y =2px （p ＞0 ）叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （ — ,0 ），它的准线方程是 x =-卫
2 2
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其 他几种形式：y
2
= -2px , X 2 =2py , x 2
= -2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如
，双曲线的顶点分别是实轴的两个
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
定义式：a = b ；
3）注意到等轴双曲线的特征
2 2 2
⑥注意x__i_=1与
16
9 9
3. 抛物线
(1) 抛物线的概念
说明：(1)通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;(2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线; (3)注意强调P的几何意义：是焦点到准线
的距
离。
4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
、方程的曲线:
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=o 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上
的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C 上二f(x o,y o)丰 o。两条曲线的交点：若曲线C的方程是f(x,y)=O ，则点P o(x o,y o)在曲线C上二f(x o,y o)=0 ;点P o(x o,y o)不在曲线C i, C2 的方程分别为f i(x,y)=o,f 2(x,y)=0,则点P o(x o,y o)是C, C2 的交点二
{Hoy oW O方程组有
f zdo’y o) =o
n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交
点
。
1. 到两定点F 1,F 2的距离之
差的 绝对值为定值
2a(0<2a<|F 1F 2I)
的点的轨迹
2. 与定点和直线的距离之比为
定值e 的点的轨迹.(e>1)
点集：({M II MF+ I MF I
=2a, I F 1F 2 I < 2a}.
点集：{MII MF I - I MF I .
=± 2a, I F 2F 2 I > 2a}.
点集｛M I I MF I =点M 到直
线I 的距离｝.
二、圆:
1、 2、 定义：点集｛ M I I OMI =r ｝,其中定点 0为圆心，定长r 为半径. 方程：(1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a) 1 2 *+(y-b) 2=r 2
圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 一般方程：①当 D 2+E 2
-4F >0时, 2 2 DE 元二次方程x+y+Dx+Ey+F =0
叫做圆的一般方程，圆心为(巧巧)半径
是J D 2
+E 2 _4F 。配方，将方程 2 ID E 2 2 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+一 )2+(y+—)2
= D +E
- 4F 2 2 (-D ,- E ); 2 2 ③当D 2+E 2-4F < 0时，方程不表示任何图形. (3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则I MC < ru 点M 在圆C 内，I ②当D 2+E 2
-4F=0时，方程表示一个点
MCI =ru 点 M 在圆 C 上, I MCI > y 点 M 在圆 C 内，其中 I
MC| =J (X o - a)2 +(y o -b)2。
(4)直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交 线与圆相切二 有一个公共点；直线与圆相离 二 没有公共点。 二有两个公共点；直 Aa+ Bb + C ②直线和圆的位置关系的判定： (i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d = J A 2 +
B 2
与半径r 的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义: 平面内的动点 P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线 I 的距离之比是一个常数e(e > 0),贝恸点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点 F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当0 < e < 1时，轨迹为椭圆；当 e=1时，轨迹为抛物线；当 e > 1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆 双曲线 抛物线
图形
■
II*
J
1
i' 'J
H
定义
与定点和直线的距离相等的
点的轨迹.
轨迹条件
-：2 -
【备注1】双曲线:
⑶等轴双曲线：双曲线 X 2
-y 2
= ^2
称为等轴双曲线，其渐近线方程为
y =±x ，离心率e=丘.
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线
2 2
与 务-与=-几互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: a b
2 2
X y -
— -7? f a b
X 2 a
2
与焦点F 的距离MF
-p x -2 —x 。
(3)设抛物线的标准方程为
y 2 =2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为
号，顶点到准线的距离-，焦点
到准线的距离为p.
(4)已知过抛物线y 2
=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A 、B 两点，贝懺段AB 称为焦点弦,
设 A(x1,y1),B(x2,y2)
则弦长 AB = x^ +x 2 + P 或 AB = 2 p
2
2
( a 为直线AB 的倾斜角),y 讨2 = — P , X 1X 2 —
sin ot
叫做焦半径).
(1)坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换 (如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 )叫做坐标变换.实施
坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程
(2)坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平
移，简称移轴。
(3)坐标轴的平移公式：设平面内任意一点
M,它在原坐标系xOy 中的坐标是(x,y)，在新坐标系x ‘ O' y '
「x — x ? h L x' — x h
中的坐标是(x ',y ').设新坐标系的原点 O'在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则J " 或 —
]y = y'+k
y'= y -k
2 2 2 2
的渐近线方程为rn-g-如果双曲线的渐近线为；±；=0
时, 2
的双曲线方程可设为 冷
a
2
【备注2】抛物线:
=2px(p>0)的焦点坐标是("p ,0)，准线方程x=- -P ，开口向右；抛物线 y 2
=-2px(p>0)的焦点坐 准线方程x=-p
，开口向左；抛物线 X 2
=2py(p>0)的焦点坐标是(0,号)，准线方程yn-^ ，开
物线X 2
=-2 py (p>0)的焦点坐标是(0,- y ),准线方程y= ，开口向下.
2
p
2
(2)抛物线y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离|MF| = x 0 +—；抛物线y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)
⑸共渐近线的双曲线系方程:
A = A (A H 0). b
2
(1)抛物线
标是(-—,0) 2
口向上；
叫做平移(或移轴)公式.
(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:
六、椭圆的常用结论:
1.点P处的切线PT平分△ PF1F2在点P处的外角.
2.PT平分△ PF仆2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切
5. 若F0（x0, y。）在椭圆
2
7=1上，则过R的椭圆的切线方程是弩+ //=1.
b a b
6. 若F0（x0, y。）在椭圆
2
2
=1外，则过F0作椭圆的两条切线切点为P i、Pa，则切点弦P i P2的直线方程是b
x o x 亠y o y
2 2 I .
a
b2
7. >b>0）的左右焦点分别为F i, F2,点P为椭圆上任意一点N F i PF2 ，则椭圆的焦点角形的面积为S毎PF2 =b2tan f .
2
2、过椭圆i 茶 b 2
=1 (a >0, b >0)上任一点A(X 0,y 0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
B,C 两点，则直
线BC 有定向且
k
BC
_ b 2
X 0
a 2
y 0
(常数).
3、 若P 为椭圆
2
x_+y 2
a
2
b 2" (a > b > 0)上异于长轴端点的任一点C F2是焦点，N P 时2" 4、
a -c
a +c
a P =tan —cot —.
2
2
设椭圆 令+占=1 (a > b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△
a b
PFF 2中，记
P ..
sin J
,N F 1F 2P = Y ，则有一—-
c
=一 =e.
a
2
2
5、若椭圆务+占=1 (a > b > 0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2,
a b
左准线为L ,则当0 求一点P ,使得PF i 是P 到对应准线距离 d 与PF 2的比例中项. 2 2 8.椭圆 冷+爲=1 (a >b >0)的焦半径公式 I MR Aa+eX j , IMF 2 |=a — ex)(吒(—c,0) , F 2(c,0) a b M (X o ,y o )). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 两点，贝y MFL NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点 交于点N,贝y MFL NF. 2 2 2 11. AB 是椭圆 笃+笃=1的不平行于对称轴的弦，M (X 0,y 0)为AB 的中点，贝y k oM kAB=--T ，即K AB = a b a 【推论】： 2 2 2 1、若P 0(X 0,y 0)在椭圆 务 +^=1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 笃+爲=竽 b aba A(—a,0), A, (a,0)，与y 轴平行的直线交椭圆于 P 、R 时AP 与A ZR 交点的轨迹方程 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点， AP 和AQ 交于点 M AP 和AQ b X ~。 a y 。 2 2 X y 12.若F 0(X 0,y 0)在椭圆 —+ =1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 b 2 2 2 X 0X + y 0y 」十 y 0 —2 — —- ~—； a b 2 b 2 a 2 (a > b > o )的两个顶点为 2 2 X y 6、P 为椭圆 —=1 (a > b >0)上任一点,F I ,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 a b 2a —|AF 2凶PAI+I PF i I 兰2a + |AF i |,当且仅当A,F 2,P 三点共线时，等号成立. 7、椭圆皿+忖"与直线A x +By +C =0有公共点的充要条件是 A 2a 2 + B 2b 2 >(Ax o +By o +C)2. X 2 V 2 &已知椭圆 p+p=1 (a > b > 0), O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且 OP 丄OQ . (1) a b 2 2 2 2 12 ; (2) |0P|2 +|OQ|2 的最大值为 4a b 2 ; (3) S 西PQ 的最小值是 a b 2 b a +b a +b a 2 2 2 9、过椭圆务+每=1 a b (a > b > 0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交 x 轴于P, 则IPFUe |MN I 2 2 2 10、已知椭圆=1( a >b> 0) ,A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与X轴相交于点P(X0,O), 2.2 2.2 a - b a -b 贝y ----- X2 y2 11、设P点是椭圆—+ ^=1 ( a >b>0) 上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记N F1PF2=9 a b ，则(1) T F1||P切=1+说2b2Y .(2) S 应F1F2 =b2ta n^. 2 2 12、设A、B是椭圆务+占=1 ( a >b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，N PAB=a ,N pBA = P , a b 2 N BPA= V, c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) |P A22ab |2COS 2J.(2) tan a ta nP=1-e2.(3) s?b5co" 2 2 X y 13、已知椭圆一+牛=1 ( a >b> 0)的右准线丨与X轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、 B 两点，点 C 在右准线丨上，且BC 丄X 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线， 与以长轴为直径的圆相交， 15、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点 的连线必与焦半径互相垂直 16、 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 （注： 在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 17、 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18、 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 . 1、 点P 处的切线PT 平分△ PF I F 2在点P 处的内角. 2、 PT 平分△ PF I F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点. 3、 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线 相交. 4、 以焦点半径PF i 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 P 1P 2的直线方程是竽 a 线的焦点角形的面积为 2 先 S 应1PF 2 =b cot?. 2 7、双曲线 X 2 a （a > 0,b > 0）的左右焦点分别为 F i , F 2，点P 为双曲线上任意一点 N F i PF 2 ，则双曲 2 2 &双曲线x y =1 a 2 b 2 （a >0,b >0）的焦半径公式：（FJ-c,。）， F 2（c,0））当在右支上时, IMF 1 | = ex)中a ，| MF 2 | = ex)—a ；当 M(X 0, y 0)在左支上时，IMR 卜-eX)中a ，| MF ? |= -ex^ - a 。 9、 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于 焦点F 的双曲线准线于 M N 两点，贝U MF1 NF. 10、 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q, A1、A 为双曲线实轴上的顶点， AP 和AQ 交于点M A2P 和AiQ 交于点N,贝U MFX NF. 2 11、AB 是双曲线宁 a 2 占=1（ a > 0, b > 0）的不平行于对称轴的弦，M （X 0, y 0）为AB 的中点，则K OM M AB = b b 2 X 0 2 a y 。 b 2 X 0 2 。 a y 。 12、若F 0X o y o ）在双曲线 2 x 2 a 2 2 ；2 7a >0，b > 0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是管* 弋 2 b 2 e （离心 率）. 2 X 5、若P ）（X 0，y 0）在双曲线一 2 y 勺=1 ( a>0,b > 0) 上, 则过p o 的双曲线的切线方程是 X 0X —2~ a 計. X 2 6、若P ）（X 0,y 0）在双曲线 2 2 y -2 =1 ( a>0,b > 0) ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为 P l 、P 2，则切点弦 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 2 2 2 2 X y X y 13、若F 0(x 0,y 0)在双曲线 一 — 2^=1 (a >0,b >0)内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 — a b a b 【推论】： 2 2 1、双曲线x ^__y 2=1(a > 0,b >0)的两个顶点为 A(-a,0), A 2(a,0)，与y 轴平行的直线交双曲线于 P 、P 时 a b 2 2 A 1P 1与AP 2交点的轨迹方程是 冷+笃=1 . a 2 b 2 X 2 y 2 2、过双曲线 __务=1( a > 0,b > 0)上任一点 A(x 0,y 0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点, a b 则直线BC 有定向且k Bc =-聖(常数). a y 。 2 2 3、若P 为双曲线冷-爲 a 2 b 2 =1 (a > 0,b > 0) 右(或左)支上除顶点外的任一点 ,F 1, F 2 是焦点，^P F 1F 2 n c — a N P F 2F 1 = p ,则 "an 兰cotP c+a 2 2 (或 口 ian^cot 兰). c + a 2 2 2 4 、设双曲线—計 1( a >O'b >0) 的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△ PF 1F 2 中，记 ^F I PF 2 si n a =a , N PF 1F 2 =P , N F 1F 2P =Y ，则有 ------------ 弓 ------ =c = e . ±(sin 了 -sin P ) a 2 5、若双曲线—r "(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当1 时，可在双 a 2 曲线上求一点 P,使得PF I 是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 2 2 6、P 为双曲线 务—占=1 (a >0,b > 0) 上任一点,F I ,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则 a b | AF 2 | -2a 兰I PA I +1 PR I ,当且仅当A,F 2,P 三点共线且P 和A, F 2在y 轴同侧时，等号成 立. 2 2 7、双曲线 务―￡=1 (a > 0,b > 0)与直线Ax+By+ C=0有公共点的充要条件是 A 2a 2 - B 2b 2兰C 2. a b 2 2 &已知双曲线X 7—占=1 (b >a a b >0), O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且 OP 丄OQ . X 0X y 0y 2 X 2 v 2 9、过双曲线 —=1 (a > 0，b > 0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于 M ，N 两点，弦MN 勺垂直平分线交 a b X 轴于 P,贝U 1 PF 1 = ? I MN I 2 2 X 10、已知双曲线笃 a 2 —■V ^=1( a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P(X 0，O)， b 2丄J 则X0 > ——或 a 2 2 a +b X0 < - ------ a 2 2 11、设P 点是双曲线 务一■V r=1 (a > 0，b > 0)上异于实轴端点的任一点 F 1、F 2 为其焦点记NR PF 2=T ，则(1) a b IPF 1II S 送吋2 =b 2 cot#. 1 —cos0 2 X 2 v 2 12、设A 、B 是双曲线 一一一=1 (a > 0，b > 0)的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，N PAB =?， N P BA = P ， a b 2 2ab I co^^ I NBPA= V , c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1) |P A|= —2一 |a -c cos 了 I ⑵ tana tan P =1 -e 2 .(3) S^AB -2,2 =b^con. 2 2 X v 13、已知双曲线 —-^=1 (a > 0，b > 0)的右准线丨与X 轴相交于点E ，过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相 a b 交于A B 两点，点C 在右准线丨上，且BC 丄X 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 16、双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 ) . 17、双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项 ①av 2 切c =X 顶点(皆一2a). ②y2 =2px（p H0）则焦点半径|PF|」x+p； I I T 2 ③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的=2py(p H0)则焦点半径为|PF i-l y+J I门2 ④y2=2px （或X2=2py ）的参数方程为 |x=2pt2 (或(x=2 pt2)( t 为参数). l y =2 pt p =2 pt y# 圆锥曲线椭圆双曲线抛物线 标准方程(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 y^2=2 px p>0 范围x€[-a,a] y€[-b,b] X €(- s, _a] U [a,+ g) y€R X € [0,+ g) y €R 对称性关于X轴,y轴,原点对称关于X轴,y轴,原点对称关于X轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点(c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2-b^2】(c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2+b^2】 (p /2,0) y2=2 px y2 = -2 px X2=2 py X2 = — 2py 图形 焦点Fep’o) F (烤,0) F（0￥）F(Q￡准线 范围X >0, y € R X <0, y € R X € R, y >0 对称轴 顶点离心率(0,0) e =1 焦点|p F|=舟+xi |P F号“i||p F +y i X =0，得y = ±b，贝U B i（0, -b），B2（0,b）是椭圆与y轴的两个交点。同理令y = 0得x = ±a，即A（一a,0）， A2（a,0）是椭圆与X轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段AA、B,B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b , a和b分别叫做椭圆的长 1 .到两定点F1 ,F 2的距离之 和为定值2a(2a>|F尸2|)的 点的轨迹 2 .与定点和直线的距离之 比为定值e的点的轨迹. (0 圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程， 圆锥曲线 一、椭圆 1、定义:平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆. 即:|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10x y a b a b +=>> ()22 22 10y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<<ｅ越小，椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁 ? 二、双曲线 １、定义：平面内与两个定点1F ,2F 的距离之差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹称为双曲线.即:|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 22 10,0x y a b a b -=>> ()22 22 10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥,x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 ()2 211c b e e a a ==+>,e 越大,双曲线的开口越阔 渐近线方程 b y x a =± a y x b =± 三、抛物线 圆锥曲线题型总结 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点 1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2） 圆锥曲线常用结论 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 圆锥曲线常用结论（自己选择） 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、 P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一 点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴 上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -， 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义： 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ 2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程： i. 中心在原点，焦点在x 轴上： ) 0(12 22 2φφb a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上： )0(12 22 2φφb a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(12 2 φφB A By Ax =+.③椭圆的参数方程： 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θππ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线：c a x 2 ±=或 c a y 2±=.⑥离心率：)10(ππe a c e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则： 证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201φπx a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起 来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则： ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2 22b d a =；坐标：22(,),(,)b b c c a a - 4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12 22 2φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程 t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0φφb a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆： 12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2 cot 2θ ?b . 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α) 第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。 高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 椭圆与双曲线--经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的距离，F ?，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 圆锥曲线基本题型总结：提纲： 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1. 定义法求标准方程： (1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：(注意细节的处 理) 1.设F1, F2 为定点，|F1F2| =6,动点M满足|MF1| + |MF2| = 6,则动点M的轨 迹是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注：2a>|F1 F2| 是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】 2. 设 B - 4,0) , C4,0),且厶ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为) x2 y2 y2 x2 A.25+ -9 = i y z0) B.25^9 = 1 徉0) x2 y2 y2 x2 C.^+16= 1 y z 0) D￡+_9 = 1 y z 0) 【注：检验去点】 3. 已知A0, - 5)、B0,5) ,|PA| - |PB| = 2a,当a= 3 或 5 时，P点的轨迹为) A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线 C. 双曲线一支或一条直线 D. 双曲线一支或一条射线【注：2av|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程 (,)0f x y =的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标 的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系：若曲线C 的方程是(,)0f x y =，则点000(,)P x y 在曲线C 上?00(,)0f x y =；点000(,)P x y 不在曲线C 上?00(,)0f x y ≠. 两条曲线的交点：若曲线1C ，2C 的方程分别为1(,)0f x y =，2(,)0f x y =，则点000(,)P x y 是1C ，2C 的交点 ?{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没 有交点. 二、圆： 1、定义：点集{|}M OM r =，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆方程是2 2 2 ()()x a y b r -+-= 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是2 2 2x y r += (2)一般方程：①当22 40D E F +->时，一元二次方程2 20x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程，圆心为 )2 ,2(E D -- 半径是2. 配方，将方程22 0x y Dx Ey F ++++=化为 22224()()224 D E D E F x y +-+++= ②当2 2 40D E F +-=时，方程表示一个点)2 ,2(E D -- ③当2 2 40D E F +-<时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心(,)C a b ，半径为r ，点M 的坐标为00(,)x y ，则||MC r < ?点M 在圆C 内，||MC r =?点M 在圆C 上，||MC r >?点M 在圆C 外，其中||MC = （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点. ②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心(,)C a b 到直线0Ax By C ++=的距离 2 2 B A C Bb Aa d +++= 与半径r 的大小关系来判定. §8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212 1 2121 2121 ,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：) 0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：) 0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程： 1 2 22 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于2 0π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2 ± =或c a y 2 ± =. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，2 1,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，2 1,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()( ),0()(0002 2 002 01 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+ =归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：) , (22 2 2 a b c a b d -= 和) , (2 a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 ) 0(12 22 2 b a b y a x =+ 的离心率是) (2 2 b a c a c e -= = ，方程 t t b y a x (2 22 2=+ 是大于 0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：1 2 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 余弦定理与a PF PF 22 1 =+可得）. 若 12, PF PF ⊥此三角形面积为2 b ； 若是双曲线，则面积为 2 cot 2 θ ?b . ? -=+=02 01 ,ex a PF ex a PF ? -=+=02 01,ey a PF ey a PF 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2） 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在， 求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理 椭圆问题小结论： 1.与椭圆22 221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22 221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=> 或()22 22,0x y b a λλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22 221x y a b +=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点 (),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：2 2AB OP b K K a ?=-；若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，2 2AB OP a K K b ?=-； 4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为20 20 b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 6. 椭圆的方程为22 221x y a b +=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆 上异于,A B 两点的任一点，则有2 2PA PB b K K a =- 圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 圆锥曲线知识点全归纳（精华版） 圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到 定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0 1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)- (y^2/b^2)=1? 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)- (x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程： x=asecθy=btanθ(θ为参数) 3）抛物线 标准方程： 1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px其中p>0 2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px其中p>0 3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py其中p>0 4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py其中p>0 参数方程? x=2pt^2?y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0 直角坐标? 圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12 222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 3．与双曲线x 2a 2－ y 2 b 2 ＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－ y 2 b 2 ＝λ(λ≠0)， 渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－ y 2 b 2 ＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－ y 2b 2 ＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为 k ，则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)
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