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圆锥曲线常用结论总结

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第1页共12页圆锥曲线及其常用结论

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点

1F

、

2F

的距离的和等于常数2a

（大于

21||FF

）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M

为椭圆上任意一点，则有

21||||2MFMFa

。椭圆的标准方程为：22

221xy

ab

（0ab

）（焦点在x轴上）或1

22

22



bx

ay

（0ab

）（焦点在y轴

上）。

注：①以上方程中,ab

的大小0ab

，其中222bac

；②在22

221xy

ab和22

221yx

ab

两个方程中都有0ab

的条件，要分清焦点的位置，只要看2x

和2y

的分母的大小。例如椭圆22

1xy

mn

（0m

，0n

，mn

）当mn

时表示焦点在x

轴上的椭圆；当mn

时

表示焦点在y

轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程22

221xy

ab

知||xa

，||yb

，说明椭圆位于直线xa

，yb

所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以y

代替y

方程不变，所以若点(,)xy

在曲线上时，点(,)xy

也在曲线上，

所以曲线关于x

轴对称，同理，以x

代替x

方程不变，则曲线关于y

轴对称。若同时以x

代替x

，y

代替y

方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x

轴、y

轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心

叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x

轴、y

轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令

0x

，得yb

，则

1(0,)Bb

，

2(0,)Bb

是椭圆与y

轴的两个交点。同理令0y

得xa

，即

1(,0)Aa

，

2(,0)Aa

是椭圆与x

轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段

21AA

、

21BB

分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a

和2b

，a

和b

分别叫做椭圆的长第2页共12页半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a

；在

22RtOBF

中，

2||OBb

，

2||OFc

，

22||BFa

，

且222

2222||||||OFBFOB

，即222cab

；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c

e

a

叫椭圆的离心率。∵0ac

，∴01e

，且e

越接近1

，c

就

越接近a

，从而b

就越小，对应的椭圆越扁；反之，e

越接近于0

，c

就越接近于0

，从而b

越接近于a

，这时

椭圆越接近于圆。当且仅当ab

时，0c

，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya

。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（

12||||||2PFPFa

）。

注意：①式中是差的绝对值，在

1202||aFF

条件下；

12||||2PFPFa

时为双曲线的一支；

21||||2PFPFa

时为双曲线的另一支（含

1F

的一支）；②当

122||aFF

时，

12||||||2PFPFa

表示两条射

线；③当

122||aFF

时，

12||||||2PFPFa

不表示任何图形；④两定点

12,FF

叫做双曲线的焦点，

12||FF

叫做

焦距。

（2）双曲线的性质①范围：从标准方程1

22

22



by

ax

，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax

的外侧。即

22ax，ax

即双曲线在两条直线ax

的外侧。②对称性：双曲线1

22

22



by

ax

关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线1

22

22



by

ax

的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线1

22

22



by

ax

的方程里，对称轴是,xy

轴，所

以令0y

得ax

，因此双曲线和x

轴有两个交点)0,()0,(

2aAaA，他们是双曲线1

22

22



by

ax

的顶点。

令0x

，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个第3页共12页端点。

2）实轴：线段

2AA

叫做双曲线的实轴，它的长等于2,aa

叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段

2BB

叫做双

曲线的虚轴，它的长等于2,bb

叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线1

22

22



by

ax

的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab

；

2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy

；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其

他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征ab

，则等轴双曲线可以设为：)0(22

yx

，当0

时交点在x

轴，

当0

时焦点在y

轴上。⑥注意1

91622

yx与22

1

916yx



的区别：三个量,,abc

中,ab

不同（互换）c

相同，还有焦点所在的坐标

轴也变了。

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做

抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程

022

ppxy

叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（

2p

,0），它的准线方程是

2p

x

；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其

他几种形式：pxy22



，pyx22

，pyx22



.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程

如下表：第4页共12页

标准方程22

(0)ypx

p

22

(0)ypx

p

22

(0)xpy

p

22

(0)xpy

p

图形

焦点坐标(,0)

2p

(,0)

2p

(0,)

2p

(0,)

2p

准线方程

2p

x

2p

x

2p

y

2p

y

范围0x0x0y0y

对称性x

轴x

轴y

轴y

轴

顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)

离心率1e1e1e1e

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶

点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p

的几何意义：是焦点到准线

的距离。

一、椭圆、双曲线、抛物线：

椭圆双曲线抛物线

定义1．到两定点F

1,F

2的距离之

和为定值2a(2a>|F

1F

2|)的

点的轨迹

2．与定点和直线的距离之

比为定值e的点的轨迹.

（0

1,F

2的距离之差的

绝对值为定值2a(0<2a<|F

1F

2|)

的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为

定值e的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的

点的轨迹.

轨迹条件点集：({M｜｜MF

1+｜MF

2｜

=2a,｜F

1F

2｜＜2a}.点集：{M｜｜MF

1｜-｜MF

2｜.

=±2a,｜F

2F

2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直

线l的距离}.o

Fxy

l

oxy

Fl

xy

oF

l

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圆锥曲线大结论——终极版

圆锥曲线大结论——终极版

二、基本性质与结论

1. 椭圆焦点三角形基本结论

Rr,分别为21FPF的内接圆半径和外接圆半径，21AA分别为椭圆左右端点，I为内接圆圆心，nPFmPF21,，

21211221,,,PAAPFFFPFFPFB为PI的延长线交于x轴的交点。

aCbmnScacbbabnmabmneabbaeanmbmnmncnmABFFPF42tansin21,,2,2cot12cot,2tan2sin2cos1224cos221222222222222222222；，

PIcaPIcacaPIrPIrcaPIrrcacaeeeeeRccaRrabace2cos12sin2tan2sin2sin:2cos2tan,121122sin112sin2tan11sinsinsinsinsinsin2222222

双曲线焦点三角形，nPFmPF||,||21，12FPF；122tan2FPFbS.

2cotsin21,,cos1224cos222222221bmnSbnmbmnbmnmncnmFPF

2.椭圆上的点与焦点距离的最大值为ca，最小值为ca

椭圆16822yx上存在n个不同的的点nPPP,,11，椭圆的右焦点为F，数列FPn是公差大于51的等差数列，02222mkab2222222212kabbkayxyx2222212kabkmaxx；2222212kabmbyy22222221)kabbmaxx（；222222221)(kabkambyy2222222212||kabmkabkabAB；2222222||kabmkabmabSAOB02222mkab；2222222212kabbkayxyx2222212kabkmaxx；2222212kabmbyy22222221)kabbmaxx（；222222221)(kabkambyy2222222212||kabmkabkabAB；2222222||kabmkabmabSAOB则n的最大值是（ B ） A.16 B.15 C.14 D.13

(完整word版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

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圆锥曲线二级推论

1 / 14

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.

6. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.

7. 椭圆22221xyab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.

8. 椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式：

10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc ,

2(,0)Fc00(,)Mxy).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11. AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka，

即0202yaxbKAB。

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

圆锥曲线焦点弦的八大结论

圆锥曲线焦点弦的八大结论

- 1 - 圆锥曲线焦点弦的八大结论

圆锥曲线是几何学中的一类重要的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。在圆锥曲线的研究中，焦点和弦是两个重要的概念，它们之间有着许多有趣的关系。本文将介绍圆锥曲线焦点弦的八大结论。

一、椭圆的焦点弦

椭圆有两个焦点，分别为F1和F2。对于任意一条经过椭圆两个焦点的弦AB，有以下结论：

1. 弦中点M在线段F1F2上；

2. 焦点到弦的距离之和等于弦长，即AF1 + BF2 = AB；

3. 焦点到弦的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即AF1 - BF2 = PM - PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在椭圆上的垂足；

4. 焦点到弦的距离之比等于弦段所在直线与椭圆焦点连线的斜率，即AF1/AF2 = MF/MG，其中M为弦中点，G为椭圆长轴的中点；

5. 弦中点M到椭圆两个焦点的距离之差等于弦段所在直线与椭圆长轴的距离之差，即MF1 - MF2 = PM - PN；

6. 弦端点P和N到椭圆两个焦点的距离之差相等，即PF1 - PF2

= NF1 - NF2；

7. 椭圆的两个焦点到弦的距离之积等于椭圆长轴的平方减去弦长的平方，即AF1·BF2 = AC - AB，其中AC为椭圆长轴的长度；

8. 弦段所在直线与椭圆中心连线的斜率等于椭圆长轴和短轴的比值，即PG/PM = b/a，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。 - 2 - 二、双曲线的焦点弦

双曲线有两个焦点，分别为F1和F2。对于任意一条经过双曲线两个焦点的弦AB，有以下结论：

1. 弦中点M在线段F1F2的延长线上；

2. 焦点到弦的距离之差等于弦长，即AF1 - BF2 = AB；

3. 焦点到弦的距离之和等于弦段所在直线与双曲线渐近线的距离之和，即AF1 + BF2 = PM + PN，其中P和N分别为弦AB的两个端点在双曲线上的垂足；

高考数学复习 圆锥曲线常用结论整理

高考数学复习 圆锥曲线常用结论整理

1

圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理

椭圆问题小结论：

1.与椭圆22221xyab共焦点的椭圆的方程可设为222221,0xybab

2.与椭圆22221xyab有相同的离心率的椭圆可设为2222,0xyab

或2222,0xyba

3.（中点弦结论）直线l与椭圆22221xyab相交与1122,y,,AxBxy两点，其中点,Pxy为线段ＡＢ的中点，则有：22ABOPbKKa；若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab

若椭圆方程为22221yxab时，22ABOPaKKb；

4.（切线结论）若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.以000(,)Pxy为切点的切线斜率为2020bxkay；

5.（切点弦结论）若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.

6. 椭圆的方程为22221xyab（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于,AB两点，P点是椭圆上异于,AB两点的任一点，则有22PAPBbKKa 2

7.（焦点弦结论）设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF.(2) 122||=tan2PFFPScyb.(3)当P点位于短轴顶点处12FPF最大。

10.椭圆的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.

11.过椭圆上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.