高考圆锥曲线题型归类总结
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12 圆锥曲线的七种常考题型题型一:定义的应用 1、圆锥曲线的定义:(1) 椭圆(2) 双曲线(3) 抛物线2、定义的应用(1) 寻找符合条件的等量关系(2) 等价转换,数形结合3、定义的适用条件: 典型例题例 1、动圆 M 与圆 C : ( x +1)2+ y 2 = 36 内切,与圆 C : ( x -1)2+ y 2 = 4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。
例 2、= 8 表示的曲线是题型二:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):1、椭圆:由 x2、y 2 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线:由 x 2、y 2 系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;3、抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
典型例题x 2例 1、已知方程+ y 2 2 - m= 1表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是例 2、k 为何值时,方程 x 2 9 - k- y25 - k = 1 表示的曲线:(1)是椭圆;(2)是双曲线.m -1332 题型三:圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解2、 PF 1 = m ,PF 2 = n , m + n ,m - n ,mn ,m 2 + n 2 四者的关系在圆锥曲线中的应用典型例题x 2 例 1、椭圆 a 2 + y2b 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P 与两个焦点 F 1,F 2 的张角∠F 1PF 2 =,求∆F 1PF 2 的面积。
例 2、已知双曲线的离心率为 2,F 1、F 2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且∠F 1PF 2 = 60 ,S ∆F PF = 12 .求该双曲线的标准方程 1 2题型四:圆锥曲线中离心率,渐近线的求法1、a ,b ,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值;2、a ,b ,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围;3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例 1、已知 F 、 Fx 2 是双曲线-y2=( )的两焦点,以线段 F F 为边作12a2b1 a > 0,b > 0 12 正三角形MF 1F 2 ,若边 MF 1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )A. 4 + 2B.x 2 y 2- 1 C.3 + 1D. + 12例 2、双曲线 - a 2 b 2= 1 (a > 0,b > 0) 的两个焦点为 F 1、F 2,若 P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3)B. (1,3] C.(3,+ ∞ )D. [3, +∞)3 31 + k 2(x - x ) 1 21 + 1( y - y ) k 21 2 2 + < 2 + = 2 + >x 2 y 2例 3、椭圆G : + a 2 b2= 1(a > b > 0) 的两焦点为 F 1 (-c , 0), F 2 (c , 0) ,椭圆上存在点 M 使 F 1M ⋅ F 2 M = 0 . 求椭圆离心率e 的取值范围;x 2 例 4、已知双曲线 a 2- y 2= 1(a > 0,b > 0) 的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为60︒ 的直线b 2与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(A ) (1, 2](B ) (1, 2) (C )[2, +∞) (D ) (2, +∞)题型五:点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔x y 2 a2b21点在椭圆上⇔x y 2 a 2 b 2 1点在椭圆外⇔x y 2 a2b212、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:∆ >0 ⇔ 相交 ∆ =0 ⇔ 相切 (需要注意二次项系数为 0 的情况)∆ <0 ⇔ 相离3、弦长公式:AB = x 1 - x 2 = =AB = y 1 - y 2 = = 1 + k 21 + k2 ∆a1 + 1 k2 1 + 1 k 2 ∆ a2 2 4、圆锥曲线的中点弦问题: 1、韦达定理:2、点差法:(1) 带点进圆锥曲线方程,做差化简(2) 得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例 1、双曲线 x 2-4y 2=4 的弦 AB -被点 M (3,-1)平分,求直线 AB 的方程.例 2、已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆与直线 l :x+y=1 交于 A,B 两点,C 是 AB的中点,若|AB|=2 ,O 为坐标原点,OC 的斜率为 ,求椭圆的方程。
目录圆锥曲线十大题型全归纳题型一弦的垂直平分线问题 (2)题型二动弦过定点的问题 (3)题型三过已知曲线上定点的弦的问题 (4)题型四共线向量问题 (5)题型五面积问题 (7)题型六弦或弦长为定值、最值问题 (10)题型七直线问题 (14)题型八轨迹问题 (16)题型九对称问题 (19)题型十存在性问题 (21)圆锥曲线题型全归纳题型一:弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N :2y x =交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E(0x ,0),使得ABE ∆是等边三角形,若存在,求出0x ;若不存在,请说明理由。
题型二:动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32,且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程;(II )若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点,直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E :22221x y a b+= (0)a b >>上的三点,其中点A (23,0)是椭圆的右顶点,直线BC 过椭圆的中心O ,且0AC BC =,2BC AC =,如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程;(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ,使得直线PC 与直线QC 关于直线3x =对称,求直线PQ 的斜率。
题型四:共线向量问题1:如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上,点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I )求曲线E 的方程;II )若过定点F (0,2)的直线交曲线E 于不同的两点G 、H (点G 在点F 、H 之间),且满足FH FG λ=,求λ的取值范围.2:已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点,离心率为5.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若1MA AF λ=,2MB BF λ= ,求证:1210λλ+=-.题型五:面积问题例题1、已知椭圆C :12222=+by a x (a >b >0)的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
圆锥曲线高考题型总结一、曲线与方程的结合问题,它是高考中最为常见也是最难把握住解答要领的题型之一。
由于这种题目涉及到了圆锥曲线的基本性质(椭圆),在考查学生对圆锥曲线的理解掌握情况以及图形转化等综合能力上占有很大的比重,而且各地区高考卷中此类试题所占分值相当多。
特别是2008年高考数学江苏卷(第27题)、广东卷(第18题)都对此进行了精彩展示。
该类问题经过几次高考的检验,仍然存在不少“陷阱”,导致部分同学得分率低下,甚至失误,因此我们必须认真总结出高考圆锥曲线的解法思路与技巧并熟练运用才可取得好成绩。
对待此类题目应注意:1.审清已知条件确定曲线方程;2.寻找未知量间的函数关系;3.联立方程求解。
二、点斜式、斜截式和截距式方程的结合问题,尤其是若干个解直角三角形及相似三角形的综合问题,在考查学生的运算能力和空间想象能力上具有较强的灵活性和综合性,命题具有较大的开放度,给学生留下更多自主发挥的余地。
另外还包括简单的不等式(组)的应用题、几何变换等问题。
对待此类问题,首先要明确目标——根据题意设出两点间的一般式,从中找出满足条件的 x 值,再通过列表或图像转化来求得方程。
具体方法如下:1.根据实际情境建立直角坐标系,并利用向量来求点的坐标;2.利用解析几何证明点的轨迹是某条抛物线或双曲线。
其次要正确处理好以下几点:①抓紧一般式,分离出未知量,②利用向量化归出方程③建立新坐标系列方程④求出新方程⑤判断正确否⑥写出文字叙述二、点斜式、斜截式和截距式方程的结合问题,尤其是若干个解直角三角形及相似三角形的综合问题,在考查学生的运算能力和空间想象能力上具有较强的灵活性和综合性,命题具有较大的开放度,给学生留下更多自主发挥的余地。
另外还包括简单的不等式(组)的应用题、几何变换等问题。
对待此类问题,首先要明确目标——根据题意设出两点间的一般式,从中找出满足条件的 x 值,再通过列表或图像转化来求得方程。
具体方法如下:1.根据实际情境建立直角坐标系,并利用向量来求点的坐标;2.利用解析几何证明点的轨迹是某条抛物线或双曲线。
圆锥曲线中综合问题【考情分析】1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容,常见的热点题型有:范围、最值问题,定点、定值问题,探索型问题等.2.以解答题的压轴题形式出现,难度较大,重在提升逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.【题型一】圆锥曲线中的最值、范围问题【典例分析】1.(2021·山东滕州一中高三模拟)已知椭圆22:143x y C +=的左顶点为A ,过其右焦点F 作直线交椭圆C 于D ,E (异于左右顶点)两点,直线AD ,AE 与直线:4l x =分别交于M ,N ,线段MN 的中点为H ,连接FH .(1)求证:FH DE ⊥;(2)求DEH △面积的最小值.【解析】(1)由已知得(1,0)F ,设()11,D x y ,()22,E x y ,直线DE 的方程为1x my =+,与椭圆方程联立得()2234690m y my ++-=,122634m y y m +=-+,122934y y m =-+设直线AD 的方程为11(2)2y y x x =++,与直线:4l x =联立得1164,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2264,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭,则()()()12121221212123233323339M N H my y y y y y y y y m my my m y y m y y ++⎛⎫+==+==- ⎪+++++⎝⎭,(4,3)H m ∴-,3041FH m k m --==--,当0m =时,显然DE FH ⊥;当0m ≠时,()11DE FH k k m m⨯=⨯-=-时,DE FH ⊥,综上,可得DE FH ⊥.(2)12234y y m -===+()2122121||34m DE y y m +=-=+,H 到直线DE的距离d ==(221811||234DFHm S DE d m +=⨯=+△,设2211t m t =≥⇒=-,()3322()(1)31314t t f t t t t ==≥+-+,()422233'()031t t f t t +=>+()f t ∴在[1,)+∞上单调递增,min 1()(1)4f t f ==,当1t =,即0m =时取得最小值.DEH ∴ 面积的最小值是92.2.(2021·山东省实验中学高三模拟)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 是椭圆C上位于第二象限的任一点,直线l 是12F PF ∠的外角平分线,直线2PF 交椭圆C 于另一点Q ,过左焦点1F 作l 的垂线,垂足为N ,延长1F N 交直线2PF 于点M ,||2ON =(其中O 为坐标原点),椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)求1PF Q 的内切圆半径r 的取值范围.【解析】(1)由题意可得1||||F N NM =,且1||||PF PM =,所以1222||||||||||2PF PF PM PF MF a +=+==,因为O ,N 分别为线段12F F ,1F M 的中点,所以ON 为12MF F △的中位线,所以2//ON MF 且21||||22ON MF a ===,由12c a =,222a b c =+得23b =,所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)由(1)知2(1,0)F ,设直线2PF 的方程为1(0)x my m =+≠,由点P 在第二象限求得33m <.设11(,)P x y ,22(,)Q x y ,由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=,由根与系数的关系得122634m y y m +=-+,122934y y m =-+,所以12212121212211121||||2()42234PF Q m S F F y y y y y y m +=⋅⋅-=⨯+-+△,令2231()3t m t =+>,则221m t =-,所以12212121213(1)4313PF Q t t S t t t t===-+++△,因为13y t t=+在233t >时单调递增,所以15332y t t =+>所以11283153PF Q S t t=∈+△,又11111(||||||)4422PF Q S PF PQ QF r a r r =++⋅=⋅⋅=△,所以83045r <<,即305r <<,所以1PF Q 内切圆半径r 的取值范围是23)5.【提分秘籍】求解圆锥曲线中最值、范围问题的主要方法(1)几何法:若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法:若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系,或者不等关系,或者已知参数与新参数之间的等量关系等,则利用代数法求参数的范围.【变式演练】1.(2021·辽宁本溪高级中学高三模拟)已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点,椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若M 为椭圆C 上的点,以M 为圆心,MF 长为半径作圆M ,若过点(1,0)E -可作圆M 的两条切线,EA EB (,A B 为切点),求四边形EAMB 面积的最大值.【解析】(1)根据题意椭圆上任意一点到点F 距离的最大值为3,最小值为1.所以31a c a c +=⎧⎨-=⎩,解得2,1a c ==,所以b =因此椭圆C 的标准方程为22143x y +=(2)由(1)知,()1,0E-为椭圆的左焦点,根据椭圆定义知,||||4ME MF +=,设|r MF MB ==|,∵点E 在圆M 外,∴||4ME r r =->,∴12r ≤<所以在直角三角形MEB 中,||EB ==1||||2MEB S EB MB =⋅= ,由圆的性质知,四边形EAMB面积22MEB S S == ,其中12r ≤<.即)12S r =≤<.令()322412y r r r =-+≤<,则2682(34)y r r r r '=-+=--当413r <<时,0y '>,3224y r r =-+单调递增;当423r <<时,0y '<,3224y r r =-+单调递减.所以,在43r =时,y 取极大值,也是最大值此时maxS ==2.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,直线10x y ++-=与以椭圆C 的右焦点为圆心,椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)BMN △是椭圆C 的内接三角形,若坐标原点O 为BMN △的重心,求点B 到直线MN 距离的取值范围.【解析】(1)设椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点()2,0F c ,则以椭圆C 的右焦点为圆心,椭圆C 的长半轴长为半径的圆:()222x c y a -+=,所以圆心到直线10x y ++=的距离d a ==,又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,所以2,a c b ==,解得:2,1a b c ===,所以椭圆的标准方程为22143x y +=;(2)设(),B m n ,设,M N 的中点为D ,直线OD 与椭圆交于A,B 两点,因为O 为BMN △的重心,则2BO OD OA ==,所以,22m n D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 距离的3倍.当MN 的斜率不存在时,点D 在x 轴上,所以此时B 在长轴的端点处.由2OB =得:1OD =,则O 到直线MN 距离为1,B 到直线MN 距离为3;当MN 的斜率存在时,设()()1122,,,M x y N x y ,则有:22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得:()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=,因为D 为,M N 的中点,所以1212,x x m y y n +=-+=-,所以121234y y mk x x n-==--,所以直线MN 的方程为3242n m m y x n ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭,即2268430mx ny n m +++=,所以原点O 到直线MN距离22d =.因为22143m n +=,所以223124m n =-,所以22d ===因为203n <≤,所以3<≤13≤<,所以332d ≤<综上所述,33332d ≤≤.即点B 到直线MN 距离的取值范围33,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【题型二】圆锥曲线中的定点、定值问题【典例分析】1.(2021浙江镇海中学高三模拟)已知()0,1F 且满足1PF x =+的动点(),P x y 的轨迹为C.(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)如图,过点()1,0-T 的斜率大于零的直线与曲线C 交于D ,M 两点,()1,1Q -,直线DQ 交曲线C 于另外一点N ,证明直线MN 过定点.【解析】(1)∵1PF x =+,1x ≥-1x =+,等式两边平方整理得24y x =.(2)证明:设()11,M x y ,()22,N x y ,()33,D x y .由21123344y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得1313134DM y y k x x y y -==-+.所以直线DM 的方程为()11134y y x x y y -=-+,整理得()13134y y y x y y +=+(*).因为点T 在直线上,所以134y y =①,同理直线DN 的方程为()23234y y y x y y +=+,因为点Q 在直线上,所以()23234y y y y -+=+②.由①②两式得2211444y y y y ⎛⎫-+=+⋅ ⎪⎝⎭,整理得()121244y y y y =-+-.由(*)式同理知直线MN 的方程为()12124y y y x y y +=+,所以()()1212124444y y y x y y x y y +=+=-+-,整理得直线MN 的方程为()()()12441y y y x ++=-,所以直线MN 过定点()1,4-.2.(2021·天津八中高三模拟)已知椭圆C :2221(0)6x y b b+=>的左、右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c ,P 为椭圆C 上任意一点,三角形12PF F 面积的最大值是3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)若过点()2,0的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,且9,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭,证明:QA QB ⋅ 为定值.【解析】(Ⅰ)由题意知226c b =-,当P 点位于椭圆C 短轴端点时,三角形12PF F 的面积S 取最大值,此时max 1232S c b bc =⨯⨯==.所以229b c =,即()2269bb -=,解得23b=.故椭圆C 的方程为22163x y +=.(Ⅱ)(方法1)当直线l 的斜率不为0时,设直线l :2x my =+交椭圆于()()1122,,,A x y B x y .由22226x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得,()222420m y my ++-=.则12122242, 22m y y y y m m +=-=-++.而112299,,,44QA x y QB x y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以()()2121212129911144416QA QB x x y y m y y m y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=+-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()222222141211512421621616m m m m m m m --⎛⎫⎛⎫=+---+=+=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.当直线l 的斜率为0时,(A B ,则998115,0,06441616QA QB ⎫⎛⎫⋅=⋅=-+=-⎪ ⎪⎭⎝⎭ .故QA QB ⋅ 为定值,且为1516-.(方法2)当直线l 的斜率存在时,设直线l :()2y k x =-交椭圆于()()1122,,,A x y B x y .由22(2)26y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 得,()2222218860k x k x k +-+-=.则2122821k x x k +=+,21228621k x x k -=+.而112299,,,44QA x y QB x y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()()222121212129998112444416QA QB x x y y k x x k x x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=+-++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()22222228698811242142116k k k k k k k -⎛⎫=+⋅-+⋅++⎪++⎝⎭22126818115621161616k k --=+=-+=-+.当直线l 的斜率不存在时,可求得()()2,1,2,1A B -,则991152,12,11441616QA QB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故QA QB ⋅ 为定值,且为1516-.【提分秘籍】1.求定值问题的思路方法(1)思路:求解定值问题的基本思路是使用参数表示要解决的问题,然后证明与参数无关,这类问题选择消元的方向是非常关键的.(2)方法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2.求定点问题的解题方法(1)动直线l 过定点问题:设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t 用k 表示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0).(2)动曲线C 过定点问题:引入参变量建立曲线C 的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.【变式演练】1.(2021·广东华南师范大学附属中学高三模拟)设A ,B 为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右顶点,直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ,N 两点,当直线l 垂直于x 轴时,AMN 为等腰直角三角形.(1)求双曲线C 的离心率;(2)已知直线AM ,AN 分别交直线2ax =于,P Q 两点,当直线l 的倾斜角变化时,以PQ 为直径的圆是否过定点,若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.【解析】(1)由l x ⊥轴时,AMN 为等腰直角三角形,可得||||||AF NF MF ==,所以2ba c a+=,即2220c ac a --=,故220e e --=,结合1e >,解得2e =.故双曲线C 的离心率为2.(2)因为2c e a ==,所以双曲线:C 222213x y a a-=,显然直线l 的斜率不为0,设直线:2l x my a =+,11(,)M x y ,22(,)N x y ,联立直线l 与双曲线C 的方程得2222213x my a x y a a=+⎧⎪⎨-=⎪⎩,化简得222(31)1290m y amy a -++=,根据根与系数的关系,得2121222129,3131am a y y y y m m +=-⋅=--,①所以121224()431ax x m y y a m -+=++=-,②222221212122342()431a m a x x m y y am y y a m --⋅=⋅+++=-,③设直线:AM 11()y y x a x a =++,直线:AN 22()y y x a x a=++,令2ax =,可得121233(,),(,)22()22()ay ay a a P Q x a x a ++,设()G x y ,是以PQ 为直径的圆上的任意一点,则0PG QG ⋅=,则以PQ 为直径的圆的方程为2121233()[][]022()2()ay ay a x y y x a x a -+--=++,由对称性可得,若存在定点,则一定在x 轴上,令0y =,可得2121233()022()2()ay ay a x x a x a -+⋅=++,即2212212129()024[()]a y y a x x x a x x a -+=+++,将①②③代入,可得22222222229931()034424()3131a a a m x a m a a a a m m ⋅--+=---+⋅+--,即229(24a x a -=,解得x a =-或2x a =,所以以PQ 为直径的圆过定点(,0)a -,(2,0)a .2.(2021·山师大附中高三模拟)已知圆(22:12C x y +=,动圆M过点)D且与圆C 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程;(2)假设直线l 与轨迹E 相交于A ,B 两点,且在轨迹E 上存在一点P ,使四边形OAPB 为平行四边形,试问平行四边形OAPB 的面积是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.【解析】(1)因为CD =<,所以点D 在圆内.又因为圆M 过点D 且与圆C相切,所以MC MD =,所以MC MD CD +=>.即点M 的轨迹是以C ,D 为焦点的椭圆.则2a =,即a =又因为222a b -=,所以21b =.故动圆圆心M 的轨迹E 的方程为:2213x y +=.(2)当直线AB 的斜率不存在时,可得直线AB 的方程为32x =±,此时32A y =,所以四边形OAPB 的面积32S =.当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y kx m =+,由22,13y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得,()()222316310k x kmx m +++-=.因为直线l 与轨迹E 相交于A ,B 两点,所以()()()222222361231112310k m k m k m =-+-=-+>△.设()11,A x y ,()22,B x y ,则122631kmx x k +=-+,()21223131m x x k -=+.所以()121222231my y k x x m k +=++=+.设AB 的中点为Q ,则Q 的坐标为223,3311km m k k ++⎛⎫-⎪⎝⎭.因为四边形OAPB 为平行四边形,所以22622,3131km m OP OQ k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,所以点P 的坐标为2262,3131km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭.又因为点Р在椭圆上,所以222262311331km m k k ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭+= ⎪+⎝⎭.整理得,22431m k =+.又因为12223131AB x k k =-==++,原点О到直线AB的距离为d =所以平行四边形OAPB的面积322AOBS S AB d ==⋅== .综上可知,平行四边形OAPB 的面积为定值32.1.(2021·江苏南京师范大学附属中学高三模拟)已知抛物线2:2(0)C y px p =>,满足下列三个条件中的一个:①抛物线C 上一动点Q 到焦点F 的距离比到直线:1m x =-的距离大1;②点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7;③该抛物线C 被直线:20n x y --=所截得弦长为16.请选择其中一个条件解答下列问题.(1)求抛物线C 的标准方程;(2)O 为坐标原点,直线l 与抛物线C 交于M ,N 两点,直线OM 的斜率为1k ,直线ON 的斜率为2k ,当124k k ⋅=-时,求OMN 的面积的最小值.【解析】(1)若选择①,则抛物线C 上一动点Q 到焦点F 的距与到直线:2m x =-的距离相等,故22p=,故4p =,所以抛物线的方程为28y x =.2=72p +,解得4p =,故抛物线的方程为28y x =.若选择③,则由222y x y px=-⎧⎨=⎩可得2240y py p --=,16=,解得4p =,故抛物线的方程为28y x =.(2)设:MN x my n =+,()11,M x y 、()22,N x y ,因为MN 与抛物线C 相交于M 、N ,所以将:MN x my n =+代28y x =消去x 得:2880y my n --=,则264640m n ∆=+>且128y y m +=,128y y n ⋅=-,由题意可知111y k x =,222y k x =,所以1212122212121264644888y y y y k k y y x x y y n ⋅⋅=⋅====-⋅-⋅,所以2n =,所以OMN的面积1212122S y y y y =⨯⨯-=-=≥,当且仅当0m =时等号成立,所以OMN的面积的最小值为2.(2021·重庆第一中学高三模拟)已知A ,B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点,F 为右焦点,点P 为C 上的一点,PF 恰好垂直平分线段OB (O 为坐标原点),32PF =.(1)求椭圆C 的方程;(2)过F 的直线l 交C 于M ,N 两点,若点Q 满足OQ OM ON =+(Q ,M ,N 三点不共线),求四边形OMQN面积的取值范围.【解析】(1)由题意可知(),0F c ,(),0B a ,∵PF 恰好垂直平分线段OB ,∴2a c =,令x c =,代入22221x y a b +=得:2b y a =±,∴232b a =,∴2222232a cba abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴椭圆C 的方程为:22143x y +=.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为:1x my =+,设()11,M x y ,()22,N x y ,联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去x 得:()2234690m y my ++-=,∴()223636340m m ∆=++>,∴122634m y y m -+=+,122934y y m -=+,设MN 的中点为E ,则2OQ OM ON OE =+=,∴MN 与OQ 互相平分,四边形OMQN 为平行四边形,∴OMQN S 平行四边形2OMN S =△12122OF y y =⨯⨯⨯-12y y =-==212134m=+,令1t =≥,则()2121211313OMQN t S t t t t==≥++平行四边形,∵11333y t t t t ⎛⎫ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在[1,)+∞上单调递增,∴134t t+≥,∴(]120,313t t∈+,∴03OMQN S <≤平行四边形.综上所述,四边形OMQN 面积的取值范围为(0,3].3.(2021·浙江杭州高级中学高三模拟)已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ,点P 为抛物线C 上一点,点P 到F 的距离比点P 到x 轴的距离大1.过点P 作抛物线C 的切线,设其斜率为0k .(1)求抛物线C 的方程;(2)直线:l y kx b =+与抛物线C 相交于不同的两点A ,B (异于点P ),若直线AP 与直线BP 的斜率互为相反数,证明:00k k +=.【解析】(1)解:设点()00,P x y ,由点P 到F 的距离比点P 到x 轴的距离大1,可得01PF y =+,即0012py y +=+,所以2p =,即抛物线C 的方程为24x y =.(2)证明:设()11,A x y ,()22,B x y ,直线AP 的斜率为AP k ,直线BP 的斜率为BP k ,则()101010AP y y k x x x x -=≠-,()202020BP y yk x x x x -=≠-.因为直线AP 与直线BP 的斜率互为相反数,所以AP BP k k =-,即10201020y y y y x x x x --=---,又点()11,A x y ,()22,B x y 均在抛物线上,可得222200211020444x x x x x x x x --=---,化简可得1202x x x +=-,因为2114x y =,2224x y =,所以()2212124x x y y -=-,即1212124y y x x x x -+=-,故012122x y y k x x -==--,因为24x y =,所以214y x =,所以1 2y x '=,则0012k x =,故00k k +=.4.(2021·湖南长沙长郡中学高三模拟)已知椭圆E :()222210x y a b a b+=>>上有一点A ,点A 在x 轴上方,1F ,2F分别为E 的左,右焦点,当△12AF F 121sin 2AF F ∠=.(Ⅰ)求E 的标准方程;(Ⅱ)若直线l 交E 于P ,Q 两点,设PQ 中点为M ,O 为坐标原点,2PQ OM =uu u r uuu r,作ON PQ ⊥,求证:ON为定值.【解析】(Ⅰ)由椭圆的性质知,△12AF F 的面积取最大时,A 为椭圆的上顶点,即(0,)A b ,而12||2F F c =,∴12121||||2AF F S F F OA bc =⋅== 121sin 2b AF F a ∠==,又222a bc =+,∴24a =,21b =,可得E 的标准方程2214x y +=.(Ⅱ)由题意,2PQ OM =uu u r uuu r且PQ 中点为M ,易得90POQ ∠=︒,即OP OQ ⊥,若直线l 斜率不存在时,P ,Q 关于x 轴对称,2PQ OM =uu u r uuu r知:横纵坐标的绝对值相等,不妨假设P 在第一象限,则(,)P m m ,(,)Q m m -在椭圆上,∴255m =,此时,M N 两点重合,即255ON =;若直线l 斜率为0时,同理可得255ON =,若直线l 斜率存在且不为0时,设直线l 为(0)y kx b b =+≠,11(,)P x y ,22(,)Q x y ,则11(,)OP x y = ,22(,)OQ x y =,且12120x x y y +=,联立椭圆与直线得:222(41)84(1)0k x kbx b +++-=且2216(41)0k b ∆=-+>,∴122841kb x x k +=-+,21224(1)41b x x k -=+,即2222222221212122224(1)84()414141k b k b b k y y k x x kb x x b b k k k --=+++=-+=+++,∴222222224(1)45440414141b b k b k k k k ----+==+++,即||b =.∴||5ON==,为定值.5.(2021·天津南开中学高三模拟)已知点A,B分别为椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的左顶点和上顶点,且坐标原点O到直线AB 的距离为61313,椭圆E的离心率是方程2650x-+=的一个根.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若(3,0)P,过P作斜率存在的两条射线PM,PN,交椭圆E于M,N两点,且PM PN⊥,问:直线MN经过定点吗?若经过,求出这个定点坐标;若不经过,说明理由.【解析】(1)因为椭圆E的离心率是方程2650x-+=的一个根,所以2e=或3e=.因为椭圆E的离心率(0,1)e∈,所以53e=.因为3ca=,所以2295a c=,所以222245b ac c=-=,因为点A,B分别为椭圆E的左顶点和上顶点,所以||AB===.因为坐标原点O到直线AB 的距离为61313,所以11||22ab AB=,=⨯,所以c=,所以29a=,24b=,所以椭圆E的标准方程为22194x y+=.(2)当直线MN的斜率存在时,设MN:y=kx+m,由22194y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消元并化简得222(49)189360k x kmx m+++-=,设1122(,),(,)M x y N x y ,则1221849km x x k +=-+,212293649m x x k-=+,又(3,0)P ,PM PN ⊥,所以1212133y yx x ⋅=---,所以1212123()9()()0x x x x kx m kx m -+++++=,即221212(1)(3)()(9)0k x x km x x m ++-+++=,所以2222293618(1)(3)(9)04949m kmk km m k k--++-++=++,所以2222(1)(936)(3)(18)(9)(49)0k m km km m k +-+--+++=,即224554130k km m ++=,所以30k m +=或15130k m +=,当30k m +=时,(3)y k x =-,此时M ,N ,P 重合,舍去.当15130k m +=时,15(13y k x =-,恒过点15(,0)13.当直线MN 的斜率不存在时,MN ⊥x 轴,设(),3M t t -,则()223194t t -+=,解得1513t =,所以此时直线MN 也过点15(,0)13.所以直线MN 恒过定点15(,0)13.6.(2021·湖南长郡中学高三模拟)已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ,准线为l .设过点F 且不与x 轴平行的直线m 与抛物线C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,过M 作直线垂直于l ,垂足为N ,直线MN 与抛物线C 交于点P .(1)求证:点P 是线段MN 的中点.(2)若抛物线C 在点P 处的切线与y 轴交于点Q ,问是否存在直线m ,使得四边形MPQF 是有一个内角为60︒的菱形?若存在,请求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由.【解析】(1)证明:由题意知直线m 的斜率存在且不为0,故设直线m 的方程为1(0)y kx k =+≠,代入24x y =,并整理得2440x kx --=.所以216160k ∆=+>,设()11,A x y ,()22,B x y ,则124x x k +=,124x x =-.设()00,M x y ,则12022x x x k +==,200121y kx k =+=+,即()22,21M k k +.由MN l ⊥,得(2,1)N k -,所以MN 中点的坐标为()22,k k.将2x k =代入24x y =,解得2y k =,则()22,P k k ,所以点P 是MN 的中点.(2)由24x y =,得24x y =,则'2x y =,所以抛物线C 在点()22,P k k的切线PQ 的斜率为k ,又由直线m 的斜率为k ,可得m PQ ∥;又M N y ∥轴,所以四边形MPQF 为平行四边形.而||MF ==()222||211MP k k k =+-=+,由||||MF MP =,得21k =+,解得3k =±,即当3k =±时,四边形MPQF 为菱形,且此时2||1||||PF k MP MF ==+==,所以60PMF ∠=︒,直线m 的方程为13y x =±+,2即0x +=或0x +=,所以存在直线m ,使得四边形MPQF 是有一个内角为60︒的菱形.。
圆锥曲线是高中数学必考考点,13种常见大题题型及解题模板
总结
圆锥曲线历来都是高中数学必考的大考点!大部分要冲刺高分的学生都会再圆锥曲线丢分!其实圆锥曲线再怎么变形题目,都少不了基础的巩固和突破!
其中最需要巩固就算基础性质的总结!能够吃透好课本上每一个圆锥曲线的基础知识点,能灵活运用起来就能够很快掌握相关题型的考点考法,从而进行轻松解题!
而题型的总结是圆锥曲线最快的提升的方法,特别是这13种典型的圆锥曲线常见大题考法的题型!对其中的大题的考题的得分规律和解题的思维一定要多吃透一下,能够举一反三下来,就基本上突破好圆锥曲线了!
下面是洪老师高考必备资料库,高中数学圆锥曲线13种常见大题题型及解题模板总结!
完整版的圆锥曲线113种常见大题题型及解题模板总结,可关注一下后呢,然后嗯看下到下私信,那里回下:013。
高考数学圆锥曲线题型分类总结【高考考点】:1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离等,也要注意斜率的存在与否)2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、夹角公式等)3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况等等)4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算7、熟练掌握三大曲线的定义和性质;8、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题;9、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。
【基本方法】:1.待定系数法:求所设直线方程中的系数,求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等;2.齐次方程法:解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题;3.韦达定理法:直线与曲线方程联立,交点坐标设而不求,用韦达定理写出转化完成。
要注意:如果方程的根很容易求出,就不必用韦达定理,而直接计算出两个根;4.点差法:弦中点问题,端点坐标设而不求。
也叫五条等式法:点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式;5.距离转化法:将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题;6、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等)7、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 【基本思想】:1.“常规求值”问题需要找等式,“求范围”问题需要找不等式; 2.“是否存在”问题当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;3.证明“过定点”或“定值”,总要设一个或几个参变量,将对象表示出来,再说明与此变量无关;4.证明不等式,或者求最值时,若不能用几何观察法,则必须用函数思想将对象表示为变量的函数,再解决;5.有些题思路易成,但难以实施。
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)直接法:直接利用条件建立之间的关系;和直线的距离之和等于),向圆作两条切线的距离比它到直线的距离小于M:和⊙:都外切,则动圆圆心的轨迹为动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程是抛物线上任一点,定点为,分所成的比为参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时均用一中间变量过抛物线的焦点作直线交抛物线于题型七:(直线与圆锥曲线常规解题方法)一、设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别)二、设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)三、联立方程组;四、消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)五、根据条件重转化;常有以下类型:①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K 是否存在)⇔OA OB ⊥⇔121K K ∙=-⇔0OA OB ∙=⇔12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”“直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”⇔⇔ >0;⇔1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系(或);⇔120K K +=12K K = ④“共线问题”(如: 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法);AQ QB λ=⇔(如:A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等);⇔ ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系;⇔ ⑥“弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择);⇔六、化简与计算;七、细节问题不忽略;①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现0。
圆锥曲线大题综合归类:五个方程型目录重难点题型归纳 1【题型一】基础型 1【题型二】直线设为:x=ty+m型 4【题型三】直线无斜率不过定点设法:双变量型 7【题型四】面积最值 10【题型五】最值与范围型 13【题型六】定点:直线定点 15【题型七】定点:圆过定点 18【题型八】定值 21【题型九】定直线 23【题型十】斜率型:斜率和定 26【题型十一】斜率型:斜率和 29【题型十二】斜率型:斜率比 31【题型十三】斜率型:三斜率 34【题型十四】定比分点型:a=tb 36【题型十五】切线型 38【题型十六】复杂的“第六个方程” 41好题演练 45重难点题型归纳重难点题型归纳题型一基础型【典例分析】1已知椭圆x2a21+y2b21=1a1>b1>0与双曲线x2a22-y2b22=1a2>0,b2>0有共同的焦点,双曲线的左顶点为A-1,0,过A斜率为3的直线和双曲线仅有一个公共点A,双曲线的离心率是椭圆离心率的3倍.(1)求双曲线和椭圆的标准方程;(2)椭圆上存在一点P x P,y P-1<x P<0,y P>0,过AP的直线l与双曲线的左支相交于与A不重合的另一点B,若以BP为直径的圆经过双曲线的右顶点E,求直线l的方程.1已知F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点,过点P t ,b 的直线l 交C 于不同两点A ,B .当t =a ,且l 经过原点时,AB =6,AF +BF =22.(1)求C 的方程;(2)D 为C 的上顶点,当t =4,且直线AD ,BD 的斜率分别为k 1,k 2时,求1k 1+1k 2的值.题型二直线设为:x =ty +m 型【典例分析】1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,右顶点为P ,点Q 0,b ,PF 2=1,∠F 1PQ =60°.(1)求双曲线C 的方程;(2)直线l 经过点F 2,且与双曲线C 相交于A ,B 两点,若△F 1AB 的面积为610,求直线l 的方程.1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点为F,右顶点为A,离心率为22,B为椭圆C上一动点,△FAB面积的最大值为2+1 2.(1)求椭圆C的方程;(2)经过F且不垂直于坐标轴的直线l与C交于M,N两点,x轴上点P满足PM=PN,若MN=λFP,求λ的值.题型三直线无斜率不过定点设法:双变量型【典例分析】1已知抛物线:y 2=2px p >0 ,过其焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点,与椭圆x 2a 2+y 2=1a >1 交于C 、D 两点,其中OA ⋅OB =-3.(1)求抛物线方程;(2)是否存在直线AB ,使得CD 是FA 与FB 的等比中项,若存在,请求出AB 的方程及a ;若不存在,请说明理由.1已知双曲线E 的顶点为A -1,0 ,B 1,0 ,过右焦点F 作其中一条渐近线的平行线,与另一条渐近线交于点G ,且S △OFG =324.点P 为x 轴正半轴上异于点B 的任意点,过点P 的直线l 交双曲线于C ,D 两点,直线AC 与直线BD 交于点H .(1)求双曲线E 的标准方程;(2)求证:OP ⋅OH 为定值.题型四面积最值【典例分析】1已知椭圆x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1,F 2.过F 1的直线交椭圆于B ,D 两点,过F 2的直线交椭圆于A ,C 两点,且AC ⊥BD ,垂足为P .(1)设P 点的坐标为(x 0,y 0),证明:x 203+y 202<1;(2)求四边形ABCD 的面积的最小值.1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2,3),点A 为其左顶点,且AM 的斜率为12,(1)求C 的方程;(2)点N 为椭圆上任意一点,求△AMN 的面积的最大值.2020年新高考全国卷Ⅱ数学试题(海南卷)题型五最值与范围型【典例分析】1设F 1、F 2分别是椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点.(1)若P 是该椭圆上的一个动点,求PF 1 ⋅PF 2 =-54,求点P 的坐标;(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围.1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)一个顶点A(0,-2),以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45.(1)求椭圆E的方程;(2)过点P(0,-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线交y=-3交于点M,N,当|PM|+|PN|≤15时,求k的取值范围.2021年北京市高考数学试题题型六定点:直线定点【典例分析】1已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,O为坐标原点,M为C的准线l上的一点,直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1.(1)求C的方程;(2)过点F作一条直线l ,交C于A,B两点,试问在l上是否存在定点N,使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),四点P 12,2 ,P 20,2 ,P 3-2,2 ,P 42,2 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与椭圆C 相交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,若∠AMP 2=2∠ABP 2,试问直线l 是否经过定点?若经过定点,请求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.题型七定点:圆过定点【典例分析】1如图,等边三角形OAB的边长为83,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1) 求抛物线E的方程;(2) 设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【变式演练】1已知动点P到点F1,0的距离与到直线l:x=4的距离之比为12,记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)曲线E与x轴正半轴交于点M,过F的直线交曲线E于A,B两点(异于点M),连接AM,BM并延长分别交l于D,C,试问:以CD为直径的圆是否恒过定点,若是,求出定点,若不是,说明理由.【典例分析】1如图,已知抛物线C :x 2=4y ,过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ,B 两点,过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明:动点D 在定直线上;(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)与直线y =2相交于点N 1,与(1)中的定直线相交于点N 2,证明:|MN 2|2-|MN 1|2为定值,并求此定值.【变式演练】1已知抛物线C :y 2=2px 经过点P (1,2).过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .(Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O 为原点,QM =λQO ,QN =μQO ,求证:1λ+1μ为定值..【典例分析】1已知直线l:x=my-1,圆C:x2+y2+4x=0.(1)证明:直线l与圆C相交;(2)设直线l与C的两个交点分别为A、B,弦AB的中点为M,求点M的轨迹方程;(3)在(2)的条件下,设圆C在点A处的切线为l1,在点B处的切线为l2,l1与l2的交点为Q.证明:Q,A,B,C四点共圆,并探究当m变化时,点Q是否恒在一条定直线上?若是,请求出这条直线的方程;若不是,说明理由.【变式演练】1已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2,F1F2=23且双曲线E经过点A3,2.(1)求双曲线E的方程;(2)过点P2,1作动直线l,与双曲线的左、右支分别交于点M、N,在线段MN上取异于点M、N的点H,满足PMPN=MHHN,求证:点H恒在一条定直线上.【典例分析】1已知点F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,P是椭圆E的上顶点,O为坐标原点且tan∠PFO=33.(1)求椭圆的离心率e;(2)已知M1,0,N4,3,过点M作任意直线l与椭圆E交于A,B两点.设直线AN,BN的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=2,求椭圆E的方程.【变式演练】1在平面直角坐标系中,己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ.(Ⅰ)求曲线Γ的方程;(Ⅱ)过点F的两条直线l1、l2与曲线Γ相交于A、B、C、D四点,且M、N分别为AB、CD的中点.设l1与l2的斜率依次为k1、k2,若k1+k2=-1,求证:直线MN恒过定点.【典例分析】1设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0,A-2,0,B2,0分别是椭圆的左、右顶点,动直线l过点C6,0,当直线l经过点D-2,2时,直线l与椭圆相切.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l与椭圆交于P,Q(异于A,B)两点,且直线AP与BQ的斜率之和为-12,求直线l的方程.【变式演练】1已知点M1,3 2在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上,A,B分别是椭圆的左、右顶点,直线MA和MB的斜率之和满足:k MA+k MB=-1.(1)求椭圆的标准方程;(2)斜率为1的直线交椭圆于P,Q两点,椭圆上是否存在定点T,使直线PT和QT的斜率之和满足k PT+k QT=0(P,Q与T均不重合)?若存在,求出T点坐标;若不存在,说明理由.【典例分析】1已知圆F 1:x 2+y 2+2x -15=0和定点F 2(1,0),P 是圆F 1上任意一点,线段PF 2的垂直平分线交PF 1于点M ,设动点M 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程;(2)设A (-2,0),B (2,0),过F 2的直线l 交曲线E 于M ,N 两点(点M 在x 轴上方),设直线AM 与BN 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1k 2为定值.【变式演练】1已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0),离心率e =55,P 为椭圆上一点,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,若△PF 1F 2的周长为2+25.(1)求椭圆E 的方程;(2)已知四边形ABCD (端点不与椭圆顶点重合)为椭圆的内接四边形,且AF 2 =λF 2C ,BF 2 =μF 2D ,若直线CD 斜率是直线AB 斜率的52倍,试问直线AB 是否过定点,若是,求出定点坐标,若不是,说明理由.江西省重点中学协作体2023届高三下学期第一次联考数学(理)试题题型十三斜率型:三斜率【典例分析】1已知F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,且P1,32在椭圆C上,PF垂直于x轴.(1)求椭圆C的方程.(2)过点F的直线l交椭圆C于A,B(异于点P)两点,D为直线l上一点.设直线PA,PD,PB的斜率分别为k1,k2,k3,若k1+k3=2k2,证明:点D的横坐标为定值.【变式演练】1在平面内动点P与两定点A1(-3,0),A2(3,0)连线斜率之积为-23.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),过点P作轨迹E的切线其斜率记为k(k≠0),当直线PF1,PF2斜率存在时分别记为k1,k2.探索1k⋅1k1+1k2是否为定值.若是,求出该定值;若不是,请说明理由.题型十四定比分点型:a =tb【典例分析】1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),倾斜角为30°的直线过椭圆的左焦点F 1和上顶点B ,且S △ABF 1=1+32(其中A 为右顶点).(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过点M (0,m )的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ,Q ,且PM =2MQ ,求实数m 的取值范围.【变式演练】1已知点M ,N 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点与上顶点,原点O 到直线MN 的距离为32,且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程;(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点F 2,并且与椭圆交于A ,B 两点,若AF 2 =12F 2B ,求直线AB 的方程.题型十五切线型【典例分析】1法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论:一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆,尊称为蒙日圆,且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心,半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,离心率e =12,左、右焦点分别是F 1、F 2,上顶点为Q ,且QF 2 =2,O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程,并请直接写出椭圆C 的蒙日圆的方程;(2)设P 是椭圆C 外一动点(不在坐标轴上),过P 作椭圆C 的两条切线,过P 作x 轴的垂线,垂足H ,若两切线斜率都存在且斜率之积为-12,求△POH 面积的最大值.【变式演练】1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,三角形AF1F2的周长为6,面积为3.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点M是椭圆C外一点,过点M所作椭圆的两条切线互相垂直,求三角形AF2M面积的最大值.题型十六复杂的“第六个方程”【典例分析】1如图,已知点B2,1,点N为直线OB上除O,B两点外的任意一点,BK,NH分别垂直y轴于点K,H,NA⊥BK于点A,直线OA,NH的交点为M.(1)求点M的轨迹方程;(2)若E3,0,C,G是点M的轨迹在第一象限的点(C在G的右侧),且直线EC,EG的斜率之和为0,若△CEG的面积为152,求tan∠CEG.【变式演练】1已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为32,且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;(2)设A为椭圆C的左顶点,过点A的直线l与椭圆交于点M,与y轴交于点N,过原点且与l平行的直线与椭圆交于点P.求SΔPAN⋅SΔPAM(SΔAOP)2的值.好题演练1(2023·贵州毕节·统考模拟预测)已知椭圆C的下顶点M,右焦点为F,N为线段MF的中点,O为坐标原点,ON=32,点F与椭圆C任意一点的距离的最小值为3-2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l:y=kx+m k≠0与椭圆C交于A,B两点,若存在过点M的直线l ,使得点A与点B关于直线l 对称,求△MAB的面积的取值范围.2(2023·天津南开·统考二模)已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32,左、右顶点分别为A,B,上顶点为D,坐标原点O到直线AD的距离为255.(1)求椭圆的方程;(2)过A点作两条互相垂直的直线AP,AQ与椭圆交于P,Q两点,求△BPQ面积的最大值.3(2023·河北·统考模拟预测)已知直线l :x =12与点F 2,0 ,过直线l 上的一动点Q 作直线PQ ⊥l ,且点P 满足PF +2PQ ⋅PF -2PQ =0.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)过点F 作直线与C 交于A ,B 两点,设M -1,0 ,直线AM 与直线l 相交于点N .试问:直线BN 是否经过x 轴上一定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.4(2023·北京东城·统考二模)已知焦点为F 的抛物线C :y 2=2px (p >0)经过点M (1,2).(1)设O 为坐标原点,求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积;(2)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ,若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.5(2023·四川自贡·统考三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =22,设A 62,12 ,B -62,12,P 0,2 ,其中A ,B 两点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点P 的直线交椭圆C 于M ,N 两点(M 在线段AB 上方),在AN 上取一点H ,连接MH 交线段AB 于T ,若T 为MH 的中点,证明:直线MH 的斜率为定值.6(2023·江西赣州·统考二模)在平面直角坐标系xOy 中,F 1(-1,0),F 2(1,0),点P 为平面内的动点,且满足∠F 1PF 2=2θ,PF 1 ⋅PF 2 cos 2θ=2.(1)求PF 1 +PF 2 的值,并求出点P 的轨迹E 的方程;(2)过F 1作直线l 与E 交于A 、B 两点,B 关于原点O 的对称点为点C ,直线AF 2与直线CF 1的交点为T .当直线l 的斜率和直线OT 的斜率的倒数之和的绝对值取得值最小值时,求直线l 的方程.7(2023·四川乐山·统考三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F (2,0),短轴长等于焦距.(1)求C 的方程;(2)过F 的直线交C 于P ,Q ,交直线x =22于点N ,记OP ,OQ ,ON 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,若(k 1+k 2)k 3=1,求|OP |2+|OQ |2的值.8(2023·贵州贵阳·统考模拟预测)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 与椭圆C 2:x 22+y 2=1的离心率相等,C 1的焦距是22.(1)求C 1的标准方程;(2)P 为直线l :x =4上任意一点,是否在x 轴上存在定点T ,使得直线PT 与曲线C 1的交点A ,B 满足PA PB =AT TB?若存在,求出点T 的坐标.若不存在,请说明理由.。
高考复习圆锥曲线题型归纳整理一、求圆锥曲线方程求圆锥曲线方程分为五个类型,求解策略一般有以下几种:①几何分析+方程思想;②设而不求+韦达定理③定义+数形结合;④参数法+方程思想类型1——待定系数法待定系数法本质就是通过对几何特征进行分析,利用图形,结合圆锥曲线的定义与几何性质,分析图中已知量与未知量之间的关系,列出含有待定系数的方程,解出待定的系数即可。
例1.2014年全国Ⅱ卷(理科20)设F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.Ⅰ若直线MN的斜率为34,求C的离心率;Ⅱ若直线MN在y轴上的截距为2,且∣MN∣=5∣F1N∣,求a,b.类型2——相关点法求轨迹方程动点P(x,y)依赖与另一个动点Q(x0,y0)变化而变化,并且动点Q(x0,y0)又在另一个已知曲线上,则可先用x,y表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线,可得到所求动点的轨迹方程。
例2、2017年全国Ⅱ卷(理科20)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x 22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=2NM.(Ⅰ)求点P的轨迹方程;(Ⅱ)设点Q在直线x=−3上,且OP⋅PQ=1,证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.类型3——定义法求轨迹方程先根据条件确定动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线定义直接写出动点的轨迹方程。
例3、2016年全国Ⅰ卷(理科20)设圆x2+y2+2x−15=0的圆心为A,直线l过点B1,0且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.Ⅰ证明∣EA∣+∣EB∣为定值,并写出点E的轨迹方程;Ⅱ设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A 交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.类型4——参数法求曲线方程当动点P(x,y)坐标之间的关系较探寻时,可考虑x,y之间用同一个变量表示,得到参数方程,再消去参数即可,但要注意参数的取值范围。
圆锥曲线题型分类
圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念,涉及到许多类型的问题。
下面是圆锥曲线常见的题型分类:
1. 数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断直线和圆锥曲线的位置关系,例如直线与椭圆的位置关系、直线与双曲线的位置关系等。
2. 弦的垂直平分线问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断一条弦的垂直平分线是否经过某个点,例如一条直线是否经过椭圆的两个焦点。
3. 动弦过定点的问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断动弦是否经过某个定点,例如一条直线是否经过椭圆上的某个点。
4. 过已知曲线上定点的弦的问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断是否存在一条直线经过已知曲线上的某个点,例如一条直线是否经过椭圆上的某个点。
5. 共线向量问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断两条直线是否共线,例如两条直线是否平行或重合。
6. 面积问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件计算圆锥曲线的面积,例如计算椭圆或双曲线的面积。
7. 弦或弦长为定值问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断一条弦或弦长是否为定值,例如一条直线是否经过椭圆上的两点使得这条直线的长度为定值。
8. 角度问题
这个题型主要考察学生如何根据给定的条件判断两条直线或圆锥曲线之间的角度关系,例如两条直线是否垂直或两个圆锥曲线是否相交。
以上是圆锥曲线常见的题型分类,希望能对您有所帮助。
题型一:弦的垂直平分线问题题型二:动弦过定点的问题题型三:过已知曲线上定点的弦的问题题型四:向量问题题型五:面积问题题型六:弦或弦长为定值、最值问题题型七:直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八:对称问题题型九:存在性问题:(存在点,存在直线y =kx +m ,存在实数,存在图形:三角形(等比、等腰、直角),四边形(矩形、菱形、正方形),圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N :y 2=x 交于A 、B 两点,在x 轴上是否存在一点E (x 0,0),使得ΔABE 是等边三角形,若存在,求出x 0;若不存在,请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程,往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ,结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数,写出弦的垂直平分线L 的方程,然后解决相关问题,比如:求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围,求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽,要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题,比如:弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1:已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ,则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程;(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点,直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点,试问直线MN 是否通过椭圆的焦点?并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点,其中点A (23,0)是椭圆的右顶点,直线BC 过椭圆的中心O ,且AC ∙BC =0,BC =2AC ,如图。
圆锥曲线的七种常考题型题型一:定义的应用 1、圆锥曲线的定义:(1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线 2、定义的应用(1)寻找符合条件的等量关系 (2)等价转换,数形结合 3、定义的适用条件: 典型例题例1、动圆M 与圆C 1:()22136x y ++=内切,与圆C 2:()2214x y -+=外切,求圆心M 的轨迹方程。
例2、方程()()2222668x y x y -+-++=表示的曲线是题型二:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): 1、椭圆:由22x y 、分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线:由22x y 、系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; 3、抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
典型例题例1、已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是例2、k 为何值时,方程15922=---ky k x 表示的曲线: (1)是椭圆;(2)是双曲线.题型三:圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解2、12PF m PF n ==,,22m n m n mn m n +-+,,,四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题例1、椭圆x a yba b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12,的张角α=∠21PF F ,求21PF F ∆的面积。
例2、已知双曲线的离心率为2,F 1、F 2是左右焦点,P 为双曲线上一点,且6021=∠PF F ,31221=∆PF F S .求该双曲线的标准方程题型四:圆锥曲线中离心率,渐近线的求法1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值;2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围;3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题例1、已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x (00>>b a ,)的两焦点,以线段21F F 为边作正三角形21F MF ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )A. 324+B. 13-C.213+ D. 13+ 例2、双曲线)00(12222>>=-b a by a x ,的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3) B.(]13,C.(3,+∞)D.[)3,+∞例3、椭圆G :22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -,椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围;例4、已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A )(1,2] (B )(1,2) (C )[2,)+∞ (D )(2,)+∞题型五:点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔12222<+b y a x点在椭圆上⇔12222=+b y a x点在椭圆外⇔12222>+by a x2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:∆>0⇔相交∆=0⇔相切 (需要注意二次项系数为0的情况) ∆<0⇔相离3、弦长公式: =AB )(11212212x x k x x k -+=-+ak ∆+=21 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+ak ∆+=2114、圆锥曲线的中点弦问题: 1、韦达定理: 2、点差法:(1)带点进圆锥曲线方程,做差化简 (2)得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x 2-4y 2=4的弦AB -被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.例2、已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l :x+y=1交于A,B 两点,C 是AB 的中点,若|AB|=22,O 为坐标原点,OC 的斜率为22,求椭圆的方程。
高考数学总复习题型分类汇《圆锥曲线》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一求曲线的方程 (3)题型二最值(范围)问题 (4)题型三定点定值与存在性 (6)【巩固训练】题型一求曲线的方程 (8)题型二最值(范围)问题 (9)题型三定点定值与存在性 (11)高考数学《圆锥曲线》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求曲线的方程例1 已知定点()0,3-G ,S 是圆()723:22=+-y x C (C 为圆心)上的动点,SG 的垂直平分线与SC 交于点E ,设点E 的轨迹为M . 求M 的方程. 【答案】见解析【解析】由题意知ES EG =,所以26=+=+EC ESEC EG ,又因为266<=GC .所以点E 的轨迹是以G ,C 为焦点,长轴长为26的椭圆,动点E 的轨迹方程为191822=+y x . 例2 设O 为坐标原点,动点M 在椭圆22:12x C y +=上,过点M 作x 轴的垂线,垂足为N , 点P 满足2NP NM =.求点P 的轨迹方程.【答案】见解析【解析】如图所示,设(),P x y ,(),0N x ,()1,M x y . 由2NP NM =知,12y y =,即12y =.又点M 在椭圆2212x y +=上,则有22122x y +=,即222x y +=.例3 如图,矩形ABCD 中, ()()()()2,0,2,0,2,2,2,2A B C D -- 且,AM AD DN DC λλ==,[]0,1,AN λ∈交BM 于点Q .若点Q 的轨迹是曲线P 的一部分,曲线P 关于x 轴、y 轴、原点都对称,求曲线P 的轨迹方程.【答案】Q 的轨迹为第二象限的14椭圆,由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【解析】设(),Q x y ,由,AM AD DN DC λλ==,求得()()2,2,42,2M N λλ--, ∵1,22QA AN QB BM k k k k λλ====-,∴11224QA QB k k λλ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭, P x,y ()NM Oxy∴1224y y x x ⋅=-+-,整理得()22120,014x y x y +=-≤≤≤≤.可知点Q 的轨迹为第二象限的14椭圆,由对称性可知曲线P 的轨迹方程为2214x y +=. 【易错点】求轨迹问题学生容易忽视范围 【思维点拨】高考中常见的求轨迹方程的方法有:1.直译法与定义法:直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐标的关系式,化简; 定义法求轨迹方程:轨迹方程问题中,若能得到与所学过的圆锥曲线定义相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程.2.相关点法:找动点之间的转化关系(平移,伸缩,中点,垂直等),用要求的代替已知轨迹的,代入化简3.参数法:可用联立求得参数方程,消参.注意此种问题通常范围有限制.4.交轨法:联立求交点,变形的轨迹. 题型二 最值(范围)问题例1 已知F 为抛物线C :x y 42=的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,直线1l 与C 交于A 、B 两点,直线2l 与C 交于D 、E 两点,则DE AB +的最小值为( )A. 16B. 14C. 12D. 10 【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ,直线1l 的方程为()11y k x =-,联立方程()214 1y xy k x ==-⎧⎪⎨⎪⎩,得2222111240k x k x x k --+=,∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=, 同理直线2l 与抛物线的交点满足:22342224k x x k ++=, 由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=, 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取等号.【易错点】本题考查抛物线的焦点弦长,利用抛物线的焦点弦长公式,表示出DE AB +,然后利用基本不等式求最值.对相关流程应有所熟练例2 已知点A (0,2)-,椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF,O 为坐标原点. (1)求E 的方程;(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求l 的方程. 【答案】见解析【解析】(1)2(c,0)F c c 设,由条件知,222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 (2)1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意,故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,23=16(43)0,4k k x ∆->>=当即时,12PQ x =-=从而O PQ d OPQ =∆又点到直线的距离所以的面积21=241OPQ S d PQ k ∆⋅=+244,0,.44OPQ t t t S t t t∆=>==++则44,20.2t t k t +≥==±∆>因为当且仅当,即OPQ ∆所以,当的面积最大时,l 的方程为2222y x y x =-=--或. 【思维点拨】 圆锥曲线中的取值范围问题常用的方法有以下几个:(1)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系;(2)利用基本不等式求出参数的取值范围;(3)利用函数的值域的求法(甚至求导),确定参数的取值范围. 题型三 定点定值与存在性问题例1 已知椭圆C :()222210x y a b a b +=>>上.(1)求C 的方程.(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【答案】见解析【解析】 (1=22421a b+=,解得28a =,24b =. 所以C 的方程为22184x y +=. (2)设直线l :()00y kx b kb =+≠≠,,()11A x y ,, ()22B x y ,,()M M M x y ,.将 y kx b =+代入22184x y +=得()22221+4280k x kbx b ++-=. 故1222221M x x kb x k +-==+,221M M by kx b k =+=+ . 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-,即12OM k k ⋅=-. 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.【思维点拨】解析几何是高考必考内容之一,在命题时多从考查各种圆锥曲线方程中的基本量关系及运算,在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的观点来解决问题,并会结合中点坐标,方程根与函数关系来求解.例2 已知抛物线2:4C y x =,点()0,m M 在x 轴的正半轴上,过M 点的直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,O 为坐标原点.(1) 若1=m ,且直线l 的斜率为1,求以AB 为直径的圆的方程;(2) 是否存在定点M ,使得不论直线:l x ky m =+绕点M 如何转动,2211AMBM+恒为定值?【答案】(1)()()223216x y -+-=. (2)存在定点M (2, 0). 【解析】(1)当1=m 时,()0,1M ,此时,点M 为抛物线C 的焦点,直线l 的方程为1-=x y ,设()()1122,,A x y B x y ,,联立24{ 1y xy x ==-,消去y 得, 2610x x -+=,∴126x x +=, 121224y y x x +=+-=,∴圆心坐标为(3, 2).又1228AB x x =++=,∴圆的半径为4,∴圆的方程为()()223216x y -+-=. (2)由题意可设直线l 的方程为x ky m =+,则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立,消去x 得: 2440y ky m --=,则124y y m =-, 124y y k +=,()()22222211221111AMBMx m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k mky y k m m k +-++===+++ 对任意k R ∈恒为定值, 于是2=m ,此时221114AMBM+=. ∴存在定点()0,2M ,满足题意. 【易错点】定点、定值问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果(取特殊位置或特殊值),因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现.【思维点拨】定点、定值问题通常先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论不正确,则不存在.在求解中通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的.【巩固训练】题型一 求曲线的方程1.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点()0,1B 且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC的平行线交AD 于点E .证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程.【答案】13422=+y x (0≠y ) 【解析】因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA .由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为13422=+y x (0≠y ).2.已知动圆G 过定点()4,0F ,且在y 轴上截得的弦长为8.求动圆G 的圆心点G 的轨迹方程; 【答案】28y x =【解析】设动圆圆心(),G x y ,设圆交y 轴于,M N 两点,连接,GF GM , 则GF GM =,过点G 作GH MN ⊥,则点H 是MN 的中点, 显然()22224,4GM x GF x y =+=-+,于是()222244x y x -+=+,化简整理得28y x =,故的轨迹方程为28y x =.3.已知抛物线C :22y x =的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B ,两点,交C 的准线于P Q ,两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ ∥;(2)若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1)见解析; (2)12-=x y .【解析】由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21,则0≠ab ,且记过B A ,两点的直线为l ,则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x .(1)由于F 在线段AB 上,故01=+ab .记AR 的斜率为1k ,FQ 的斜率为2k ,则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=.所以FQ AR ∥. (2)设l 与x 轴的交点为)0,(1x D , 则1111,2222ABF PQF a b S b a FD b a x S -=-=--=△△. 由题设可得221211b a x a b -=--,所以01=x (舍去),11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时,由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y b a =+2,所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合.所以,所求轨迹方程为12-=x y .题型二 最值(范围)问题1.已知动点E 到点A ()2,0与点B ()2,0-的直线斜率之积为14-,点E 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程;(2)过点D ()1,0作直线l 与曲线C 交于P , Q 两点,求OP OQ ⋅的最大值.【答案】(1)()22124x y x +=≠±(2)14 【解析】(1)设(),E x y ,则2x ≠±.因为E 到点A ()2,0,与点B ()2,0-的斜率之积为14-,所以122y yx x ⋅=-+-,整理得C 的方程为()22124x y x +=≠±. (2)当l 垂直于轴时,l 的方程为1x =,代入2214x y +=得P ⎛ ⎝⎭,1,Q ⎛ ⎝⎭.11,4OP OQ ⎛⎛⋅=⋅= ⎝⎭⎝⎭. 当l 不垂直于x 轴时,依题意可设()()10y k x k =-≠,代入2214x y +=得 ()2222148440k xk x k +-+-=.因为()216130k ∆=+>,设()11,P x y , ()22,Q x y .则2122814k x x k +=+, 21224414k x x k -=+.()()21212121211OP OQ x x y y x x k x x ⋅=+=+-- ()()22212121k x x k x x k =+-++14+21174416k =-+ 14< 综上OP OQ ⋅ 14≤,当l 垂直于x 轴时等号成立,故OP OQ ⋅的最大值是14.2.设椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>经过点12,,P F F ⎭是椭圆M 的左、右焦点,且12PF F ∆的面积为2. (1)求椭圆M 的方程;(2)设O 为坐标原点,过椭圆M 内的一点()0,t 作斜率为k 的直线l 与椭圆M 交于,A B 两点,直线,OA OB 的斜率分别为12,k k ,若对任意实数k ,存在实数m ,使得12k k mk +=,求实数m 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=;(2)[)2,m ∈+∞. 【解析】(1)略(2)设直线l 的方程为y kx t =+,由221{ 43x y y kx t+==+,得()2223484120k x ktx t +++-=,设()()1122,,,A x y B x y ,则21212228412,3434kt t x x x x k k -+=-=++,()212121221212122223t x x y y t t kt k k k k k k x x x x x x t ++=+=+++=+=--, 由12k k mk +=对任意k 成立,得22223t m t =--,∴()232m t m-=,又()0,t 在椭圆内部中,∴203t ≤<,∴2m ≥,即[)2,m ∈+∞.题型三 定点定值与存在性问题1.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,离心率为12, ,M N 分别是椭圆的上、下顶点,22•2MF NF =-.(1)求椭圆E 的方程;(2)若直线y kx m =+与椭圆E 交于相异两点,A B ,且满足直线,MA MB 的斜率之积为14,证明:直线AB 恒过定点,并求定点的坐标.【答案】(1)22143x y +=(2)直线AB恒过定点(0,.【解析】(1)由题知()0,2c F ,()b M ,0,()b N -,0,22222-=-=⋅∴b c NF MF ①由21==a c e ,得c a 2= ② 又222cb a =- ③ 由①②③联立解得:42=a ,32=b ∴椭圆E 的方程为13422=+y x . (2)证明:由椭圆E 的方程得,上顶点()3,0M ,设()11,y x A ,()22,y x B ,由题意知,01≠x ,02≠x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 得:()()034843222=-+++m kmx x k∴221438kkmx x +-=+,()22214334k m x x +-=, 又111133x m kx x y k MA -+=-=,222233x m kx x y k MB -+=-=, 由41=⋅NB MA k k ,得()()2121334x x m kx m kx =-+-+, ()()()()()()0433483414342222=+-+--+--k m km m k k m ,化简得:06332=+-m m 解得:3=m 或32=m ,结合01≠x ,02≠x 知32=m ,即直线AB 恒过定点()32,0.2.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,(,0)A a ,(0,)B b ,(0,0)O ,ΔOAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 是椭圆C 上一点,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N .求证:||||AN BM ⋅为定值.【答案】(1) 1422=+y x (2)见解析. 【解析】(1)由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . (2)由(1)知,)1,0(),0,2(B A ,设),(00y x P ,则442020=+y x .当00≠x 时,直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .令0=x ,得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ,得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时,10-=y ,,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN .综上,BM AN ⋅为定值.3. 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点 到(0,2)Q 的距离的最大值为3. (1)求椭圆C 的方程;(2)在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n 使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y += 相交于不同的两点,A B ,且OAB ∆的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1) 2213x y += (2)见解析【解析】(1)由2223c e c a a ==⇒=,所以222213b ac a =-= 设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点,则22221x y a b+=,所以222222(1)3y x a a y b =-=-||PQ ===所以,当1y =-时,||PQ 3=,可得a =1,b c ==故椭圆C 的方程为:2213x y += (2)存在点M 满足要求,使OAB ∆得面积最大.假设直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同两点,A B , 则圆心O 到l的距离1d =<,∴221m n +> ①因为(,)M m n 在椭圆C 上,所以2213m n +=②,由①②得:203m <∵||AB ==所以1||2OABSAB d =⋅=2213m n =-代入上式得213221213OABmS m m ∆==+⋅,当且仅当22231(0,3]32m m =⇒=∈,∴2231,22m n ==,此时满足要求的点(M 有四个. 此时对应的OAB ∆的面积为12. 4.已知过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点,且6AB =.(1)求该抛物线E 的方程;(2)过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ,分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ,求证:直线PQ 恒过一个定点.【答案】(1)24y x = (2)直线PQ 恒过定点()3,0.【解析】(1)抛物线的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∴直线AB 的方程为:2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组22{ 2y pxp y x =⎫=-⎪⎭,消元得: 22204p x px -+=, ∴212122,4px x p xx +==∴6AB ===,解得2p =±.∵0p >,∴抛物线E 的方程为:24y x =.(2)设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ,则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭..由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠. 由()24{1y x y k x ==-,得()2222240k x k x k -++=.()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点,所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由题知,直线2l 的斜率为1k-,同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-. 当1k ≠±时,有222112k k+≠+,此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以,直线PQ 的方程为()222121k y k x k k+=---,整理得()230yk x k y +--=. 于是,直线PQ 恒过定点()3,0; 当1k=±时,直线PQ 的方程为3x =,也过点()3,0.综上所述,直线PQ 恒过定点()3,0.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表:与现形课标对比,必修3中的“算法初步”删掉了;删掉了必修5中的解三角形,不等式的大部分内容。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的重要概念,也是高中数学中的重要内容之一。
在高考中,圆锥曲线问题往往是考查学生分析能力、解题技巧和数学理论应用能力的重要内容。
圆锥曲线问题包括了圆、椭圆、双曲线和抛物线等内容,这些问题在高考中的常见题型有很多,下面我们就来总结一下圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。
一、圆锥曲线的常见题型1. 求解圆锥曲线的焦点、直径等坐标问题2. 求圆锥曲线与坐标轴的交点3. 求圆锥曲线的参数方程4. 求解圆锥曲线的切线方程5. 求解圆锥曲线的渐近线方程6. 判断点是否在圆锥曲线内部或外部等问题这些都是高考中经常出现的圆锥曲线的题型,考查学生的代数计算、几何推理、参数方程应用等多方面的数学能力。
二、解题技巧1. 确定圆锥曲线的类型在解题时首先要明确圆锥曲线的类型,包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。
这样可以根据具体的类型选择相应的解题方法,避免盲目求解导致错误。
2. 利用几何的方法辅助求解对于椭圆、双曲线等圆锥曲线,可以利用几何的方法来辅助求解,比如通过图形性质来确定焦点、直径等坐标,利用图形的对称性质来求解切线方程等。
3. 转换坐标系有些圆锥曲线问题在直角坐标系中比较复杂,但是如果将坐标系进行适当的旋转、平移或变换,可能会使问题更易于求解。
将坐标系转换成合适的坐标系是解决问题的有效方法之一。
4. 参数化求解对于一些复杂的圆锥曲线问题,可以尝试使用参数方程来进行求解,将问题转化成参数方程的形式,有时会使问题变得更加简单。
5. 利用数学工具软件辅助求解在解题过程中,可以利用数学软件来辅助求解,比如利用计算机绘制图形、求解方程等,可以帮助理清思路、验证结果,并避免繁琐的计算错误。
三、举例分析以下举一个常见的圆锥曲线问题作为例子进行分析:已知椭圆的方程为:\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]求椭圆的焦点坐标及渐近线方程。
圆锥曲线大题梳理考情分析圆锥曲线问题是高考的热点问题之一,多数情况在倒数第二题出现,难度为中高档题型。
纵观近几年高考试卷,圆锥曲线的大题主要有以下几种类型:已知过定点的直线与圆锥曲线相交于不同两点,求直线方程或斜率、多边形面积或面积最值、证明直线过定点或点在定直线上等。
各种类型问题结构上具有一定的特征,解答方法也有一定的规律可循。
热点题型突破题型一:最值问题1(2024·安徽合肥·统考一模)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F 0,1,过点F的直线l与C交于A,B两点,过A,B作C的切线l1,l2,交于点M,且l1,l2与x轴分别交于点D,E.(1)求证:DE= MF;d1d(2)设点P是C上异于A,B的一点,P到直线l1,l2,l的距离分别为d1,d2,d,求2d2的最小值.【思路分析】(1)利用导函数的几何意义求得直线l1,l2的表达式,得出D,E,M三点的坐标,联立直线l与抛物线方程根据韦达定理得出 DE= MF;d1d2d2k=221+1≥2,可求出d d12d2(2)利用点到直线距离公式可求得【规范解答的最小值.】(1)因为抛物线C的焦点为F 0,1,所以p=2,即C的方程为:x2=4y,如下图所示:设点A x 1,y 1,B x 2,y 2,由题意可知直线l 的斜率一定存在,设l :y =kx +1 ,=y =联立 x kx 2 y 4+1得x 2-4kx -4=0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4.11由x 2=4y ,得y =4x 2,y =2x ,所以l 1:y -y 1=x 1 x -x 1,即y =x 122x -x 14.2令y =0,得x =x 12x12,即D ,0 ,同理l 2:y =x 222x -x 24x22,且E ,0 ,1 1所以 DE =2 x 1-x 2=2 x 1+x 22-4x 1x 2=2k 2+1.x 122x 14x 22x -x -2x 24由y =y ==2y ,得 x =-k1,即M 2k ,-1 .所以 MF =4k 2+4=2 k 2+1,故 DE = MF .(2)设点P x 0,y 0,结合(1)知l 1:y -y 1=x12x -x 1,即l 1:2x 1x -4y -x 2=101因为x 2=4y 1,x 2=4y 00,所以d 1=4y -x 022x 1x 01-24x 1+16=0-2x 0-x 21 2x 1x42x 1+16x =1-x 0222x 1+4.同理可得d 2=x 2-x 022x 2+24,所以d 1d 2=x x 10- 222x 1+4-x ⋅2x 0222x 2+4x =1-2x 0x +x 21 + 0x x 22x 42x 122+4x + 1x 222 +16-4=kx -0+4 x 022k 322+1.又d =y kx 0+01-k 2+12=x 04kx 0+1-+k 21 4kx 0+2=x 04-4k 2+1,d 1所以d 2d 2-4=kx 0 -04+x 2232+k 2116⋅k 2+1 -2x 04kx 0 +42k =221+1≥2.当且仅当k =0时,等号成立;d21即直线l 斜率为0时,d 1d 2取最小值2;求最值及问题常用的两种方法:(1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用几何图形性质来解决;(2)代数法:题中所给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求该函数的最值,求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。
高中数学:圆锥曲线七个经典题型整理,概念、公式、例题圆锥曲线中常见题型总结1、直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式,有△>0,直线与圆锥曲线相交;△=0,直线与圆锥曲线相切;△<0,直线与圆锥曲线相离.若且a=0,b≠0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点.注意:设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况,可单独提前讨论。
2、圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等,平行,垂直去寻找坐标间的数量关系,往往要和根与系数的关系结合应用,体现数形结合的思想,达到简化计算的目的。
3、圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式:设直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则:4、定点、定值问题(1)定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点,再证明结论,即可简化运算;(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.5、最值、参数范围问题这类常见的解法有两种:几何法和代数法.(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法;(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,这就是代数法.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:(1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;(4)利用基本不等式求出参数的取值范围;(5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.6、轨迹问题轨迹问题一般方法有三种:定义法,相关点法和参数法。
定义法:(1)判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义;(2)设标准方程,求方程中的基本量(3)求轨迹方程相关点法:(1)分析题目:与动点M(x,y)相关的点P(x0,y0)在已知曲线上;(2)寻求关系式,x0=f(x,y),y0=g(x,y);(3)将x0,y0代入已知曲线方程;(4)整理关于x,y的关系式得到M的轨迹方程。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是数学中的一个重要概念,在高考数学考试中经常出现。
圆锥曲线问题在高考中的题型多样,涉及到椭圆、双曲线和抛物线等各种不同的情况。
学生需要掌握不同类型圆锥曲线的基本知识和解题方法,才能在考试中取得好成绩。
本文将详细介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧。
一、椭圆问题在高考数学中,椭圆问题是圆锥曲线中的一个常见题型。
椭圆是圆锥曲线中的一种,其数学方程一般表示为x²/a² + y²/b² = 1。
椭圆问题在高考中主要涉及到椭圆的性质、方程和相关的几何问题。
下面是一些常见的椭圆问题和解题技巧:1. 椭圆的性质椭圆有许多独特的性质,例如焦点、长轴、短轴等。
解决椭圆问题时,首先需要熟悉椭圆的基本性质,包括焦点的坐标、长轴和短轴的长度等。
了解这些性质可以帮助学生更好地理解和解决椭圆相关的问题。
2. 椭圆的方程学生需要掌握椭圆的标准方程和一般方程,以及如何从一个方程中得到椭圆的相关信息。
如何通过椭圆的方程确定焦点和长轴的长度等。
熟练掌握椭圆的方程和相关的计算方法是解决椭圆问题的关键。
3. 几何问题在高考中,椭圆问题经常涉及到与椭圆相关的几何问题,例如椭圆的切线、法线、焦点、离心率等。
解决这些问题需要学生具有一定的几何直觉和解题技巧,可以通过画图、几何推理等方法来解决。
二、双曲线问题三、抛物线问题在解决圆锥曲线问题时,学生需要注意以下几个解题技巧:1. 画图对于圆锥曲线相关的几何问题,画图是非常重要的。
学生可以通过画图来直观地理解问题,并且可以通过几何推理来解决问题。
2. 几何推理圆锥曲线问题往往需要一定的几何推理能力,例如通过推导得到相关的性质和结论。
学生需要熟练掌握几何推理的方法,以便解决圆锥曲线问题。
3. 代数计算除了几何推理,对于圆锥曲线的方程和相关计算问题,学生还需要掌握代数计算的方法,包括因式分解、配方法、求导等。
圆锥曲线的七种常考题型题型一:定义的应用 1、圆锥曲线的定义:(1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线 2、定义的应用(1)寻找符合条件的等量关系 (2)等价转换,数形结合 3、定义的适用条件: 典型例题例1、动圆M 与圆C 1:()22136x y ++=内切,与圆C 2:()2214x y -+=外切,求圆心M 的轨迹方程。
例2、8=表示的曲线是题型二:圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): 1、椭圆:由22x y 、分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
2、双曲线:由22x y 、系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; 3、抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
典型例题例1、已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是例2、k 为何值时,方程15922=---ky k x 表示的曲线: (1)是椭圆;(2)是双曲线.题型三:圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解2、12PF m PF n ==,,22m n m n mn m n +-+,,,四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题例1、椭圆x a yba b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12,的张角α=∠21PF F ,求21PF F ∆的面积。
例2、已知双曲线的离心率为2,F 1、F 2是左右焦点,P 为双曲线上一点,且6021=∠PF F ,31221=∆PF F S .求该双曲线的标准方程题型四:圆锥曲线中离心率,渐近线的求法1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式,可求离心率,渐进线的值;2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式,可求离心率,渐进线的最值或范围;3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题例1、已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x (00>>b a ,)的两焦点,以线段21F F 为边作正三角形21F MF ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )A. 324+B. 13-C.213+ D. 13+ 例2、双曲线)00(12222>>=-b a by a x ,的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1,3)B.(]13,C.(3,+∞)D.[)3,+∞例3、椭圆G :22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -,椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围;例4、已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A )(1,2] (B )(1,2) (C )[2,)+∞ (D )(2,)+∞题型五:点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔12222<+b y a x点在椭圆上⇔12222=+b y a x点在椭圆外⇔12222>+by a x2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:∆>0⇔相交∆=0⇔相切 (需要注意二次项系数为0的情况) ∆<0⇔相离3、弦长公式: =AB )(11212212x x k x x k -+=-+ak ∆+=21 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+a k∆+=2114、圆锥曲线的中点弦问题: 1、韦达定理: 2、点差法:(1)带点进圆锥曲线方程,做差化简 (2)得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x 2-4y 2=4的弦AB -被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.例2、已知中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l :x+y=1交于A,B 两点,C 是AB 的中点,若|AB|=22,O 为坐标原点,OC 的斜率为22,求椭圆的方程。
题型六:动点轨迹方程:1、求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围;2、求轨迹方程的常用方法: (1)直接法:直接利用条件建立之间的关系;例1、如已知动点P 到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4,求P 的轨迹方程.(2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。
例2、如线段AB 过x 轴正半轴上一点M (m ,0),端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ,以x 轴为对称轴,过A 、O 、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为(3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程; 例3、由动点P 向圆作两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,∠APB=600,则动点P 的轨迹方程为例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______例5、一动圆与两圆⊙M:和⊙N:都外切,则动圆圆心的轨迹为(4)代入转移法:动点依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:例6、如动点P是抛物线上任一点,定点为,点M分所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(5)参数法:当动点坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。
例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是题型七:(直线与圆锥曲线常规解题方法)一、设直线与方程;(提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为y=kx+b与x=my+n的区别)二、设交点坐标;(提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)三、联立方程组;四、消元韦达定理;(提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单)五、根据条件重转化;常有以下类型:①“以弦AB为直径的圆过点0”(提醒:需讨论K是否存在)⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y +=②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔1212x x y y +>0;③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系(120K K +=或12K K =); ④“共线问题”(如:AQ QB λ= ⇔数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转化法); (如:A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等); ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系; ⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择); 六、化简与计算; 七、细节问题不忽略;①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 基本解题思想:1、“常规求值”问题:需要找等式,“求范围”问题需要找不等式;2、“是否存在”问题:当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解;3、证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明5、求最值问题时:将对象表示为变量的函数,几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;6、转化思想:有些题思路易成,但难以实施。
这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验;7、思路问题:大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生思路。
典型例题:例1、已知点()0,1F ,直线l :1y =-,P 为平面上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为Q ,且QP QF FP FQ =.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)已知圆M 过定点()0,2D ,圆心M 在轨迹C 上运动,且圆M 与x 轴交于A 、B两点,设1DA l =,2DB l =,求1221l l l l +的最大值.例2、如图半圆,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且OD ⊥AB ,Q 为线段OD 的中点,已知|AB |=4,曲线C 过Q 点,动点P 在曲线C 上运动且保持|PA |+|PB |的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C 的方程;(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ,且M 在D 、N 之间,设DNDM=λ,求λ的取值范围.例3、设1F 、2F 分别是椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点。
(1)设椭圆C 上点3(3,)2到两点1F 、2F 距离和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标;(2)设K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段1KF 的中点B 的轨迹方程;(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点,过原点的直线L 与椭圆相交于M ,N 两点,当直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为PM k ,PN k ,试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P及直线L 有关,并证明你的结论。
例4、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点(A B ,不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.例5、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆 于A 、B 两点。
(1)求P 点坐标;(2)求证直线AB 的斜率为定值;典型例题:例1、由①、②解得,2x a =±. 不妨设()2,0A a -,()2,0B a +, ∴()2124l a =-+()2224l a =++.∴22212124211221664l l l l a l l l l a +++==+ ()222448162216464a a a a +==+++, ③当0a ≠时,由③得,12221216162121226428l l l l a a+=++=⨯+≤.当且仅当22a =±时,等号成立. 当0a =时,由③得,12212l l l l +=. 故当22a =±时,1221l l l l +的最大值为22. 例2、解:(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴,O 为原点,建立平面直角坐标系,∵|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+>|AB |=4. ∴曲线C 为以原点为中心,A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1.∴曲线C 的方程为52x +y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +2,代入52x +y 2=1,得(1+5k 2)x 2+20kx +15=0.Δ=(20k )2-4×15(1+5k 2)>0,得k 2>53.由图可知21x x DN DM ==λ 由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将x 1=λx 2代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ 316)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>k k k k 即331,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM① ,21DNDM x x ==λ M 在D 、N 中间,∴λ<1②又∵当k 不存在时,显然λ=31=DN DM (此时直线l 与y 轴重合) 综合得:1/3 ≤λ<1.例3、解:(1)由于点3(3,)2在椭圆上,22223()(3)21ab +=得2a =4, …2分椭圆C 的方程为 22143x y +=,焦点坐标分别为(1,0),(1,0)- ……4分(2)设1KF 的中点为B (x, y )则点(21,2)K x y + ………………………5分把K 的坐标代入椭圆22143x y +=中得22(21)(2)143x y ++=……………7分线段1KF 的中点B 的轨迹方程为 221()1324y x ++= ………………………8分(3)过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ,N 关于坐标原点对称设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y --,,,M N P 在椭圆上,应满足椭圆方程,得222200222211x y x y a b a b +=+=, ……10分PMPN k K ⋅=2200022000y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=22b a - ……………………………13分 故:PM PN k K ⋅的值与点P 的位置无关,同时与直线L 无关, ………………14分例4、解:(Ⅰ)椭圆的标准方程为22143x y +=. …………(5分) (Ⅱ)设11()A x y ,,22()B x y ,,联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=,22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩,即,则, 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+, 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ,, 1AD BD k k ∴=-,即1212122y y x x =---,1212122()40y y x x x x ∴+-++=,2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=.解得:12m k =-,227k m =-,且均满足22340k m +->, 1、当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20),,与已知矛盾; 2、当227k m =-时,l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭,.所以,直线l 过定点,定点坐标为207⎛⎫⎪⎝⎭,. …………(14分)例5、解(1)22142y x +=。